2020-2021年新高三数学一轮复习考点 函数的周期性与对称性

2020-2021年新高三数学一轮复习考点 函数的周期性与对称性

2020-2021 年新高三数学一轮复习考点 函数的周期性与对称性 一．最新考试说明： 1．理解函数的周期性，会判断函数的周期性． 【例】(2018 全国卷Ⅱ)已知 ()fx是定义域为 ( , )   的奇函数，满足 (1)(1)fxfx ． 若 (1) 2f ，则 (1)(2)(3)(50) …ffff A． 50 B．0 C．2 D．50 【答案】C 【解析】解法一 ∵ ()fx是定义域为( , )  的奇函数， ( ) ( )  f x f x ．且 (0 ) 0f ． ∵ (1)(1)fxfx ，∴ ( ) (2 )f x f x ， ( ) (2 )  f x f x ，∴ (2 ) ( )  f x f x ， ∴ (4)(2)() fxfxfx ， ∴ ()fx 是 周 期 函 数 ， 且 一 个 周 期 为 4 ，∴ (4 ) ( 0 ) 0ff ， (2)(11)(11)(0)0ffff ， (3)(12)(12)(1)2  ffff ， ∴ (1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2ffffffff ，故选 C． 解法二 由题意可设 ()2sin() 2fxx  ，作出 ()fx的部分图象如图所示． x y 4 3 21 -2 2 O 由图可知， 的一个周期为 4，所以 (1)(2)(3)(50)ffff ， 所以 (1)(2)(3)(50)12 0(1)(2)2 ffffff ，故选 C． 【例】(2016 山东)已知函数 f(x)的定义域为 R．当 x<0 时， 3()1fxx  ；当 11x 时， ()()fxfx  ；当 1 2x  时， 11( ) ( )22f x f x   ，则 f(6)= A．−2 B．−1 C．0 D．2 【答案】D 【解析】当 11x 剟 时， ()fx为奇函数，且当 1 2x  时， ( 1) ( )f x f x ， 所以 (6)(511)(1)fff  ．而 3(1)(1)[(1)1]2ff   ，所以 (6 ) 2f  ，故选 D． 2．理解函数的对称性，会判断函数的对称性． 【例】【2020 年高考天津卷 3】函数 2 4 1 xy x  的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路导引】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数 的图象． 【解析】由函数的解析式可得：    2 4 1 xfxfx x    ，则函数  fx为奇函数，其图象关于坐标原点 对称，选项 CD 错误；当 1x  时， 4 2011y  ，选项 B 错误．故选 A． 【专家解读】本题的特点是函数图象及其性质的应用，本题考查了函数图象的识别，考查数形结合思想， 考查数学运算、数学直观等学科素养．解题关键是观察函数图象，结合排除法解决问题． 【方法总结】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值 域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对 称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 【例】(2016 全国 II) 已知函数   fxx R 满足    2fxfx ，若函数 1xy x  与  yfx 图像的交点 为  11xy， ， 22xy， ，…， mmxy， ，则   1 m ii i xy   A．0 B．m C．2m D．4m 【答案】B 【解析】由    2fxfx 得 ( ) ( ) 2f x f x   ，可知  fx关于  01， 对称，而 111xy xx    也关 于  01， 对称，∴对于每一组对称点 0iixx =2iiyy ，∴   1 1 1 022 m m m i i i i i i i mx y x y m             ． 3．利用函数周期性、对称性求函数值及求参数值． 【例】(2014 新课标Ⅱ)偶函数 ()fx的图像关于直线 2x  对称， ( 3 ) 3f  ，则 ( 1)f  =___． 【答案】3 【解析】∵函数 的图像关于直线 对称，所以 ( ) (4 )f x f x ， ( ) (4 )f x f x   ，又 ( ) ( )f x f x ，所以 ( ) (4 )f x f x ，则 (1)(41)(3)3fff ． 【例】(2014 四川)设 ()fx是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 [ 1,1)x  时， 242,10,() ,01, xxfx xx    ， 则 3()2f  ． 【答案】 1 【解析】 2311()()4()21222ff   ． 二．命题方向预测： 1．利用函数的周期性、对称性求函数的值、求函数的零点、求方程的根、研究函数的图象是历年高考考查 的热点． 2．题型以选择题和填空题为主，函数性质与其它知识点交汇命题． 三．课本结论总结： 1．若函数  fx的定义域关于原点对称，则 可以表示为          11 22fxfxfxfxfx ， 该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函数的和． 2．函数  xfy  与函数  xfy  的图像关于直线 0x （ y 轴）对称． 3．函数 与函数  xfy  的图像关于直线 0y （ x 轴）对称． 4．函数 与函数  y f x   的图像关于坐标原点中心对称． 5．函数 xya 与函数  log 0, 1ay x a a   的图像关于直线 yx 对称． 6.定义式 f(x＋T)＝f(x)对定义域内的 x 是恒成立的．若 f(x＋a)＝f(x＋b)，则函数 f(x)的周期为 T＝|a －b|. 7.若在定义域内满足 f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝ 1 fx，f(x＋a)＝－ 1 fx(a>0)．则 f(x)为周期函数，且 T＝2a 为 它的一个周期． 8.对称性与周期的关系： (1)若函数 f(x)的图象关于直线 x＝a 和直线 x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一 个周期． (2)若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数 f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周 期． (3)若函数 f(x)的图象关于点(a,0)和直线 x＝b 对称，则函数 f(x)必为周期函数，4|a－b|是它的一个 周期． 四、名师二级结论： 一条规律 若 T 是函数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期． 两个应用 1．已知函数的周期性求函数的值． 2．已知函数的对称性研究函数的图象． 三种方法 求函数周期的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)公式法． 五、课本经典习题： (1)新课标人教 A 版必修四第 46 页习题 1.4A 组第 10 题 设函数 ( )( )f x x R 是以 2 为最小正周期的周期函数，且 [0 ,2 ]x 时， 2()=(1) fxx ，求 7(3)() 2 ，ff的 值。2 【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式． (2 新课标人教 A 版必修四第 46 页习题 1.4B 组第 3 题 已知函数 ()fx的图象如图所示，试回答下列问题： （1）求函数的周期；（ 2）画出函数 (+1)yfx 的图象；（3）你能写出函数 ()y f x 的解析式吗？ 【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行改编、变式或拓展． 六．考点交汇展示： (1) 函数的对称性与方程的根交汇 例 1．（ 2020·四川三台中学实验学校高三）已知函数 ()y f x 的定义域为    ,1 1 ,   ，且 ( 1)fx 为 奇函数，当 1x  时， 2( ) 2f x x x    ，则 1() 2fx 的所有根之和等于（ ） A．4 B．5 C．6 D．12 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知函数 的图像关于  1,0 对称，求出 1x  时函数的解析式，然后由韦达定理求解。 【详解】因为 为奇函数，所以图像关于  0 ,0 对称，所以函数 的图像关于 对称，即    20fxfx  ，当 时， ，所以当 时， 2()68fxxx  ，当 2 12 2xx   时，可得 12 2xx   当 2 1682xx   时，可得 346xx，所以 的所有根之和为 6 2 4 ， 故选 A (2) 函数的周期性与方程的根交汇 例 2．【2017 江苏，14】设 ()fx是定义在 R 且周期为 1 的函数，在区间 [0,1 ) 上, 2,,() ,, xxDfx xxD     其中集 合 1,*nDxxn n  N ，则方程 ()lg0fxx 的解的个数是 . 【答案】8 【解析】由于 ()[0,1)fx ，则需考虑 110x 的情况，在此范围内， xQ 且 x  Z 时，设 *,,,2qxpqpp N ，且 ,pq 互质若 lg xQ ，则由 lg(0,1)x ，可设 *lg,,,2 nxm nmm N ， 且 ,mn 互质，因此 10 n m q p ，则10 ( )nmq p ，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此 lg xQ 因此 lg x 不可能与每个周期内 xD 对应的部分相等，只需考虑 与每个周期 xD 的部分的交点， (3) 函数的对称性与函数图象交汇 例 3．（ 2020·河南南阳中学高三月考（理））已知定义在 R 上的偶函数 ()fx满足 (1 ) (1 )f x f x   ， 当 [0 ,1]x  时， ()f x x  .函数 |1|()(13) xgxex  ，则 与 ()gx 的图象所有交点的横坐标之和为 （ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】由 满足 ，则函数 的图像关于直线 1x  对称， 又 的图像也关于直线 对称，当 12x时， ()2fxx ， 1() xgxe  ， 设 1()2 xhxxe  ， 12x ，则 '1()10 xhxe   ，即函数 ()hx在  1,2 为减函数，又 (1)0h  ， 即 ()0hx ， 即函数 ， 的图像在  1,2 无交点，则函数 ， 在  1 ,3 上的图像如图所 示，可知两个图像有 3 个交点，一个在直线 上，另外两个关于直线 对称，则三个交点的横坐标 之和为 3，故选 A. 【点睛】本题考查了函数图像的对称性，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题. (4) 函数的对称性与函数的零点交汇 例 4．（ 2020·湖北高三）已知函数 ()fx是定义域为 R 的偶函数，且满足 ( ) (2 )f x f x ，当 [0 ,1]x  时， ()f x x ，则函数 4()() 12 xFxfx x  在区间 [ 9 ,1 0 ] 上零点的个数为（ ） A．9 B．10 C．18 D．20 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得函数 f（x）的周期与对称轴，函数 F（x）＝f（x） 4 12 x x   在区间 上零点的个 数等价于函数 f（x）与 g（x） 4 12 x x   图象在 上交点的个数，作出函数 f（x）与 g（x）的图象如 图，数形结合即可得到答案. 【详解】函数 F（x）＝f（x） 在区间 上零点的个数等价于函数 f（x）与 g（x） 图象在 上交点的个数，由 f（x）＝f （2﹣x），得函数 f（x）图象关于 x＝1 对称，∵f（x）为偶函 数，取 x＝x+2，可得 f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），得函数周期为 2.，又∵当 x∈[0，1]时，f（x）＝x，且 f （x）为偶函数，∴当 x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，g（x） 4419 1221242 xx xxx   ， 作出函数 f（x）与 g（x）的图象如图： 由图可知，两函数图象共 10 个交点，即函数 F（x）＝f（x） 在区间 上零点的个数为 10. 【点睛】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于 中档题. (5) 函数的奇偶性、单调性、周期性等的交汇问题 例 5. 【2019 年高考江苏】设 ( ), ( )f x g x 是定义在 R 上的两个周期函数， ()fx的周期为 4， ()gx的周期为 2，且 ()fx是奇函数.当 2(]0,x  时， 2()1(1)fxx  ， (2),01 () 1 ,122 kxx gx x   ，其中 k>0.若在区 间(0，9]上，关于 x 的方程 ( ) ( )f x g x  有 8 个不同的实数根，则 k 的取值范围是 ▲ . 【答案】 12,34    【解析】作出函数 ， ()gx 的图象，如图： 由图可知，函数 的图象与 1( )(12,34,56,78)2g xxxxx  的 图象仅有 2 个交点，即在区间(0，9]上，关于 x 的方程 有 2 个不同的实数根， 要使关于 x 的方程 有 8 个不同的实数根，则 2()1(1),(0,2]fxxx  与 ()(2),(0,1]gxkxx 的图象有 2 个不同的交点，由 (1,0 ) 到直线 20kxyk 的距离为 1， 可得 2 | 3| 1 1 k k   ，解得 2 (0)4kk，∵两点( 2,0),(1,1) 连线的斜率 1 3k  ，∴ 12 34k ， 综上可知，满足 ()()fxgx  在(0,9]上有 8 个不同的实数根的 k 的取值范围为 12 34    ， . 【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率 等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数 ， 的图象，数形结合求解是解题的关键因素. 【考点分类】 热点一 函数的周期性 1．（ 2020·江西高三）设  fx是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数，如图表示该函数在区间( 2,1] 上的图 象，则 (2018) (2019)ff（ ） A．0 B．1 C． 1 D．2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用函数的周期性以及图象分析可得； 【详解】由题意可得： (2018)(20186733)ff ( 1) 2f   ， (2019)(20196733)ff ( 0 ) 0f，则 (2018)(2019)2ff.故选：D. 【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的求值，属于基础题． 2．（ 2020·湖南高三）已知函数  fx是定义在 R 上的奇函数，且满足    11fxfx  ，当  0 ,1x  时，   axfxe  （其中 e 是自然对数的底数），若  2020ln 28f ，则实数 a 的值为( ) A． 3 B．3 C． 1 3 D． 1 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得 a . 【详解】由已知可知，      2fxfxfx  ，所以函数 是一个以 4 为周期的周期函数， 所以       ln 22020 ln 2 ln 2 ln 2 2 8aaf f f e        ，解得 3a  ，故选：B. 【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题. 3.（2020·全国高三二模）定义在 R 上的奇函数 满足    3 3 0f x f x     ，若  11f  ，  22f  ，则        1232020ffff  （ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知  fx为奇函数，得    f x f x   ，而    330fxfx ，所以    33fxfx  ，所以    6f x f x ，即 的周期为 6 .由于  11f  ，  22f  ，  00f  ， 所以        33330ffff   ，      4222fff  ，      5111fff  ，    6 0 0ff.所以            1234560ffffff  ，又 2 0 2 0 6 3 3 6 4   ， 所以        1232020ffff         12341ffff  .故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题. 【方法规律】 函数周期性的相关结论： 设 a 是非零常数，若对 f(x)定义域内的任意 x，恒有下列条件之一成立：①f(x＋a)＝－f(x)；② 1f(x+a)= ()fx ；③ 1f(x+a)=- ()fx ；④f(x＋a)＝f(x－a)，则 f(x)是周期函数，2|a|是它的一个周期．(以 上各式中分母均不为零)． 热点二 函数性质的综合应用 1．（ 2020·河南高三）已知定义在 R 上的奇函数 满足    2fxfx  ，且当 ( 1,0)x )时 1()2 5 xfx，则  2 20flog  ________. 【答案】 1 【解析】 【分析】先根据奇函数和    2fxfx   ，求得周期为 4，再将 2 20l o g 通过周期和奇偶性转化到区间  –1,0 上代入表达式计算即可. 【详解】因为  y f x 是定义在 上的函数，且 ，所以      24f xf xf x  ， 所以两数 是周期为 4 的函数.又由 2224162032 5logloglog ， 得      2 2 2 2 2 520 20 4 20 16 4f log f log f log log f log      ，又因为函数 是奇函数，所以 22 55loglog.44ff  又当  1,0x  时，   12,5 xfx所以 2 5log 4 2 51log2145f  所以  222 55log20loglog1 44fff    ，故答案为： 1 【点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，函数解析式以及函数求值问题，注重对学生运算能力的考查.属 于较易题目. 2．（ 2020·湖南高三）已知函数 ()fx是定义在 R 上的偶函数，且在 (0 , ) 上单调递增，则（ ） A．    0.6 3(3)log132fff B．    0.6 3(3)2log13fff C．    0.6 32 log 13 ( 3)f f f    D．    0.6 32 ( 3) log 13f f f    【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得    33ff ，    33log13log13ff ，又由 0.6 3322log 13log273 ，结合函数的单调性分析可得答案． 【详解】根据题意，函数  fx是定义在 上的偶函数，则 ，    33log 13log 13ff ， 有 0.6 332 2 log 13 log 27 3    ，又由 在  0,  上单调递增，则有      0.6 32log 133fff  ，故选 C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题． 3．（ 2020·河南高三一模）关于函数 ( ) cos cos 2f x x x ，有下列三个结论:①  是 的一个周期； ② 在 35,44   上单调递增；③ 的值域为 22 , .则上述结论中，正确的个数为（） A． 0 B．1 C． 2 D． 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的性质，逐个判断即可求出． 【详解】①因为 ( ) ( )f x f x ，所以 是 的一个周期，①正确；②因为   2f   ， 52242f  ， 所以 ()fx在 35,44   上不单调递增，②错误；③因为 ( ) ( )f x f x ，所以 是偶函数，又  是 的一个周期，所以可以只考虑 0, 2x   时， 的值域．当 时，  c os 0 ,1tx， 22()coscos 2coscos 22coscos121fxxxxxxxtt , 221y t t   在  0,1 上单调递 增，所以  ( ) 1 ,2fx ， 的值域为  1, 2 ，③错误；综上，正确的个数只有一个，故选 B． 【点睛】本题主要考查三角函数的性质应用． 【方法规律】 1．解这类综合题的一般方法 在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数的性质， 就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助． （1）一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最 后利用函数的单调性判断大小； （2）画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图象，再利用奇 偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象． 2． 函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系 若函数有两条对称轴(或两个对称中心，或一对称轴一对称中心)，则该函数必是周期函数．特别地，有以 下结论(其中 a≠0)： 若 f(x)有对称轴 x＝a，且是偶函数，则 f(x)的周期为 2a； 若 f(x)有对称轴 x＝a，且是奇函数，则 f(x)的周期为 4a； 若 f(x)有对称中心(a，0)，且是偶函数，则 f(x)的周期为 4a； 若 f(x)有对称中心(a，0)，且是奇函数，则 f(x)的周期为 2a． 【易错点睛】 误区 1．函数的性质挖掘不全致误 【例 1】奇函数 f(x)定义在 R 上，且对常数 T＞0，恒有 f(x＋T)＝f(x)，则在区间[0，2T]上，方程 f(x) ＝0 根的个数至少有 ( ) A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个 【错解】由 f(x)是 R 上的奇函数，得 f(0)＝0x1＝0．再由 f(x＋T)＝f(x)得 f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0x2 ＝T，x3＝2T．即在区间[0，2T]上，方程 f(x)＝0 根的个数最小值为 3 个． 【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇．即 ( ) ( )f x f x   ……① ( ) ( )f x f x T……②解 时要把抽象性质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程①和②互动． 【正解】由方程①得 f(0)＝0  x1＝0．再由方程②得 f(2T)＝f(T)＝f(0)＝0  x2＝T，x3＝2T． 又∵ f ( x - ) = f ( x + )22 TT，令 x＝0 得 f ( - ) =f ( )22 TT．又 4f(-)=-f(),f()=0,x.2222 TTTT  再由②得 f( +T)=02 T  5 3x 2 T ，故方程 f(x)＝0 至少有 5 个实数根．故选 C． 误区 2．忽视隐含条件的挖掘致误 【例 2】设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[－1，1]上， 1,10 ()= 2 ,011 axx fx bx xx     其中 a，b∈R．若 13f( )=f( )22 ，则 a＋3b 的值为________． 【错解】因为 f(x)的周期为 2，所以 331f()=f(-2)=f(-)222 ，即 11f ( ) = f ( - )22 ．又因为 21114 2f(-)=-a+1,f()= 12223 12 b b   ，所以 14a+1=,3a+2b=-223 b ． 【剖析】 (1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来；(2)挖掘不出f(－1)＝f(1)，从而无法求出a、b的值． 【正解】因为 f(x)的周期为 2，所以 ，即 ．又因为 21114 2f(-)=-a+1,f()= 12223 12 b b   ，所以 14a+1=,23 b  ．整理，得 2a=-(b+1)3 ．① 又因为 f(－1)＝f(1)，所以 2-a+1= 2 b  ，即 b＝－2a． ② 将②代入①，得 a＝2，b＝－4．所以 a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10． 【热点预测】 1．已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x<0 时， 3( ) 1f x x ；当 11x   时， ( ) ( )f x f x   ；当 1 2x  时， 11()() 22fxfx .则 f(6)= （ ） （A）−2 （B）−1 （C）0 （D）2 【答案】D 【解析】当 1 2x  时， 11()() 22fxfx ,所以当 时，函数 ()fx是周期为 1 的周期函数，所以 ( 6 ) (1)ff ，又函数 是奇函数，所以  3(1)(1)112ff    ，故选 D. 2．（ 2020·宜宾市叙州区第一中学校高三）已知 ()fx是定义在 R 上的偶函数，且满足 ( 3 ) ( )f x f x  ， 当 01,()3xfxx ，则 ( 8 . 5 )f  （ ） A．-1.5 B．-0.5 C．0.5 D．1.5 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，函数 是定义在 R 上的偶函数，且是以 3 为周期的周期函数，利用函数的周期和奇偶 性，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数 是定义在 R 上的偶函数，且满足 ， 则函数  fx是以 3 为周 期的周期函数，又由 ，则 (8.5)(8.533)(0.5)(0.5)30.51.5ffff  ， 故选 D. 【点睛】本题主要考查了函数的周期性和函数的奇偶性的应用，其中解答中得出函数 是以 3 为周期的 周期函数，进而利用函数的奇偶性求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础 题. 3.已知定义在 R 上的函数   21xmfx （ m 为实数）为偶函数，记    0.52(log3),log 5 ,2afbfcfm ， 则 ,,abc 的大小关系为( ) （A） abc （B） a c b （C）c a b （D）c b a 【答案】C 【解析】因为函数   21xmfx 为偶函数，所以 0m  ，即   21xfx，所以 2 2 1log log 33 0.5 2 1(log 3) log 2 1 2 1 3 1 2,3a f f             2log 5 0 2log 5 2 1 4, 2 (0) 2 1 0b f c f m f         ,所以c a b，故选 C. 4．【2016 高考新课标 2 理数】已知函数 ( )( )f x xR 满足 ( ) 2 ( )f x f x   ，若函数 1xy x  与 ()yfx 图像的交点为 1 1 2 2( , ),( , ), ,( , ),mmx y x y x y 则 1 () m ii i xy   （ ） （A）0 （B） m （C） 2 m （D） 4 m 【答案】C 【解析】由于     2fxfx ，不妨设   1f x x ，与函数 111xy xx    的交点为    1 ,2 , 1 ,0 ， 故 1212 2xxyy ，故选 C. 5．已知 )2()(),1()1(  xfxfxfxf ，方程 0)( xf 在［0，1］内有且只有一个根 2 1x ，则 0)( xf 在区间 2013,0 内根的个数为（ ） A．2011 B．1006 C．2013 D．1007 【答案】C 【解析】由 ( 1) ( 1)f x f x   ，可知 ( 2 ) ( )f x f x  ，所以函数 ()fx的周期是 2，由 ( ) ( 2 )f x f x    可知函数 关于直线 1x  对称，因为函数 在［0，1］内有且只有一个根 ，所以函数 在区间 内根的个数为 2013 个，选 C． 6．若     4fxxaxax 的图像是中心对称图形，则 a  ( ) A．4 B． 4 3 C．2 D． 2 3 【答案】B 【解析】 )2 4 2 4)(2 43()2 4(  axaxaxaxf ，因为 2 4 2 4)(  axaxxg 为偶函数， 所以当且仅当 02 43 a ，即 3 4a 时， )2 4(  axf 为奇函数，图像关于原点对称．故选 B． 7.已知实数 0,0ab，对于定义在 R 上的函数 )( xf ，有下述命题： ①“ 是奇函数”的充要条件是“函数 ()f x a 的图像关于点 ( ,0)Aa 对称”； ②“ 是偶函数”的充要条件是“函数 的图像关于直线 xa 对称”； ③“ 2a 是 ()fx的一个周期”的充要条件是“对任意的 Rx  ，都有 ()( )fxafx  ”； ④ “函数 ()y f x a与 ()y f b x的图像关于 y 轴对称”的充要条件是“ ab ” 其中正确命题的序号是 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】A 【解析】本题考查函数的奇偶性、周期性与函数图象的对称性，函数 ()fx是奇函数的充要条件是函数 的图象关于原点对称，而 ()fx的图象关于原点对称与函数 ()f x a  的图象关于点 ( ,0 )Aa 对称是等价的， 故①正确，同理②也是正确的，那么本题只能选 A 了，对于③，我们知道函数 ()fx满足“对任意的 Rx  ， 都有 ( ) ( )f x a f x   ”时， ()fx是周期为 2 a 的周期函数，但反过来一一定成立，如 ()fx满足“对任意 的 ，都有 1() ()fx f x a  ”时， 也是周期为 的周期函数，③错误，而函数 ()y f x a与 函数 ()y f a x的图象是关于直线 xa 对称，而还是 y 轴，故④错误． 8．【河南省濮阳市 2019 届高三 5 月模拟考试数学】已知直线 l 与曲线 3 1y x x   有三个不同的交点  11,A x y ，  22,B x y ，  33,C x y ，且 | | | |A B A C ，则   3 1 ii i xy   __________. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由题意，函数 3yxx是奇函数，则函数 的图象关于原点对称，所以 的函 数图象关于点 (0 ,1 ) 对称，因为直线 与曲线 有三个不同的交点      1 1 2 2 3 3, , , , ,A x y B x y C x y ， 且 ，所以点 A 为函数的对称点，即 ( 0 ,1)A ，且 ,BC两点关于点 对称，所以 123123 0,3xxxyyy ，于是   3 1 3ii i xy   . 【名师点睛】本题主要考查了函数对称性的判定及应用，其中解答中根据函数的基本性质，得到函数图象 的对称中心，进而得到点 为函数的对称点，且 两点关于点 对称是解答的关键，着重考查了推 理与运算能力，属于中档试题. 9．（ 2020·贵州高三月考）函数  fx满足         3,f x f y f x y f x y x y R     ，且   11 3f  ， 则  2020f  （ ） A． 2 3 B． 2 3 C． 1 3 D． 1 3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意   11 3f  ，所以令 1y  ，化简        3 f x f y f x y f x y    ，得到      11fxfxfx ，从而 ，联立两式求解出  fx的周期为 6，从而  2020 (4)ff ，即可求出  2020f . 【详解】由题意，取 1y  ，则        3 1 1 1f x f f x f x    ，即 ①， 所以      12fxfxfx ②，联立①②得，    21fxfx  ，所以    3(6)fxfxfx ， 所以函数 的周期为 6 ，  2020(63364)(4)fff  ,由    3fxfx  ，所以 1(4)(1) 3ff .故选：C 【点睛】本题主要考查函数值的求法，如何利用题目中的条件求解出函数的周期是关键，属于中档题. 10.设 ()fx是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 [ 1,1)x  时， 24 2, 1 0,() , 0 1, xxfx xx        ，则 3()2f  ． 【答案】1 【解析】 311()()421224ff  ． 11．（ 2020·全国高三月考）已知定义在 R 上的函数 ()fx满足 (1)(3)fxfx  ，且 的图象与 ()lg 4 xgx x  的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于___________. 【答案】8 【解析】 【分析】确定  y g x 的图象关于点 (2,0) 对称，函数 ()y f x 的图象关于点 对称，得到答案. 【详解】 ，故 (4)()gxgx  ，即 的图象关于点 对称，又函数 满足 ，则函数 的图象关于点 对称，所以四个交点的横纵坐标之和为 8. 【点睛】本题考查了函数的交点问题，确定函数关于点 对称是解题的关键. 12.【2016 高考江苏卷】设 ()fx是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[1,1) 上， , 1 0, () 2 ,0 1,5 x a x fx xx          其中 .aR 若 59( ) ( )22ff ，则 (5)fa的值是 . 【答案】 2 5 【解析】 51911123()()()()22222255ffffaa  ， 因此 32(5)(3)(1)(1)1 55fafff    ． 13. 【湖南省长沙市第一中学 2020 年高三】若函数 ()fx称为“准奇函数”，则必存在常数 a，b，使得对定 义域的任意 x 值，均有 ( ) (2 ) 2f x f a x b   ，已知 1)(  x xxf 为准奇函数”，则 a＋b＝_________. 【答案】2 【解析】由 知“准奇函数” ()fx关于点 ),( ba 对称.因为 = 11 1x  关于 (1,1)对称，所以 1a  ， 1b  ，则 2ab.故答案为 2. 【名师点睛】本题考查新定义的理解和应用，考查了函数图象的对称性，属于基础题． 14．【2018 年高考江苏】函数  fx满足      4fxfxx R ，且在  2 , 2 上，   πcos,02,2 1 ,20,2 x x fx xx      , 则   15ff 的值为________． 【答案】 2 2 【解析】由    4fxfx  得函数  fx的周期为 4，所以       111516111, 22fff    因此    1 π 215 cos .2 4 2f f f    【名师点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式 求值，当出现   ffa 的形式时，应从内到外依次求值. (2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值， 切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围. 15.定义在 R 上的函数  fx满足:    21fxfx  ，当  2,0x 时，    2log 3f x x   ，则  2017f =________． 【答案】 1 2 【解析】         121,2fxfxfx fx ，将 x 代换为 2x  ，则有      14 2fxfx fx   fx 为周期函数，周期为 4 ，      2017504411fff  ，     12fx fx ，令 1x  ， 则     11 1f f  ， 当  2 ,0x  时，    2log3fxx     221log13log42f ，      1111,1 122fff  ，故答案为 1 2 . 16.（2020·河南南阳中学高三）已知函数 ()fx对 xR 满足 (2)()2(1)fxfxf ，且 ( ) 0fx ，若 ( 1)y f x 的图象关于 1x  对称， (0 ) 1f  ，则 (2 0 1 9 )f  (2 0 2 0 )f =____________． 【答案】3 【解析】 【分析】先由对称性可得 是偶函数，再利用赋值求得 (1)f 的值，从而可判断周期性，答案易得. 【详解】因为 的图象关于 对称，所以 ()yfx 的图象关于 0x  对称，即 是偶 函数.对于 ，令 1x  ，可得 (1)(1)2(1)fff  ，又 ，所以 (1)2f ， 则 (1)(1)2ff .所以函数 对 满足 (2)()4fxfx .所以 (4)(2)4fxfx . 所以 ()(4)fxfx ，即 是周期为 4 的周期函数.所以 44(2019)(45043)(3)2 (1)2fff f ， (2020)(4505)(0)1fff  .所以 (2019)(2020)3ff.故答案为： . 【点睛】本题考查函数性质的综合运用，涉及对称性、奇偶性、周期性等.遇恒等式问题，可尝试通过赋值 来求得关键值.