2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(三十八)　基本不等式

2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(三十八)　基本不等式

课时跟踪检测(三十八)　基本不等式 一、选择题 ‎1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 (　　)‎ A．最大值为0　　　　　　　 B．最小值为0‎ C．最大值为－4 D．最小值为－4‎ ‎2．若a，b∈R且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)‎ A．a＋b≥2 B.＋＞ C.＋≥2 D．a2＋b2＞2ab ‎3．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值是(　　)‎ A．2 B．4‎ C．6 D．8‎ ‎4．若a，b均为大于1的正数，且ab＝100，则lg a·lg b的最大值是(　　)‎ A．0 B．1‎ C．2 D. ‎5．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a＞0，b＞0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)‎ A．4 B. C．8 D．9‎ ‎6．函数y＝(x>1)的最小值是(　　)‎ A．2＋2 B．2－2‎ C．2 D．2‎ 二、填空题 ‎7．已知a，b∈R，且ab＝50，则|a＋2b|的最小值是________．‎ ‎8．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的最大值为________．‎ ‎9．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．‎ ‎10.规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝＋a＋b(a，b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝的最小值为________．‎ 三、解答题 ‎11．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求 ‎(1)xy的最小值；‎ ‎(2)x＋y的最小值．‎ ‎12．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．‎ ‎(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？‎ ‎(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？‎ 答案 ‎1．选C　∵x＜0，∴f(x)＝－ －2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．‎ ‎2．选C　∵ab＞0，∴＞0，＞0.‎ 由基本不等式得＋≥2，当且仅当＝，即a＝b时等号成立，故选C.‎ ‎3．选B　(x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，∴当1＋a＋2≥9时不等式恒成立，故＋1≥3，a≥4.‎ ‎4．选B　∵a>1，b>1，∴lg a>0，lg b>0.‎ lg a·lg b≤＝＝1.‎ 当且仅当a＝b＝10时取等号．‎ ‎5．选D　∵＝－＝(a－1,1)，‎ ‎＝－＝(－b－1,2)，‎ 若A，B，C三点共线，‎ 则有∥，‎ ‎∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，‎ ‎∴‎2a＋b＝1，‎ 又a＞0，b＞0，‎ ‎∴＋＝·(‎2a＋b)‎ ‎＝5＋＋≥5＋2 ＝9，‎ 当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D.‎ ‎6．选A　∵x>1，∴x－1>0.‎ ‎∴y＝＝＝ ‎＝＝x－1＋＋2‎ ‎≥2 ＋2＝2＋2.‎ 当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．‎ ‎7．解析：依题意得a，b同号，于是有|a＋2b|＝|a|＋|2b|≥2＝2＝2＝20，当且仅当|a|＝|2b|＝10时取等号，因此|a＋2b|的最小值是20.‎ 答案：20‎ ‎8．解析：因为x＞1，所以x－1＞0.又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以a的最大值为3.‎ 答案：3‎ ‎9．解析：设x为仓库与车站距离，由已知y1＝，y2＝0.8x.费用之和y＝y1＋y2＝0.8x＋≥2 ＝8，当且仅当0.8x＝，即x＝5时“＝”成立．‎ 答案：5‎ ‎10．解析：1⊗k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，‎ ‎∴＝1或＝－2(舍)，∴k＝1.‎ f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，‎ 当且仅当＝，即x＝1时等号成立．‎ 答案：1　3‎ ‎11．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，‎ 得＋＝1，‎ 又x＞0，y＞0，‎ 则1＝＋≥2 ＝，‎ 得xy≥64，‎ 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．‎ 所以xy的最小值为64.‎ ‎(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，‎ 则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋ ‎≥10＋2 ＝18.‎ 当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，‎ ‎∴x＋y的最小值为18.‎ ‎12．解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为＝x＋－200≥2 －200＝200，‎ 当且仅当x＝，即x＝400时等号成立，‎ 故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200元．‎ ‎(2)不获利．设该单位每月获利为S元，‎ 则S＝100x－y＝100x－ ‎＝－x2＋300x－80 000＝－(x－300)2－35 000，‎ 因为x∈[400,600]，所以S∈[－80 000，－40 000]．‎ 故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40 000元才能不亏损．‎