【数学】2019届一轮复习人教A版 不等式选讲 学案

【数学】2019届一轮复习人教A版 不等式选讲 学案

‎【命题热点突破一】含绝对值的不等式的解法 例1、【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；‎ ‎（II）求不等式的解集．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）‎ ‎ ‎ ‎,当,,解得或,‎ 当,,解得或 或 当,,解得或,或 综上,或或,,解集为 ‎【变式探究】已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋1|.‎ ‎(1)当a＝1时，解不等式f(x)<3；‎ ‎(2)若f(x)的最小值为1，求a的值．‎ ‎【特别提醒】解含有绝对值的不等式的基本解法是分段去绝对值后，转化为几个不等式组的解，最后求并集得出原不等式的解集．‎ ‎【变式探究】 ‎ 已知函数f(x)＝2|x＋2|－|x－a|(a∈R)．‎ ‎(1)当a＝4时，求不等式f(x)≤0的解集；‎ ‎(2)当a>－2时，若函数f(x)的图像与x轴所围成的封闭图形的面积不超过54，求a的最大值．‎ ‎【解析】：(1)当a＝4时，f(x)≤0，即2|x＋2|－|x－4|≤0，即2|x＋2|≤|x－4|，两边平方得4x2＋16x＋16≤x2－8x＋16，即x2＋8x≤0，解得－8≤x≤0，即不等式f(x)≤0的解集为[－8，0]．(或者分段去绝对值求解)‎ ‎(2)当a>－2时，f(x)＝ 令f(x)＝0，解得x1＝－4－a，x2＝，f(x)的图像与x轴的交点为A(－4－a，0)，B(，0)，‎ f(x)在(－∞，－2]上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－2)＝－(a＋2)．记C(－2，－(a＋2))．‎ f(x)的图像与x轴围成以A，B，C为顶点的三角形，其面积为×[－(－4－a)]×|－(a＋2)|＝，根据已知得≤54，解得－11≤a≤7，又a>－2，所以－2cd，则＋>＋；‎ ‎(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．‎ ‎【特别提醒】证明不等式的基本方法有综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等．不等式的性质和重要不等式是证明其他不等式的主要工具，要特别注意柯西不等式的应用．‎ ‎【变式探究】‎ ‎(1)已知a，b都是正实数，求证：＋≥2 －2.‎ ‎(2)已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，求a的取值范围．‎ ‎【解析】：(1)证明：方法一：(代数换元法)设a＋2b＝x，a＋b＝y，则a＝2y－x，b＝x－y，且x，y为正实数．‎ ＋＝＋＝＋－2≥2 －2，当且仅当x＝y时取等号．‎ 方法二：(配凑法)＋＝＋1＋＋1－2＝＋－2≥2 －2，当且仅当a＋2b＝(a＋b)时取等号．‎ ‎(2)由柯西不等式得(2b2＋‎3c2＋6d2)≥(b＋c＋d)2，即2b2＋‎3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，即a的取值范围是[1，2]．‎ ‎【命题热点突破三】　绝对值不等式与不等式证明的综合 例3 、【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲 已知函数，为不等式的解集．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【变式探究】已知函数f(x)＝的定义域为R.‎ ‎(1)求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若m的最大值为n，当正数a，b满足＋＝n时，求‎7a＋4b的最小值．‎ ‎【解析】：(1)因为该函数的定义域为R，所以|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立．‎ 设函数g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则m不大于函数g(x)的最小值，‎ 又|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，即g(x)的最小值为4，所以m≤4.[ :学 XX ]‎ ‎(2)由(1)知n＝4，‎ 所以‎7a＋4b＝＝‎ ＝‎ ≥＝，当且仅当a＋2b＝‎3a＋b，即b＝‎2a＝时，等号成立．‎ 所以‎7a＋4b的最小值为.学 ‎ ‎【特别提醒】使用绝对值三角不等式求含有两个绝对值符号的函数的最值时，注意利用恒等变换的方法创造使用重要不等式(均值不等式、柯西不等式等)的条件．‎ ‎【变式探究】‎ 已知函数f(x)＝|x|－2|x－3|.‎ ‎(1)求不等式f(x)≥－10的解集；‎ ‎(2)记f(x)的最大值为m，且a，b，c为正实数，求证：当a＋b＋c＝m时，ab＋bc＋ca≤m≤a2＋b2＋c2.‎ 所以a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2＝3＝m.‎ 所以ab＋bc＋ca≤m≤a2＋b2＋c2.‎ ‎【高考真题解读】‎ ‎1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；‎ ‎（II）求不等式的解集．‎ ‎【答案】（I）见解析（II）‎ ‎ ‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲 已知函数，为不等式的解集．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】（I）‎ 当时，由得解得；‎ 当时， ；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎（II）由（I）知，当时，，‎ 从而，‎ 因此 ‎3. 【2016高考新课标3理数】选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）设函数．当时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎1．(2015·陕西，24)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)求＋的最大值．[ :学 XX ]‎ ‎【解析】　(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，‎ 则解得a＝－3，b＝1.‎ ‎(2)＋ ‎＝＋≤[ : xx ]‎ ‎＝2＝4，‎ 当且仅当＝，‎ 即t＝1时等号成立，‎ 故(＋)max＝4. 学 ‎ ‎2．(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ ‎ 1.【2014高考安徽卷理第9题】若函数的最小值为3，则实数的值为（ ）‎ A.5或8 B.或5 C.或 D.或8[ :学 ]‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.‎ ‎2. 【2014陕西高考理第15题】设，且，则的最小值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎ 3. 【2014高考广东卷理第9题】不等式的解集为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】令，则，‎ ‎（1）当时，由得，解得，此时有；‎ ‎（2）当时，，此时不等式无解；‎ ‎（3）当时，由得，解得，此时有；‎ 综上所述，不等式的解集为.‎ ‎4. 【2014高考湖南卷第13题】若关于的不等式的解集为，则________.‎ ‎【答案】-3 ‎ ‎【解析】因为等式的解集为,所以为方程的根,‎ 即,故填.‎ ‎5. 【2014江西高考理第11题】对任意,的最小值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎6. 【2014重庆高考理第16题】若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，其图象如下所示（图中的实线部分）‎ 由图可知：‎ 由题意得：，解这得:‎ 所以答案应填：‎ ‎7. 【2014高考福建理第21（3）题】已知定义在R上的函数的最小值为.‎ ‎ （I）求的值；‎ ‎ （II）若为正实数，且，求证：.‎ ‎【答案】（I）;（II）参考解析 ‎ 9. 【2014高考江苏第21题】已知，证明 ‎ ‎【答案】证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎∵，∴,,‎ ‎∴.‎ ‎10. 【2014高考江苏第21B题】已知矩阵，向量，是实数，若，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由题意得，解得.∴.‎ ‎11. 【2014高考辽宁理第24题】设函数，，记的解集为M，的解集为N.‎ ‎（Ⅰ）求M；‎ ‎(Ⅱ)当时，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎12. 【2014高考全国1第24题】若，且.‎ ‎（Ⅰ）求的最小值；‎ ‎（Ⅱ）是否存在，使得？并说明理由.‎ ‎ 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）不存在．‎ ‎【解析】（I）由，得，且当时取等号．故，且当时取等号．所以的最小值为．‎ ‎（II）由（I）知，．由于，从而不存在，使得．‎ ‎13. 【2014高考全国2第24题】设函数=‎ ‎（Ⅰ）证明：2； ‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】（2013·新课标I理）（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)=x+3.‎ ‎（Ⅰ）当a=-2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；‎ ‎（Ⅱ）设a＞－1，且当x∈[－，)时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ 当时，令，，做出函数图像可知，当时，，故原不等式的解集为；‎ ‎（2）依题意，原不等式化为，故对都成立，故，故，故的取值范围是.‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎