5年高考真题精选与最新模拟备战数学（文） 专题16 不等式选讲
【2012高考真题精选】
【2012·陕西卷】若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】－2≤a≤4 【解析】本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义.＋≤3表示的几何意义是在数轴上一点x到1的距离与到a的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a的取值范围，不难发现－2≤a≤4.
【2012·辽宁卷】已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．[来源:学,科,网Z,X,X,K]
(1)求a的值；
(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．
【2012·江苏卷】已知实数x，y满足：|x＋y|＜，|2x－y|＜，求证：|y|＜.
【2012·课标全国卷】已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
【答案】解：(1)当a＝－3时，f(x)＝
当x≤2时，由f(x)≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2
0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
【解答】 (1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
【2010高考真题精选】
1.（2010陕西文）15.
（不等式选做题）不等式<3的解集为. 。
【答案】
【解析】
2.（2010天津文）（11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则的值为 。
3. (2010年高考宁夏卷文科24)（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
设函数= + 1。
（Ⅰ）画出函数y=的图像：
（Ⅱ）若不等式≤ax的解集非空，求n的取值范围
【2009高考真题精选】
（2009天津文9）设的最大值为
A 2 B C 1 D
答案：C
解析：因为，
（2009年 海南、宁夏）选修4-5：不等式选讲
如图，为数轴的原点，为数轴上三点，为线段上的动点，设表示与原点的距离， 表示到距离4倍与到距离的6倍的和.
（1）将表示为的函数；
（2）要使的值不超过70， 应该在什么范围内取值？
w
解：
（Ⅰ）
（Ⅱ）依题意，满足
解不等式组，其解集为
所以 w.w.w.zxxk.c.o.m
【2008高考真题精选】
1．（2008·山东文）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．（2008·广东文）设，若，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
解析：利用赋值法：令排除A,B,C,选D
答案：D
3. (安徽文3)不等式组所表示的平面区域的面积等于
（A）． （B）. （C）. （D）.
解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分△ABC
由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）
∴S△ABC=，选C。
A
B
C
x
y
O
答案：C
4.（2008天津文8）设函数则不等式的解集是（ ）
A B
C D
【最新模拟】
1．不等式|2x－1|<3的解集为________．
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
3．不等式log3(|x－4|＋|x＋5|)>a对于一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
5．设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，如果∀x∈R，f(x)≥2，则a的取值范围是________．
6．对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，则实数x的取值范围是________．
7．设a1，a2，…，a2011都为正数，且a1＋a2＋…＋a2011＝1，则＋＋…＋的最小值是________．
解析：由柯西不等式，得
(＋＋…＋)[()2＋()2＋…＋()2]≥(a1＋a2＋…＋a2011)2＝1，所以＋
＋…＋≥.
答案：
8．如果存在实数x使不等式|x＋1|－|x－2|2时，易知f(x)的值域为[a－2，＋∞)，使f(x)≥2a恒成立，需a－2≥2a成立，即a≤－2(舍去)．
13．设a>b>0，x＝－，y＝－，则x、y的大小关系是x________y.
14．不等式|x|＋|x－1|<2的解集是________．
15．设函数f(x)＝|x－4|＋|x－1|，则f(x)的最小值是________，若f(x)≤5，则x的取值范围是________．
16．如图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点．设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．
(1)将y表示为x的函数；
(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？
解：(1)y＝4|x－10|＋6|x－20|,0≤x≤30.
(2)依题意，x满足
解不等式组，其解集为[9,23]．
所以x∈[9,23]．[来源:学科网]
17．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.
(1)证明：－3≤f(x)≤3；
(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．
18．已知a，b是不相等的正实数．求证：(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
证明：因为a，b是正实数，所以a2b＋a＋b2≥3＝3ab>0，当且仅当a2b＝a＝b2，即a＝b＝1时，等号成立；[来源:学|科|网][来源:学§科§网]
同理：ab2＋a2＋b≥3＝3ab>0，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)≥9a2b2，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立．
因为a≠b，所以(a2b＋a＋b2)(ab2＋a2＋b)>9a2b2.
19．已知函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)(a≠0，a、b∈R)恒成立，求实数x的取值范围．
20．设不等式|2x－1|<1的解集为M.
(1)求集合M；
(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．
21．已知函数f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≥g(x)；
(2)若存在x∈R，使得f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围．
综上可得：φ(x)≤1，即a≤1.
22．若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求＋＋的最小值．
