2013年高考数学（理科）真题分类汇编J单元 计数原理

2013年高考数学（理科）真题分类汇编J单元 计数原理

J单元　计数原理 J1　基本计数原理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎5．J1[2013·福建卷] 满足a，b∈{－1，0，1，2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为(　　)‎ A．14‎ B．13‎ C．12‎ D．10‎ ‎5．B　[解析] 当a＝0时，2x＋b＝0x＝－，有序数对(0，b)有4个；当a≠0时，Δ＝4－4ab≥0ab≤1，有序数对(－1，b)有4个，(1，b)有3个，(2，b)有2个，综上共有4＋4＋3＋2＝13个，故选B.‎ ‎12．J1[2013·北京卷] 将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________．‎ ‎12．96　[解析] 5张参观券分为4堆，有2个连号有4种分法，然后每一种全排列有A种方法，所以不同的分法种数是‎4A＝96.‎ ‎14．J1、J2[2013·全国卷] 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)‎ ‎14．480　[解析] 先排另外四人，方法数是A，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A，根据乘法原理得不同排法共有AA＝24×20＝480种．‎ ‎22．A1、A2，J1[2013·重庆卷] 对正整数n，记In＝{1，2，…，n}，Pn＝.‎ ‎(1)求集合P7中元素的个数；‎ ‎(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．‎ ‎22．解：(1)当k＝4时，m∈I7中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.‎ ‎(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝PnIn.不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3A，即3∈B.同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾．‎ 再证P14符合要求，当k＝1时，m∈I14＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.‎ 当k＝4时，集m∈I14中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A2＝，B2＝.‎ 当k＝9时，集m∈I14中除正整数外剩下的数组成集 ‎，可分解为下面两稀疏集的并：A3＝，‎ B3＝.‎ 最后，集C＝m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.‎ 综上，所求n的最大值为14.‎ 注：对P14的分拆方法不是唯一的．‎ J2　排列、组合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎8．J2[2013·辽宁卷] 执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出S＝(　　)‎ 图1－2‎ A. B. C. D. ‎8．A　[解析] 由程序框图可以得到S＝＋＋＋＋ ‎＝＋＋＋＋ ‎＝＝，故选A.‎ ‎14．J1、J2[2013·全国卷] 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有________种．(用数字作答)‎ ‎14．480　[解析] 先排另外四人，方法数是A，再在隔出的五个位置安插甲乙，方法数是A，根据乘法原理得不同排法共有AA＝24×20＝480种．‎ ‎10．J2[2013·山东卷] 用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)‎ A．243 B．‎252 C．261 D．279‎ ‎10．B　[解析] (排除法)十个数排成不重复数字的三位数求解方法是：第一步，排百位数字，有9种方法(0不能作首位)，第二步，排十位数字，有9种方法，第三步，排个位数字，有8种方法，根据乘法原理，共有9×9×8 ＝ 648(个)没有重复数字的三位数．‎ 可以组成所有三位数的个数：9×10×10＝900，所以可以组成有重复数字的三位数的个数是：900－648＝252.‎ ‎8．J2[2013·四川卷] 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是(　　)‎ A．9 　B．‎10 ‎ 　C．18 　D．20‎ ‎8．C　[解析] 从1，3，5，7，9中，每次取出两个不同的数作为a，b可以得到不同的差式lg a－lg b共计A＝20个，但其中lg 9－lg 3＝lg 3－lg 1，lg 3－lg 9＝lg 1－lg 3，故不同的值只有18个．‎ ‎14．K2，J2[2013·新课标全国卷Ⅱ] 从n个正整数1，2，3，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n＝________．‎ ‎14．8　[解析] 和为5的只有两种情况，1＋4，2＋3，故＝C＝28n＝8.‎ ‎14．J2[2013·浙江卷] 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有________种(用数字作答)．‎ ‎14．480　[解析] 先在6个位置找3个位置，有C种情况，A，B均在C的同侧，有CAB，CBA，ABC，BAC，而剩下D，E，F有A种情况，故共有‎4CA＝480种．‎ ‎13．J2[2013·重庆卷] 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字作答)‎ ‎13．590　[解析] 从12名医生中选出5名的选法有C＝792种，其中只不选骨科医生的选法有C－1＝125种；只不选脑外科医生的选法有C－1＝55种；只不选内科医生的选法有C＝21种；同时不选骨科和脑外科医生的选法有1种，故骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数有792－(125＋55＋21＋1)＝590.‎ J3　二项式定理　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎9．J3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设m为正整数，(x＋y)‎2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)‎2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若‎13a＝7b，则 m＝(　　)‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ ‎9．B　[解析] (x＋2y)‎2m展开式的二项式系数的最大值是C，即a＝C；(x＋2y)‎2m＋1展开式的二项式系数的最大值是C，即b＝C，∵‎13a＝7b，∴‎13C＝‎7C，∴13＝7，易得m＝6.‎ ‎11．J3[2013·安徽卷] 若x＋8的展开式中x4的系数为7，则实数a＝________.‎ ‎11.　[解析] 二项式展开式的通项为Tr＋1＝Carx8－r，令8－r＝4，可得r＝3，故Ca3＝7，解得a＝.‎ ‎15．B13，J3，M1[2013·福建卷] 当x∈R，|x|<1时，有如下表达式：‎ ‎1＋x＋x2＋…＋xn＋…＝.‎ 两边同时积分得：∫01dx＋∫0xdx＋∫0x2dx＋…＋∫0xndx＋…＝∫0dx，‎ 从而得到如下等式：‎ ‎1×＋×＋×＋…＋×＋…＝ln 2.‎ 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：‎ C×＋C×2＋C×3＋…＋C×＝__________．‎ ‎15.　[解析] (1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn，‎ 两边同时积分得C∫01dx＋C∫0xdx＋C∫0x2dx＋…＋C∫0xndx＝∫0(1＋x)ndx，‎ 得C×＋C×2＋C×3＋…＋C×n＋1＝n＋1－1.‎ ‎5．J3[2013·江西卷] 展开式中的常数项为(　　)‎ A．80 B．－80‎ C．40 D．－40‎ ‎5．C　[解析] Tr＋1＝C(x2)5－r＝C(－2)rx10－5r，当r＝2时，得常数项为40，故选C.‎ ‎7．J3[2013·辽宁卷] 使(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ ‎7．B　[解析] 由通项Tk＋1＝C(3x)n－k＝C·3n－k·xn－，所以在展开式中含有常数项时，n－＝0，当k取最小值2时，n取最小值5.故选B.‎ ‎7．J3[2013·全国卷] (1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)‎ A．56 B．84‎ C．112 D．168‎ ‎7．D　[解析] (1＋x)8展开式中x2的系数是C，(1＋y)4的展开式中y2的系数是C，根据多项式乘法法则可得(1＋x)8(1＋y)4展开式中x2y2的系数为CC＝28×6＝168.‎ ‎8．B1，J3[2013·陕西卷] 设函数f(x)＝则当x>0时，f[f(x)]表达式的展开式中常数项为(　　)‎ A．－20 B．‎20 C．－15 D．15‎ ‎8．A　[解析] 由已知表达式可得：f[f(x)]＝－6，展开式的通项为Tr＋1＝C6－r(－)r＝C·(－1)r·xr－3，令r－3＝0，可得r＝3，所以常数项为T4＝－C＝－20.‎ ‎11．J3[2013·四川卷] 二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答)‎ ‎11．10　[解析] 根据二项展开式的性质可得x2y3的系数为C＝10.‎ ‎10．J3[2013·天津卷] x－6的二项展开式中的常数项为________．‎ ‎10．15　[解析] 由二项式的展开式得Tk＋1＝Cx6－k＝(－1)kCx6－k，令6－k＝0，解之得k＝4，T5＝(－1)‎4C＝15.‎ ‎5．J3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)‎ A．－4 B．－‎3 C．－2 D．－1‎ ‎5．D　[解析] 已知(1＋ɑx)(1＋x)5的展开式中，x2的系数为C＋aC ＝5，则a＝－1，故选D.‎ ‎11．J3[2013·浙江卷] 设二项式－5的展开式中常数项为A，则A＝________．‎ ‎11．－10　[解析] Tr＋1＝Cx(－1)rx－＝(－1)rCx，则＝0，r＝3，故常数项A＝T4＝(－1)‎3C＝－10.‎ J4　单元综合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎23．J4[2013·江苏卷] 设数列{an}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)k－1k，…，(－1)k－1k，k个…，即当

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