2020届二轮复习导数与方程课时作业(全国通用)

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2020届二轮复习导数与方程课时作业(全国通用)

第5讲 导数与方程 ‎1.(2019·济南市模拟考试)已知函数f(x)=(x-1)2-x+ln x(a>0).‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)若11,‎ 当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)是增函数,‎ 当x∈时,f′(x)<0,f(x)是减函数,‎ 当x∈时,f′(x)>0.f(x)是增函数.‎ ‎③若a>1,则0<<1,‎ 当x∈时,f′(x)>0,f(x)是增函数,‎ 当x∈时,f′(x)<0,f(x)是减函数,‎ 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数.‎ 综上所述,当a=1时,f(x)在(0,+∞)上是增函数;‎ 当01时,f(x)在上是增函数,在上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.‎ ‎(2)当10,‎ 所以g(a)在(1,e)上是增函数,‎ 所以g(a)×9-4+ln 4=ln 4+>0,‎ 所以存在x0∈(1,4),使f(x0)=0,‎ 所以当10,g(2)=ln 2-1<0,‎ 所以存在唯一的x0∈(1,2),使得g(x0)=0,且当x∈(0,x0)时,g(x)>0,即f′(x)>0,当x∈(x0,+∞)时,g(x)<0,即f′(x)<0.‎ 所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,+∞)上单调递减.‎ 又当x→0时,f(x)<0,f(1)=>0,f(2)=e2(ln 2-)>0,f(e)=ee<0,‎ 所以存在k=0或2,使得y=f(x)在(k,k+1)上有唯一零点.‎ ‎3.(2019·长春市质量监测(二))已知函数f(x)=ex+bx-1(b∈R).‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)若方程f(x)=ln x有两个实数根,求实数b的取值范围.‎ 解:(1)由题意可得f′(x)=ex+b,‎ 当b≥0时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.‎ 当b<0时,若x≥ln(-b),则f′(x)≥0,f(x)在[ln (-b),+∞)上单调递增;‎ 若x0),则h′(x)=-exx-<0,‎ 所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,‎ h(1)=0,所以e-ex0-ln x0<0的解集为(1,+∞),所以b=-e<1-e.‎ 当b<1-e时,ex+bx-1-ln x>x+bx-ln x,有g(eb)>eb+beb-ln eb=(b+1)eb-b,‎ 令G(x)=(x+1)ex-x=(x+1)(ex-1)+1,x<1-e,所以x+1<2-e<0,00,所以g(eb)>0,故g(eb)g(x0)<0,g(x)在(0,x0)上有唯一零点,另一方面,在(x0,+∞)上,当x→+∞时,因为ex的增长速度快,所以g(x)>0.‎ 综上,b的取值范围是(-∞,1-e).‎ ‎4.已知函数f(x)=-x+2aln x.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)设g(x)=ln x-bx-cx2,若函数f(x)的两个极值点x1,x2(x11,令f′(x)=0得x1=a-,x2=a+.‎ 当x∈(0,a-)∪(a+,+∞)时,f′(x)<0;‎ 当x∈(a-,a+)时,f′(x)>0.‎ 所以当a≤1时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;当a>1时,f(x)的单调递减区间为(0,a-),(a+,+∞);单调递增区间为(a-,a+).‎ ‎(2)由(1)知,a>1且x1+x2=2a,x1x2=1.‎ 又g′(x)=-b-2cx,所以g′()=-b-c(x1+x2),‎ 由g(x1)=g(x2)=0得ln =c(x-x)+b(x1-x2),‎ 所以y=(x1-x2)g′()=-b(x1-x2)-c(x-x)‎ ‎=-ln=-ln.‎ 令=t∈(0,1),则y=-ln t,所以y′=<0,则y=-ln t在(0,1)上单调递减,且当t→0时,y→+∞.由y=-ln t的取值范围是[ln 2-,+∞),得t的取值范围是(0,],所以4a2==++2=t++2∈[,+∞),又a>1,故实数a的取值范围是[,+∞).‎
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