【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数与解三角形学案

【数学】2019届一轮复习人教A版三角函数与解三角形学案

专题二 三角函数、平面向量 高考解答题专讲(二) 三角函数与解三角形 一、三角变换与三角函数的性质 ‎1．三角函数的恒等变形的通性通法是：从函数名、角、运算三方面进行差异分析，常用的技巧有：切化弦、降幂、用三角公式转化出特殊角、异角化同角、异名化同名、高次化低次等．‎ ‎2．研究三角函数的值域、最值、周期、单调性等性质，首先要将函数解析式化为标准形式，再结合图形求解．‎ ‎【例1】 (2017·黄冈中学模拟)已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋2cos2ωx(ω>0)，且f(x)的最小正周期为π.‎ ‎(1)求ω的值及函数f(x)的单调递减区间；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，求当x∈时，函数g(x)的最大值．‎ ‎[解] (1)由题意知f(x)＝sin2ωx＋1＋cos2ωx ‎＝2sin＋1，‎ ‎∵T＝π，＝π，∴ω＝1，‎ ‎∴f(x)＝2sin＋1，‎ 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈ ，得 ＋kπ≤x≤＋kπ，k∈ .‎ ‎∴函数f(x)的单调递减区间为，k∈ .‎ ‎(2)∵g(x)＝2sin＋1‎ ‎＝2sin＋1，‎ 当x∈时，－≤2x－≤，‎ ‎∴当2x－＝，即x＝时，g(x)max＝2×1＋1＝3.‎ 解答此类题目思路是“一化二求”，即通过恒等变换(降幂、辅助角公式应用)将其解析式化为y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A>0，ω≠0)的形式，再研究其各种性质或求值．‎ ‎ [对点训练]‎ ‎1．(2017·潍坊一模)已知函数f(x)＝4sin·cosωx在x＝处取得最值，其中ω∈(0,2)．‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若α为锐角，g(α)＝－，求cosα.‎ ‎[解] (1)f(x)＝4sin·cosωx ‎＝2sinωx·cosωx－2cos2ωx ‎＝(sin2ωx－cos2ωx)－ ‎＝2sin－，‎ ‎∵f(x)在x＝处取得最值，∴2ω·－＝kπ＋，k∈ ，∴ω＝2k＋，k∈ ，∵ω∈(0,2)，‎ 即0<2k＋<2，∴－AD，所以AD＝3.‎ ‎(2)在△ABD中，＝，又由cos∠BAD＝，得sin∠BAD＝，所以sin∠ADB＝，‎ 则sin∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin∠ADB＝.‎ 因为∠ADB＝∠DAC＋∠C＝＋∠C，所以cos∠C＝.‎ 在Rt△ADC中，cos∠C＝，‎ 则tan∠C＝＝＝，‎ 所以AC＝3.‎ 则△ABC的面积S＝AB·AC·sin∠BAC＝×3×3×＝6.‎