四川省棠湖中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

四川省棠湖中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年春四川省双流棠湖中学高二期中考试理科数学 第I卷 选择题（60分）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合，直接利用交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】因为集合，，‎ 所以.故选B.‎ ‎【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且属于集合的元素的集合.‎ ‎2.若复数满足，则=（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解出复数，求得，然后计算其模长即可.‎ ‎【详解】解：因为，所以 所以 所以 故选D.‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查了复数的综合运算，复数的模长，属于基础题.‎ ‎3.在某项测试中，测量结果与服从正态分布，若，则（ ）‎ A. 0.4 B. 0.8 C. 0.6 D. 0.21‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件,求出正态分布曲线的对称轴为,根据对称性可求出的值,进而可求 ‎【详解】解: 测量结果与服从正态分布正态分布曲线的对称轴为 ‎ ‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查了正态分布中概率问题的求解.在解此类问题时,结合正态分布曲线图像进行求解,其关键是找到曲线的对称轴.‎ ‎4.已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平方运算可求得，利用求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知：，解得：‎ 本题正确选项：‎ - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.‎ ‎5.若“直线与圆相交”，“”；则是( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线y＝x+b与圆x2+y2＝1相交⇔1，解得b．即可判断出结论．‎ ‎【详解】直线y＝x+b与圆x2+y2＝1相交⇔1，解得．‎ ‎∴“直线y＝x+b与圆x2+y2＝1相交”是“0＜b＜1”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了充分必要条件，直线与圆的位置关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎6.已知等差数列的前项和为则数列的前10项和为（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设等差数列的公差为，‎ 解得 - 22 -‎ 故选 点睛：设等差数列的公差为，由已知条件及等差数列通项公式得到，解得和的值，可得，再利用裂项求和的方法即可得出答案．‎ ‎7.甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：‎ 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中；‎ 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖；‎ 丁预测说：乙的猜测是对的 成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（）‎ A. 甲和丁 B. 乙和丁 C. 乙和丙 D. 甲和丙 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断 ‎【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁 答案选B ‎【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证 - 22 -‎ ‎8.的展开式存在常数项，则正整数的最小值为（　　）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 14‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简二项式展开式的通项公式，令的指数为零，根据为正整数，求得的最小值.‎ ‎【详解】，令，则，当时，有最小值为7.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式，考查与正整数有关问题，属于基础题.‎ ‎9.某教师准备对一天的五节课进行课程安排，要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课，则数学不排第一节，物理不排最后一节的情况下，化学排第四节的概率是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出事件：数学不排第一节，物理不排最后一节的概率，设事件：化学排第四节，计算事件的概率，然后由公式计算即得．‎ ‎【详解】设事件：数学不排第一节，物理不排最后一节. 设事件：化学排第四节. ，，故满足条件的概率是.‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本小题主要考查条件概率计算，考查古典概型概率计算，考查实际问题 - 22 -‎ 排列组合计算，属于中档题.‎ ‎10.已知是定义在上的函数，且对于任意，不等式恒成立，则整数的最小值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用的单调性和奇偶性，将抽象不等式转化为具体不等式，然后将恒成立问题转化成最值问题，借助导数知识，即可解决问题．‎ ‎【详解】，可知，且单调递增，‎ 可以变为，‎ 即，∴，‎ 可知，设，则，‎ 当时，，当时，单调递增；‎ 当时，单调递减，可知，‎ ‎∴，∵，∴整数的最小值为1.故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数的性质、抽象不等式的解法、以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综合运用所学知识的的能力．‎ ‎11.在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的内切球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ 作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B﹣AC﹣D的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥B﹣ACD为正四面体，可得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．‎ ‎【详解】如下图所示，‎ 易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．‎ 所以，∠BND是二面角B﹣AC﹣D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，可得BO⊥平面ACD．‎ 因在△BDN中，，所以，BD2＝BN2+DN2﹣2BN•DN•cos∠BND，‎ 则BD＝2．‎ 故三棱锥A﹣BCD为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的，又正四面体的高为棱长的，故．‎ 因此，三棱锥A﹣BCD的内切球的表面积为．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．‎ ‎12.已知函数在上恒不大于0，则的最大值为（　　）‎ A. B. C. 0 D. 1‎ - 22 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得函数导数，当时，利用特殊值判断不符合题意.当时，根据的导函数求得的最大值，令这个最大值恒不大于零，化简后通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性和零点，并由此求得的取值范围，进而求得的最大值.‎ ‎【详解】，当时，，则在上单调递增，，所以不满足恒成立；当时， 在上单调递增，在上单调递减，所以，又恒成立，即. 设，则. 因为在上单调递增，且，，所以存在唯一的实数，使得，当时，；当时，，所以，解得，又，所以，故整数的最大值为.故选A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查构造函数法，考查零点存在性定理，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ 第II卷 非选择题（90分）‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13._________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎===.‎ ‎14.已知随机变量服从二项分布，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 直接利用二项分布公式得到答案.‎ ‎【详解】随机变量服从二项分布，则 故答案为 ‎【点睛】本题考查了二项分布的计算，属于简单题目.‎ ‎15.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺，术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”，这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高）,可得,进而可求出的值 ‎【详解】解:设圆柱底面圆的半径为,圆柱的高为,由题意知 ‎,解得.‎ 故答案为:3.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆柱的体积公式.只要能看懂题目意思,结合方程的思想即可求出结果.‎ - 22 -‎ ‎16.若是函数的极值点，则在上的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对f(x)求导，根据可解得a的值，再根据函数的单调性求出区间上的最小值．‎ ‎【详解】，‎ 则，解得，所以，‎ 则.令，得或；‎ 令，得.所以在上单调递减；在上单调递增.所以.‎ ‎【点睛】本题考查由导数求函数在某个区间内的最小值，解题关键是由求出未知量a．‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.我校食堂管理人员为了解学生在校月消费情况，随机抽取了 100名学生进行调查.如图是根据调査的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图.已知，，金额段的学生人数成等差数列，将月消费金额不低于550元的学生称为“高消费群”.‎ - 22 -‎ ‎（1）求m，n值，并求这100名学生月消费金额的样本平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；‎ ‎（2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“高消费群”与性别有关？‎ 高消费群 非高消费群 合计 男 女 ‎10‎ ‎50‎ 合计 附：，其中 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ K0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1），（2）没有90%的把握 ‎【解析】‎ - 22 -‎ 分析：（1）由题意知 且，得，用每个矩形的中点值乘以面积求和可得平均值；‎ ‎（2）由题知数据完善2×2列联表，计算，查表下结论即可.‎ 详解：（1）由题意知 且 解得 ‎ 所求平均数为：‎ ‎(元) ‎ ‎（2）根据频率分布直方图得到如下2×2列联表： ‎ 高消费群 非高消费群 合计 男 ‎15‎ ‎35‎ ‎50‎ 女 ‎10‎ ‎40‎ ‎50‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 根据上表数据代入公式可得 所以没有90%的把握认为“高消费群”与性别有关．‎ 点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查独立性检验，意在考查学生对统计概率的基础知识的掌握情况. （2）频率分布直方图中，一般利用平均数的公式计算.其中代表第个矩形的横边的中点对应的数，代表第个矩形的面积.‎ ‎18.已知函数 ‎（1）若函数在区间上单调递增，求的取值范围；‎ ‎（2）设函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由函数的解析式可得在上单调递增，则的取值范围是；‎ ‎(2)原问题等价于存在，使不等式成立.构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得，‎ 在上单调递增，，‎ 的取值范围是.‎ ‎（2）存在，使不等式成立，‎ 存在，使不等式成立.‎ 令，从而，‎ ‎，‎ ‎，‎ 在上单调递增，‎ ‎ .‎ 实数的取值范围为.‎ ‎19.随着智能手机的普及，各类手机娱乐软件也如雨后春笋般涌现. 如表中统计的是某手机娱乐软件自2018年8月初推出后至2019年4月底的月新注册用户数，记月份代码为（如对应于2018年8月份，对应于2018年9月份，…，对应于2019年4月份），月新注册用户数为（单位：百万人）‎ ‎（1）请依据上表的统计数据，判断月新注册用户与月份线性相关性的强弱；‎ ‎（2）求出月新注册用户关于月份的线性回归方程，并预测2019年5月份的新注册用户总数. ‎ - 22 -‎ 参考数据：，，. ‎ 回归直线的斜率和截距公式：，. ‎ 相关系数（当时，认为两相关变量相关性很强. ）‎ 注意：两问的计算结果均保留两位小数 ‎【答案】（1）月新注册用户与月份的线性相关性很强；（2）10.06百万 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题目所给数据和相关系数计算公式，计算出相关系数，由此判断出“月新注册用户与月份的线性相关性很强”.（2）根据回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并利用回归直线方程预测出2019年5月份的新注册用户总数.‎ ‎【详解】（1）由题意得， ‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎，‎ ‎，‎ 故. ‎ 因为，所以月新注册用户与月份的线性相关性很强.‎ - 22 -‎ ‎（2）由（1）‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以回归方程为， ‎ 令，得，即2019年5月份新注册用户预测值为10.06百万人.‎ ‎【点睛】本小题主要考查相关系数的计算，考查回归直线方程的计算，考查利用回归直线方程进行预测，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎20.如图，矩形ABCD中，，，点F、E分别是BC、CD的中点，现沿AE将折起，使点D至点M的位置，且.‎ ‎ ‎ ‎（1）证明：平面MEF；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明，得到平面MEF.‎ ‎（2）以F为原点，FE为x轴，FA为y轴建立如图的空间坐标系，面AFE的一个法向量为，面AME的一个法向量为，计算向量夹角到答案.‎ ‎【详解】（1）证明：由题设知：，又，，AM，面AMF，‎ ‎∴面AMF，面AMF，∴，‎ 在矩形ABCD中，，，E、F为中点，‎ - 22 -‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，∴，‎ 又∵面MEF，∴面MEF.‎ ‎（2）以F为原点，FE为x轴，FA为y轴建立如图的空间坐标系，‎ 在中，过M作于N，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴、、、，‎ 面AFE的一个法向量为，设面AME的一个法向量为，、，‎ 由，即，令，则，，‎ ‎∴，∴，，‎ 二面角为.‎ ‎【点睛】本题考查了线面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ - 22 -‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有两个不同极值点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，求证：对任意，恒成立.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时,求导数，将切点横坐标带入导数得到斜率，再计算切线方程.‎ ‎（2）求导，取导数为0，参数分离得到，设右边为新函数，求出其单调性，求得取值范围得到答案.‎ ‎（3）将导函数代入不等式，化简得到，设左边为新函数，根据单调性得到函数最值，得到证明.‎ ‎【详解】（1）当时，．‎ ‎∴ ‎ ‎∴，又∵ ‎ ‎∴，即 ‎ ‎∴函 数 在点处的切线方程为． ‎ ‎（2）由题意知，函数的定义域为， ，‎ 令，可得，‎ 当时，方程仅有一解，∴，‎ ‎∴ ‎ 令 则由题可知直线与函数的图像有两个不同的交点．‎ - 22 -‎ ‎∵‎ ‎∴当时，，为单调递减函数；‎ 当时，，为单调递增函数．‎ 又∵，，且当时，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴实数的取值范围为． ‎ ‎（3）∵‎ ‎∴要证对任意，恒成立 即证成立 即证成立 设 ‎∴‎ ‎∵时，易知在上为减函数 ‎∴‎ ‎∴在上为减函数 ‎∴ ‎ ‎∴成立 即对任意，恒成立．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的导数，切线方程，极值点，参数分离法，恒成立问题，综合性强，计算量大，意在考查学生解决问题的能力.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程 - 22 -‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）将，的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线？‎ ‎（2）以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为．若上的点对应的参数为，点在上，点为的中点，求点到直线距离的最小值．‎ ‎【答案】（1）表示以为圆心，1为半径的圆，表示焦点在轴上的椭圆；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）分别将曲线、的参数方程利用平方法消去参数，即可得到，的方程化为普通方程，进而得到它们分别表示什么曲线；（2），利用点到直线距离公式可得到直线的距离，利用辅助角公式以及三角函数的有界性可得结果.‎ 试题解析：（1）的普通方程为，它表示以为圆心，1为半径的圆，‎ 的普通方程为，它表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆．‎ ‎（2）由已知得，设，则，‎ 直线：，‎ 点到直线的距离，‎ - 22 -‎ 所以，即到的距离的最小值为．‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.若关于的不等式在实数范围内有解.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若实数的最大值为，且正实数满足，求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）不等式在实数范围内有解，也即是成立，求出最大值即可；‎ ‎（Ⅱ）先由（Ⅰ）得到，因此，展开之后结合基本不等式即可证明结论成立；也可利用柯西不等式来证明.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）因所以 又因为 所以 ‎（Ⅱ）由（1）可知，,则 方法一：‎ - 22 -‎ ‎ ‎ ‎ 方法二：利用柯西不等式 ‎【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，以及不等式的证明，常用到基本不等式或柯西不等式等，需要考生灵活运用各类结论，属于常考题型.‎ - 22 -‎ - 22 -‎