人教版高三数学总复习课时作业26
课时作业26 三角函数高考热点追踪
一、选择题
1．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin2x过原点．当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过原点”的充分不必要条件．
答案：A
2．已知向量a＝(2，sinx)，b＝(cos2x,2cosx)，则函数f(x)＝a·b的最小正周期是( )
A. B．π
C．2π D．4π
解析：f(x)＝2cos2x＋2sinxcosx＝1＋cos2x＋sin2x
＝1＋sin，T＝＝π.
答案：B
3．若tanα＋＝，α∈(，)，则sin(2α＋)的值为( )
A．－ B.
C. D.
解析：由tanα＋＝得＋＝
∴＝，∴sin2α＝.
∵α∈(，)，∴2α∈(，π)，∴cos2α＝－.
∴sin(2α＋)＝sin2αcos＋cos2αsin
＝×(－)＝－.
答案：A
4．若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x<，则f(x)的最大值为( )
A．1 B．2
C.＋1 D.＋2
解析：依题意，得f(x)＝cosx＋sinx＝2sin(x＋)，
当0≤x<时，≤x＋<，
f(x)的最大值是2.
答案：B
5．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知b2＝c(b＋2c)，若a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于( )
A. B.
C. D．3
解析：∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0，
即(b＋c)·(b－2c)＝0，∴b＝2c.
又a＝，cosA＝＝，
解得c＝2，b＝4.
∴S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝.
答案：C
6．已知A，B，C，D是函数y＝sin(ωx＋φ)一个周期内的图象上的四个点，如图所示，A，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为( )
A．2， B.，
C．2， D.，
解析：
由在x轴上的投影为，知OF＝，
又A，所以AF＝＝＝，所以ω＝2.同时函数图象可以看成是由y＝sin2x的图象向左平移而来，故可知＝＝，故φ＝.
答案：A
二、填空题
7．(2014·山东卷)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为______．
解析：原式＝sin2x＋＝sin＋.
∴周期T＝＝π.
答案：π
8．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝________.
解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，
则a＝，c＝2a－b＝
cosC＝＝－，又0
0时，cos＝，y取得最大值为a＋3，
∴a＋3＝4，∴a＝2.
当a<0时，cos＝－1，y取得最大值为－a＋3，
∴－a＋3＝4，∴a＝－1.
综上可知，实数a的值为2或－1.
答案：2或－1
三、解答题
10．(2014·北京卷)如右图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
解：(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.
所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)
＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB
＝×－×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝＝＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB
＝82＋52－2×8×5×＝49.
所以AC＝7.
11．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanA·tanB－(tanA＋tanB)＝，且c＝.
(1)求角C的大小；
(2)求△ABC周长的取值范围．
解：(1)由tanA·tanB－(tanA＋tanB)＝，
得tanA·tanB－＝tanA＋tanB，
所以tan(A＋B)＝＝－.
在△ABC中，A＋B＝，所以C＝.
(2)由c＝及正弦定理，得＝＝＝2，可得a＝2sinA，b＝2sinB，
所以a＋b＋c＝2(sinA＋sinB)＋＝2[sinA＋sin(－A)]＋＝cosA＋3sinA＋＝2sin(A＋)＋.
因为00)的一段图象如图所示，△ABC的顶点A与坐标原点O重合，B是f(x)的图象上一个最低点，C在x轴上，若内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，且△ABC的面积S满足12S＝b2＋c2－a2，将f(x)的图象向左平移一个单位得到g(x)的图象，则g(x)的表达式为( )
A．g(x)＝cosx B．g(x)＝－cosx
C．g(x)＝sin D．g(x)＝sin
解析：
自点B向x轴作垂线，D为垂足．
由已知，12S＝b2＋c2－a2，
即12×bcsin∠BAC＝b2＋c2－a2，
∴3sin∠BAC＝＝cos∠BAC，
∴tan∠BAC＝.
∴AD＝3，即T＝3，T＝4，＝4，ω＝，
f(x)＝sinx.
将f(x)的图象向左平移一个单位得到g(x)＝sin(x＋1)的图象，即g(x)＝cosx，故选A.
答案：A
3．如图所示，某电力公司为保护一墙角处的电塔，计划利用墙OA，OB，再修建一长度为AB的围栏，围栏的造价与AB的长度成正比．现已知墙角AOB的度数为120°，当△AOB的面积为时，就可起到保护作用．则当围栏的造价最低时， ∠ABO＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：只要AB的长度最小，围栏的造价就最低．设OA＝a，OB＝b，则由余弦定理得AB2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab≥2ab＋ab＝3ab(当且仅当a＝b时取等号)，又S△AOB＝absin120°＝，所以ab＝4.故AB2≥12，即AB的最小值为2.由a＝b及3ab＝12，得a＝b
＝2.由正弦定理得sin∠ABO＝＝×＝.故∠ABO＝30°，故选A.
答案：A
4．将函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图象向右平移个单位长度后得到g(x)的图象，已知g(x)的部分图象如图所示，该图象与y轴相交于点F(0,1)，与x轴相交于点P，Q，点M为最高点，且△MPQ的面积为.
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，g(A)＝1，且b＝，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意可知g(x)＝2sin.
由于S△MPQ＝·2·|PQ|＝，
则|PQ|＝＝，∴T＝π，即ω＝2.
又由于g(0)＝2sin＝1，
且－<φ－<，则φ－＝，∴φ＝.
即g(x)＝2sin＝2sin.
(2)g(A)＝2sin＝1,2A＋∈，则2A＋＝，∴A＝.
由余弦定理得b2＋c2－2bccosA＝a2＝5，
∴5＝b2＋c2－bc≥bc.
∴S△ABC＝bcsinA≤，当且仅当b＝c＝时，等号成立，故S△ABC的最大值为.
