高考数学第一轮复习经典习题集(含答案)+高考数学复习测试题，精品5套+概率
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高考数学第一轮复习
经典习题集(含答案)+高考数学复习测试题，精品 5 套+概率
高考第一轮复习
文科数学习题集（含答案）
目 录
第 一 章 集 合 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1
第 一 节 集 合 的 含 义 、 表 示 及 基 本 关 系 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1
第 二 节 集 合 的 基 本 运 算 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3
第 二 章 函 数 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5
第 一 节 对 函 数 的 进 一 步 认 识 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5
第 二 节 函 数 的 单 调 性 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 9
第 三 节 函 数 的 性 质 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 3
第 三 章 指 数 函 数 和 对 数 函 数 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 6
第 一 节 指 数 函 数 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 6
第 二 节 对 数 函 数 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 0
第 三 节 幂 函 数 与 二 次 函 数 的 性 质 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 4
第 四 节 函 数 的 图 象 特 征 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 2 8
第 四 章 函 数 的 应 用 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 2
第 五 章 三 角 函 数 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 3
第 一 节 角 的 概 念 的 推 广 及 弧 度 制 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 3
第 二 节 正 弦 函 数 和 余 弦 函 数 的 定 义 及 诱 导 公 式 … … … … … … … … … … … … … … … 3 9
第 三 节 正 弦 函 数 与 余 弦 函 数 的 图 象 及 性 质 … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 2
第 四 节 函 数 ( ) sin( )f x A xw j= + 的 图 象 … … … … … … … … … … … … … … … … … 4 5
第 六 章 三 角 恒 等 变 换 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 0
第 一 节 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 0
第 二 节 两 角 和 与 差 及 二 倍 角 的 三 角 函 数 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 3
第 七 章 解 三 角 形 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 6
第 一 节 正 弦 定 理 与 余 弦 定 理 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 6
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第 二 节 正 弦 定 理 、 余 弦 定 理 的 应 用 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 5 9
第 八 章 数 列 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 6 0
第 九 章 平 面 向 量 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 6 2
第 十 章 算 法 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 6 5
第 一 节 程 序 框 图 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 6 5
第 二 节 程 序 语 句 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 6 9
第 十 一 章 概 率 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 7 3
第 一 节 古 典 概 型 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 7 3
第 二 节 概 率 的 应 用 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 7 5
第 三 节 几 何 概 型 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 7 9
第 十 二 章 导 数 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 3
第 十 三 章 不 等 式 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 5
第 十 四 章 立 体 几 何 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 8
第 一 节 简 单 几 何 体 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 8 8
第 二 节 空 间 图 形 的 基 本 关 系 与 公 理 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 9 2
第 三 节 平 行 关 系 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 9 6
第 四 节 垂 直 关 系 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 0 0
第 五 节 简 单 几 何 体 的 面 积 与 体 积 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 0 4
第 十 五 章 解 析 几 何 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 0 8
第 一 节 直 线 的 倾 斜 角 、 斜 率 与 方 程 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 0 8
第 二 节 点 与 直 线 、 直 线 与 直 线 的 位 置 关 系 … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 1 1
第 三 节 圆 的 标 准 方 程 与 一 般 方 程 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 1 4
第 四 节 直 线 与 圆 、 圆 与 圆 的 位 置 关 系 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 1 7
第 五 节 空 间 直 角 坐 标 系 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 2 1
第 十 六 章 圆 锥 曲 线 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1 2 3
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第一章 集合
第一节 集合的含义、表示及基本关系
A 组
1．已知 A＝{1，2}，B＝{ }|x x AÎ ，则集合 A 与 B 的关系为________．
解析：由集合 B＝{ }|x x AÎ 知，B＝{1，2}．答案：A＝B
2．若 { }2 ,| a a Rx xÆ Ø ，则实数 a 的取值范围是________．
解析：由题意知， 2x a£ 有解，故 0a ³ ．答案： 0a ³
3．已知集合 A＝ { }2| 2 1,y y x x x R= - - Î ，集合 B＝ { }| 2 8x x- ，则集合 A 与 B 的关系是
________．
解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A．
答案：B A
4．(2009 年高考广东卷改编)已知全集 U＝R，则正确表示集合 M＝{－1，0，1}和 N＝{ }2| 0x x x+ = 关
系的韦恩(Venn)图是________．
解析：由 N={ }2| 0x x x+ = ，得 N={-1，0}，则 N M．答案：②
5．(2010 年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合 A＝{ }| 5x x > ，集合 B＝{ }|x x a> ，若命题“x∈A”是
命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是________．
解析：命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件，∴A B，∴a<5．
答案：a<5
6．(原创题)已知 m∈A，n∈B，且集合 A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又 C＝{x|x＝4a＋1，
a∈Z}，判断 m＋n 属于哪一个集合？
解：∵m∈A，∴设 m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设 n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而
a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B．
B 组
1．设 a，b 都是非零实数，y＝ a
|a|
＋ b
|b|
＋ ab
|ab|
可能取的值组成的集合是________．
解析：分四种情况：(1)a>0 且 b>0；(2)a>0 且 b<0；(3)a<0 且 b>0；(4)a<0 且 b<0，讨论得 y＝3 或 y
＝－1．答案：{3，－1}
2．已知集合 A＝{－1，3，2m－1}，集合 B＝{3，m2}．若 B⊆A，则实数 m＝________．
解析：∵B⊆A，显然 m2≠－1 且 m2≠3，故 m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1．
答案：1
3．设 P，Q 为两个非空实数集合，定义集合 P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若 P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，
6}，则 P＋Q 中元素的个数是________个．
解析：依次分别取 a＝0，2，5；b＝1，2，6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1，
2，6，3，4，8，7，11}．答案：8
4．已知集合 M＝{x|x2＝1}，集合 N＝{x|ax＝1}，若 N M，那么 a 的值是________．
5
解析：M＝{x|x＝1 或 x＝－1}，N M，所以 N＝∅时，a＝0；当 a≠0 时，x＝1
a
＝1 或－1，∴a＝1 或
－1．答案：0，1，－1
5．满足{1} A⊆{1，2，3}的集合 A 的个数是________个．
解析：A 中一定有元素 1，所以 A 有{1，2}，{1，3}，{1，2，3}．答案：3
6．已知集合 A＝{x|x＝a＋1
6
，a∈Z}，B＝{x|x＝b
2
－1
3
，b∈Z}，C＝{x|x＝c
2
＋1
6
，c∈Z}，则 A、B、C 之间
的关系是________．
解析：用列举法寻找规律．答案：A B＝C
7．集合 A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x
5”的________．
解析：结合数轴若 A⊆B⇔a≥4，故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件
8．(2010 年江苏启东模拟)设集合 M＝{m|m＝2n，n∈N，且 m<500}，则 M 中所有元素的和为________．
解析：∵2n<500，∴n＝0，1，2，3，4，5，6，7，8．∴M 中所有元素的和 S＝1＋2＋22＋…＋28＝511．答
案：511
9．(2009 年高考北京卷)设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k∈A，如果 k－1∉A，且 k＋1∉A，那么称 k
是 A 的一个“孤立元”．给定 S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含
“孤立元”的集合共有________个．
解析：依题可知，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三
个数．故这样的集合共有 6 个．答案：6
10．已知 A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，且 A＝B，试求 x，y 的值．
解：由 lg(xy)知，xy>0，故 x≠0，xy≠0，于是由 A＝B 得 lg(xy)＝0，xy＝1．
∴A＝{x，1，0}，B＝{0，|x|，1
x}．
于是必有|x|＝1，1
x
＝x≠1，故 x＝－1，从而 y＝－1．
11．已知集合 A＝{x|x2－3x－10≤0}，
(1)若 B⊆A，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，求实数 m 的取值范围；
(2)若 A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数 m 的取值范围；
(3)若 A＝B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数 m 的取值范围．
解：由 A＝{x|x2－3x－10≤0}，得 A＝{x|－2≤x≤5}，
(1)∵B⊆A，∴①若 B＝∅，则 m＋1>2m－1，即 m<2，此时满足 B⊆A．
②若 B≠∅，则
m＋1≤2m－1，
－2≤m＋1，
2m－1≤5.
解得 2≤m≤3．
由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]．
(2)若 A⊆B，则依题意应有
2m－1>m－6，
m－6≤－2，
2m－1≥5.
解得
m>－5，
m≤4，
m≥3.
故 3≤m≤4，
∴m 的取值范围是[3，4]．
(3)若 A＝B，则必有 m－6＝－2，
2m－1＝5，
解得 m∈∅．，即不存在 m 值使得 A＝B．
12．已知集合 A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|x2－(a＋1)x＋a≤0}．
(1)若 A 是 B 的真子集，求 a 的取值范围；
(2)若 B 是 A 的子集，求 a 的取值范围；
(3)若 A＝B，求 a 的取值范围．
解：由 x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得 1≤x≤2，故 A＝{x|1≤x≤2}，
而集合 B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，
(1)若 A 是 B 的真子集，即 A B，则此时 B＝{x|1≤x ≤ a}，故 a>2．
(2)若 B 是 A 的子集，即 B⊆A，由数轴可知 1≤a≤2．
6
(3)若 A=B，则必有 a=2
第二节 集合的基本运算
A 组
1．(2009 年高考浙江卷改编)设 U＝R，A＝{ }| 0x x > ，B＝{ }| 1x x > ，则 A∩∁UB＝____．
解析：∁UB＝{x|x≤1}，∴A∩∁UB＝{x|01}，集合 B＝ {x|m≤x≤m
＋3}．
(1)当 m＝－1 时，求 A∩B，A∪B；
(2)若 B⊆A，求 m 的取值范围．
解：(1)当 1m = - 时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1 ，即 m 的取值范围为(1，＋∞)
B 组
1．若集合 M＝{x∈R|－33}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0}
4．集合 A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若 A∩B＝{2}，则 A∪B＝________．
解析：由 A∩B＝{2}得 log2a＝2，∴a＝4，从而 b＝2，∴A∪B＝{2，3，4}．
答案：{2，3，4}
5．(2009 年高考江西卷改编)已知全集 U＝A∪B 中有 m 个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有 n 个元素．若 A∩B 非空，
则 A∩B 的元素个数为________．
解析：U＝A∪B 中有 m 个元素，
∵(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B)中有 n 个元素，∴A∩B 中有 m－n 个元 素．答案：m
－n
7
6．(2009 年高考重庆卷)设 U＝{n|n 是小于 9 的正整数}，A＝{n∈U|n 是奇数}，B＝{n∈U|n 是 3 的倍数}，
则∁U(A∪B)＝________．
解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5，7}，B＝{3，6}，∴A∪B＝{1，3，5，6，7}，
得∁U(A∪B)＝{2，4，8}．答案：{2，4，8}
7．定义 A⊗B＝{z|z＝xy＋x
y
，x∈A，y∈B}．设集合 A＝{0，2}，B＝{1，2}，C＝{1}，则集合(A⊗B)⊗C 的所
有元素之和为________．
解析：由题意可求(A⊗B)中所含的元素有 0，4，5，则(A⊗B)⊗C 中所含的元素有 0，8，10，故所有元素
之和为 18．答案：18
8．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0 且 x－2y＋4＝0} {(x，y)|y＝3x＋b}，则 b＝________．
解析：由 x＋y－2＝0，
x－2y＋4＝0.
⇒ x＝0，
y＝2.
点(0，2)在 y＝3x＋b 上，∴b＝2．
9．设全集 I＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{2，|a＋1|}，∁IA＝{5}，M＝{x|x＝log2|a|}，则集合 M 的所有子集是
________．
解析：∵A∪(∁IA)＝I，∴{2，3，a2＋2a－3}＝{2，5，|a＋1|}，∴|a＋1|＝3，且 a2＋2a－3＝5，解得 a
＝－4 或 a＝2，∴M＝{log22，log2|－4|}＝{1，2}．
答案：∅，{1}，{2}，{1，2}
10．设集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}．
(1)若 A∩B＝{2}，求实数 a 的值；
(2)若 A∪B＝A，求实数 a 的取值范围．
解：由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2，故集合 A＝{1，2}．
(1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，代入 B 中的方程，得 a2＋4a＋3＝0⇒a＝－1 或 a＝－3；当 a＝－1 时，B
＝{x|x2－4＝0}＝{－2，2}，满足条件；当 a＝－3 时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的
值为－1 或－3．
(2)对于集合 B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)．∵A∪B＝A，∴B⊆A，
①当Δ<0，即 a<－3 时，B＝∅满足条件；②当Δ＝0，即 a＝－3 时，B＝{2}满足条件；③当Δ>0，即
a>－3 时，B＝A＝{1，2}才能满足条件，则由根与系数的关系得
1＋2＝－2(a＋1)
1×2＝a2－5
⇒
a＝－5
2
，
a2＝7，
矛盾．综上，a 的取值范围是 a≤－3．
11．已知函数 f(x)＝ 6
x＋1
－1的定义域为集合 A，函数 g(x)＝lg(－x2＋2x＋m)的定义域为集合 B．
(1)当 m＝3 时，求 A∩(∁RB)；
(2)若 A∩B＝{x|－19
8
．
综上可知，若 A＝∅，则 a 的取值范围应为 a>9
8
．
8
(2)当 a＝0 时，方程 ax2－3x＋2＝0 只有一根 x＝2
3
，A＝{2
3}符合题意．
当 a≠0 时，则Δ＝9－8a＝0，即 a＝9
8
时，
方程有两个相等的实数根 x＝4
3
，则 A＝{4
3}．
综上可知，当 a＝0 时，A＝{2
3}；当 a＝9
8
时，A＝{4
3}．
(3)当 a＝0 时，A＝{2
3}≠∅．当 a≠0 时，要使方程有实数根，
则Δ＝9－8a≥0，即 a≤9
8
．
综上可知，a 的取值范围是 a≤9
8
，即 M＝{a∈R|A≠∅}＝{a|a≤9
8}
第二章 函数
第一节 对函数的进一步认识
A 组
1．(2009 年高考江西卷改编)函数 y＝ －x2－3x＋4
x
的定义域为________．
解析：
－x2－3x＋4≥0，
x≠0，
⇒x∈[－4，0)∪(0，1] ．答案：[－4，0)∪(0，1]
2．(2010 年绍兴第一次质检)如图，函数 f(x)的图象是曲线段 OAB，其中点 O，A，B 的坐标分别为(0，0)，
(1，2)，(3，1)，则 f( 1
f(3))的值等于________．
解析：由图象知 f(3)＝1，f( 1
f(3))＝f(1)＝2．答案：2
3．(2009 年高考北京卷)已知函数 f(x)＝ 3x，x≤1，
－x，x>1.
若 f(x)＝2，则 x ＝
________．
解析：依题意得 x≤1 时，3x＝2，∴x＝log32；
当 x>1 时，－x＝2，x＝－2(舍去)．故 x＝log32．答案：log32
4．(2010 年黄冈市高三质检)函数 f：{1， 2}→{1， 2}满足 f[f(x)]>1 的这样的函数个数有________个．
解析：如图．答案：1
5．(原创题)由等式 x3＋a1x2＋a2x＋a3＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3 定义一个映射
f(a1，a2，a3)＝(b1，b2，b3)，则 f(2，1，－1)＝________．
解析：由题意知 x3＋2x2＋x－1＝(x＋1)3＋b1(x＋1)2＋b2(x＋1)＋b3，
令 x＝－1 得：－1＝b3；
再令 x＝0 与 x＝1 得
－1＝1＋b1＋b2＋b3
3＝8＋4b1＋2b2＋b3
，
解得 b1＝－1，b2＝0．
答案：(－1，0，－1)
6．已知函数 f(x)＝
1＋1
x (x>1)，
x2＋1 (－1≤x≤1)，
2x＋3 (x<－1).
(1)求 f(1－ 1
2－1
)，f{f[f(－2)]}的值；(2)求 f(3x－1)；(3)若 f(a)
9
＝3
2
， 求 a．
解：f(x)为分段函数，应分段求解．
(1)∵1－ 1
2－1
＝1－( 2＋1)＝－ 2<－1，∴f(－ 2)＝－2 2＋3，
又∵f(－2)＝－1，f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f{f[f(－2)]}＝1＋1
2
＝3
2
．
(2)若 3x－1>1，即 x>2
3
，f(3x－1)＝1＋ 1
3x－1
＝ 3x
3x－1
；
若－1≤3x－1≤1，即 0≤x≤3
2
，f(3x－1)＝(3x－1)2＋1＝9x2－6x＋2；
若 3x－1<－1，即 x<0，f(3x－1)＝2(3x－1)＋3＝6x＋1．
∴f(3x－1)＝
3x
3x－1
(x>2
3)，
9x2－6x＋2 (0≤x≤2
3)，
6x＋1 (x<0).
(3)∵f(a)＝3
2
，∴a>1 或－1≤a≤1．
当 a>1 时，有 1＋1
a
＝3
2
，∴a＝2；
当－1≤a≤1 时，a2＋1＝3
2
，∴a＝± 2
2
．
∴a＝2 或± 2
2
．
B 组
1．(2010 年广东江门质检)函数 y＝ 1
3x－2
＋lg(2x－1)的定义域是________．
解析：由 3x－2>0，2x－1>0，得 x>2
3
．答案：{x|x>2
3}
2．(2010 年山东枣庄模拟)函数 f(x)＝
－2x＋1，(x<－1)，
－3，(－1≤x≤2)，
2x－1，(x>2)，
则 f(f(f(3
2)＋5))＝_．
解析：∵－1≤3
2
≤2，∴f(3
2)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f(2)＝－3，
∴f(－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7．答案：7
3．定义在区间(－1，1)上的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，则 f(x)的解析式为________．
解析：∵对任意的 x∈(－1，1)，有－x∈(－1，1)，
由 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，①
由 2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)，②
①×2＋②消去 f(－x)，得 3f(x)＝2lg(x＋1)＋lg(－x＋1)，
∴f(x)＝2
3lg(x＋1)＋1
3lg(1－x)，(－1f(1)的解集是________．
解析：由已知，函数先增后减再增，当 x≥0，f(x)>f(1)＝3 时，令 f(x)＝3，
解得 x＝1，x＝3．故 f(x)>f(1)的解集为 0≤x<1 或 x>3．
当 x<0，x＋6＝3 时，x＝－3，故 f(x)>f(1)＝3，解得－33．
综上，f(x)>f(1)的解集为{x|－33}．答案：{x|－33}
8．(2009 年高考山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)＝ log2(4－x)， x≤0，
f(x－1)－f(x－2)， x＞0，
则 f(3)的值为________．
解析：∵f(3)＝f(2)－f(1)，又 f(2)＝f(1)－f(0)，∴f(3)＝－f(0)，∵f(0)＝log24＝2，∴f(3)＝－2．答案：
－2
9．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5 分钟内只进水，不
出水，在随后的 15 分钟内既进水，又出水，得到时间 x 与容器中的水量 y 之间关系如图．再随后，只放水
不进水，水放完为止，则这段时间内(即 x≥20)，y 与 x 之间函数的函数关系是________．
解析：设进水速度为 a1 升/分钟，出水速度
为 a2 升/分钟，则由题意得 5a1＝20
5a1＋15(a1－a2)＝35
，
得 a1＝4
a2＝3
，则 y＝35－3(x－20)，得 y＝－3x＋95，
又因为水放完为止，所以时间为 x≤95
3
，又知 x≥20，故解析式为 y＝－3x＋95(20≤x≤95
3 )．答案：y
＝－3x＋95(20≤x≤95
3 )
10．函数 ( ) ( ) ( )2 21 3 1 6f x a x a x= - + - + ．
(1)若 ( )f x 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围；
(2)若 ( )f x 的定义域为[－2，1]，求实数 a 的值．
解：(1)①若 1－a2＝0，即 a＝±1，
11
(ⅰ)若 a＝1 时，f(x)＝ 6，定义域为 R，符合题意；
(ⅱ)当 a＝－1 时，f(x)＝ 6x＋6，定义域为[－1，＋∞)，不合题意．
②若 1－a2≠0，则 g(x)＝(1－a2)x2＋3(1－a)x＋6 为二次函数．
由题意知 g(x)≥0 对 x∈R 恒成立，
∴ 1－a2>0，
Δ≤0，
∴
－10
∴
a<－1 或 a>1，
a＝2，
a＝±2.
a<－ 5
11
或 a>1
∴a＝2．
11 ． 已 知 ( ) ( )( )2f x f x x R+ = Î ， 并 且 当 x ∈[ － 1 ， 1] 时 ， ( ) 2 1f x x=- + ， 求 当
[ ]( )2 1,2 1x k k k ZÎ - + Î 时、 ( )f x 的解析式．
解：由 f(x＋2)＝f(x)，可推知 f(x)是以 2 为周期的周期函数．当 x∈[2k－1，2k＋1]时，2k－1≤x≤2k
＋1，－1≤x－2k≤1．∴f(x－2k)＝－(x－2k)2＋1．
又 f(x)＝f(x－2)＝f(x－4)＝…＝f(x－2k)，
∴f(x)＝－(x－2k)2＋1，x∈[2k－1，2k＋1]，k∈Z．
12．在 2008 年 11 月 4 日珠海航展上，中国自主研制的 ARJ 21 支线客机备受关注，接到了包括美国在内
的多国订单．某工厂有 216 名工人接受了生产 1000 件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由 4
个 C 型装置和 3 个 H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工 6 个 C 型装置或 3 个 H 型装置．现将工人
分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工 C 型装置的工人有 x 位，他们加工完 C 型装置所
需时间为 g(x)，其余工人加工完 H 型装置所需时间为 h(x)．(单位：h，时间可不为整数)
(1)写出 g(x)，h(x)的解析式；
(2)写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式；
(3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？
解：(1)g(x)＝2000
3x (0 ”的是________．
①f(x)＝1
x
②f(x)＝(x－1)2 ③f(x)＝ex ④f(x)＝ln(x＋1)
12
解析：∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)， ∴f(x)在(0，＋
∞)上为减函数．答案：①
2．函数 f(x)(x∈R)的图象如右图所示，则函数 g(x)＝f(logax)(00 时，f(x)＝ex＋a
ex
，则满足 f′(x)＝ex－a
ex
≥0 在 x∈[0，1]上恒成立．只需满足 a≤(e2x)min 成
立即可，故 a≤1，综上－1≤a≤1．
答案：－1≤a≤1
5．(原创题)如果对于函数 f(x)定义域内任意的 x，都有 f(x)≥M(M 为常数)，称 M 为 f(x)的下界，下界 M 中
的最大值叫做 f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．
①f(x)＝sinx；②f(x)＝lgx；③f(x)＝ex；④f(x)＝
1 (x>0)
0 (x＝0)
－1 (x<－1)
解析：∵sinx≥－1，∴f(x)＝sinx 的下确界为－1，即 f(x)＝sinx 是有下确界的函数；∵f(x)＝lgx 的值域
为(－∞，＋∞)，∴f(x)＝lgx 没有下确界；∴f(x)＝ex 的值域为(0，＋∞)，∴f(x)＝ex 的下确界为 0，即 f(x)
＝ex 是有下确界的函数；
∵f(x)＝
1 (x>0)
0 (x＝0)
－1 (x<－1)
的下确界为－1．∴f(x)＝
1 (x>0)
0 (x＝0)
－1 (x<－1)
是有下确界的函数．答案：①③④
6．已知函数 ( ) 2f x x= ， ( ) 1g x x= - ．
(1)若存在 x∈R 使 ( ) ( )f x b g x< × ，求实数b 的取值范围；
(2)设 ( ) ( ) ( ) 21F x f x mg x m m= - + - - 2，且 ( )F x 在[0，1]上单调递增，求实数 m 的取值范围．
解：(1) x∈R，f(x)0 b<0 或 b>4．(2)F(x)＝x2－mx＋1
－m2，Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4，
①当Δ≤0 即－2 5
5
≤m≤2 5
5
时，则必需
13
m
2
≤0
－2 5
5
≤m≤2 5
5
－2 5
5
≤m≤0．
②当Δ>0 即 m<－2 5
5
或 m>2 5
5
时，设方程 F(x)＝0 的根为 x1，x2(x10．
∴
a
2
≤2，
4－2a＋3a>0，
∴－40)在(3
4
，＋∞)上是单调增函数，则实数 a 的取值范围__．
解析：∵f(x)＝x＋a
x(a>0)在( a，＋∞)上为增函数，∴ a≤3
4
，00，a≠1)在区间(0，1
2)内恒有 f(x)>0，则 f(x)的单调递增区间为__________．
解析：令μ＝2x2＋x，当 x∈(0，1
2)时，μ∈(0，1)，而此时 f(x)>0 恒成立，∴00，即 x>0 或 x<－1
2
．∴f(x)的单调递增区
间为(－∞，－1
2)．答案：(－∞，－1
2)
10．试讨论函数 y＝2(log1
2x)2－2log1
2x＋1 的单调性．
解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令 u＝g(x)＝log1
2x，y＝f(u)＝2u2－2u＋1，那么原函数 y＝f[g(x)]
是由 g(x)与 f(u)复合而成的复合函数，而 u＝log1
2x 在 x∈(0，＋∞)内是减函数，y＝2u2－2u＋1＝2(u－1
2)2
＋1
2
在 u∈(－∞，1
2)上是减函数，在 u∈(1
2
，＋∞)上是增函数．又 u≤1
2
，即 log1
2x≤1
2
，得 x≥ 2
2
；u>1
2
，得
01 时，f(x)<0．
(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的单调性；(3)若 f(3)＝－1，解不等式 f(|x|)<－2．
解：(1)令 x1＝x2>0，代入得 f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，故 f(1)＝0．
(2)任取 x1，x2∈(0，＋∞)，且 x1>x2，则x1
x2
>1，由于当 x>1 时，f(x)<0，
所以 f(x1
x2
)<0，即 f(x1)－f(x2)<0，因此 f(x1)9，∴x>9 或 x<－9．因此不等式的解集为{x|x>9 或 x<－9}．
12．已知：f(x)＝log3
x2＋ax＋b
x
，x∈(0，＋∞)，是否存在实数 a，b，使 f(x)同时满足下列三个条件：(1)在(0，
1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f(x)的最小值是 1．若存在，求出 a、b；若不存在，说明理
由．
解：∵f(x)在(0，1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x＝1 时，f(x)最小，log3
1＋a＋b
1
＝1．即 a
＋b＝2．
设 0＜x1＜x2≤1，则 f(x1)＞f(x2)．即x12＋ax1＋b
x1
＞x22＋ax2＋b
x2
恒成立．
由此得(x1－x2)(x1x2－b)
x1x2
＞0 恒成立．
又∵x1－x2＜0，x1x2＞0，∴x1x2－b＜0 恒成立，∴b≥1．
设 1≤x3＜x4，则 f(x3)＜f(x4)恒成立．∴(x3－x4)(x3x4－b)
x3x4
＜0 恒成立．
∵x3－x4＜0，x3x4＞0，∴x3x4＞b 恒成立．∴b≤1．由 b≥1 且 b≤1 可知 b＝1，∴a＝1．∴存在 a、b，
使 f(x)同时满足三个条件．
第三节 函数的性质
A 组
1．设偶函数 f(x)＝loga|x－b|在(－∞，0)上单调递增，则 f(a＋1)与 f(b＋2)的大小关系为________．
解析：由 f(x)为偶函数，知 b＝0，∴f(x)＝loga|x|，又 f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以 0f(b＋2)．答案：f(a＋1)>f(b＋2)
2．(2010 年广东三校模拟)定义在 R 上的函数 f(x)既是奇函数又是以 2 为周期的周期函数，则 f(1)＋f(4)＋f(7)
等于________．
解析：f(x)为奇函数，且 x∈R，所以 f(0)＝0，由周期为 2 可知，f(4)＝0，f(7)＝f(1)，又由 f(x＋2)＝f(x)，
16
令 x＝－1 得 f(1)＝f(－1)＝－f(1)⇒f(1)＝0，所以 f(1)＋f(4)＋f(7)＝0．答案：0
3．(2009 年高考山东卷改编)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函
数，则 f(－25)、f(11)、f(80)的大小关系为________．
解析：因为 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，所以 f(x－8)＝f(x)，所以函数是以 8 为周期的周期函数，则 f(－
25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)，又因为 f(x)在 R 上是奇函数，f(0)＝0，得 f(80)＝f(0)＝0，f(－25)＝f(－
1)＝－f(1)，而由 f(x－4)＝－f(x)得 f(11)＝f(3)＝－f(－3)＝－f(1－4)＝f(1)，又因为 f(x)在区间[0，2]上是增
函数，所以 f(1)>f(0)＝0，所以－f(1)<0，即 f(－25)0)，由 f(1)＋f(4)＝0，得 a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5
＝0，∴a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．
(3)∵y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)＝0，又知 y＝f(x)在[0，1]上是一次函数，∴可设 f(x)＝
kx(0≤x≤1)，而 f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k＝－3，∴当 0≤x≤1 时，f(x)＝－3x，从而当－1≤x<0 时，
f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1 时，f(x)＝－3x．∴当 4≤x≤6 时，有－1≤x－5≤1，∴f(x)＝f(x－5)＝
－3(x－5)＝－3x＋15．当 60，若 f(－1)＝0，那么
关于 x 的不等式 xf(x)<0 的解集是________．
解析：在(0，＋∞)上有 f′(x)>0，则在(0，＋∞)上 f(x)是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又 f(x)在 R
上是偶函数，且 f(－1)＝0，∴f(1)＝0．从而可知 x∈(－∞，－1)时，f(x)>0；x∈(－1，0)时，f(x)<0；x∈(0，
1)时，f(x)<0；x∈(1，＋∞)时，f(x)>0．∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，1)答案：(－∞，－1)∪(0，1)．
5．(2009 年高考江西卷改编)已知函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于 x≥0，都有 f(x＋2)＝f(x)，
且当 x∈[0，2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则 f(－2009)＋f(2010)的值为________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－2009)＝f(2009)．∵f(x)在 x≥0 时 f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)周期为 2．∴f(－2009)
＋f(2010)＝f(2009)＋f(2010)＝f(1)＋f(0)＝log22＋log21＝0＋1＝1．答案：1
6．(2010 年江苏苏州模拟)已知函数 f(x)是偶函数，并且对于定义域内任意的 x，满足 f(x＋2)＝－ 1
f(x)
，若当
2a，且|x1－a|<|x2－a|时，则 f(2a－x1)与 f(x2)的大小关系为________．
解析：∵y＝f(x＋a)为偶函数，∴y＝f(x＋a)的图象关于 y 轴对称，∴y＝f(x)的图象关于 x＝a 对称．又
∵f(x)在(－∞，a]上是增函数，∴f(x)在[a，＋∞)上是减函数．当 x1a，且|x1－a|<|x2－a|时，有 a－
x1f(x2)．答案：f(2a－x1)>f(x2)
8．已知函数 f(x)为 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x(x＋1)．若 f(a)＝－2，则实数 a＝________．
解析：当 x≥0 时，f(x)＝x(x＋1)>0，由 f(x)为奇函数知 x<0 时，f(x)<0，∴a<0，f(－a)＝2，∴－a(－a
＋1)＝2，∴a＝2(舍)或 a＝－1．答案：－1
9．(2009 年高考山东卷)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若
方程 f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，则 x1＋x2＋x3＋x4＝________．
解析：因为定义在 R 上的奇函数，满足 f(x－4)＝－f(x)，所以 f(4－x)＝f(x)，因此，函数图象关于直线
x＝2 对称且 f(0)＝0．由 f(x－4)＝－f(x)知 f(x－8)＝f(x)，所以函数是以 8 为周期的周期函数．又因为 f(x)
在区间[0，2]上是增函数，所以 f(x)在区间[－2，0]上也是增函数，如图所示，那么方程 f(x)＝m(m＞0)在区
间[－8，8]上有四个不同的根 x1，x2，x3，x4，不妨设 x1＜x2＜x3＜x4．由对称性知 x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，
所以 x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8． 答案：-8
10．已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求 f(x)的解析式．
解：∵f(x)是奇函数，可得 f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0．当 x>0 时，－x<0，由已知 f(－x)＝xlg(2＋x)，∴
－f(x)＝xlg(2＋x)，即 f(x)＝－xlg(2＋x) (x>0)．
∴f(x)＝
－xlg(2－x) (x<0)，
－xlg(2＋x) (x≥0).
即 f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)．
11．已知函数 f(x)，当 x，y∈R 时，恒有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．(1)求证：f(x)是奇函数；(2)如果 x∈R＋，f(x)<0，
并且 f(1)＝－1
2
，试求 f(x)在区间[－2，6]上的最值．
解：(1)证明：∴函数定义域为 R，其定义域关于原点对称．
∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令 y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．令 x＝y＝0，∴f(0)＝f(0)＋f(0)，得 f(0)＝0．∴f(x)
＋f(－x)＝0，得 f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
18
(2)法一：设 x，y∈R＋，∵f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，∴f(x＋y)－f(x)＝f(y)．
∵x∈R＋，f(x)<0，∴f(x＋y)－f(x)<0，∴f(x＋y)x，∴f(x)在(0，＋∞)上是减函数．又∵f(x)
为奇函数，f(0)＝0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－1
2
，∴f(－
2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3．∴所求 f(x)在区间[－2，6]上的最大值为 1，最小
值为－3．
法二：设 x10，
∴f(x2－x1)<0．∴f(x2)－f(x1)<0．即 f(x)在 R 上单调递减．∴f(－2)为最大值，f(6)为最小值．∵f(1)＝－1
2
，
∴f(－2)＝－f(2)＝－2f(1)＝1，f(6)＝2f(3)＝2[f(1)＋f(2)]＝－3．∴所求 f(x)在区间[－2，6]上的最大值为 1，
最小值为－3．
12．已知函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x＋2)＝－f(x)．
(1)求证：f(x)是周期函数；
(2)若 f(x)为奇函数，且当 0≤x≤1 时，f(x)＝1
2x，求使 f(x)＝－1
2
在[0，2010]上的所有 x 的个数．
解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是以 4 为周期的周期函数．
(2)当 0≤x≤1 时，f(x)＝1
2x，
设－1≤x≤0，则 0≤－x≤1，∴f(－x)＝1
2(－x)＝－1
2x．∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝
－1
2x，即 f(x)＝1
2x．故 f(x)＝1
2x(－1≤x≤1)
又设 11，b<0，且 ab＋a－b＝2 2，则 ab－a－b 的值等于________．
解析：∵a>1，b<0，∴01．又∵(ab＋a－b)2＝a2b＋a － 2b＋2＝8，
∴a2b＋a－2b＝6，∴(ab－a－b)2＝a2b＋a－2b－2＝4，∴ab－a－b＝－2．答 案：－2
2．已知 f(x)＝ax＋b 的图象如图所示，则 f(3)＝________．
解析：由图象知 f(0)＝1＋b＝－2，∴b＝－3．又 f(2)＝a2－3 ＝ 0 ， ∴a ＝
3，则 f(3)＝( 3)3－3＝3 3－3．
19
答案：3 3－3
3．函数 y＝(1
2)2x－x2 的值域是________．
解析：∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴(1
2)2x－x2≥1
2
．答案：[1
2
，＋∞)
4．(2009 年高考山东卷)若函数 f(x)＝ax－x－a(a>0，且 a≠1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是________．
解析：函数 f(x)的零点的个数就是函数 y＝ax 与函数 y＝x＋a 交点的个数，由函数的图象可知 a>1 时两
函数图象有两个交点，01． 答案：(1，+∞)
5．(原创题)若函数 f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数 a 等于________．
解析：由题意知
01
a0－1＝0
a2－1＝2
⇒a＝ 3．答案： 3
6．已知定义域为 R 的函数 f(x)＝－2x＋b
2x＋1＋a
是奇函数．(1)求 a，b 的值；
(2)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求 k 的取值范围．
解：(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f(0)＝0，即－1＋b
2＋a
＝0，解得 b＝1．
从而有 f(x)＝－2x＋1
2x＋1＋a
．又由 f(1)＝－f(－1)知－2＋1
4＋a
＝－
－1
2
＋1
1＋a
，解得 a＝2．
(2)法一：由(1)知 f(x)＝－2x＋1
2x＋1＋2
＝－1
2
＋ 1
2x＋1
，
由上式易知 f(x)在 R 上为减函数，又因 f(x)是奇函数，从而不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0⇔f(t2－2t)<－f(2t2
－k)＝f(－2t2＋k)．
因 f(x)是 R 上的减函数，由上式推得 t2－2t>－2t2＋k．
即对一切 t∈R 有 3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得 k<－1
3
．
法二：由(1)知 f(x)＝－2x＋1
2x＋1＋2
，又由题设条件得－2t2－2t＋1
2t2－2t＋1＋2
＋－22t2－k＋1
22t2－k＋1＋2
<0
即(22t2－k＋1＋2)(－2t2－2t＋1)＋(2t2－2t＋1＋2)(－22t2－k＋1)<0
整理得 23t2－2t－k>1，因底数 2>1，故 3t2－2t－k>0
上式对一切 t∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0，解得 k<－1
3
．
B 组
1．如果函数 f(x)＝ax＋b－1(a>0 且 a≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有
________．
①00 ②01 且 b<0 ④a>1 且 b>0
解析：当 01
⇒00，a≠1)；②g(x)≠0；若f(1)
g(1)
＋f(－1)
g(－1)
＝5
2
，则 a 等于________．
解析：由 f(x)＝ax·g(x)得f(x)
g(x)
＝ax，所以f(1)
g(1)
＋f(－1)
g(－1)
＝5
2
⇒a＋a－1＝5
2
，解得 a＝2 或1
2
．答案：2 或1
2
4．(2010 年北京朝阳模拟)已知函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)，其反函数为 f－1(x)．若 f(2)＝9，则 f－1(1
3)＋f(1)
的值是________．
解析：因为 f(2)＝a2＝9，且 a>0，∴a＝3，则 f(x)＝3x＝1
3
，∴x＝－1，
故 f－1(1
3)＝－1．又 f(1)＝3，所以 f－1(1
3)＋f(1)＝2．答案：2
5．(2010 年山东青岛质检)已知 f(x)＝(1
3)x，若 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称的图象对应的函数为 g(x)，则
g(x)的表达式为________．
解析：设 y＝g(x)上任意一点 P(x，y)，P(x，y)关于 x＝1 的对称点 P′(2－x，y)在 f(x)＝(1
3)x 上，∴y＝
(1
3)2－x＝3x－2．答案：y＝3x－2(x∈R)
6．(2009 年高考山东卷改编)函数 y＝ex＋e－x
ex－e－x
的图象大致为________．
解析：∵f(－x)＝e－x＋ex
e－x－ex
＝－ex＋e－x
ex－e－x
＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除④．
又∵y＝ex＋e－x
ex－e－x
＝e2x＋1
e2x－1
＝e2x－1＋2
e2x－1
＝1＋ 2
e2x－1
在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③．答
案：①
7．(2009 年高考辽宁卷改编)已知函数 f(x)满足：当 x≥4 时，f(x)＝(1
2)x；当 x<4 时，f(x)＝f(x＋1)，则 f(2＋
log23)＝________．
解析：∵2<3<4＝22，∴1K.
取函数 f(x)＝2－|x|，当 K＝1
2
时，函数 fK(x)的单调递增区间为________．
21
解析：由 f(x)＝2－|x|≤1
2
得 x≥1 或 x≤－1，∴fK(x)＝
2－|x|，x≥1 或 x≤－1，
1
2
，－10，且 a≠1)在区间[－1，1]上的最大值为 14，求
实数 a 的值．
解：f(x)＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，∵x∈[－1，1]，
(1)当 01 时，1
a
≤ax≤a，∴当 ax＝a 时，f(x)取得最大值．
∴(a＋1)2－2＝14，∴a＝3．综上可知，实数 a 的值为1
3
或 3．
11．已知函数 f(x)＝ －2
2x－a＋1
．(1)求证：f(x)的图象关于点 M(a，－1)对称；
(2)若 f(x)≥－2x 在 x≥a 上恒成立，求实数 a 的取值范围．
解：(1)证明：设 f(x)的图象 C 上任一点为 P(x，y)，则 y＝－ 2
2x－a＋1
，
P(x，y)关于点 M(a，－1)的对称点为 P′(2a－x，－2－y)．
∴－2－y＝－2＋ 2
2x－a＋1
＝－2·2x－a
2x－a＋1
＝ －2
1＋2－(x－a)
＝ －2
2(2a－x)－a＋1
，
说明点 P′(2a－x，－2－y)也在函数 y＝ －2
2x－a＋1
的图象上，由点 P 的任意性知，f(x)的图象关于点 M(a，
－1)对称．
(2)由 f(x)≥－2x 得 －2
2x－a＋1
≥－2x，则 2
2x－a＋1
≤2x，化为 2x－a·2x＋2x－2≥0，则有(2x)2＋2a·2x－2·2a≥0
在 x≥a 上恒成立．令 g(t)＝t2＋2a·t－2·2a，则有 g(t)≥0 在 t≥2a 上恒成立．∵g(t)的对称轴在 t＝0 的左侧，
∴g(t)在 t≥2a 上为增函数．
∴g(2a)≥0．∴(2a)2＋(2a)2－2·2a≥0，∴2a(2a－1)≥0，则 a≥0．即实数 a 的取值范围为 a≥0．
12．(2008 年高考江苏)若 f1(x)＝3|x－p1|，f2(x)＝2·3|x－p2|，x∈R，p1、p2 为常数，且
f(x)＝ f1(x)，f1(x)≤f2(x)，
f2(x)，f1(x)>f2(x).
(1)求 f(x)＝f1(x)对所有实数 x 成立的充要条件(用 p1、p2 表示)；(2)设 a，b
是两个实数，满足 ap2 时，g(x)＝
p1－p2，xp1.
所以 g(x)max＝p1－p2，故只需 p1－p2≤log32．
当 p1p2.
所以 g(x)max＝p2－p1，故只需 p2－p1≤log32．
综上所述，f(x)＝f1(x)对所有实数 x 成立的充要条件是|p1－p2|≤log32．
(2)证明：分两种情形讨论．
①当|p1－p2|≤log32 时，由(1)知 f(x)＝f1(x)(对所有实数 x∈[a，b])，则由 f(a)＝f(b)及 alog32 时，不妨设 p1log32．于是，当 x≤p1 时，有 f1(x)＝3p1－x<3p2－x3log32·3x－p2＝f2(x)，从而 f(x)＝f2(x)．
当 p10，且 a≠1)的反函数，其图象经过点( a，a)，
则 f(x)＝________．
解析：由题意 f(x)＝logax，∴a＝logaa
1
2
＝1
2
，∴f(x)＝log1
2
x．答案：log1
2
x
2．(2009 年高考全国卷Ⅱ)设 a＝log3π，b＝log2 3，c＝log3 2，则 a、b、c 的大小关系是________．
解析：a＝log3π>1，b＝log2 3＝1
2log23∈(1
2
，1)，c＝log3 2＝1
2log32∈(0，1
2)，故有 a>b>c．答案：a>b>c
23
3．若函数 f(x)＝
]1,0[,4
)0,1[,4
1
x
x
x
x
，则 f(log43)＝________．
解析：01．
又 1
x＋1
是单调递减的，故 g(x)递减且过(0，0)点，∴④正确．答案：④
5．(原创题)已知函数 f(x)＝alog2x＋blog3x＋2，且 f( 1
2010)＝4，则 f(2010)的值为_．
解析：设 F(x)＝f(x)－2，即 F(x)＝alog2x＋blog3x，则 F(1
x)＝alog2
1
x
＋blog3
1
x
＝－(alog2x＋blog3x)＝－F(x)，
∴F(2010)＝－F( 1
2010)＝－[f( 1
2010)－2]＝－2，
即 f(2010)－2＝－2，故 f(2010)＝0．答案：0
6．若 f(x)＝x2－x＋b，且 f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0 且 a≠1)．(1)求 f(log2x)的最小值及相应 x 的值；(2)
若 f(log2x)>f(1)且 log2f(x)2，
log2(x2－x＋2)<2.
∴ log2x<0 或 log2x>1，
02，
－10；④f(x1＋x2
2
)lg x1x2，所以④错误．
答案：②③
3．(2010 年枣庄第一次质检)对任意实数 a、b，定义运算“*”如下：
a*b＝ a(a≤b)
b(a>b)
，则函数 f(x)＝log1
2
(3x－2)*log2x 的值域为________．
解析：在同一直角坐标系中画出 y＝log1
2(3x－2)和 y＝log2x 两 个 函 数 的
图象，
由图象可得
f(x)＝
log2x (01) ，值域为(－∞，0]．
答案：(－∞，0]
4．已知函数 y＝f(x)与 y＝ex 互为反函数，函数 y＝g(x)的图象与 y＝f(x)的图象关于 x 轴对称，若 g(a)＝1，
则实数 a 的值为________．
解析：由 y＝f(x)与 y＝ex 互为反函数，得 f(x)＝lnx，因为 y＝g(x)的图象与 y＝f(x)的图象关于 x 轴对称，
故有 g(x)＝－lnx，g(a)＝1⇒lna＝－1，所以 a＝1
e
．
答案：1
e
5．已知函数 f(x)满足 f( 2
x＋|x|
)＝log2 x|x|，则 f(x)的解析式是________．
解析：由 log2 x|x|有意义可得 x>0，所以，f( 2
x＋|x|)＝f(1
x)，log2 x|x|＝log2x，即有 f(1
x)＝log2x，故 f(x)
＝log2
1
x
＝－log2x．答案：f(x)＝－log2x，(x>0)
6．(2009 年高考辽宁卷改编)若 x1 满足 2x＋2x＝5，x2 满足 2x＋2log2(x－1)＝5，则 x1＋x2＝________．
解析：由题意 2x1＋2x1＝5，①2x2＋2log2(x2－1)＝5，②所以 2x1＝5－2x1，x1＝log2(5－2x1)，即 2x1＝
2log2(5－2x1)．令 2x1＝7－2t，代入上式得 7－2t＝2log2(2t－2)＝2＋2log2(t－1)，∴5－2t＝2log2(t－1)与②
式比较得 t＝x2，于是 2x1＝7－2x2．∴x1＋x2＝T
2
．答案：7
2
7．当 x∈[n，n＋1)，(n∈N)时，f(x)＝n－2，则方程 f(x)＝ log2x 根 的 个
数是________．
解析：当 n＝0 时，x∈[0，1)，f(x)＝－2；
当 n＝1 时，x∈[1，2)，f(x)＝－1；
当 n＝2 时，x∈[2，3)，f(x)＝0；
当 n＝3 时，x∈[3，4)，f(x)＝1；
当 n＝4 时，x∈[4，5)，f(x)＝2；
当 n＝5 时，x∈[5，6)，f(x)＝3．答案：2
8．(2010 年福建厦门模拟)已知 lga＋lgb＝0，则函数 f(x)＝ax 与函数 g(x)＝－logbx 的图象可能是________．
25
解析：由题知，a＝1
b
，则 f(x)＝(1
b)x＝b－x，g(x)＝－logbx，当 01 时，f(x)单调递减，g(x)单调递减．
答案：②
9．已知曲线 C：x2＋y2＝9(x≥0，y≥0)与函数 y＝log3x 及函数 y＝3x 的图象分别交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 x12＋x22 的值为________．
解析：∵y＝log3x 与 y＝3x 互为反函数，所以 A 与 B 两点关于 y＝x 对称，所以 x1＝y2，y1＝x2，∴x12
＋x22＝x12＋y12＝9．答案：9
10．已知函数 f(x)＝lgkx－1
x－1
(k∈R 且 k>0)．(1)求函数 f(x)的定义域；
(2)若函数 f(x)在[10，＋∞)上是单调增函数，求 k 的取值范围．
解：(1)由kx－1
x－1
>0 及 k>0 得
x－1
k
x－1
>0，即(x－1
k)(x－1)>0．
①当 01
k
；②当 k＝1 时，x∈R 且 x≠1；③当 k>1 时，x<1
k
或 x>1．综上可得当 00，∴k> 1
10
．
又 f(x)＝lgkx－1
x－1
＝lg(k＋k－1
x－1
)，故对任意的 x1，x2，当 10≤x1 1
x2－1
，∴k－1<0，∴k<1．综上可知 k∈( 1
10
，
1)．
11．(2010 年天津和平质检)已知 f(x)＝loga
1＋x
1－x
(a>0，a≠1)．(1)求 f(x)的定义域；
(2)判断 f(x)的奇偶性并给予证明；(3)求使 f(x)>0 的 x 的取值范围．
解：(1)由1＋x
1－x
>0 ，解得 x∈(－1，1)．
(2)f(－x)＝loga
1－x
1＋x
＝－f(x)，且 x∈(－1，1)，∴函数 y＝f(x)是奇函数．
(3)若 a>1，f(x)>0，则1＋x
1－x
>1，解得 00，则 0<1＋x
1－x
<1，解得－10 且 a≠1．
(1)对于函数 f(x)，当 x∈(－1，1)时，f(1－m)＋f(1－m2)<0，求实数 m 的集合；
(2)x∈(－∞，2)时，f(x)－4 的值恒为负数，求 a 的取值范围．
解：令 logax＝t(t∈R)，则 x＝at，∴f(t)＝ a
a2－1
(at－a－t)，
∴f(x)＝ a
a2－1
(ax－a－x)．∵f(－x)＝ a
a2－1
(a－x－ax)＝－f(x)，
∴f(x)是 R 上的奇函数．
当 a>1 时， a
a2－1>0，ax 是增函数，－a－x 是增函数，∴f(x)是 R 上的增函数；
当 00 且 a≠1 时，f(x)是 R 上的增函数．
26
(1)由 f(1－m)＋f(1－m2)<0 有 f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)，
∴
1－m1 且 01 的解集为________．
解析：∵a>1，01⇔logb(x－3)>0⇔logb(x－3)>logb1⇔01 时，
3
2
x
x ＝x 3
1
>1，∴x>x 3
2
，∴排除①．答案：
④
3．(2010 年江苏海门质检)若 x∈(0，1)，则下列结论正确的是__________．
①2x>x 2
1
>lgx ②2x>lgx>x 2
1
③x 2
1
>2x>lgx ④lgx>x 2
1
>2x
解析：∵x∈(0，1)，∴2>2x>1，00，即 a<0．由 a2≥1 知 a≤－1．因此，a 的取值范围为(－∞，
27
－1]．
(2)记 f(x)的最小值为 g(a)．则有 f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|
＝
3(x－a
3)2＋2a2
3
，x>a， ①
(x＋a)2－2a2，x≤a， ②
(ⅰ)当 a≥0 时，f(－a)＝－2a2，由①②知 f(x)≥－2a2，此时 g(a)＝－2a2．
(ⅱ)当 a<0 时，f(a
3)＝2
3a2．若 x>a，则由①知 f(x)≥2
3a2；
若 x≤a，则 x＋a≤2a<0，由②知 f(x)≥2a2>2
3a2．此时 g(a)＝2
3a2．
综上，得 g(a)＝
－2a2， a≥0，
2a2
3
， a<0.
(3)(ⅰ)当 a∈(－∞，－ 6
2 ]∪[ 2
2
，＋∞)时，解集为(a，＋∞)；
(ⅱ)当 a∈[－ 2
2
， 2
2 )时，解集为[a＋ 3－2a2
3
，＋∞)；
(ⅲ)当 a∈(－ 6
2
，－ 2
2 )时，解集为(a，a－ 3－2a2
3
]∪[a＋ 3－2a2
3
，＋∞)．
B 组
1．(2010 年江苏无锡模拟)幂函数 y＝f(x)的图象经过点(－2，－1
8)，则满足 f(x)＝27 的 x 的值是__________．
解析：设幂函数为 y＝xα，图象经过点(－2，－1
8)，则－1
8
＝(－2)α，∴α＝－3，∵x－3＝27，∴x＝1
3
．答
案：1
3
2．(2010 年安徽蚌埠质检)已知幂函数 f(x)＝xα的部分对应值如下表：
x 1 1
2
f(x) 1 2
2
则不等式 f(|x|)≤2 的解集是__________．
解析：由表知 2
2
＝(1
2)α，∴α＝1
2
，∴f(x)＝x
1
2
．∴(|x|)
1
2
≤2，即|x|≤4，故－4≤x≤4．
答案：{x|－4≤x≤4}
3．(2010 年广东江门质检)设 k∈R，函数 f(x)＝
1
x(x>0)，
ex(x≤0)，
F(x)＝f(x)＋kx，x∈R．当 k＝1 时，F(x)的值
域为__________．
解析：当 x>0 时，F(x)＝1
x
＋x≥2；当 x≤0 时，F(x)＝ex＋x，根据指数函数与幂函数的单调性，F(x)
是单调递增函数，F(x)≤F(0)＝1，所以 k＝1 时，F(x)的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．答案：(－∞，1]∪[2，
＋∞)
4．设函数 f(x)＝
－2 (x>0)，
x2＋bx＋c (x≤0)，
若 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝0，则关于 x 的不等式 f(x)≤1 的解集为
__________．
解析：由 f(－4)＝f(0)，得 b＝4．又 f(－2)＝0，可得 c＝4，∴ x≤0，
x2＋4x＋4≤1
或 x>0，
－2≤1，
可得－
3≤x≤－1 或 x>0．答案：{x|－3≤x≤－1 或 x>0}
28
5．(2009 年高考天津卷改编)已知函数 f(x)＝ x2＋4x， x≥0，
4x－x2， x<0.
若 f(2－a2)>f(a)，则实数 a 的取值范围是
__________．
解析：函数 f(x)＝ x2＋4x，x≥0，
4x－x2，x<0，
的图象如图．
知 f(x)在 R 上为增函数．
∵f(2－a2)>f(a)，即 2－a2>a．
解得－20，
－x2＋bx＋c，x≤0.
若 f(0)＝－2f(－1)＝1，则函数 g(x)＝f(x)
＋x 的零点的个数为__________．
解析：∵f(0)＝1，∴c＝1．又 f(－1)＝－1
2
，∴－1－b＋1＝－1
2
，∴b＝1
2
．当 x>0 时，g(x)＝－2＋2x
＝0，∴x＝1；当 x≤0 时，g(x)＝－x2＋1
2x＋1＋x＝0，∴x2－3
2x－1＝0，∴x＝2(舍)或 x＝－1
2
，所以有两个
零点．答案：2
8．设函数 f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：①c＝0 时，f(x)是奇函数；②b＝0，c>0 时，方程 f(x)＝0
只有一个实根；③f(x)的图象关于(0，c)对称；④方程 f(x)＝0 至多有两个实根．其中正确的命题是__________．
解析：c＝0 时，f(－x)＝－x|－x|＋b(－x)＝－x|x|－bx＝－f(x)，故 f(x)是奇函数；b＝0，c>0 时，f(x)＝
x|x|＋c＝0，∴x≥0 时，x2＋c＝0 无解，x<0 时，f(x)＝－x2＋c＝0，∴x＝－ c，有一个实数根．答案：①②③
9．(2010 年湖南长沙质检)对于区间[a，b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x)，如果对于区间[a，b]中的任意数
x 均有|f(x)－g(x)|≤1，则称函数 f(x)与 g(x)在区间[a，b]上是密切函数，[a，b]称为密切区间．若 m(x)＝x2
－3x＋4 与 n(x)＝2x－3 在某个区间上是“密切函数”，则它的一个密切区间可能是________．
①[3，4] ②[2，4] ③[2，3] ④[1，4]
解析：|m(x)－n(x)|≤1⇒|x2－5x＋7|≤1，解此绝对值不等式得 2≤x≤3，故在区间[2，3]上|m(x)－n(x)|
的值域为[0，1]，∴|m(x)－n(x)|≤1 在[2，3]上恒成立．
答案：③
10．设函数 f(x)＝x2＋2bx＋c(c0，
∴f(m－4)的符号为正．
29
11．(2010 年安徽合肥模拟)设函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，且 f(1)＝－a
2
，3a>2c>2b，求证：(1)a>0 且－32c>2b，∴3a>0，2b<0，∴a>0，b<0．又 2c＝－3a－2b，由 3a>2c>2b，
∴3a>－3a－2b>2b．∵a>0，∴－30 时，∵a>0，∴f(0)＝c>0 且 f(1)＝－a
2<0，
∴函数 f(x)在区间(0，1)内至少有一个零点．
②当 c≤0 时，∵a>0，∴f(1)＝－a
2<0 且 f(2)＝a－c>0，∴函数 f(x)在区间(1，2)内至少有一个零点．综
合①②得 f(x)在(0，2)内至少有一个零点．
(3)∵x1、x2 是函数 f(x)的两个零点，则 x1、x2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根，∴x1＋x2＝－b
a
，x1x2＝c
a
＝－3
2
－b
a
，∴|x1－x2|＝ (x1＋x2)2－4x1x2＝ (－b
a)2－4(－3
2
－b
a)＝ (b
a
＋2)2＋2．∵－30，α＋β＝－3
a
，α·β＝b
a
．由|α－β|＝1 得(α－β)2＝1，
即(α＋β)2－4αβ＝ 9
a2
－4b
a
＝1，∴9－4ab＝a2，即 a2＋4ab＝9(a<0，a、b∈R)．
(2)由(1)得 a(a＋4b)＝9，∵a、b 均为负整数，
∴ a＝－1
a＋4b＝－9
或 a＝－9
a＋4b＝－1
或 a＝－3，
a＋4b＝－3，
显然后两种情况不合题意，应舍去，从而有
a＝－1，
a＋4b＝－9，
∴ a＝－1，
b＝－2.
故所求函数解析式为 f(x)＝－x2＋4x－2．
(3)证明：由已知得 x1＋x2＝－4
a
，x1·x2＝b
a
，又由α<1<β<2 得α＋β＝－3
a<3，α·β＝b
a<2，∴－1
a<1，∴(x1
＋1)(x2＋1)＝x1·x2＋(x1＋x2)＋1＝b
a
－4
a
＋1<2＋4＋1＝7，
即(x1＋1)(x2＋1)<7．
第四节 函数的图像特征
A 组
1．命题甲：已知函数 f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝1 对称．命题乙：函数 f(1＋x)
与函数 f(1－x)的图象关于直线 x＝1 对称．则甲、乙命题正确的是__________．
解析：可举实例说明如 f(x)＝2x，依次作出函数 f(1＋x)与函数 f(1－x)的图象判断．答案：甲
2．(2010 年济南市高三模拟考试)函数 y＝ x
|x|·ax(a>1)的图象的基本形状是_____．
30
解析：先去绝对值将已知函数写成分段函数形式，再作图象即可，函数解析式：y＝ ax(x>0)
－ax(x<0)
，由
指数函数图象易知①正确．
答案：①
3．已知函数 f(x)＝(1
5)x－log3x，若 x0 是方程 f(x)＝0 的解，且 0log3x1，
∴f(x1)>0．答案：正值
4．(2009 年高考安徽卷改编)设 ab 时，y>0．由数轴穿根法，从右上 向左下穿，奇次
穿偶次不穿可知，只有③正确．答案：③
5．(原创题)已知当 x≥0 时，函数 y＝x2 与函数 y ＝2x 的图象如
图所示，则当 x≤0 时，不等式 2x·x2≥1 的解集 是__________．
解析：在 2x·x2≥1 中，令 x＝－t，由 x≤0 得 t≥0，
∴2－t·(－t)2≥1，即 t2≥2t，由所给图象得 2≤t≤4，
∴2≤－x≤4，解得－4≤x≤－2．
答案：－4≤x≤－2
6．已知函数 f(x)＝
．(2,5]∈，3－
，1,2]－[∈，－3 2
xx
xx
(1)画出 f(x)的图象；(2)写出 f(x)的单调递增区间．
解：(1)函数 f(x)的图象如图所示．，
(2)由图象可知，函数 f(x)的单调递增区间为[-1，0]，[2，5]．
B 组
1．(2010 年合肥市高三质检)函数 f(x)＝ln 1－x
1＋x
的图象只可能是__________．
31
解析：本题中 f(x)的定义域为{x|－10 时，g(x)＝log2x，则函数
y＝f(x)·g(x)的大致图象为__________．
解析：f(x)为偶函数，g(x)是奇函数，所以 f(x)·g(x)为奇函数，图象关于原点对称，当 x→＋∞时，f(x)→
－∞，g(x)→＋∞，所以 f(x)·g(x)→－∞答案：②
5．某加油机接到指令，给附近空中一运输机加油．运输机的余油 量为 Q1(吨)，
加油机加油箱内余油 Q2(吨)，加油时间为 t 分钟，Q1、Q2 与时间 t 的函数关系
式的图象如右图．若运输机加完油后以原来的速度飞行需 11 小时 到达目的地，
问运输机的油料是否够用？________．
解析：加油时间 10 分钟，Q1 由 30 减小为 0．Q2 由 40 增加 到 69 ， 因 而
10 分钟时间内运输机用油 1 吨．以后的 11 小时需用油 66 吨．因 69>66，故运
输机的油料够用．答案：够用
6．已知函数 y＝f(x)(x∈R)满足 f(x＋2)＝f(x)，且 x∈(－1，1]时，f(x)＝|x|，则 y＝f(x)与 y＝log7x 的交点的
个数为__________．
32
解析：由 f(x＋2)＝f(x)知函数 y＝f(x)为周期为 2 的周期函数，作图．
答案：6
7．函数 y＝x
m
n(m，n∈Z，m≠0，|m|，|n|互质)图象如图所示，则下列结 论 正 确 的 是
__________．
①mn>0，m，n 均为奇数
②mn<0，m，n 一奇一偶
③mn<0，m，n 均为奇数
④mn>0，m，n 一奇一偶
解析：由于幂函数在第一象限的图象趋势表明函数在(0，＋∞)上单调递减，此时只需保证m
n<0，即
mn<0，有 y＝x
m
n
＝x－|m|
|n|
；同时函数只在第一象限有图象，则函数的定义域为(0，＋∞)，此时|n|定为偶数，
n 即为偶数，由于两个数互质，则 m 定为奇数．答案：②
8．(2009 年高考福建卷改编)定义在 R 上的偶函数 f(x)的部分图象如图所示，则在(－2，0)上，下列函数中
与 f(x)的单调性不同的是
①y＝x2＋1
②y＝|x|＋1
③y＝ 2x＋1，x≥0
x3＋1，x<0
④y＝ ex，x≥0
e－x，x<0
解析：∵f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2，0)上为减函数， 而y＝x3＋1在
(－∞，0)上为增函数．答案：③
9．(2010 年安徽合肥模拟)已知函数图象 C′与 C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1 关于直线 y＝x 对称，且图象 C′
关于点(2，－3)对称，则 a 的值为__________．
解析：∵C′与 C：y(x＋a＋1)＝ax＋a2＋1 关于直线 y＝x 对称，
∴C′为 x(y＋a＋1)＝ay＋a2＋1．整理得，y＋1＋a＝1－a
x－a
．
∵C′关于点(2，－3)对称，∴a＝2．答案：2
10．作下列函数的图象：
(1)y＝ 1
|x|－1
；(2)y＝|x－2|(x＋1)；(3)y＝1－|x|
|1－x|
；(4)y＝|log2x－1|；(5)y＝2|x－1|．
解：(1)定义域{x|x∈R 且 x≠±1}，且函数是偶函数．又当 x≥0 且 x≠1 时，y＝ 1
x－1
．先作函数 y＝1
x
的
图象，并将图象向右平移 1 个单位，得到函数 y＝ 1
x－1(x≥0 且 x≠1)的图象(如图(a)所示)．
33
又函数是偶函数，作关于 y 轴对称图象，得 y＝ 1
|x|－1
的图象(如图(b)所示)．
(2)函数式可化为 y＝
(x－1
2)2－9
4 (x≥2)，
－(x－1
2)2＋9
4 (x<2).
其图象如图①所示．
(3)函数式化为 y＝
1＋x
1－x
(x<0)，
1 (0≤x<1)，
－1 (x>1).
其图象如图②所示．
(4)先作出 y＝log2x 的图象，再将其图象向下平移 1 个单位长度，保留 x 轴上方的部分，将 x 轴下方的
图象翻折到 x 轴上方，即得 y＝|log2x－1|的图象，如图③所示．
(5)先作出 y＝2x 的图象，再将其图象在 y 轴左边的部分去掉，并作出 y 轴右边的图象关于 y 轴对称的
图象，即得 y＝2|x|的图象，再将 y＝2|x|的图象向右平移 1 个单位长度，即得 y＝2|x－1|的图象，如图④所示．
11．已知函数 f(x)＝－ a
ax＋ a
(a>0 且 a≠1)．(1)证明：函数 y＝f(x)的图象关于点(1
2
，－1
2)对称；(2)求 f(－2)
＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值．
解：(1)证明：函数 f(x)的定义域为 R，任取一点(x，y)，它关于点(1
2
，－1
2)对称的点的坐标为(1－x，－
1－y)．由已知，y＝－ a
ax＋ a
，则－1－y＝－1＋ a
ax＋ a
＝－ ax
ax＋ a
．，f(1－x)＝－ a
a1－x＋ a
＝－ a
a
ax
＋ a
＝－
a·ax
a＋ a·ax
＝－ ax
ax＋ a
．
∴－1－y＝f(1－x)．即函数 y＝f(x)的图象关于点(1
2
，－1
2)对称．
(2)由(1)有－1－f(x)＝f(1－x)．即 f(x)＋f(1－x)＝－1．
∴f(－2)＋f(3)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(0)＋f(1)＝－1．
则 f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3．
12．设函数 f(x)＝ x＋b
ax－1
(x∈R，且 a≠0，x≠1
a)．(1)若 a＝1
2
，b＝－3
2
，指出 f(x)与 g(x)＝1
x
的图象变换关系
以及函数 f(x)的图象的对称中心；(2)证明：若 ab＋1≠0，则 f(x)的图象必关于直线 y＝x 对称．
解：(1)a＝1
2
，b＝－3
2
，f(x)＝
x－3
2
1
2x－1
＝2x－3
x－2
＝2＋ 1
x－2
，
∴f(x)的图象可由 g(x)的图象沿 x 轴右移 2 个单位，再沿 y 轴上移 2 个单位得到，f(x)的图象的对称中
心为点(2，2)．
34
(2)证明：设 P(x0，y0)为 f(x)图象上任一点，则 y0＝ x0＋b
ax0－1
，P(x0，y0)关于 y＝x 的对称点为 P′(y0，x0)．由
y0＝ x0＋b
ax0－1
得 x0＝ y0＋b
ay0－1
．∴P′(y0，x0)也在 f(x)的图象上．故 f(x)的图象关于直线 y＝x 对称．
第四章 函数应用
A 组
1．已知函数 f(x)＝ x(x＋4)，x<0，
x(x－4)，x≥0.
则函数 f(x)的零点个数为________．
解析：只要画出分段函数的图象，就可以知道图象与 x 轴有三个交点，即函数的零点有 3 个．答案：
3
2．根据表格中的数据，可以判定方程 ex－x－2＝0 的一个根所在的区间为___．
x －1 0 1 2 3
ex 0．37 1 2．72 7．39 20．09
x＋2 1 2 3 4 5
解析：据题意令 f(x)＝ex－x－2，由于 f(1)＝e1－1－2＝2．72－3<0，f(2)＝e2－4＝7．39－4>0，故函
数在区间(1，2)内存在零点，即方程在相应区间内有根．
答案：(1，2)
3．偶函数 f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且 f(0)·f(a)<0，则方程 f(x)＝0 在区间[－a，a]内根的个数
是__________．
解析：由题意函数 f(x)在区间[0，a](a>0)上是单调函数，且 f(0)·f(a)<0，根据零点存在定理知：在区间
[0，a]内函数 f(x)一定存在惟一零点且 f(0)≠0，又函数 f(x)是偶函数，故其在[－a，0]也惟一存在一个零点，
所以方程 f(x)＝0 在区间[－a，a]内根的个数为 2．答案：2
4．(2009 年高考浙江卷)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销
售电价表如下：
高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表
高峰月用电量
(单位：千瓦时)
高峰电价
(单位：元/千
瓦时)
低谷月用电量
(单位：千瓦时)
低谷电价
(单位：元/千瓦
时)
50 及以下的部分 0．568 50 及以下的部分 0．288
超过 50 至 200 的部
分 0．598 超过 50 至 200 的部分 0．318
超过 200 的部分 0．668 超过 200 的部分 0．388
若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦时，低谷时间段用电量为 100 千瓦时，则按这种计费
方式该家庭本月应付的电费为________元
解析：高峰时段电费 a＝50×0．568＋(200－50)×0．598＝118．1(元)．
低谷时段电费 b＝50×0．288＋(100－50)×0．318＝30．3(元)．
故该家庭本月应付的电费为 a＋b＝148．4(元)．答案：148．4
5．(原创题)已知 f(x)＝|x|＋|x－1|，若 g(x)＝f(x)－a 的零点个数不为 0，则 a 的最小值为________．
解析：作 f(x)的图象，如图，g(x)=f(x)-a=0，即 f(x)=a，当 a=1 时，g(x)
有无数个零点；当 a>1 时，g(x)有 2 个零点；∴a 的最小值为 1．答 案：1
35
6．(2009 年高考上海卷)有时可用函数 f(x)＝
0.1＋15ln a
a－x
，x≤6，
x－4.4
x－4
，x＞6，
描述学习某学科知识的掌握程度，其中 x 表示某学科知识的学习次数(x∈N*)，f(x)表示对该学科知识
的掌握程度，正实数 a 与学科知识有关．
(1)证明：当 x≥7 时，掌握程度的增长量 f(x＋1)－f(x)总是下降；
(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115，121]，(121，127]，(127，133]．当学
习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科．
解：(1)证明：当 x≥7 时，f(x＋1)－f(x)＝ 0.4
(x－3)(x－4)
．而当 x≥7 时，函数 y＝(x－3)(x－4)单调递增，
且(x－3)(x－4)＞0，故 f(x＋1)－f(x)单调递减．
∴当 x≥7，掌握程度的增长量 f(x＋1)－f(x)总是下降．
(2)由题意可知 0．1＋15ln a
a－6
＝0．85，整理得 a
a－6
＝e0．05，
解得 a＝ e0.05
e0.05－1·6≈20．50×6＝123．0，123．0∈(121，127]．
由此可知，该学科是乙学科．
B 组
1．(2010 年浙江温州质检)某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据：
x 1．99 3 4 5．1 6．12
y 1．5 4．04 7．5 12 18．01
现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是________
①y＝2x－2 ②y＝(1
2)x ③y＝log2x ④y＝1
2(x2－1)
解析：代入点(2，1．5)，(3，4)检验．答案：④
2．(2010 年安徽省江南十校模拟)函数 f(x)＝2x＋x－7 的零点所在的区间是____．
①(0，1) ②(1，2) ③(2，3) ④(3，4)
解析：因为 f(0)＝－6<0，f(1)＝2＋1－7＝－4<0，f(2)＝22＋2－7＝－1<0，f(3)＝23＋3－7＝4>0，所
以函数的零点在区间(2，3)内．答案：③
3．已知函数 f(x)＝x＋log2x，则 f(x)在[1
2
，2]内的零点的个数是______．
解析：易知 g(x)＝x 与 h(x)＝log2x 均为增函数，故函数 f(x)为增函数，且 f(2)·f(1
2)<0，故函数有且只有
一个零点．答案：1
4．(2010 年珠海质检)某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻 t(单位：分钟)与细胞数 n(单位：个)的部分
数据如下：
t 0 20 60 140
n 1 2 8 128
根据表中数据，推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于________分钟．
解析：由表格中所给数据可以得出 n 与 t 的函数关系为 n＝2
t
20
，令 n＝1000，得 2
t
20
＝1000，又 210＝1024，
所以时刻 t 最接近 200 分钟．答案：200
5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生
产 n 年的累计产量为 f(n)＝1
2n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过 150 吨，将会给环境造成危害．为保护
环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．
36
解析：由题知第一年产量为 a1＝1
2
×1×2×3＝3；以后各年产量分别为 an＝f(n)－f(n－1)＝1
2n·(n＋1)(2n
＋1)－1
2n·(n－1)(2n－1)＝3n2(n∈N*)，令 3n2≤150，得 1≤n≤5 2⇒1≤n≤7，故生产期限最长为 7 年．答
案：7
6．(2010 年苏、锡、常、镇四市调研)某市出租车收费标准如下：
起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部
分按每千米 2．15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千米 2．85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1
元．现某人乘坐一次出租车付费 22．6 元，则此次出租车行驶了________km．
解析：设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元，由题意可得：
f(x) ＝
)，(8∈，2.85×8)－(＋2.15×5＋9
(3,8]∈，2.15×3)－(＋9
(0,3]∈，1＋8
∞＋xx
xx
x
令 f(x)＝22．6，解得 x＝9．答案：9
7．(2010 年绍兴第一次质检)一位设计师在边长为 3 的正方形 ABCD 中设计图案，他分别以 A、B、C、D
为圆心，以 b(015000，解得 00，f(x)是增函数；
当 x∈(5
9
，1)时，f′(x)<0，f(x)是减函数．
∴当 x＝5
9
时，f(x)取得最大值，f(x)max＝f(5
9)＝20000．
即当 x＝5
9
时，本年度的年利润最大，最大利润为 20000 万元
第五章 三角函数
第一节 角的概念的推广与弧度制
A 组
1．点 P 从(－1，0)出发，沿单位圆 x2＋y2＝1 顺时针方向运动π
3
弧长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为________．
解析：由于点 P 从(－1，0)出发，顺时针方向运动π
3
弧长到达 Q 点，如图，因
此 Q 点的坐标为(cos2π
3
，sin2π
3 )，即 Q(－1
2
， 3
2 )．答案：(－1
2
， 3
2 )
2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．
①tanα
2
②sinα
2
③cosα
2
④cos2α
解析：α为第四象限角，则α
2
为第二、四象限角，因此 tanα
2<0 恒成立，应填①，其余三个符号可正可负．答
案：①
3．(2008 年高考全国卷Ⅱ改编)若 sinα<0 且 tanα>0，则α是第_______象限的角．
答案：三
4．函数 y＝|sinx|
sinx
＋ cosx
|cosx|
＋|tanx|
tanx
的值域为________．
解析：当 x 为第一象限角时，sinx>0，cosx>0，tanx>0，y＝3；
当 x 为第二象限角时，sinx>0，cosx<0，tanx<0，y＝－1；
当 x 为第三象限角时，sinx<0，cosx<0，tanx>0，y＝－1；
当 x 为第四象限角时，sinx<0，cosx>0，tanx<0，y＝－1．答案：{－1，3}
5．(原创题)若一个α角的终边上有一点 P(－4，a)，且 sinα·cosα＝ 3
4
，则 a 的值为________．
解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点 P(－4，a)在其终边上且 sinα·cosα＝ 3
4
，易得 tanα＝ 3或
3
3
，则 a＝－4 3或－4
3 3．答案：－4 3或－4
3 3
39
6．已知角α的终边上的一点 P 的坐标为(－ 3，y)(y≠0)，且 sinα＝ 2
4 y，求 cosα，tanα的值．
解：因为 sinα＝ 2
4 y＝ y
(－ 3)2＋y2
，所以 y2＝5，
当 y＝ 5时，cosα＝－ 6
4
，tanα＝－ 15
3
；
当 y＝－ 5时，cosα＝－ 6
4
，tanα＝ 15
3
．
B 组
1．已知角α的终边过点 P(a，|a|)，且 a≠0，则 sinα的值为________．
解析：当 a>0 时，点 P(a，a)在第一象限，sinα＝ 2
2
；
当 a<0 时，点 P(a，－a)在第二象限，sinα＝ 2
2
．答案： 2
2
2．已知扇形的周长为 6 cm，面积是 2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．
解析：设扇形的圆心角为α rad，半径为 R，则
2R＋α·R＝6
1
2R2·α＝2 ，解得α＝1 或α＝4．答案：1 或 4
3．如果一扇形的圆心角为 120°，半径等于 10 cm，则扇形的面积为________．
解析：S＝1
2|α|r2＝1
2
×2
3π×100＝100
3 π(cm2)．答案：100
3 π cm2
4．若角θ的终边与 168°角的终边相同，则在 0°～360°内终边与θ
3
角的终边相同的角的集合为__________．答
案：{56°，176°，296°}
5．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是第________象限．
解析：当 k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当 k＝2m(m∈Z)
时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．
答案：一或三
6．设角α的终边经过点 P(－6a，－8a)(a≠0)，则 sinα－cosα的值是________．
解析：∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝ (－6a)2＋(－8a)2＝10|a|，
∴sinα－cosα＝y
r
－x
r
＝－8a＋6a
10|a|
＝－a
5|a|
＝±1
5
．答案：±1
5
7．(2010 年北京东城区质检)若点 A(x，y)是 300°角终边上异于原点的一点，则y
x
的值为________．
解析：y
x
＝tan300°＝－tan60°＝－ 3．答案：－ 3
8．(2010 年深圳调研)已知点 P(sin3π
4
，cos3π
4 )落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为________．
解析：由 sin3π
4 >0，cos3π
4 <0 知角θ在第四象限，∵tanθ＝
cos3π
4
sin3π
4
＝－1，θ∈[0，2π)，∴θ＝7π
4
．答案：7π
4
9．已知角α的始边在 x 轴的非负半轴上，终边在直线 y＝kx 上，若 sinα＝ 2
5
，且 cosα<0，则 k 的值为________．
解析：设α终边上任一点 P(x，y)，且|OP|≠0，∴y＝kx，
∴r＝ x2＋(kx)2＝ 1＋k2|x|．又 sinα>0，cosα<0．∴x<0，y>0，
∴r＝－ 1＋k2x，且 k<0．∴sinα＝y
r
＝ kx
－ 1＋k2x
＝－ k
1＋k2
，又 sinα＝ 2
5
．
∴－ k
1＋k2
＝ 2
5
，∴k＝－2．答案：－2
40
10．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是 R．若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形
面积．
解：设弧长为 l，弓形面积为 S 弓，∵α＝60°＝π
3
，R＝10，∴l＝10
3 π(cm)，
S 弓＝S 扇－S△＝1
2·10
3 π·10－1
2·102sin60°＝50(π
3
－ 3
2 )(cm2)．
11．扇形 AOB 的周长为 8 cm．
(1)若这个扇形的面积为 3 cm2，求圆心角的大小；
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB．
解：设扇形 AOB 的半径为 r，弧长为 l，圆心角为α，
(1)由题意可得
2r＋l＝8，
1
2lr＝3， 解得 r＝3，
l＝2，
或 r＝1
l＝6，
∴α＝l
r
＝2
3
或α＝l
r
＝6．
(2)∵2r＋l＝2r＋αr＝8，∴r＝ 8
2＋α
．∴S 扇＝1
2αr2＝1
2α· 64
(2＋α)2
＝ 32
α＋4
α
＋4
≤4，
当且仅当α＝4
α
，即α＝2 时，扇形面积取得最大值 4．此时，r＝ 8
2＋2
＝2 (cm)，
∴|AB|＝2×2sin1＝4 sin1 (cm)．
12．(1)角α的终边上一点 P(4t，－3t)(t≠0)，求 2sinα＋cosα的值；
(2)已知角β的终边在直线 y＝ 3x 上，用三角函数定义求 sinβ的值．
解：(1)根据题意，有 x＝4t，y＝－3t，所以 r＝ (4t)2＋(－3t)2＝5|t|，
①当 t＞0 时，r＝5t，sinα＝－3
5
，cosα＝4
5
，所以 2sinα＋cosα＝－6
5
＋4
5
＝－2
5
．
②当 t＜0 时，r＝－5t，sinα＝－3t
－5t
＝3
5
，cosα＝ 4t
－5t
＝－4
5
，
所以 2sinα＋cosα＝6
5
－4
5
＝2
5
．
(2)设 P(a， 3a)(a≠0)是角β终边 y＝ 3x 上一点，若 a＜0，则β是第三象限角，r＝－2a，此时 sinβ＝ 3a
－2a
＝－ 3
2
；若 a＞0，则β是第一象限角，r＝2a，
此时 sinβ＝ 3a
2a
＝ 3
2
．
第二节 正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A 组
1．若 cosα＝－3
5
，α∈(π
2
，π)，则 tanα＝________．
解析：cosα＝－3
5
，α∈(π
2
，π)，所以 sinα＝4
5
，∴tanα＝sinα
cosα
＝－4
3
．
答案：－4
3
2．(2009 年高考北京卷)若 sinθ＝－4
5
，tanθ>0，则 cosθ＝________．
41
解析：由 sinθ＝－4
5<0，tanθ>0 知，θ是第三象限角，故 cosθ＝－3
5
．
答案：－3
5
3．若 sin(π
6
＋α)＝3
5
，则 cos(π
3
－α)＝________．
解析：cos(π
3
－α)＝cos[π
2
－(π
6
＋α)]＝sin(π
6
＋α)＝3
5
．答案：3
5
4．(2010 年合肥质检)已知 sinx＝2cosx，则5sinx－cosx
2sinx＋cosx
＝______．
解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴5sinx－cosx
2sinx＋cosx
＝5tanx－1
2tanx＋1
＝9
5
．
答案：9
5
5．(原创题)若 cos2θ＋cosθ＝0，则 sin2θ＋sinθ＝________．
解析：由 cos2θ＋cosθ＝0，得 2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以 cosθ＝－1 或 cosθ＝1
2
，当 cosθ＝－1 时，有
sinθ＝0，当 cosθ＝1
2
时，有 sinθ＝± 3
2
．于是 sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0 或 3或－ 3．答案：0 或 3或
－ 3
6．已知 sin(π－α)cos(－8π－α)＝ 60
169
，且α∈(π
4
，π
2)，求 cosα，sinα的值．
解：由题意，得 2sinαcosα＝120
169
．①又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得：(sinα＋cosα)2＝289
169
，②－①得：(sinα－cosα)2＝ 49
169
．
又∵α∈(π
4
，π
2)，∴sinα>cosα>0，即 sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，
∴sinα＋cosα＝17
13
．③sinα－cosα＝ 7
13
，④
③＋④得：sinα＝12
13
．③－④得：cosα＝ 5
13
．
B 组
1．已知 sinx＝2cosx，则 sin2x＋1＝________．
解析：由已知，得 tanx＝2，所以 sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝2sin2x＋cos2x
sin2x＋cos2x
＝2tan2x＋1
tan2x＋1
＝9
5
．答案：9
5
2．(2010 年南京调研)cos10π
3
＝________．
解析：cos10π
3
＝cos4π
3
＝－cosπ
3
＝－1
2
．答案：－1
2
3．(2010 年西安调研)已知 sinα＝3
5
，且α∈(π
2
，π)，那么sin2α
cos2α
的值等于________．
解析：cosα＝－ 1－sin2α＝－4
5
， sin2α
cos2α
＝2sinαcosα
cos2α
＝2sinα
cosα
＝
2×3
5
－4
5
＝－3
2
．
答案：－3
2
4．(2010 年南昌质检)若 tanα＝2，则sinα＋cosα
sinα－cosα
＋cos2α＝_________________．
42
解析：sinα＋cosα
sinα－cosα
＋cos2α＝sinα＋cosα
sinα－cosα
＋ cos2α
sin2α＋cos2α
＝tanα＋1
tanα－1
＋ 1
tan2α＋1
＝16
5
．答案：16
5
5．(2010 年苏州调研)已知 tanx＝sin(x＋π
2)，则 sinx＝___________________．
解析：∵tanx＝sin(x＋π
2)＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得 sinx＝ 5－1
2
．答案： 5－1
2
6．若θ∈[0，π)，且 cosθ(sinθ＋cosθ)＝1，则θ＝________．
解析：由 cosθ(sinθ＋cosθ)＝1⇒sinθ·cosθ＝1－cos2θ＝sin2θ⇒sinθ(sinθ－cosθ)＝0⇒sinθ＝0 或 sinθ－cosθ
＝0，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝0 或π
4
．答案：0 或π
4
7．已知 sin(α＋ π
12)＝1
3
，则 cos(α＋7π
12)的值等于________．
解析：由已知，得 cos(α＋7π
12)＝cos[(α＋ π
12)＋π
2]＝－sin(α＋ π
12)＝－1
3
．
答案：－1
3
8．(2008 年高考浙江卷改编)若 cosα＋2sinα＝－ 5，则 tanα＝________．
解析：由 cosα＋2sinα＝－ 5， ①
sin2α＋cos2α＝1， ②
将①代入②得( 5sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－2 5
5
，cosα＝－ 5
5
，∴tanα＝2．
答案：2
9．已知 f(α)＝
sin(π－α)cos(2π－α)tan(－α＋3π
2 )
cos(－π－α)
，则 f(－31π
3 )的值为________．
解析：∵f(α)＝sinα·cosα·cotα
－cosα
＝－cosα，∴f(－31
3 π)＝－cosπ
3
＝－1
2
．答案：－1
2
10．求 sin(2nπ＋2π
3 )·cos(nπ＋4π
3 )(n∈Z)的值．
解：(1)当 n 为奇数时，sin(2nπ＋2π
3 )·cos(nπ＋4π
3 )＝sin2π
3 ·cos[(n＋1)π＋π
3]
＝sin(π－π
3)·cosπ
3
＝sinπ
3·cosπ
3
＝ 3
2
×1
2
＝ 3
4
．
(2)当 n 为偶数时，sin(2nπ＋2π
3 )·cos(nπ＋4π
3 )＝sin2π
3 ·cos4π
3
＝sin(π－π
3)·cos(π＋π
3)＝sinπ
3·(－cosπ
3)＝
3
2
×(－1
2)＝－ 3
4
．
11．在△ABC 中，若 sin(2π－A)＝－ 2sin(π－B)， 3cosA＝－ 2cos(π－B)，求△ABC 的三内角．
解：由已知，得 sinA＝ 2sinB， ①
3cosA＝ 2cosB， ②
①2＋②2 得：2cos2A＝1，即 cosA＝± 2
2
．
(1)当 cosA＝ 2
2
时，cosB＝ 3
2
，又 A、B 是三角形内角，∴A＝π
4
，B＝π
6
，∴C＝π－(A＋B)＝ 7
12π．(2)
当 cosA＝－ 2
2
时，cosB＝－ 3
2
．又 A、B 是三角形内角，∴A＝3
4π，B＝5
6π，不合题意．综上知，A＝π
4
，B
＝π
6
，C＝ 7
12π．
12．已知向量 a＝( 3，1)，向量 b＝(sinα－m，cosα)．
(1)若 a∥b，且α∈[0，2π)，将 m 表示为α的函数，并求 m 的最小值及相应的α值；(2)若 a⊥b，且 m＝
43
0，求
cos(π
2
－α)·sin(π＋2α)
cos(π－α)
的值．
解：(1)∵a∥b，∴ 3cosα－1·(sinα－m)＝0，∴m＝sinα－ 3cosα＝2sin(α－π
3)．
又∵α∈[0，2π)，∴当 sin(α－π
3)＝－1 时，mmin＝－2．
此时α－π
3
＝3
2π，即α＝11
6 π．
(2)∵a⊥b，且 m＝0，∴ 3sinα＋cosα＝0．∴tanα＝－ 3
3
．
∴
cos(π
2
－α)·sin(π＋2α)
cos(π－α)
＝sinα·(－sin2α)
－cosα
＝tanα·2sinα·cosα
＝tanα· 2sinα·cosα
sin2α＋cos2α
＝tanα· 2tanα
1＋tan2α
＝1
2
．
第三节 正弦函数与余弦函数的图像与性质
A 组
1．(2009 年高考四川卷改编)已知函数 f(x)＝sin(x－π
2)(x∈R)，下面结论错误的是 ．
①函数 f(x)的最小正周期为 2π②函数 f(x)在区间[0，π
2]上是增函数
③函数 f(x)的图象关于直线 x＝0 对称④函数 f(x)是奇函数
解析：∵y＝sin(x－π
2)＝－cosx，y＝－cosx 为偶函数，
∴T＝2π，在[0，π
2]上是增函数，图象关于 y 轴对称．答案：④
2．(2009 年高考广东卷改编)函数 y＝2cos2(x－π
4)－1 是________．
①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为π
2
的奇函数 ④最小正周期
为π
2
的偶函数
解析：y＝2cos2(x－π
4)－1＝cos(2x－π
2)＝sin2x，∴T＝π，且为奇函数．
答案：①
3．(2009 年高考江西卷改编)若函数 f(x)＝(1＋ 3tanx)cosx，0≤x<π
2
，则 f(x)的最大值为________．
解析：f(x)＝(1＋ 3·sinx
cosx)·cosx＝cosx＋ 3sinx＝2sin(x＋π
6)，
∵0≤x<π
2
，∴π
6
≤x＋π
6<2π
3
，∴当 x＋π
6
＝π
2
时，f(x)取得最大值 2．答案：2
4．已知函数 f(x)＝asin2x＋cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为 x＝ π
12
，则 a 的值为________．
解析：∵x＝ π
12
是对称轴，∴f(0)＝f(π
6)，即 cos0＝asinπ
3
＋cosπ
3
，∴a＝ 3
3
．
答案： 3
3
44
5．(原创题)设 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象关于直线 x＝π
3
对称，它的最小正周期是π，则 f(x)图象
上的一个对称中心是________(写出一个即可)．
解析：∵T＝2π
ω
＝π，∴ω＝2，又∵函数的图象关于直线 x＝π
3
对称，所以有 sin(2×π
3
＋φ)＝±1，∴φ＝
k1π－π
6(k1∈Z)，由 sin(2x＋k1π－π
6)＝0 得 2x＋k1π－π
6
＝k2π(k2∈Z)，∴x＝ π
12
＋(k2－k1)π
2
，当 k1＝k2 时，x＝ π
12
，
∴f(x)图象的一个对称中心为( π
12
，0)．答案：( π
12
，0)
6．(2010 年宁波调研)设函数 f(x)＝ 3cos2x＋sinxcosx－ 3
2
．
(1)求函数 f(x)的最小正周期 T，并求出函数 f(x)的单调递增区间；
(2)求在[0，3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和．
解：(1)f(x)＝ 3
2 (cos2x＋1)＋1
2sin2x－ 3
2
＝ 3
2 cos2x＋1
2sin2x＝sin(2x＋π
3)，
故 T＝π．由 2kπ－π
2
≤2x＋π
3
≤2kπ＋π
2(k∈Z)，得 kπ－ 5
12π≤x≤kπ＋ π
12
，
所以单调递增区间为[kπ－ 5
12π，kπ＋ π
12](k∈Z)．
(2)令 f(x)＝1，即 sin(2x＋π
3)＝1，则 2x＋π
3
＝2kπ＋π
2(k∈Z)．于是 x＝kπ＋ π
12(k∈Z)，∵0≤x<3π，且 k∈Z，
∴k＝0，1，2，则 π
12
＋(π＋ π
12)＋(2π＋ π
12)＝13π
4
．
∴在[0，3π)内使 f(x)取到最大值的所有 x 的和为13
4 π．
B 组
1．函数 f(x)＝sin(2
3x＋π
2)＋sin2
3x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．
解析：f(x)＝cos2x
3
＋sin2x
3
＝ 2sin(2x
3
＋π
4)，相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，T＝2π
2
3
＝3π，∴T
2
＝3π
2
．答案：3π
2
2．(2010 年天津河西区质检)给定性质：a 最小正周期为π；b 图象关于直线 x＝π
3
对称．则下列四个函数中，
同时具有性质 ab 的是________．
①y＝sin(x
2
＋π
6) ②y＝sin(2x＋π
6) ③y＝sin|x| ④y＝sin(2x－π
6)
解析：④中，∵T＝2π
ω
＝π，∴ω＝2．又 2×π
3
－π
6
＝π
2
，所以 x＝π
3
为对称轴．
答案：④
3．(2009 年高考全国卷Ⅰ改编)若π
41，令 tan2x－1＝t>0，则 y＝tan2xtan3x＝ 2tan4x
1－tan2x
＝2(t＋1)2
－t
＝－2(t＋1
t
＋2)≤－8，
故填－8．答案：－8
4．(2010 年烟台质检)函数 f(x)＝sin2x＋2cosx 在区间[－2
3π，θ]上的最大值为 1，则θ的值是________．
解析：因为 f(x)＝sin2x＋2cosx＝－cos2x＋2cosx＋1＝－(cosx－1)2＋2，又其在区间[－2π
3
，θ]上的最大
45
值为 1，可知θ只能取－π
2
． 答案：－π
2
5．(2010 年苏北四市调研)若函数 f(x)＝2sinωx(ω>0)在[－2π
3
，2π
3 ]上单调递增，则ω的最大值为________．
解析：由题意，得2π
4ω
≥2π
3
，∴0<ω≤3
4
，则ω的最大值为3
4
．答案：3
4
6．(2010 年南京调研)设函数 y＝2sin(2x＋π
3)的图象关于点 P(x0，0)成中心对称，若 x0∈[－π
2
，0]，则 x0＝
________．
解析：因为图象的对称中心是其与 x 轴的交点，所以由 y＝2sin(2x0＋π
3)＝0，x0∈[－π
2
，0]，得 x0＝－π
6
．答
案：－π
6
7．已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋m 的最大值为 4，最小值为 0，最小正周期为π
2
，直线 x＝π
3
是其图象的一条
对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是________．
①y＝4sin(4x＋π
6)②y＝2sin(2x＋π
3)＋2③y＝2sin(4x＋π
3)＋2 ④y＝2sin(4x＋π
6)＋2
解析：因为已知函数的最大值为 4，最小值为 0，所以 A＋m＝4
m－A＝0
，解得 A＝m＝2，又最小正周期为
2π
ω
＝π
2
，所以ω＝4，又直线 x＝π
3
是其图象的一条对称轴，将 x＝π
3
代入得 sin(4×π
3
＋φ)＝±1，所以φ＋4π
3
＝kπ
＋π
2(k∈Z)，即φ＝kπ－5π
6 (k∈Z)，当 k＝1 时，φ＝π
6
．答案：④
8．有一种波，其波形为函数 y＝sinπ
2x 的图象，若在区间[0，t]上至少有 2 个波峰(图象的最高点)，则正整
数 t 的最小值是________．
解析：函数 y＝sinπ
2x 的周期 T＝4，若在区间[0，t]上至少出现两个波峰，则 t≥5
4T＝5．答案：5
9．(2009 年高考安徽卷改编)已知函数 f(x)＝ 3sinωx＋cosωx(ω>0)，y＝f(x)的图象与直线 y＝2 的两个相邻
交点的距离等于π，则 f(x)的单调递增区间是________．
解析：∵y＝ 3sinωx＋cosωx＝2sin(ωx＋π
6)，且由函数 y＝f(x)与直线 y＝2 的两个相邻交点间的距离为
π知，函数 y＝f(x)的周期 T＝π，∴T＝2π
ω
＝π，解得ω＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋π
6)．令 2kπ－π
2
≤2x＋π
6
≤2kπ＋
π
2(k∈Z)，得 kπ－π
3
≤x≤kπ＋π
6(k∈Z)．答案：[kπ－π
3
，kπ＋π
6](k∈Z)
10．已知向量 a＝(2sinωx，cos2ωx)，向量 b＝(cosωx，2 3)，其中ω>0，函数 f(x)＝a·b，若 f(x)图象的相邻
两对称轴间的距离为π．(1)求 f(x)的解析式；(2)若对任意实数 x∈[π
6
，π
3]，恒有|f(x)－m|<2 成立，求实数 m
的取值范围．
解：(1)f(x)＝a·b＝(2sinωx，cos2ωx)·(cosωx，2 3)＝sin2ωx＋ 3(1＋cos2ωx)＝2sin(2ωx＋π
3)＋ 3．∵相
邻两对称轴的距离为π，∴2π
2ω
＝2π，∴ω＝1
2
，
∴f(x)＝2sin(x＋π
3)＋ 3．
(2)∵x∈[π
6
，π
3]，∴x＋π
3
∈[π
2
，2π
3 ]，∴2 3≤f(x)≤2＋ 3．又∵|f(x)－m|<2，
∴－2＋m0)的最小正周期为 3π，且当 x∈[0，π]时，函数 f(x)的最小值
为 0．(1)求函数 f(x)的表达式；(2)在△ABC 中，若 f(C)＝1，且 2sin2B＝cosB＋cos(A－C)，求 sinA 的值．
解：(1)f(x)＝ 3sinωx＋cosωx－1＋m＝2sin(ωx＋π
6)－1＋m．
依题意，函数 f(x)的最小正周期为 3π，即2π
ω
＝3π，解得ω＝2
3
．
∴f(x)＝2sin(2x
3
＋π
6)－1＋m．
当 x∈[0，π]时，π
6
≤2x
3
＋π
6
≤5π
6
，1
2
≤sin(2x
3
＋π
6)≤1，
∴f(x)的最小值为 m．依题意，m＝0．∴f(x)＝2sin(2x
3
＋π
6)－1．
(2)由题意，得 f(C)＝2sin(2C
3
＋π
6)－1＝1，∴sin(2C
3
＋π
6)＝1．
而π
6
≤2C
3
＋π
6
≤5π
6
，∴2C
3
＋π
6
＝π
2
，解得 C＝π
2
．∴A＋B＝π
2
．
在 Rt△ABC 中，∵A＋B＝π
2
，2sin2B＝cosB＋cos(A－C)．
∴2cos2A－sinA－sinA＝0，解得 sinA＝－1± 5
2
．∵01 时，T<2π．当 0<|a|<1 时，T>2π，观察图形中周期与振
幅的关系，发现④不符合要求．答案：④
2．(2009 年高考湖南卷改编)将函数 y＝sinx 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后，得到函数 y＝sin(x－π
6)
47
的图象，则φ等于________．
解析：y＝sin(x－π
6)＝sin(x－π
6
＋2π)＝sin(x＋11π
6 )．答案：11π
6
3．将函数 f(x)＝ 3sinx－cosx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则φ的最小值
为________．
解析：因为 f(x)＝ 3sinx－cosx＝2sin(x－π
6)，f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数，
则φ的最小值为5π
6
．
答案：5π
6
4．如图是函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π)，x∈R 的部分图象，则下列命题中，正确命题的
序号为________．
①函数 f(x)的最小正周期为π
2
；
②函数 f(x)的振幅为 2 3；
③函数 f(x)的一条对称轴方程为 x＝ 7
12π；
④函数 f(x)的单调递增区间为[ π
12
， 7
12π]；
⑤函数的解析式为 f(x)＝ 3sin(2x－2
3π)．
解析：据图象可得：A＝ 3，T
2
＝5π
6
－π
3
⇒T＝π，故ω＝2，又由 f(7π
12)＝ 3⇒sin(2×7π
12
＋φ)＝1，解得φ
＝2kπ－2π
3 (k∈Z)，又－π<φ<π，故φ＝－2π
3
，故 f(x)＝ 3sin(2x－2π
3 )，依次判断各选项，易知①②是错误的，
由图象易知 x＝7π
12
是函数图象的一条对称轴，故③正确，④函数的单调递增区间有无穷多个，区间[ π
12
，7π
12]
只是函数的一个单调递增区间，⑤由上述推导易知正确．答案：③⑤
5．(原创题)已知函数 f(x)＝sinωx＋cosωx，如果存在实数 x1，使得对任意的实数 x，都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1＋
2010)成立，则ω的最小值为________．
解析：显然结论成立只需保证区间[x1，x1＋2010]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可，且 f(x)
＝sinωx＋cosωx＝ 2sin(ωx＋π
4)，则 2010≥
2π
ω
2
⇒ω≥ π
2010
．答案： π
2010
6．(2010 年苏北四市质检)已知函数 f(x)＝sin2ωx＋ 3sinωx·sin(ωx＋π
2)＋2cos2ωx，x∈R(ω>0)，在 y 轴右侧
的第一个最高点的横坐标为π
6
． (1)求ω；
(2)若将函数 f(x)的图象向右平移π
6
个单位后，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的 4 倍，纵坐标
不变，得到函数 y＝g(x)的图象，求函数 g(x)的最大值及单调递减区间．
解：(1)f(x)＝ 3
2 sin2ωx＋1
2cos2ωx＋3
2
＝sin(2ωx＋π
6)＋3
2
，
令 2ωx＋π
6
＝π
2
，将 x＝π
6
代入可得：ω＝1．
(2)由(1)得 f(x)＝sin(2x＋π
6)＋3
2
，
经过题设的变化得到的函数 g(x)＝sin(1
2x－π
6)＋3
2
，
当 x＝4kπ＋4
3π，k∈Z 时，函数取得最大值5
2
．
48
令 2kπ＋π
2
≤1
2x－π
6
≤2kπ＋3
2π(k∈Z)，
∴4kπ＋4π
3
≤x≤4kπ＋10
3 π(k∈Z)．
即 x∈[4kπ＋4π
3
，4kπ＋10
3 π]，k∈Z 为函数的单调递减区间．
B 组
1．(2009 年高考宁夏、海南卷)已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________．
解析：由图可知，T
2
＝2π－3
4π，
∴T＝5
2π，∴2π
ω
＝5
2π，∴ω＝4
5
，
∴y＝sin(4
5x＋φ)．
又∵sin(4
5
×3
4π＋φ)＝－1，
∴sin(3
5π＋φ)＝－1，
∴3
5π＋φ＝3
2π＋2kπ，k∈Z．
∵－π≤φ<π，∴φ＝ 9
10π． 答案： 9
10π
2．(2010 年南京调研)已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π) 的图象如图所
示，则φ＝________．
解析：由图象知 T＝2(2π
3
－π
6)＝π．
∴ω＝2π
T
＝2，把点(π
6
，1)代入，可得 2×π
6
＋φ＝π
2
，φ ＝π
6
．答案：π
6
3 ．(2009 年高考 天津卷改 编)已知函 数 f(x)＝sin(ωx＋ π
4)(x∈R，ω>0)
的最小正周期为π，为了得到函数 g(x)＝cosωx 的图象，只要将 y＝f(x)的图象________．
解析：∵f(x)＝sin(ωx＋π
4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，
∴2π
ω
＝π，故ω＝2．
又 f(x)＝sin(2x＋π
4)∴g(x)＝sin[2(x＋π
8)＋π
4]＝sin(2x＋π
2)＝cos2x．
答案：向左平移π
8
个单位长度
4．(2009 年高考辽宁卷改编)已知函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ) 的图象如图所示，f(π
2)＝－2
3
，则 f(0)＝________．
解析：T
2
＝11
12π－ 7
12π＝π
3
，∴ω＝2π
T
＝3．
又( 7
12π，0)是函数的一个上升段的零点，
∴3× 7
12π＋φ＝3π
2
＋2kπ(k∈Z)，得φ＝－π
4
＋2kπ，k∈Z，
49
代入 f(π
2)＝－2
3
，得 A＝2 2
3
，∴f(0)＝2
3
． 答案：2
3
5．将函数 y＝sin(2x＋π
3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(－ π
12
，0)中心对
称．
解析：由 y＝sin(2x＋π
3)＝sin2(x＋π
6)可知其函数图象关于点(－π
6
，0)对称，因此要使平移后的图象关于
(－ π
12
，0)对称，只需向右平移 π
12
即可．答案：右 π
12
6．(2010 年深圳调研)定义行列式运算：|a1 a2
a3 a4|＝a1a4－a2a3，将函数 f(x)＝| 3 cosx
1 sinx |的图象向左平移 m
个单位(m>0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则 m 的最小值是________．
解析：由题意，知 f(x)＝ 3sinx－cosx＝2( 3
2 sinx－1
2cosx)＝2sin(x－π
6)，
其图象向左平移 m 个单位后变为 y＝2sin(x－π
6
＋m)，平移后其对称轴为 x－π
6
＋m＝kπ＋π
2
，k∈Z．若
为偶函数，则 x＝0，所以 m＝kπ＋2π
3 (k∈Z)，故 m 的最小值为2π
3
．答案：2π
3
7．(2009 年高考全国卷Ⅱ改编)若将函数 y＝tan(ωx＋π
4)(ω>0)的图象向右平移π
6
个单位长度后，与函数 y＝
tan(ωx＋π
6)的图象重合，则ω的最小值为________．
解析：y＝tan(ωx＋π
4)向右平移π
6
个单位长度后得到函数解析式 y＝tan[ω(x－π
6)＋π
4]，即 y＝tan(ωx＋π
4
－
πω
6 )，显然当π
4
－πω
6
＝π
6
＋kπ(k∈Z)时，两图象重合，此时ω＝1
2
－6k(k∈Z)．∵ω>0，∴k＝0 时，ω的最小值
为1
2
．答案：1
2
8．给出三个命题：①函数 y＝|sin(2x＋π
3)|的最小正周期是π
2
；②函数 y＝sin(x－3π
2 )在区间[π，3π
2 ]上单调递
增；③x＝5π
4
是函数 y＝sin(2x＋5π
6 )的图象的一条对称轴．其中真命题的个数是________．
解析：由于函数 y＝sin(2x＋π
3)的最小正周期是π，故函数 y＝|sin(2x＋π
3)|的最小正周期是π
2
，①正确；y
＝sin(x－3π
2 )＝cosx，该函数在[π，3π
2 )上单调递增， ②正确；当 x＝5π
4
时，y＝sin(2x＋5π
6 )＝sin(5π
2
＋5π
6 )＝sin(π
2
＋5π
6 )＝cos5π
6
＝－ 3
2
，不等于函数的最值，故 x＝5π
4
不是函数 y＝sin(2x＋5π
6 )的图象的一条对称轴，③不正
确．答案：2
9．(2009 年高考上海卷)当 0≤x≤1 时，不等式 sinπx
2
≥kx 恒成立，则实数 k 的取值范围是________．
解析：当 0≤x≤1 时，y＝sin πx
2
的图象如图所示，y＝kx 的图象 在[0，1]之间
的部分应位于此图象下方，当 k≤0 时，y＝kx 在[0，1]上的图象恒 在 x 轴下方，
原不等式成立．
当 k>0，kx≤sin πx
2
时，在 x∈[0，1]上恒成立，k≤1 即可．
故 k≤1 时，x∈[0，1]上恒有 sinπx
2
≥kx．答案：k≤1
10．(2009 年高考重庆卷)设函数 f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π
3
．(1)求ω的值；(2)
50
若函数 y＝g(x)的图象是由 y＝f(x)的图象向右平移π
2
个单位长度得到，求 y＝g(x)的单调增区间．
解：(1)f(x)＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωx·cosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝ 2sin(2ωx＋π
4)＋2，依
题意，得2π
2ω
＝2π
3
，故ω＝3
2
．
(2)依题意，得 g(x)＝ 2sin[3(x－π
2)＋π
4]＋2＝ 2sin(3x－5π
4 )＋2．
由 2kπ－π
2
≤3x－5π
4
≤2kπ＋π
2(k∈Z)，解得 2
3kπ＋π
4
≤x≤2
3kπ＋7π
12(k∈Z)．
故 g(x)的单调增区间为[2
3kπ＋π
4
，2
3kπ＋7π
12](k∈Z)．
11．(2009 年高考陕西卷)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A>0，ω>0，0<φ<π
2)的周期为π，且图象上
一个最低点为 M(2π
3
，－2)．
(1)求 f(x)的解析式；(2)当 x∈[0， π
12]时，求 f(x)的最值．
解：(1)由最低点为 M(2π
3
，－2)得 A＝2．由 T＝π得ω＝2π
T
＝2π
π
＝2．
由点 M(2π
3
，－2)在图象上得 2sin(4π
3
＋φ)＝－2，即 sin(4π
3
＋φ)＝－1，
∴4π
3
＋φ＝2kπ－π
2(k∈Z)，即φ＝2kπ－11π
6
，k∈Z．又φ∈(0，π
2)，∴φ＝π
6
，
∴f(x)＝2sin(2x＋π
6)．
(2)∵x∈[0， π
12]，∴2x＋π
6
∈[π
6
，π
3]，∴当 2x＋π
6
＝π
6
，即 x＝0 时，f(x)取得最小值 1；当 2x＋π
6
＝π
3
，即
x＝ π
12
时，f(x)取得最大值 3．
12．(2009 年高考福建卷)已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω>0，|φ|<π
2
．
(1)若 cosπ
4cosφ－sin3π
4 sinφ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的条件下，若函数 f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π
3
，求函数 f(x)的解析式；并求
最小正实数 m，使得函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数是偶函数．
解：法一：(1)由 cosπ
4cosφ－sin3π
4 sinφ＝0 得 cosπ
4cosφ－sinπ
4sinφ＝0，
即 cos(π
4
＋φ)＝0．又|φ|<π
2
，∴φ＝π
4
．
(2)由(1)得，f(x)＝sin(ωx＋π
4)．依题意，T
2
＝π
3
，又 T＝2π
ω
，故ω＝3，
∴f(x)＝sin(3x＋π
4)．函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为
g(x)＝sin[3(x＋m)＋π
4]，g(x)是偶函数当且仅当 3m＋π
4
＝kπ＋π
2(k∈Z)，
即 m＝kπ
3
＋ π
12(k∈Z)．从而，最小正实数 m＝ π
12
．
法二：(1)同法一．
(2)由(1)得 ，f(x)＝sin(ωx＋π
4)．依题意，T
2
＝π
3
．又 T＝2π
ω
，故ω＝3，
51
∴f(x)＝sin(3x＋π
4)．
函数 f(x)的图象向左平移 m 个单位后所对应的函数为 g(x)＝sin[3(x＋m)＋π
4]．
g(x)是偶函数当且仅当 g(－x)＝g(x)对 x∈R 恒成立，
亦即 sin(－3x＋3m＋π
4)＝sin(3x＋3m＋π
4)对 x∈R 恒成立．
∴sin(－3x)cos(3m＋π
4)＋cos(－3x)·sin(3m＋π
4)
＝sin3xcos(3m＋π
4)＋cos3xsin(3m＋π
4)，
即 2sin3xcos(3m＋π
4)＝0 对 x∈R 恒成立．∴cos(3m＋π
4)＝0，故 3m＋π
4
＝kπ＋π
2(k∈Z)，∴m＝kπ
3
＋
π
12(k∈Z)，从而，最小正实数 m＝ π
12
．
第六章 三角恒等变形
第一节 同角三角函数的基本关系
A 组
1．已知 sinα＝ 5
5
，sin(α－β)＝－ 10
10
，α、β均为锐角，则β等于________．
解析：∵α、β均为锐角，∴－π
2<α－β<π
2
，∴cos(α－β)＝ 1－sin2(α－β)＝3 10
10
．
∵sinα＝ 5
5
，∴cosα＝ 1－( 5
5 )2＝2 5
5
．
∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝ 2
2
．
∵0<β<π
2
，∴β＝π
4
．答案：π
4
2．已知 0<α<π
2<β<π，cosα＝3
5
，sin(α＋β)＝－3
5
，则 cosβ的值为________．
解析：∵0<α<π
2
，π
2<β<π，∴π
2<α＋β<3
2π．∴sinα＝4
5
，cos(α＋β)＝－4
5
，
∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝(－4
5)×3
5
＋(－3
5)×4
5
＝－24
25
．答案：－24
25
3．如果 tanα、tanβ是方程 x2－3x－3＝0 的两根，则sin(α＋β)
cos(α－β)
＝________．
解析：tanα＋tanβ＝3，tanαtanβ＝－3，则sin(α＋β)
cos(α－β)
＝sinαcosβ＋cosαsinβ
cosαcosβ＋sinαsinβ
＝ tanα＋tanβ
1＋tanαtanβ
＝ 3
1－3
＝－3
2
．答案：－3
2
4．(2008 年高考山东卷改编)已知 cos(α－π
6)＋sinα＝4
5 3，则 sin(α＋7π
6 )的值是___．
解析：由已知得 3
2 cosα＋1
2sinα＋sinα＝4
5 3，即 1
2cosα＋ 3
2 sinα＝4
5
，
得 sin(α＋π
6)＝4
5
，sin(α＋7
6π)＝－sin(α＋π
6)＝－4
5
．答案：－4
5
5．(原创题)定义运算 a b＝a2－ab－b2，则 sin π
12 cos π
12
＝________．
52
解析：sin π
12 cos π
12
＝sin2 π
12
－sin π
12cos π
12
－cos2 π
12
＝－(cos2 π
12
－sin2 π
12)－1
2
×2sin π
12cos π
12
＝－cosπ
6
－
1
2sinπ
6
＝－1＋2 3
4
．答案：－1＋2 3
4
6．已知α∈(π
2
，π)，且 sinα
2
＋cosα
2
＝ 6
2
．
(1)求 cosα的值；(2)若 sin(α－β)＝－3
5
，β∈(π
2
，π)，求 cosβ的值．
解：(1)因为 sinα
2
＋cosα
2
＝ 6
2
，两边同时平方得 sinα＝1
2
．
又π
2<α<π．所以 cosα＝－ 3
2
．
(2)因为π
2<α<π，π
2<β<π，所以－π<－β<－π
2
，故－π
2<α－β<π
2
．
又 sin(α－β)＝－3
5
，得 cos(α－β)＝4
5
．
cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝－ 3
2
×4
5
＋1
2
×(－3
5)＝－4 3＋3
10
．
B 组
1． cos2α
1＋sin2α
·1＋tanα
1－tanα
的值为________．
解析： cos2α
1＋sin2α·1＋tanα
1－tanα
＝ cos2α－sin2α
(sinα＋cosα)2·1＋tanα
1－tanα
＝cosα－sinα
sinα＋cosα
·1＋tanα
1－tanα
＝1－tanα
1＋tanα
·1＋tanα
1－tanα
＝1．
2．已知 cos(π
4
＋x)＝3
5
，则sin2x－2sin2x
1－tanx
的值为________．
解析：∵cos(π
4
＋x)＝3
5
，∴cosx－sinx＝3
5 2，
∴1－sin2x＝18
25
，sin2x＝ 7
25
，∴sin2x－2sin2x
1－tanx
＝2sinx(cosx－sinx)
cosx－sinx
cosx
＝sin2x＝ 7
25
．
3．已知 cos(α＋π
3)＝sin(α－π
3)，则 tanα＝________．
解析：cos(α＋π
3)＝cosαcosπ
3
－sinαsinπ
3
＝1
2cosα－ 3
2 sinα，sin(α－π
3)
＝sinαcosπ
3
－cosαsinπ
3
＝1
2sinα－ 3
2 cosα，
由已知得：(1
2
＋ 3
2 )sinα＝(1
2
＋ 3
2 )cosα，tanα＝1．
4．设α∈(π
4
，3π
4 )，β∈(0，π
4)，cos(α－π
4)＝3
5
，sin(3π
4
＋β)＝ 5
13
，则 sin(α＋β)＝________．
解析：α∈(π
4
，3π
4 )，α－π
4
∈(0，π
2)，又 cos(α－π
4)＝3
5
，∴sin(α－π
4)＝4
5
．
∵β∈(0，π
4)，∴3π
4
＋β∈(3π
4
，π)．∵sin(3π
4
＋β)＝ 5
13
，∴cos(3π
4
＋β)＝－12
13
，
∴sin(α＋β)＝－cos[(α－π
4)＋(3π
4
＋β)]
53
＝－cos(α－π
4)·cos(3π
4
＋β)＋sin(α－π
4)·sin(3π
4
＋β)＝－3
5
×(－12
13)＋4
5
× 5
13
＝56
65
，
即 sin(α＋β)＝56
65
．
5．已知 cosα＝1
3
，cos(α＋β)＝－1
3
，且α，β∈(0，π
2)，则 cos(α－β)的值等于________．
解析：∵α∈(0，π
2)，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝1
3
，∴cos2α＝2cos2α－1＝－7
9
，∴sin2α＝ 1－cos22α＝4 2
9
，
而α，β∈(0，π
2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝ 1－cos2(α＋β)＝2 2
3
，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝
cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝(－7
9)×(－1
3)＋4 2
9
×2 2
3
＝23
27
．
6．已知角α在第一象限，且 cosα＝3
5
，则
1＋ 2cos(2α－π
4)
sin(α＋π
2)
＝________．
解析：∵α在第一象限，且 cosα＝3
5
，∴sinα＝4
5
，则
1＋ 2cos(2α－π
4)
sin(α＋π
2)
＝
1＋ 2( 2
2 cos2α＋ 2
2 sin2α)
cosα
＝
2cos2α＋2sinαcosα
cosα
＝2(sinα＋cosα)＝2(4
5
＋3
5)＝14
5
．
7．已知 a＝(cos2α，sinα)，b＝(1，2sinα－1)，α∈(π
2
，π)，若 a·b＝2
5
，则 tan(α＋π
4)的值为________．
解析：a·b＝cos2α＋2sin2α－sinα＝1－2sin2α＋2sin2α－sinα＝1－sinα＝2
5
，∴sinα＝3
5
，又α∈(π
2
，π)，
∴cosα＝－4
5
，tanα＝－3
4
，∴tan(α＋π
4)＝tanα＋1
1－tanα
＝1
7
．
8． tan10°tan70°
tan70°－tan10°＋tan120°
的值为______．
解析：由 tan(70°－10°)＝ tan70°－tan10°
1＋tan70°·tan10°
＝ 3，
故 tan70°－tan10°＝ 3(1＋tan70°tan10°)，代入所求代数式得：
tan70°tan10°
3(1＋tan70°tan10°)＋tan120°
＝ tan70°tan10°
3(1＋tan70°tan10°)－ 3
＝ tan70°tan10°
3tan70°tan10°
＝ 3
3
．
9．已知角α的终边经过点 A(－1， 15)，则
sin(α＋π
4)
sin2α＋cos2α＋1
的值等于________．
解析：∵sinα＋cosα≠0，cosα＝－1
4
，∴
sin(α＋π
4)
sin2α＋cos2α＋1
＝ 2
4cosα
＝－ 2．
10．求值：cos20°
sin20°·cos10°＋ 3sin10°tan70°－2cos40°．
解：原式＝cos20°cos10°
sin20°
＋ 3sin10°sin70°
cos70°
－2cos40°
＝cos20°cos10°＋ 3sin10°cos20°
sin20°
－2cos40°
＝cos20°(cos10°＋ 3sin10°)
sin20°
－2cos40°
＝2cos20°(cos10°sin30°＋sin10°cos30°)
sin20°
－2cos40°
54
＝2cos20°sin40°－2sin20°cos40°
sin20°
＝2．
11．已知向量 m＝(2cosx
2
，1)，n＝(sinx
2
，1)(x∈R)，设函数 f(x)＝m·n－1．
(1)求函数 f(x)的值域；(2)已知锐角△ABC 的三个内角分别为 A，B，C，若 f(A)＝ 5
13
，f(B)＝3
5
，求 f(C)
的值．
解：(1)f(x)＝m·n－1＝(2cosx
2
，1)·(sinx
2
，1)－1＝2cosx
2sinx
2
＋1－1＝sinx．
∵x∈R，∴函数 f(x)的值域为[－1，1]．
(2)∵f(A)＝ 5
13
，f(B)＝3
5
，∴sinA＝ 5
13
，sinB＝3
5
．
∵A，B 都为锐角，∴cosA＝ 1－sin2A＝12
13
，cosB＝ 1－sin2B＝4
5
．
∴f(C)＝sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB
＝ 5
13
×4
5
＋12
13
×3
5
＝56
65
．∴f(C)的值为56
65
．
12．(2010 年南京调研)已知：0<α<π
2<β<π，cos(β－π
4)＝1
3
，sin(α＋β)＝4
5
．
(1)求 sin2β的值；(2)求 cos(α＋π
4)的值．
解：(1)法一：∵cos(β－π
4)＝cosπ
4cosβ＋sinπ
4sinβ＝ 2
2 cosβ＋ 2
2 sinβ＝1
3
，
∴cosβ＋sinβ＝ 2
3
，∴1＋sin2β＝2
9
，∴sin2β＝－7
9
．
法二：sin2β＝cos(π
2
－2β)＝2cos2(β－π
4)－1＝－7
9
．
(2)∵0<α<π
2<β<π，∴π
4<β－π
4<3π
4
，π
2<α＋β<3π
2
，∴sin(β－π
4)>0，cos(α＋β)<0．
∵cos(β－π
4)＝1
3
，sin(α＋β)＝4
5
，∴sin(β－π
4)＝2 2
3
，cos(α＋β)＝－3
5
．
∴cos(α＋π
4)＝cos[(α＋β)－(β－π
4)]＝cos(α＋β)cos(β－π
4)＋sin(α＋β)sin(β－π
4)
＝－3
5
×1
3
＋4
5
×2 2
3
＝8 2－3
15
．
第二节 两角和与差及二倍角的三角函数
A 组
1．若 sinα＝3
5
，α∈(－π
2
，π
2)，则 cos(α＋5π
4 )＝________．
解析：由于α∈(－π
2
，π
2)，sinα＝3
5
得 cosα＝4
5
，由两角和与差的余弦公式得：cos(α＋5π
4 )＝－ 2
2 (cosα－
sinα)＝－ 2
10
．
2．已知π<θ<3
2π，则 1
2
＋1
2
1
2
＋1
2cosθ＝________．
解析：∵π<θ<3π
2
，∴π
2<θ
2<3π
4
，π
4<θ
4<3π
8
．
1
2
＋1
2
1
2
＋1
2cosθ＝ 1
2
＋1
2 cos2θ
2
55
＝ 1
2
－1
2cosθ
2
＝sinθ
4
．
3．(2010 年南京市调研)计算：cos10°＋ 3sin10°
1－cos80°
＝________．
解析：cos10°＋ 3sin10°
1－cos80°
＝2cos(10°－60°)
2sin240°
＝ 2cos50°
2sin40°
＝ 2．
4．(2009 年高考上海卷)函数 y＝2cos2x＋sin2x 的最小值是__________________．
解析：y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1
＝ 2sin(2x＋π
4)＋1≥1－ 2．
5．(原创题)函数 f(x)＝(sin2x＋ 1
2010sin2x)(cos2x＋ 1
2010cos2x)的最小值是________．
解析：f(x)＝(2010sin4x＋1)(2010cos4x＋1)
20102sin2xcos2x
＝20102sin4xcos4x＋2010(sin4x＋cos4x)＋1
20102sin2xcos2x
＝sin2xcos2x＋ 2011
20102sin2xcos2x
－ 2
2010
≥ 2
2010( 2011－1)．
6．已知角α∈(π
4
，π
2)，且(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0．
(1)求 tan(α＋π
4)的值；(2)求 cos(π
3
－2α)的值．
解：∵(4cosα－3sinα)(2cosα－3sinα)＝0，
又α∈(π
4
，π
2)，∴tanα＝4
3
，sinα＝4
5
，cosα＝3
5
，
(1)tan(α＋π
4)＝
tanα＋tanπ
4
1－tanαtanπ
4
＝
4
3
＋1
1－4
3
＝－7．
(2)cos2α＝2cos2α－1＝－ 7
25
，sin2α＝2sinαcosα＝24
25
，
cos(π
3
－2α)＝cosπ
3cos2α＋sinπ
3sin2α＝1
2
×(－ 7
25)＋ 3
2
×24
25
＝24 3－7
50
．
B 组
1．若 tan(α＋β)＝2
5
，tan(β－π
4)＝1
4
，则 tan(α＋π
4)＝_____．
解析：tan(α＋π
4)＝tan[(α＋β)－(β－π
4)]＝
tan(α＋β)－tan(β－π
4)
1＋tan(α＋β)tan(β－π
4)
＝
2
5
－1
4
1＋2
5
×1
4
＝ 3
22
．
2．(2009 年高考陕西卷改编)若 3sinα＋cosα＝0，则 1
cos2α＋sin2α
的值为________．
解析：由 3sinα＋cosα＝0 得 cosα＝－3sinα，则 1
cos2α＋sin2α
＝ sin2α＋cos2α
cos2α＋2sinαcosα
＝ 9sin2α＋sin2α
9sin2α－6sin2α
＝10
3
．
3．设 a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝ 6
2
，则 a、b、c 的大小关系是
解析：a＝ 2sin59°，c＝ 2sin60°，b＝ 2sin61°，∴a1＋1
2
＝3
2
，c2＝3
2
，∴a0) ．
（1）若 ,1,2 dq 求 43,aa 并猜测 2006a ；
（2）若 12 na 是等比数列，且 na2 是等差数列，求 dq, 满足的条件．
解：（1） ,22,11,2,1 342321 aaaaaa 猜测 22006 a ．
（2）由 nnnn aaqaa 212,122 ( ), , 0d q d R q+ ，得 dqaa nn 1212 ．
当 0d 时，显然 1212 nn qaa ， 12 na 是等比数列．
当 0d 时，因为 ,11 a 只有 112 na 时， 12 na 才是等比数列．
由 dqaa nn 1212 ，得 ,1 dq 即 0,0 qd ，或 1q d+ = ．
由 daaqaa nnnn 2212,122 得 )2(222 nqdqaa nn ．
当 )2(,1 222 ndaaq nn ，显然 na2 是等差数列，
当 1q 时， qqaa 12 ，
只有 qa n 2 时， na2 才是等差数列．
由 )( 222 daqa nn ，得 ,1 dq 即 1,1 dqq ．
综上所述： 1q d+ = ．
19．已知一个等差数列的前 10 项和是 310，前 20 项和是 1220，试求其前 n 项和．
63
解：由题设： 31010 S 122020 S
得：
122019020
3104510
1
1
da
da
6
41
d
a
∴ nnnnnSn 2362
)1(4
第九章 平面向量
1．已知三个向量 a=(cos 1 ，sin 1 )，b=(cos 2 ，sin 2 )，c= 3(cos ，sin 3 )，满足 0 cba ，则 a 与
b 的夹角为
3
2
2、下列命题：
（1）若 ar 与b
r
为非零向量，且 //a b 时，则 a b- 必与 a 或b 中之一的方向相同；
（2）若 er 为单位向量，且 //a er r ，则 a a e= ×r r r ；
（3） a a a a=r r r r
（4）若 ar 与b
r
共线，又b
r
与 cr 共线，则 ar 与 cr 必共线
（5）若平面内四个点 A、B、C、D 则必有 AB BD BC AD+ = +
uuur uuur uuur uuur
正确的命题个数为（ D ）
A．1 B．2 C．3 D．0
3、若 O 为平行四边形 ABCD 的中心， BA
=4 e
1， 122 23,6 eeeCB 则 等于（ B ）
A． OA
B． OB
C． OC
D． OD
4、若 )2,1(),7,5( ba
，且（ ba
） b
，则实数 的值为
5
19 ．
5、已知 2|||| ba ， a 与b 的夹角为
3
，则 ba 在 a 上的投影为 3 ．
6、在直角坐标平面上，向量 )1,4(OA ，向量 )3,2( OB ，两向量在直线l 上的正射影长度相等，则直线
l 的斜率为 13 2
或- ．
7、设平面向量 a =(-2，1)，b =(1， )，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 的取值范 )2,2
1()2
1,( ．
8、已知向量 )sin2,cos2(),2,2(),0,2( CAOCOB ，则向量 OBOA, 的夹角范围是 5,12 12
p p
9、将函数 xy 2 的图象按向量
a 平移后得到 62 xy 的图象，给出以下四个命题：
①
a 的坐标可以是 )0,3( ； ②
a 的坐标可以是 )0,3( 和 )6,0( ；
③
a 的坐标可以是 )6,0( ； ④
a 的坐标可以有无数种情况．
上述说法正确的是①②③④．
10、已知 ABC 中， 5||,3||,4
15,0,, baSbabCAaCB ABC ，则 a 与 b 的夹角为 0150 ．
11、若△ABC 三边长 AB=5，BC=7，AC=8，则 BCAB 等于 5 ．
64
12．已知| | 4, | | 3, ,a b a b 的夹角为 120°，且 2c a b ， 2d a kb ，当 c d 时，k= ．
13．已知 A（3，y），B（ 5 ，2），C（6， 9 ）三点共线，则 y=_________．
14．若 a
=（1，2），b
=（ 3 ，2），k 为何值时:（1）k a
+b
与 a
－3 b
垂直；（2）k a
+b
与 a
－3b
平行？
15． 已知| a
|=4，| b
|=3，（2 a
－3 b
）·（2 a
+b
）=61，求：(i) a
与b
的夹角θ; (ii) | 2 |a b ．
16． 已知 ABC 的顶点坐标分别为 A（1，2），B（2，3），C（－2，5），求 cos A ．
17．设 a
=（sinx－1，cosx－1），b
=（
2
2 ，
2
2 ）．（1）若 a
为单位向量，求 x 的值；（2）设 f（x）= a
·b
，
则函数 y=f（x）的图象是由 y=sinx 的图象如何平移得到？
65
18．已知 3 3(cos ,sin ), (cos , sin )2 2 2 2
x xa x x b ，且 [0, ]2x ．
（1）求 a b 及 a b
; （2）求函数 ( ) sinf x a b a b x 的最小值．
第十章 算法
第一节 程序框图
A 组
66
1．(2009 年高考福建卷改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是________．
解析：试将程序分步运行：
第一循环：S＝ 1
1－2
＝－1，n＝2；
第二循环：S＝ 1
1－(－1)
＝1
2
，n＝3；
第三循环：S＝ 1
1－1
2
＝2，n＝4．答案：4
2．(2009 年高考宁夏、海南卷改编)如果执行如图的程序框图，输入 x＝ －2，h＝0．5，
那么输出的各个数的和等于________．
解析：由框图可知，当 x＝－2 时，y＝0；
当 x＝－1．5 时，y＝0；当 x＝－1 时，y＝0；
当 x＝－0．5 时，y＝0；当 x＝0 时，y＝0；
当 x＝0．5 时，y＝0．5；当 x＝1 时，y＝1；
当 x＝1．5 时，y＝1；当 x＝2 时，y＝1．
∴输出的各数之和为 3．5． 答案：3．5
3．(2009 年高考山东卷改编)执行下面的程序框图，输出的 T＝________．
第 2 题 第 3 题
解析：据框图依次为：
S＝5，
n＝2，
T＝2，
S＝10，
n＝4，
T＝6，
S＝15，
n＝6，
T＝12，
S＝20，
n＝8，
T＝20，
S＝25，
n＝10，
T＝30，
故此时应输出 T＝30．答案：30
4．(2010 年南京市高三调研)阅读下面的流程图，若输入 a＝6，b＝1，则输出的结果是________．
67
解析：a＝6，b＝1，则 x＝5>2，再次进入循环得 a＝4，b＝6，此时 x＝2，退出循环．故输出 2．答
案：2
5．(2010 年苏、锡、常、镇四市高三调研)阅读如图所示的程序框图，若输入的 n 是 100，则输出的变量 S
的值是多少？
第 5 题 第 6 题
解析：由循环结构可得 S＝100＋99＋…＋3＋2＝5049．
故输出的变量 S 的值为 5049．答案：5049
6．(原创题)已知如图所示的程序框图(未完成)，设当箭头 a 指向①时，输出的结果为 S＝m，当箭头 a
指向②时，输出的结果为 S＝n，求 m＋n 的值．
解：(1)当箭头 a 指向①时，输出 S 和 i 的结果如下：
S 0＋1 0＋2 0＋3 0＋4 0＋5
i 2 3 4 5 6
∴S＝m＝5．
(2)当箭头 a 指向②时，输出 S 和 i 的结果如下：
S 0＋1 0＋1＋2 0＋1＋2＋3 0＋1＋2＋3＋4
i 2 3 4 5
S 0＋1＋2＋3＋4＋5
i 6
∴S＝n＝1＋2＋3＋4＋5＝15，于是 m＋n＝20．
B 组
1．(2010 年温州调研)如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为 s＝720，则在判断框中应填入的关
于 k 的判断条件是__________．
解析：s＝10×9×8，10≥8，9≥8，8≥8，判断条件为“是”时进入循环体，7≥8 判断条件为“否”，
跳出循环，输出 s．答案：k≥8
68
（第 1 题） （第 2 题） （第 3 题）
2．若 R＝8，则下列流程图的运行结果为___4___．
3．给出一个如图所示的程序框图，若要使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等，则 x 的可能值的个数为
________．
解析：x≤2 时，x2＝x，∴x＝0 或 x＝1；25 时，1
x
＝x，∴x＝－1 或 x＝1(都舍去)．所以共有 3 个可取值．答案：3
4．如图，该程序运行后输出的结果为________．
解析：A＝1≤9，“是”，则 S＝0＋1，A 变为 2；A＝2≤9，“是”，则 S＝0＋1＋2，A 变为 3；…；
A＝9≤9，“是”，则 S＝0＋1＋…＋9，A 变为 10；A＝10≤9，“否”，则输出 S＝45．
答案：45
5．已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的 b 值为 16，则循环体的判断框内①处应填____．
解析：a＝1 时进入循环，此时 b＝21＝2；a＝2 时再进入循环，此时 b＝22＝4；a＝3 时再进入循环，
此时 b＝24＝16，∴a＝4 时应跳出循环，∴循环满足的条件为 a≤3，∴填 3．
答案：3
（第 4 题） （第 5 题） （第 6 题）
6．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中的整数 M 的值是________．
解析：A＝1≤M，“是”，则 S＝2×1＋1＝3，A 变为 2；
A＝2≤M，“是”，则 S＝2×3＋1＝7，A 变为 3；
A＝3≤M，“是”，则 S＝2×7＋1＝15，A 变为 4；
A＝4≤M，“是”，则 S＝2×15＋1＝31，A 变为 5；
A＝5≤M，“是”，则 S＝2×31＋1＝63，A 变为 6；
A＝6≤M，“否”，则跳出循环，故填 5．
7．(2009 年高考广东卷改编)某篮球队 6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：
队员 i 1 2 3 4 5 6
三分球个数 a1 a2 a3 a4 a5 a6
下图是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填______，
69
输出的 s＝______．
(注：框图中的赋值符号“←”也可以写成“＝”或“：＝”)
（第 7 题） （第 8 题）
解析：由题意该程序框图实际上是求该 6 名队员在最近三场比赛中投进三分球总数，故判断框应填 i≤6
或 i<7，输出 s 为 a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6．
8．(2009 年高考上海卷)某算法的程序框图如图所示，则输出量 y 与输入量 x 满足的关系式是________．
解析：由程序框图的条件结构知：x>1 时，y＝x－2；x≤1 时，y＝2x．
故 y＝ 2x (x≤1)，
x－2 (x>1).
9．某流程如图所示，现输入如下四个函数
①f(x)＝x2；②f(x)＝1
x
；③f(x)＝lnx；④f(x)＝sinx．
则输入函数与输出函数为同一函数的是_____________．
解析：由程序框图易知只需函数为奇函数且存在零点时，输出与输入函数必是同一函数，分析上述四
个函数，易知只有 y＝sinx 满足条件．答案：④
（第 9 题） （第 10 题）
10．如图所示的算法中，令 a＝tanθ，b＝sinθ，c＝cosθ，若在集合 θ|－π
4<θ<3π
4
，θ≠0，π
4
，π
2 中，给θ
取一个值，输出的结果是 sinθ，求θ值所在的范围．
解：由框图知，要输出 a、b、c 中最大的，当θ∈(π
2
，3
4π)时，sinθ最大．
∴θ值所在的范围为(π
2
，3
4π)．
11．画出计算 1＋1
2
＋1
3
＋…＋1
9
＋ 1
10
值的一个算法的流程图．
70
（第 11 题） （第 12 题）
12．到银行办理个人异地汇款(不超过 100 万元)时，银行要收取一定的手续费．汇款额不超过 100 元，收
取 1 元手续费；超过 100 元但不超过 5000 元，按汇款额的 1%收取；超过 5000 元，一律收取 50 元手续费．设
计算法求汇款额为 x 元时，银行收取的手续费 y 元，只画出流程图．
解 ： 要 计 算 手 续 费 ， 首 先 要 建 立 汇 款 数 与 手 续 费 之 间 的 函 数 关 系 式 ， 依 题 意 知 y ＝
1 (030)＝________．
解析：P(ξ>30)＝1－P(ξ<10)－P(10≤ξ≤30)＝1－0．3－0．4＝0．3．答案：0．3
5．某种电子元件在某一时刻是否接通的可能性是相同的，有 3 个这样的电子元件，则出现至少有一个接
通的概率为________．
解析：设电子元件接通记为 1，没有接通记为 0．又设 A 表示“3 个电子元件至少有一个接通”，显然
A 表示“3 个电子元件都没有接通”，Ω表示“3 个电子元件的状态”，则Ω＝{(1，0，0)，(0，1，0)，(0，
0，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)(0，0，0)}．Ω由 8 个基本事件组成，而且这些基本事
件的出现是等可能的， A ＝{(0，0，0)}，事件 A 由 1 个基本事件组成，因此 P( A )＝1
8
，∵P(A)＋P( A )
＝1，∴P(A)＝1－P( A )＝1－1
8
＝7
8
．答案：7
8
6．(2010 年南京调研)某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有 10 名队员，某些队员不止参加了一支球
队，具体情况如图所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解：从图中可以看出，3 个球队共有 20 名队员，
(1)记“随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队”为事件 A，则 P(A)＝
3＋5＋4
20
＝3
5
．故随机抽取一名队员，该队员只属于一支球队的概 率为3
5
．
(2)记“随机抽取一名队员，该队员最多属于两支球队”为事 件 B，则 P(B)
＝1－P( B )＝1－ 2
20
＝ 9
10
．故随机抽取一名队员，该队员最多属 于两支球队的
概率为 9
10
．
B 组
1．(2009 年高考安徽卷)从长度分别为 2、3、4、5 的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以
构成三角形的概率是________．
解析：从四条线段中任取三条有 4 种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，其中能构
成三角形的取法有 3 种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求的概率为3
4
．
答案：3
4
2．甲射手击中靶心的概率为1
3
，乙射手击中靶心的概率为1
2
，甲、乙两人各射击一次，那么，甲、乙不全
75
击中靶心的概率为________．
解析：P＝1－1
3
×1
2
＝5
6
．答案：5
6
3．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出 1 个球，摸出红球的概率是 0．42，摸出白球
的概率是 0．28，那么摸出黑球的概率是________．
解析：P＝1－0．42－0．28＝0．30．答案：0．30
4．甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是
________．
解析：(甲送给丙，乙送给丁)，(甲送给丁，乙送给丙)，(甲、乙都送给丙)，(甲、乙都送给丁)共四种
情况，其中甲、乙将贺年卡送给同一人的情况有两种．
答案：1
2
5．(2008 年高考江苏卷)若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩
具)先后抛掷 2 次，则出现向上的点数之和为 4 的概率是___．
解析：基本事件共 6×6 个，点数和为 4 的有(1，3)、(2，2)、(3，1)共 3 个．故 P＝ 3
6×6
＝ 1
12
．答案：
1
12
6．有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字 1、2、3、4，把两个玩
具各抛掷一次，斜向上的面写有的数字之和能被 5 整除的概率为________．
解析：由于正四面体各面都完全相同，故每个数字向上都是等可能的，被 5 整除的可能为(2，3)，(3，
2)，(1，4)，(4，1)共 4 种，而总共有 4×4＝16(种)，故 P＝ 4
16
＝1
4
．答案：1
4
7．有一个奇数列 1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组，第一组有 1 个数为 1，第二组有 2 个数为 3、5，
第三组有 3 个数为 7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为 3 的倍数的概率为________．
解析：由已知可得前九组共有(1＋2＋3＋…＋9)＝45(个)奇数，第十组共有 10 个奇数且依次构成公差
为 2 的等差数列，且第一个奇数为 a1＝1＋2×(46－1)＝91，所以，第十组的奇数为 91，93，95，97，99，
101，103，105，107，109 这十个数字，其中恰为 3 的倍数的数有 93，99，105 三个，故所求概率为 P＝ 3
10
．答
案： 3
10
8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点
数分别为 x、y，则满足 log2xy＝1 的概率为________．
解析：由 log2xy＝1 得 y＝2x，满足条件的 x、y 有 3 对，而骰子朝上的点数 x、y 共有 6×6＝36，∴概
率为 3
36
＝ 1
12
．答案： 1
12
9．(2010 年江苏宿迁模拟)将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为 b、c 则方程 x2＋bx＋c＝0 有实
根的概率为____________．
解析：一枚骰子掷两次，其基本事件总数为 36，方程有实根的充要条件为 b2≥4c．
b 1 2 3 4 5 6
使 b2≥4c 的基本事
件个数 0 1 2 4 6 6
由此可见，使方程有实根的基本事件个数为 1＋2＋4＋6＋6＝19，于是方程有实根的概率为 P＝19
36
．答
案：19
36
10．如图，四边形 ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，若每个小三角形用 4 种不同颜色中的任一种涂
染，求出现相邻三角形均不同色的概率．
解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有 44＝256(种)涂法，
下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB 与△COD 同 色，它们共
有 4 种涂法，对每一种涂法，△BOC 与△AOD 各有 3 种涂法，所以此 时 共 有
76
4×3×3＝36(种)涂法．②若△AOB 与△COD 不同色，它们共有 4×3＝12(种)涂法，对每一种涂法△BOC
与△AOD 各有 2 种涂法，所以此时有 4×3×2×2＝48(种)涂法．故相邻三角形均不同色的概率 P＝36＋48
256
＝21
64
．
11．在数学考试中，小明的成绩在 90 分及以上的概率是 0．18，在 80～89 分的概率是 0．51，在 70～79
分的概率是 0．15，在 60～69 分的概率是 0．09，计算小明在数学考试中取得 80 分及以上成绩的概率和
小明考试不及格(低于 60 分)的概率．
解：设小明的数学考试成绩在 90 分及以上，在 80～89 分，在 70～79 分，在 60～69 分分别为事件 B，
C，D，E，这 4 个事件是彼此互斥的．
根据互斥事件的加法公式，小明的考试成绩在 80 分及以上的概率为 P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝0．18＋
0．51＝0．69．
小明考试及格的概率，即成绩在 60 分及以上的概率为 P(B＋C＋D＋E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝
0．18＋0．51＋0．15＋0．09＝0．93．
而小明考试不及格与小明考试及格互为对立事件，所以小明考试不及格的概率为 1－P(B＋C＋D＋E)
＝1－0．93＝0．07．
12．盒中有 6 只灯泡，其中 2 只次品，4 只正品，有放回地从中任取 2 次，每次只取 1 只，试求下列事件
的概率：(1)取到的 2 只都是次品；(2)取到的 2 只中正品、次品各 1 只；(3)取到的 2 只中至少有 1 只正品．
解：从 6 只灯泡中有放回地任取 2 次，每次只取 1 只，共有 62＝36(种)不同取法．
(1)取到的 2 只都是次品的情况有 22＝4(种)，因而所求概率为 P＝ 4
36
＝1
9
．
(2)由于取到的 2 只中正品、次品各 1 只有 2 种可能：第一次取到正品，第二次取到次品；第一次取到
次品，第二次取到正品，所以所求的概率为
P＝4×2
36
＋2×4
36
＝4
9
．
(3)由于“取到的 2 只中至少有 1 只正品”是事件“取到的 2 只都是次品”的对立事件，因而所求的概
率为 P＝1－1
9
＝8
9
．
第二节 概率的应用
A 组
1．在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现
从中随机取出 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是
．
解析：当取出的小球标注的数字之和为 3 时只有{1，2}一种取法；当取出的小球标注的数字之和为 6
时，有{1，5}，{2，4}两种取法，所以符合条件的取法种数为 3 种，而所有的取法有 10 种，故所求的概
率为 3
10
．答案： 3
10
2．已知 k∈Z，AB→＝(k，1)，AC→＝(2，4)，若|A B→|≤4，则△ABC 是直角三角形的概率为________．
解析：|A B→|≤4，k2＋1≤16，k2≤15，k＝－3，－2，－1，0，1，2，3．
B C→＝(2－k，3)．若 A B→·B C→＝－k2＋2k＋3＝0，则 k＝－1，k＝3；若 B C→·A C→＝0，则 k＝8(舍)；若
A B→·A C→＝0，则 k＝－2．故 P＝3
7
．答案：3
7
3．(2010 年南京调研)甲盒子里装有分别标有数字 1，2，4，7 的 4 张卡片，乙盒子里装有分别标有数字 1，
4 的 2 张卡片．若从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片，则 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是________．
解析：数字之和为奇数的有(1，4)，(2，1)，(4，1)，(7，4)共 4 种情形，而从两个盒子中各抽取一张
卡片共有 8 种情况，所以所求概率为1
2
．答案：1
2
4．(2009 年高考江苏卷)现有 5 根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为 2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，若
77
从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0．3 m 的概率为________．
解析：在 5 个长度中一次随机抽取 2 个，则有(2．5，2．6)，(2．5，2．7)，(2．5，2．8)，(2．5，2．9)，
(2．6，2．7)，(2．6，2．8)，(2．6，2．9)，(2．7，2．8)，(2．7，2．9)，(2．8，2．9)，共 10 种情况．满
足长度恰好相差 0．3 m 的基本事件有(2．5，2．8)，(2．6，2．9)，共 2 种情况，所以它们的长度恰好相
差 0．3 m 的概率为 P＝ 2
10
＝1
5
．答案：1
5
5．(原创题)连掷两次骰子分别得到点数 m，n，向量 a＝(m，n)，b＝(－1，1)，若在△ABC 中，A B→与 a
同向，C B→与 b 反向，则∠ABC 是钝角的概率是________．
解析：要使∠ABC 是钝角，必须满足 A B→·C B→<0，即 a·b＝n－m>0．连掷两次骰子所得点数 m，n 共
有 36 种情形，其中 15 种满足条件，故所求概率是 5
12
．
6．一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个，除颜色外其他特征完全相同，已知蓝色球 3 个．若从
袋子中随机取出 1 个球，取到红色球的概率是1
6
．
(1)求红色球的个数；
(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将 1 号红色球，1 号白色球，2 号蓝色球和 3 号蓝色球这四
个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的
球的编号比乙大的概率．
解：(1)设红色球有 x 个，依题意得 x
24
＝1
6
，解得 x＝4，∴红色球有 4 个．
(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A，所有的基本事件有(红 1，白 1)，(红 1，蓝 2)，(红
1，蓝 3)，(白 1，红 1)，(白 1，蓝 2)，(白 1，蓝 3)，(蓝 2，红 1)，(蓝 2，白 1)，(蓝 2，蓝 3)，(蓝 3，
红 1)，(蓝 3，白 1)，(蓝 3，蓝 2)，共 12 个．事件 A 包含的基本事件有(蓝 2，红 1)，(蓝 2，白 1)，(蓝
3，红 1)，(蓝 3，白 1)，(蓝 3，蓝 2)，共 5 个，所以 P(A)＝ 5
12
．
B 组
1．(2009 年高考浙江卷)有 20 张卡片，每张卡片上分别标有两个连续的自然数 k，k＋1，其中 k＝0，1，2，…，
19．从这 20 张卡片中任取一张，记事件“该卡片上两个数的各位数字之和(例如：若取到标有 9，10 的卡
片，则卡片上两个数的各位数字之和为 9＋1＋0＝10)不小于 14”为 A，则 P(A)＝________．
解析：对于大于 14 的情况通过列举可得有 5 种情况：
(7，8)、(8，9)、(16，17)、(17，18)、(18，19)，而基本事件有 20 种，因此 P(A)＝1
4
．
答案：1
4
2．用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成若干图形，则按此规律第 100 个图形中有白色地砖
________块；现将一粒豆子随机撒在第 100 个图形中，则豆子落在白色地砖上的概率是________．
解析：白色地砖构成等差数列：8，13，18，…，5n＋3，…
∴an＝5n＋3，a100＝503，第 100 个图形中有地砖 503＋100＝603，故所求概率 P＝503
603
．答案：503
503
603
3．设集合 A＝{1，2}，B＝{1，2，3}，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确定平面上的一个点
P(a，b)，记“点 P(a，b)落在直线 x＋y＝n 上”为事件 Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件 Cn 的概率最大，则 n
78
的所有可能值为________．
解析：分别从 A 和 B 中各取 1 个数，一共有 6 种等可能的取法，点 P(a，b)恰好落在直线 x＋y＝2 上
的取法只有 1 种：(1，1)；恰好落在直线 x＋y＝3 上的取法有 2 种：(1，2)，(2，1)；恰好落在直线 x＋y＝
4 上的取法也有 2 种：(1，3)，(2，2)；恰好落在直线 x＋y＝5 上的取法只有 1 种：(2，3)，故事件 Cn 的概
率分别为1
6
，1
3
，1
3
，1
6(n＝2，3，4，5)，故当 n＝3 或 4 时概率最大．答案：3 和 4
4．先后从分别标有数字 1，2，3，4 的 4 个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取 2 个球，则抽
到的 2 个球的标号之和不大于 5 的概率等于________．
解析：基本事件共有 4×4＝16 个，其中抽到的 2 个球的标号之和不大于 5 的情况有：(1，1)、(1，2)、
(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(4，1)，共 10 种，所以所求概率为10
16
＝5
8
．答案：
5
8
5．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点数为 b，向量 m
＝(a，b)，n＝(1，－2)，则向量 m 与向量 n 垂直的概率是________．
解析：显然 m·n＝a－2b＝0，所有可能的结果为(a，b)＝(2，1)、(4，2)、(6，3)．基本事件总数为 36，
则概率为 1
12
．答案： 1
12
6．(2010 年南京高三调研)如图，将一个体积为 27 cm3 的正方体木 块 表 面 涂 上
蓝色，然后锯成体积为 1 cm3 小正方体，从中任取一块，则这一块 恰 有 两 面 涂
有蓝色的概率是 ．
解析：据题意知两面涂色的小正方体当且仅当它们是大正方体 的 各 条 棱 的
中点时满足条件．正方体共 12 条棱，所以两面涂色的小正方体有 12 个，而所有
小正方体有 27 个，所以，所求的概率为 P＝12
27
＝4
9
．答案：4
9
7．集合 A＝{2，4，6，8，10}，B＝{1，3，5，7，9}，在 A 中任取 一元素 m 和
在 B 中任取一元素 n，则所取两数 m>n 的概率是________．
解析：基本事件总数为 25 个．m＝2 时，n＝1；m＝4 时，n＝1，3；m＝6 时，n＝1，3，5；m＝8 时，
n＝1，3，5，7；m＝10 时，n＝1，3，5，7，9；共 15 个．故 P＝15
25
＝0．6．答案：0．6
8．集合 A＝{(x，y)|y≥|x－1|}，集合 B＝{(x，y)|y≤－x＋5}．先后掷 两颗骰子，设
掷第一颗骰子得点数记作 a，掷第二颗骰子得点数记作 b，则(a，b) ∈A∩B 的概
率等于 ．
解析：如图：满足(a，b)∈(A∩B)的(a，b)值共有 8 个，(1，1)， (1，2)，(1，
3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)．∴P＝ 8
6×6
＝2
9
．答案： 2
9
9．(2010 年江苏泰兴模拟)已知|x|≤2，|y|≤2，点 P 的坐标为(x， y)，则当 x，
y∈Z 时，P 满足(x－2)2＋(y－2)2≤4 的概率为________．
解析：由|x|≤2，|y|≤2，x、y∈Z，则基本事件总数为 n＝25， P满足(x－2)2
＋(y－2)2≤4，∴满足条件的整点有(0，2)，(1，2)，(2，2)，(1， 1)，(2，1)，
(2，0)6 个，故 P＝ 6
25
．答案： 6
25
10．(2010 年皖南八校质检)甲、乙两人各掷一次骰子(均匀的正 方体，六个面
上分别为 1，2，3，4，5，6 点)，所得点数分别为 x，y．
(1)求 x0}，在集合 A 中任取一个元素 x ，则事件
“x∈A∩B”的概率是________．
解析：由题意得 A＝{x|－1 2R，此时∠N1ON2＝180°，故所求的概率为180°
360°
＝1
2
．答案：
1
2
82
7．已知Ω＝{(x，y)|x＋y≤6，x≥0，y≥0}，E＝{(x，y)|x－2y≥0，x≤4，y≥0}，若向区域Ω内随机投一点
P，则点 P 落入区域 E 的概率为________．
解析：如图，区域Ω表示的平面区域为△AOB 边界及其内部 的部分，区域
E 表示的平面区域为△COD 边界及其内部的部分，所以点 P 落入 区域E的概率
为S△COD
S△AOB
＝
1
2
×2×4
1
2
×6×6
＝2
9
．
答案：2
9
8．已知函数 f(x)＝－x2＋ax－b．若 a、b 都是从区间[0，4]任取的一个数，则 f(1)＞0 成立的概率是________．
解析：f(1)＝－1＋a－b＞0，即 a－b＞1，如图：
A(1，0)，B(4，0)，C(4，3)，S△ABC＝9
2
，P＝S△ABC
S 矩
＝
9
2
4×4
＝ 9
32
．
答案： 9
32
9．在区间[0，1]上任意取两个实数 a，b，则函数 f(x)＝1
2x3＋ax－b 在 区间[－1，1]
上有且仅有一个零点的概率为________．
解析：f′(x)＝3
2x2＋a，故 f(x)在 x∈[－1，1]上单调递增，又因为函数 f(x)＝1
2x3＋ax－b 在[－1，1]上
有且仅有一个零点，即有 f(－1)·f(1)<0 成立，即(－1
2
－a－b)(1
2
＋a－b)<0，则(1
2
＋a＋b)(1
2
＋a－b)>0，可化
为
0≤a≤1
0≤b≤1
1
2
＋a－b>0
1
2
＋a＋b>0
或
0≤a≤1
0≤b≤1
1
2
＋a－b<0，
1
2
＋a＋b<0
由线性规划知识在平面直角坐标系 aOb 中画出这两个不等式组所表示的可行域，再由几何概型可以知
道，函数 f(x)＝1
2x3＋ax－b 在[－1，1]上有且仅有一个零点的概率为可行域的面积除以直线 a＝0，a＝1，b
＝0，b＝1 围成的正方形的面积，计算可得面积之比为7
8
．
答案：7
8
10．设不等式组 0≤x≤6
0≤y≤6
表示区域为 A，不等式组 0≤x≤6
x－y≥0
表示的区域为 B．
(1)在区域 A 中任取一点(x，y)，求点(x，y)∈B 的概率；
(2)若 x，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x，y)在区域 B 中的概率．
解：(1)设集合 A 中的点(x，y)∈B 为事件 M，区域 A 的面积为 S1＝36，区域 B 的面积为 S2＝18，∴P(M)
＝S2
S1
＝18
36
＝1
2
．
(2)设点(x，y)在区域 B 为事件 N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点(x，y)的个数为 36 个，其中在区
域 B 中的点(x，y)有 21 个，故 P(N)＝21
36
＝ 7
12
．
11 ． (2010 年 江 苏 南 通 模 拟 ) 已 知 集 合 { }| 1 0A x x= - ， 集 合
{ }| 2 1 0,0 2,1 3xB x ax b a b= + < ．
(1)若 a，b∈N，求 A∩B≠Æ的概率；(2)若 a，b∈R，求 A∩B＝Æ的概率．
83
解：(1)因为 a，b∈N，(a，b)可取(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，
(2，3)共 9 组．
令函数 f(x)＝ax＋b·2x－1，x∈[－1，0]，则 f′(x)＝a＋bln2·2x．
因为 a∈[0，2]，b∈[1，3]，所以 f′(x)＞0，即 f(x)在[－1，0]上是单调递增函数．
f(x)在[－1，0]上的最小值为－a＋b
2
－1．要使 A∩B≠∅，只需－a＋b
2
－1＜0，
即 2a－b＋2＞0．所以(a，b)只能取(0，1)，(1，1)，(1，2)， (1，3)，(2，
1)，(2，2)，(2，3)7 组．所以 A∩B≠∅的概率为7
9
．
(2)因为 a∈[0，2]，b∈[1，3]，
所以(a，b)对应的区域为边长为 2 的正方形(如图)，面积为 4．
由(1)可知，要使 A∩B＝∅，
只需 f(x)min＝－a＋b
2
－1≥0⇒2a－b＋2≤0，所以满足 A∩B＝∅ 的(a，b)对应
的区域是如图阴影部分．
所以 S 阴影＝1
2
×1×1
2
＝1
4
，所以 A∩B＝∅的概率为 P＝
1
4
4
＝ 1
16
．
12．将长为 1 的棒任意地折成三段，求：三段的长度都不超过 1 13a a ÷ç ÷ç ÷ç 的概率．
解：设第一段的长度为 x，第二段的长度为 y，
第三段的长度为 1－x－y，
则基本事件组所对应的几何区域可表示为Ω＝{(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜1，0＜x＋y＜1}，此区域面积为
1
2
．
事件“三段的长度都不超过 a(1
3
≤a≤1)”所对应的几何区域可 表示为 A＝
{(x，y)|(x，y)∈Ω，x＜a，y＜a，1－x－y＜a}．
即图中六边形区域，此区域面积：当1
3
≤a≤1
2
时，为(3a－1)2/2， 此 时 事 件
“三段的长度都不超过 a(1
3
≤a≤1)”的概率为 P＝(3a－1)2/2
1/2
＝(3a－ 1)2；
当1
2
≤a≤1 时，为1
2
－3(1－a)2
2
．此时事件“三段的长度都不超过 a(1
3
≤a≤1)”的概率为 P＝1－3(1－a)2．
第十二章 导数
1、函数 ( )y f x= 是定义在 R 上的可导函数，则 0)( 0/ xf 是函数在 0x x= 时取得极值的________条件
A、充分不必要； B、必要不充分； C、充要； D、既不充分也不必要．
2、函数 ( )y f x= 是定义在 R 上的可导函数，则 ( )y f x= 为 R 上的单调增函数是 ( ) 0f x¢ > 的________
条件
A、充分不必要； B、必要不充分； C、充要； D、既不充分也不必要．
3、已知 ( ) 3 22 6f x x x m= - + ( m 为常数)，在[ ]2,2- 上有最大值 3，那么此函数在[－2，2]上的最小值
为（ ）
A、－37； B、－29； C、－5； D、－11．
4、若函数 axxxf 3)( 3 的最小值为恒成立，则上时，当 mnnxfmx )(]3,0[ （ ）
A、2 B、4 C、18 D、20
5、方程 内根的个数为在 )2,0(0762 23 xx （ ）
A、0； B、1； C、2； D、3．
84
6、若函数 的取值范围为有三个单调区间，则 bbxxy 3
3
4 （ ）
A、 0b > ； B、 0b ³ ； C、 0b < ； D、 0b £ ．
7、函数 的值为，则的极大值为 632)( 23 aaxxxf （ ）
A、0； B、1； C、5； D、6 ．
8、曲线 的距离的最小值为上的点到直线 12 4 xyxy （ ）
A、 2 ； B、 2
2
； C、 2
3
； D 5 2
16
．
9、已知曲线 6y x= 上一点 P 处的切线与直线 3
6
1 xy 垂直，则此切线方程为（ ） A、
056 yx B、 056 yx C、 056 yx D、 056 yx ．
10、设点 P 是 3 23 3y x x= - + 上的任一点，P 点处的切线倾斜角为a ，则角 a 的取值范围为（ ）
A、 ),[),0[ 3
2
2 ； B、 ),[),0[ 6
5
2 ； C、 ),[ 3
2 ； D、 ),( 6
5
2
．
11、 ( ) ( )y f x f x¢=函数 导函数 的图像如图（1）所示，则 )(xfy 的图像最有可能的是（ ）
图（1） A B C D
12、已知 2( ) 2 (1) (0)f x x x f f= + × ，则 等于（ ）
A、0； B、－4； C、－2； D、2．
13、已知函数 26 a by a x y x a b+ ¢= × = = =的导数为 ，则 ， ；
14、若函数 ( ) 3 3f x x x= - 在区间 2 1, 2m + 上的最小值为 2 2m - ，则 m 的值为 ；
15、若直线 y x= 是曲线 3 23y x x ax= - + 的切线，则 a = ；
16、函数 ),3(43
1)( 23 在axxxf 上是增函数，则实数 a 的取值范围为 ；
17、若函数 ( ) 2 4 3 22 123 2f x k x x kx x= - - + + 在（1,2）上单调递减，在（2，+¥ ）上单调递增，则 k =
18、已知曲线 S : 3 2y x px qx= + + 的图象与 x 轴相切于不同于原点的一点，又函数有极小值为－4，求 p 、
q 的值．
19、设函数 轴的图像与 ydcxbxaxxfy 23)( 交于点 P，若过 P 的切线方程为
y
O 21 x
y
O 2
1 x
y
O 21 x
y
O 2
1
x
y
O
21
x
85
01224 yx ，且当 2x = 时，函数 )(xf 取极值－16，试求 )(xf 的解析式，并求这个函数的单调递减
区间．
20、已知函数 )(1)( 23 Raaxxxf ．（1）若函数 )(xfy 在区间 ),0( 3
2 上递增，在区间 2 ,3
÷ç +¥÷ç ÷ç
上递减，求实数 a 的值；（2）当 [ ]0,1x Î 时，设函数 )(xfy 图像上任意一点处的切线的倾斜角为q ，若
给定常数 2 ,3a ÷çÎ +¥÷ç ÷ç ，求q 的取值范围．
第十三章 不等式
1 ． 若 ( )f x 为 R 上 的 减 函 数 ， 且 ( )0 3f = ， ( )3 1f =- ， 设 ( ){ }|| 1| 2P x f x t= + - < ，
( ){ }| 1Q x f x= <- ，若 x PÎ 是 x QÎ 的充分不必要条件，则实数 t 的取值范围为( )
A． 0t £ B． 0t ³ ； C． 3t £- ； D． 3t ³- ．
2．已知 0a > ，集合 { }| 1A x x a= + < ， { }| 1xB x a= > ，若 A BI 则实数 a 的取值范围为（ ）
A．( )2,+¥ B．（0，1） C．（0，1） U ( )2,+¥ D．（ 0 ，1） U ( )1,+¥ ．
86
O
y
x32
1
.
..
3．已知奇函数 的解集为则不等式上单调递减，且在 0)1()1(,0)2()0,()( xfxfxf
（ ）
A．{ }| 3 1x x- < <- ； B．{ }| 1 1 1 3x x x- < < < <或 ；
C．{ }| 3 0 3x x x- < < >或 ； D．{ }| 3 1 2x x x- < < >或
4． )(xf 是定义在（0，3）上的函数， )(xf 的图象如图所示，
则不等式 0cos)( xxf 的解集是（ ）
A．（0，1） （2，3）； B． )3,2()2,1(
C．（0，1） ,32
p ֍ ֍ ֍ )3,2(
D．（0，1） （1，3）
5．函数 )(xf 在（－1，1）上有定义且 aafafxxxf 时＞当 0)1()1(,)( 23 的取值范围为（ ）
A．（－2，1） B．（0， 2 ） C．（0，1） D．（－2， 2 ）
6．已知函数 ( ) 3= logf x x ，若 ( ) (3.5)f x f> ，则 x 的取值范围为
A． 2 70, 1,7 2U B． 7 ,2
÷ç +¥÷ç ÷ç C． 2 70, ,7 2 +¥U D． 2 7,7 2
÷ç ÷ç ÷ç ．
7．设奇函数 ( )f x 在[－1，1]上是增函数，且 ( )1 1f - =- ，若函数 ( ) 2 2 1f x t at£ - + 对所有的 [ ]1,1x Î -
都成立，当 [ ]1,1a Î - 时t 的取值范围为（ ）
A．[-2，2] ； B． 1 1,2 2- ；
C． { }( , 2] ]2, ) 0-¥ - È +¥ U ； D． { }1 1, 02 2
÷ç-¥ - +¥÷ç ÷ç U U ．
8．设点( ) ( )0, 0, ,2
x ya b a b a bx y
ìïï + -íï + £ïî
在区域 内，则点 所在的区域的面积为
A．1； B．2； C．4； D．8．
9．在如图所示的坐标平面的可行域内（阴影部分且包括边界），
目标函数 z x ay= + 取得最优解有无数个，则 a 的一个可能值为
A．－3； B．3； D．－1； D．1．
10．若关于 x 不等式{ }2| | 2 ,( ( ,0)x x a a a- - 的解集为 ；
11 ． 若 关 于 x 不 等 式 ( )2 0 0ax bx c a+ + > ¹ 的 解 集 为 xa b< < ， 其 中 0b a> > ， 则 不 等 式
2 0cx bx a+ + < 的解集为 ．
12．若关于 x 不等式| 2 | | 1|x x a a+ + - < Æ的解集为 ，则 的取值范围是( ],3-¥ ，若此不等式有解，
C(4,
B(5,
a(1,
y
xO
87
则 a 的取值范围是( )3,+¥ ．
13． )()( xgxf 、 为定义域为 R 的奇函数，不等式 ( ) 0f x > 的解集为（ m ， n ）， ( ) 0g x >
的解集为（
2
m ，
2
n ）其中 0 2
nm< < ，则不等式 ( ) ( ) 0f x g x× > 的解集为 ．
14．已知关于 x 的不等式 2 2
5 0ax
x a
- <-
的解集为 M，3 MÎ ，则实数 a 的取值范围为
．
15．不等式 0124 axx 对一切实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为 ；
16．已知 myxRyx yx 41,4, 则使不等式且 恒成立的实数 m 的取值范围为 ；
17．关于 x 的方程 022 baxx 的两根分别在区间（0，1）与(1，2)，则 1
2
a
b 的取值范围为 ；
18．设 xyxyyxRyx 1,1, 则且 的最小值为 ；
19．设 22
4
12 1,1, yxyxRyx 则且 的最大值为 ；
20．设
( )
2 160a b a b a b> > + -
，则 的最小值为
21．解关于 x 的不等式 11
ax
x <-
22．若 a ，b ∈R，求证：
1 1 1
a b a b
a b a b
+ £ ++ + + +
．
证明： 当 0a b+ = 时，不等式显然成立．
当 0a b+ ¹ 时，由 1 10 a b a b a b a b+ +
．
所以 1 1
1 11 1 1 11 1
a b a b a b
a b a b a b
a b a b
+ += £ = £ ++ + + + + ++ ++ +
．
88
23．（2008·苏中三市调研）已知 x 、 y 、 z 均为正数．求证： 1 1 1x y z
yz zx xy x y z+ + ³ + +
证明：因为 x ， y ， z 全为正数．所以 1 2x y x y
yz zx z y x z
÷ç+ = +ç ÷ç ÷ç ，
同理可得： 2y z
zx xy x+ ³ ≥
x
2 ， 2z x
xy yz y+ ³
当且仅当 x y z= = 时，以上三式等号都成立．
将上述三个不等式两边分别相加，并除以 2，得 1 1 1x y z
yz zx xy x y z+ + ³ + +
24．已知 1 2, , , nx x xL 都是正数，且 1 2 1nx x x+ + =L ，求证： 2
1 2
1 1 1
n
nx x x+ + + ³L ．
证明： ( )1 2
1 2 1 2
1 1 1 1 1 1
n
n n
x x xx x x x x x
÷ç ÷+ + + = + + + + + +ç ÷ç ÷çL L L
2
2
1 2
1 2
1 1 1
n
n
x x x nx x x
÷ç ÷+ ÷ç ÷÷ç L =n2．
第十四章 立体几何
第一节 简单几何体
A 组
1．下列命题中，不正确的是______．
①棱长都相等的长方体是正方体
②有两个相邻侧面为矩形的棱柱为直棱柱
③有两个侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱
④底面为平行四边形的四棱柱叫平行六面体
解析：由平行六面体、正方体的定义知①④正确；对于②，相邻两侧面垂直于底面，则侧棱垂直于底
面，所以该棱柱为直棱柱，因而②正确；对于③，若两侧面平行且垂直于底面，则不一定是直棱柱．答案：
③
2．(2009 年高考全国卷Ⅱ改编)纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，
现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图的平面图形，则标“△”的面的方位是
________．
89
解析：将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为△，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转
后让东面指向东，让“上”面向上可知“△”的方位为北．答案：北
3．(2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD，下列命题正确的是________．(写出所有正确命题的编号)．
①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线；
②由顶点 A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；
③若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高，则这两条高的垂足重合；
④任何三个面的面积之和都大于 第四个面的面积；
⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD 的三条高线的交点；③中如果 AB 与 CD 垂直，
则两条高的垂足重合．答案：①④⑤
4．下列三个命题，其中正确的有________个．
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是
梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余各面都是等腰梯形的六面体是棱台．
解析：①中的平面不一定与底面平行，②③可用反例图去验证．答案：0
5．下面命题正确的有________个．
①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱
②过圆锥侧面上一点有无数条母线
③三棱锥的每个面都可以作为底面
④圆锥的轴截面(过轴所作的截面)是等腰三角形
解析：①②错，③④正确．①错在绕一条直线，应该是绕长方形的一条边所在的直线；②两点确定一
条直线，圆锥的母线必过圆锥的顶点，因此过圆锥侧面上一点只有一条母线．答案：2
6．如图所示，长方体的长、宽、高分别为 4 cm，3 cm，5 cm，一只蚂蚁从 A 到 C1 点沿着表面爬行的最短
距离是多少？
解：长方体 ABCD－A1B1C1D1 的表面可如下图三种方法展开 后，A、C1 两
点间的距离分别为：
(5＋4)2＋32＝3 10， (5＋3)2＋42＝4 5， (3＋4)2＋52＝ 74，三者比
较得 74是从点 A 沿表面到 C1 的最短距离，
∴最短距离是 74 cm．
B 组
1．(2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD，下列命题正确的是________．
①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线；
②由顶点 A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；
③若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高，则这两条高的垂足重合；
④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；
⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
90
解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD 的三条高线的交点；③中如果 AB 与 CD 垂直，
则两条高的垂足重合．答案：①④⑤
2．下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．
其中，真命题的编号是______．(写出所有真命题的编号)
解析：对于①，设四面体为 D－ABC，过棱锥顶点 D 作底面的垂线 DE，过 E 分别作 AB，BC，CA 边
的垂线，其垂足依次为 F，G，H，连结 DF，DG，DH，则∠DFE，∠DGE，∠DHE 分别为各侧面与底面
所成的角，所以∠DFE＝∠DGE＝∠DHE，于是有 FE＝EG＝EH，DF＝DG＝DH，故 E 为△ABC 的内心，
又因△ABC 为等边三角形，所以 F，G，H 为各边的中点，所以△AFD≌△BFD≌△BGD≌△CGD≌△AHD，
故 DA＝DB＝DC，故棱锥为正三棱锥．所以为真命题．对于②，侧面为等腰三角形，不一定就是侧棱为两
腰，所以为假命题．对于③，面积相等，不一定侧棱就相等，只要满足斜高相等即可，所以为假命题．对
于④，由侧棱与底面所成的角相等，可以得出侧棱相等，又结合①知底面应为正三角形，所以为真命题．综
上，①④为真命题．答案：①④
3．关于如图所示几何体的正确说法为________．
①这是一个六面体 ②这是一个四棱台
③这是一个四棱柱 ④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体
⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱
答案：①②③④⑤
4．(2009 年高考安徽卷)对于四面体 ABCD，下列命题正确的是 ________．
①相对棱 AB 与 CD 所在的直线是异面直线；
②由顶点 A 作四面体的高，其垂足是△BCD 三条高线的交点；
③若分别作△ABC 和△ABD 的边 AB 上的高，则这两条高的垂足重合；
④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；
⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．
解析：②中的四面体如果对棱垂直，则垂足是△BCD 的三条高线的交点；③中如果 AB 与 CD 垂直，
则两条高的垂足重合．答案：①④⑤
5．给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体
叫做圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形．其中说法正确的是__________．
解析：命题①不是真命题，因为底面是矩形，若侧棱不垂直 于底面，这时
四棱柱是斜四棱柱；命题②不是真命题，直角三角形绕着它的一 条 直 角 边 旋
转一周形成的几何体叫做圆锥，如果绕着它的斜边旋转一周，形 成 的 几 何 体
则是两个具有共同底面的圆锥；命题③是真命题，如图所示，在 四 棱 锥
P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA⊥平面 ABCD，则可以得 到 四 个 侧 面
都是直角三角形．故填③．
答案：③
6．下列结论正确的是
①各个面都是三角形的几何体是三棱锥
②以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
③棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥
④圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：①错误．如图(1)所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，
但它不是棱锥．
②错误．如图(2)(3)所示，若△ABC 不是直角三
角形，或是直角三角形但旋转轴不是直 角边，所得
的几何体都不是圆锥．
③错误．若六棱锥的所有棱长都相 等，则底面
多边形是正六边形．由几何图形知，若 以正六边形
为底面，侧棱长必然要大于底面边长．
91
④正确．答案：④
7．过半径为 2 的球 O 表面上一点 A 作球 O 的截面，若 OA 与该截面所成的角是 60°，则该截面的面积是
________．
解析：设截面的圆心为 O′，由题意得：∠OAO′＝60°，O′A＝1，S＝π·12＝π．答案：π
8．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，
假命题是________．
①等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
②等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
③等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
④等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
解析：①如图，∵SA=SB=SC=SD，∴∠SAO=∠SBO=∠SCO= ∠SDO，即等
腰四棱锥腰与底面所成的角相等，正确；②等腰四棱锥的侧面与 底面所成的
二面角相等或互补不一定成立；③如图，由 SA=SB=SC=SD 得
OA=OB=OC=OD，即等腰四棱锥的底面四边形存在外接圆，正确； ④等腰四棱
锥各顶点在同一个球面上，正确．故选②．答案：②
9．(2008 年高考江西卷)如图(1)，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形
实心装饰块，容器内盛有 a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 P．如果将容器倒置，水面也恰好过点
P(图(2))
有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 P
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好 经过点 P
D．若往容器内再注入 a 升水，则容器恰好能装满．
其中真命题的代号是：______(写出所有真命题的代 号)．
解析：设正四棱柱底面边长为 b，高为 h1，正四棱 锥高为 h2，则
原题图(1)中水的体积为 b2h2－1
3b2h2＝2
3b2h2，
图(2)中水的体积为 b2h1－b2h2＝b2(h1－h2)，
所以 2
3b2h2＝b2(h1－h2)，所以 h1＝5
3h2，故 A 错误，D 正确．
对于 B，当容器侧面水平放置时，P 点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰
好经过 P 点，故 B 正确．对于 C，假设 C 正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积
为 25
36b2h2>2
3b2h2，矛盾，故 C 不正确．答案：BD
10．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各
侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为 h1，h2，
h3，求 h1∶h2∶h3 的值．
解：选依题意，四棱锥为正四棱锥，三棱锥为正三棱锥，且棱长均相等，设为 a，h2＝h3，h1＝
a2－( 2
2 a)2＝ 2
2 a，h2＝ a2－( 3
3 a)2＝ 6
3 a，
故 h1∶h2∶h3＝ 3∶2∶2．
11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为 2，求该
三角形的斜边长．
解：如图，正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，△ABC 为正三角形，边长为 2，△DEF 为等腰直角三角形，
DF 为斜边，设 DF 长为 x，则 DE＝EF＝ 2
2 x，作 DG⊥BB1，HG⊥CC1， EI⊥CC1，
则 EG＝ DE2－DG2＝ x2
2
－4，FI＝ EF2－EI2＝ x2
2
－4，FH ＝ FI ＋ HI ＝
92
FI＋EG＝2 x2
2
－4，在 Rt△DHF 中，DF2＝DH2＋FH2，即 x2＝4＋(2 x2
2
－4))2，解得 x＝2 3．即该三角
形的斜边长为 2 3．
12．(2009 年高考辽宁卷改编)如果把地球看成一个球体，求地球上北纬 60°纬线长和赤道线长的比值．
解：设地球的半径为 R，那么对应的赤道线的大圆的半径为 R，而对应的北纬 60°纬线所在的小圆的半
径为 1
2R，那么它们对应的长度之比为 1
2R∶R＝1
2
．
即所求比值为1
2
．
第二节 空间图形的基本关系与公理
A 组
1．以下四个命题中，正确命题的个数是________．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点 A、B、C、D 共面，点 A、B、C、E 共面，则 A、B、C、D、E 共面；
③若直线 a、b 共面，直线 a、c 共面，则直线 b、c 共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点 A、B、C，但是若 A、B、C
共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在
一个平面上．答案：1
2．给出下列四个命题：
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③若 M∈α，M∈β，α∩β＝l，则 M∈l；
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内．
其中真命题的个数为________．
解析：根据平面的基本性质知③正确．答案：1
3．(2009 年高考湖南卷改编)平行六面体 ABCD－A1B1C1D1 中，既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为
________．
解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得 CD、BC、BB1、AA1、C1D1 符合条件．答
案：5
4．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点．那么，正方体的过 P、Q、R 的
截面图形是________．
解析：边长是正方体棱长的 2
2
倍的正六边形．答案：正六边形
5．(原创题)已知直线 m、n 及平面α，其中 m∥n，那么平面α内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能
是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是________．
解析：如图 1，当直线 m 或直线 n 在平面α内且 m、n 所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；如
图 2，直线 m、n 到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的
点；如图 3，直线 m、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线．
93
答案：(1)(2)(4)
6．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l．设梯形 ABCD 中，AD∥BC，且 AB⊂α，CD⊂β．求证：AB，CD，
l 共点(相交于一点)．
证明：∵梯形 ABCD 中，AD∥BC，∴AB，CD 是梯形 ABCD 的两腰，
∴AB，CD 必定相交于一点．
如图，设 AB∩CD=M．
又∵AB⊂α，CD⊂β，
∴M∈α，且 M∈β，
∴M∈α∩β．
又∵α∩β=l，∴M∈l，
即 AB，CD，l 共点
B 组
1．有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；
②直线 l 在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；
③若平面α内的一条直线 a 与平面β内的一条直线 b 相交，则α与β相交，其中所有正确命题的序号是
______________．
解析：表示线与面的关系用“⊂”或“⊄”表示，故②错误．答案：①③
2．(2010 年黄冈调研)下列命题中正确的是________．
①若△ABC 在平面α 外，它的三条边所在的直线分别交α于 P、Q、R，则 P、Q、R 三点共线；②若
三条直线 a、b、c 互相平行且分别交直线 l 于 A、B、C 三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个
点一定能确定 10 个平面．
解析：在①中，因为 P、Q、R 三点既在平面 ABC 上，又在平面α上，所以这三点必在平面 ABC 与α
的交线上，即 P、Q、R 三点共线，故①正确；在②中，因为 a∥b，所以 a 与 b 确定一个平面α，而 l 上有
A、B 两点在该平面上，所以 l⊂α，即 a、b、l 三线共面于α；同理 a、c、l 三线也共面，不妨设为β，而α、
β有两条公共的直线 a、l，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，
则它们最多只能确定 7 个平面，故③错．答案：①②
3．对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点
④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交
其中使三条直线共面的充分条件有：________．
解析：易知①中的三条直线一定共面，④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线
相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面．答案：①④
4．(2008 年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线 a 与 b，必存在平面α，使得________．
①a⊂α，b⊂α ②a⊂α，b∥α ③a⊥α，b⊥α ④a⊂α，b⊥α
解析：不相交的直线 a、b 的位置有两种：平行或异面．当 a、b 异面时，不存在平面α满足①、③；
又只有当 a⊥b 时④才成立．答案：②
5．正方体 AC1 中，E、F 分别是线段 C1D、BC 的中点，则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是________．
解析：直线 AB 与直线外一点 E 确定的平面为 A1BCD1，EF⊂平面 A1BCD1，且两直线不平行，故两直
线相交．答案：相交
6．(2010 年湖南郴州调研)设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则 l∥α；
②若 l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若 l 上有两点到α的距离相等，则 l∥α；
④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β．
其中正确命题的序号是________．
解析：①错误，l 可能在平面α内；②正确，l∥β，l⊂γ，β∩γ＝n⇒l∥n⇒n⊥α，则α⊥β；③错误，直
线可能与平面相交；④正确．故填②④．答案：②④
94
7．(2009 年高考广东卷改编)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是________．
解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面
垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故③不对；
若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．答案：
②④
8．(2009 年高考宁夏、海南卷改编)如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有
两个动点 E，F，且 EF＝ 2
2
，则下列结论中错误的是________．
①AC⊥BE
②EF∥平面 ABCD
③三棱锥 A－BEF 的体积为定值
④异面直线 AE，BF 所成的角为定值
解析：∵AC⊥平面 BB1D1D，又 BE⊂平面 BB1D1D，
∴AC⊥BE．故①正确．
∵B1D1∥平面 ABCD，又 E、F 在直线 D1B1 上运动，
∴EF∥平面 ABCD．故②正确．
③中由于点 B 到直线 B1D1 的距离不变，故△BEF 的面积 为定值．又点
A 到平面 BEF 的距离为 2
2
，故 VA－BEF 为定值．
当点 E 在 D1 处，F 为 D1B1 的中点时，
建立空间直角坐标系，如图所示，可得 A(1，1，0)，B(0， 1，0)，E(1，0，
1)，F
1
2
，1
2
，1 ．∴A E→＝(0，－1，1)，B F→＝(1
2
，－1
2
，1)，
∴A E→·B F→＝3
2
．又|AE→|＝ 2，|BF→|＝ 6
2
，∴cos〈A E→，B F→〉 ＝
3
2
2· 6
2
＝
3
2
，
∴AE 与 BF 成 30°角．当 E 为 D1B1 中点，F 在 B1 处时，
此时 E
1
2
，1
2
，1 ，F(0，1，1)，∴A E→＝ －1
2
，－1
2
，1 ，B F→＝(0，0，1)，
∴A E→·B F→＝1，|A E→|＝ 3
2
，∴cos〈A E→，B F→〉＝ 2
3
＝ 6
3
≠ 3
2
．故④错．
答案：④
9．(2008 年高考陕西卷改编)如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B 到 l 的距离分别是 a 和 b，
AB 与α、β所成的角分别是θ和φ，AB 在α、β内的射影分别是 m 和 n．若 a＞b，则θ与φ的大小关
系为______，m 与 n 的大小关系为______．
解析：AB 与β成的角为∠ABC＝φ，
AB 与α成的角为∠BAD＝θ，
sin φ＝sin∠ABC＝ a
|AB|
，
sinθ＝sin∠BAD＝ b
|AB|
．
∵a>b，∴sinφ>sinθ．∴θ<φ．
95
AB 在α内的射影 AD＝ AB2－b2，
AB 在β内的射影 BC＝ AB2－a2，
∴AD．BC，即 m>n．
答案：θ＜φ m＞n
10．如图，已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为 D1C1、 B1C1 的中点，
AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点，试 确 定 R 点 的
位置．
解：在正方体 AC1 中，连结 PQ，
∵Q∈A1C1，∴Q∈平面 A1C1CA．又 Q∈EF，
∴Q∈平面 BDEF，即 Q 是平面 A1C1CA 与平面 BDEF 的公 共点，
同理，P 也是平面 A1C1CA 与平面 BDEF 的公共点．
∴平面 A1C1CA∩平面 BDEF＝PQ．
又 A1C∩平面 BDEF＝R，
∴R∈A1C，
∴R∈平面 A1C1CA，
R∈平面 BDEF．
∴R 是 A1C 与 PQ 的交点．如图．
11．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M 为 AB 的 中
点，N 为 BB1 的中点，O 为平面 BCC1B1 的中心．
(1)过 O 作一直线与 AN 交于 P，与 CM 交于 Q(只写作法，不必证明)；
(2)求 PQ 的长．
解：(1)连结 ON，由 ON∥AD 知，AD 与 ON 确定一个平面α．又 O、C、M 三
点确定一个平面β(如图所示)．
∵三个平面α，β和 ABCD 两两相交，有三条交线 OP、CM、 DA，其中交线
DA 与交线 CM 不平行且共面．
∴DA 与 CM 必相交，记交点为 Q，∴OQ 是α与β的交线．
连结 OQ 与 AN 交于 P，与 CM 交于 Q，
故直线 OPQ 即为所求作的直线．
(2)在 Rt△APQ 中，易知 AQ＝1，又易知△APQ ∽△OPN，
∴AP
PN
＝AQ
NO
＝2，AN＝ 5
2
，∴AP＝ 5
3
，
∴PQ＝ AQ2＋AP2＝ 14
3
．
12．(2008 年高考四川卷)如图，平面 ABEF⊥平面 ABCD， 四边形 ABEF
与 ABCD 都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC 綊 1
2AD， BE 綊 1
2FA，
G、H 分别为 FA、FD 的中点．
(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；
(2)C、D、F、E 四点是否共面？为什么？
(3)设 AB＝BE，证明：平面 ADE⊥平面 CDE．
解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
所以 GH 綊 1
2AD．又 BC 綊 1
2AD，故 GH 綊 BC．所以四边形 BCHG 是平行四边
形．
(2)C、D、F、E 四点共面．理由如下：
由 BE 綊 1
2AF，G 是 FA 的中点知，BE 綊 GF，所以 EF∥BG．
由(1)知 BG∥CH，所以 EF∥CH，故 EC、FH 共面．
又点 D 在直线 FH 上，所以 C、D、F、E 四点共面．
96
(3)证明：连结 EG．由 AB＝BE，BE 綊 AG 及∠BAG＝90°知 ABEG 是正方形，
故 BG⊥EA．由题设知，FA、AD、AB 两两垂直，故 AD⊥平 面 FABE，
因此 EA 是 ED 在平面 FABE 内的射影．根据三垂线定理， BG⊥ED．
又 ED∩EA＝E，所以 BG⊥平面 ADE．
由(1)知，CH∥BG，所以 CH⊥平面 ADE．
由(2)知 F∈平面 CDE，故 CH⊂平面 CDE，得平面 ADE⊥平 面 CDE．
第三节 平行关系
A 组
1．已知 m、n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中的真命题是_．
①如果 m⊂α，n⊂β，m∥n，那么α∥β
②如果 m⊂α，n⊂β，α∥β，那么 m∥n
③如果 m⊂α，n⊂β，α∥β且 m，n 共面，那么 m∥n
④如果 m∥n，m⊥α，n⊥β，那么α⊥β
解析：m⊂α，n⊂β，α∥β⇒m，n 没有公共点．又 m，n 共面，
所以 m∥n．答案：③
2．已知 m、n 是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：
①若 m∥α，则 m 平行于平面α内的无数条直线；
②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则 m∥n；
③若 m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
④若α∥β，m⊂α，则 m∥β．
其中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)
解析：②中α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n 或 m，n 异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①③④
3．(2010 年苏北四市调研)给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面α、β的四个命题：
①若 m⊂α，l∩α＝A，点 A∉m， 则 l 与 m 不共面；
②若 m、l 是异面直线，l∥α，m∥α，且 n⊥l，n⊥m，则 n⊥α；
③若 l∥α，m∥β，α∥β，则 l∥m；
④若 l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β．
其中为真命题的是________．
解析：③中若 l⊂β，m⊂α，α∥β⇒l∥m 或 l，m 异面，所以②错误．而其它命题都正确．答案：①②④
4．(2009 年高考福建卷改编)设 m，n 是平面α内的两条不同直线；l1，l2 是平面β内的两条相交直线，则α∥β
的一个充分而不必要条件是________．
①m∥β且 l1∥α ②m∥l1 且 n∥l2 ③m∥β且 n∥β ④m∥β且 n∥l2
解析：∵m∥l1，且 n∥l2，又 l1 与 l2 是平面β内的两条相交直线，
∴α∥β，而当α∥β时不一定推出 m∥l1 且 n∥l2，可能异面．答案： ②
5．(原创题)直线 a∥平面α，α内有 n 条直线交于一点，则这 n 条直线中与直线 a 平行的直线有________条．
答案：1 或 0
6．如图，ABCD 为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PB⊥BD．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)若 PC 与 CD 不垂直，求证：PA≠PD；
(3)若直线 l 过点 P，且直线 l∥直线 BC，试在直线 l 上找一 点 E，使得直
线 PC∥平面 EBD．
解：(1)证明：∵ABCD 为直角梯形，AD＝ 2AB＝ 2BD，
∴AB⊥BD，PB⊥BD，AB∩PB＝B，
AB，PB⊂平面 PAB，BD⊥平面 PAB，
PA⊂平面 PAB，∴PA⊥BD．
(2)证明：假设 PA＝PD，取 AD 中点 N，连结 PN，BN，则 PN⊥AD，BN⊥AD，
AD⊥平面 PNB，得 PB⊥AD，
又 PB⊥BD，得 PB⊥平面 ABCD，
97
∴PB⊥CD．
又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面 PBC，
∴CD⊥PC，与已知条件 PC 与 CD 不垂直矛盾．
∴PA≠PD．
(3)在 l 上取一点 E，使 PE＝BC，连结 BE，DE，
∵PE∥BC，∴四边形 BCPE 是平行四边形，
∴PC∥BE，PC⊄平面 EBD，BE⊂平面 EBD，
∴PC∥平面 EBD．
B 组
1．已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是________．
①若α⊥γ，α⊥β，则γ∥β ②若 m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β
③若 m∥n，m∥α，则 n∥α ④若 n⊥α，n⊥β，则α∥β
解析：①错，两平面也可相交；②错，不符合面面平行的判定定理条件，需两平面内有两条相交直线
互相平行；③错，直线 n 不一定在平面内；④由空间想象知垂直于同一直线的两平面平行，命题正确．答
案：④
2．已知 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列 4 个命题：
①若 m∥n，n⊂α，则 m∥α；
②若 m⊥n，m⊥α，n⊄α，则 n∥α；
③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则 m⊥n；
④若 m，n 是异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，则 n∥α．其中正确的命题有_．
解析：对于①，m 有可能也在α上，因此命题不成立；对于②，过直线 n 作垂直于 m 的平面β，由 m⊥α，
n⊄α可知β与α平行，于是必有 n 与α平行，因此命题成立；对于③，由条件易知 m 平行于β或在β上，n 平行
于α或在α上，因此必有 m⊥n；对于④，取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两
个面即可判断命题不成立．综上可知②③正确．答案：②③
3．已知 m，n 是平面α外的两条直线，且 m∥n，则“m∥α”是“n∥α”的________条件．
解析：由于直线 m，n 在平面外，且 m∥n，故若 m∥α，则必有 n∥α，反之也成立．答案：充要
4．设 l1，l2 是两条直线，α，β是两个平面，A 为一点，下列命题中正确的命题是________．
①若 l1⊂α，l2∩α＝A，则 l1 与 l2 必为异面直线
②若α⊥β，l1⊂α，则 l1⊥β
③l1⊂α，l2⊂β，l1∥β，l2∥α，则α∥β
④若 l1∥α，l2∥l1，则 l2∥α或 l2⊂α
解析：①错，两直线可相交于点 A；②错，不符合面面垂直的性质定理的条件；③错，不符合面面平
行的判定定理条件；④正确，空间想象即可．答案：④
5．(2010 年广东深圳模拟)若 a 不平行于平面α，且 a⊄α，则下列结论 成 立 的 是
________．
①α内的所有直线与 a 异面
②α内与 a 平行的直线不存在
③α内存在唯一的直线与 a 平行
④α内的直线与 a 都相交
解析：由题设知，a 和α相交，设 a∩α＝P，如图，在α内过点 P 的直线与 a 共
面，①错；在α内不过点 P 的直线与 a 异面，④错；(反证)假设α内直线 b∥a，∵a⊄α，∴a∥α，与已知矛
盾，③错．答案：②
6．设 m、n 是异面直线，则(1)一定存在平面α，使 m⊂α且 n∥α；(2)一定存在平面α，使 m⊂α且 n⊥α；(3)
一定存在平面γ，使 m、n 到γ的距离相等；(4)一定存在无数对平面α与β，使 m⊂α，n⊂β，且α∥β．上述 4
个命题中正确命题的序号为________．
解析：(1)成立；(2)不成立，m、n 不一定垂直；(3)过 m、n 公垂线段中点分别作 m、n 的平行线所确
定平面到 m、n 距离就相等，(3)正确；满足条件的平面只有一对，(4)错．答案：(1)(3)
7．如图，ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，M、N 分别是下底 面的棱 A1B1、
B1C1 的中点，P 是上底面的棱 AD 上的一点，AP＝a
3
，过 P、M、N 的 平 面 交 上 底
98
面于 PQ，Q 在 CD 上，则 PQ＝______．
答案：2 2
3 a
8．下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB∥
面 MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．
解析：①∵面 AB∥面 MNP，∴AB∥面 MNP．
②若下底面中心为 O，易知 NO∥AB，NO⊄面 MNP，∴AB 与面 MNP 不平行．
③易知 AB∥MP，∴AB∥面 MNP．
④易知存在一直线 MC∥AB，且 MC⊄平面 MNP，∴AB 与面 MNP 不平行．
答案：①③
9．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分 别 是 棱
CC1、C1D1、D1D、CD 的中点，N 是 BC 中点．点 M 在四边形 EFGH 上 及
其内部运动，则 M 满足条件________时，有 MN∥平面 B1BDD1．
答案：M∈FH
10．如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝ 2，AB ＝1，AD＝2，
E 为 BC 的中点，点 M 为棱 AA1 的中点．
(1)证明：DE⊥平面 A1AE；
(2)证明：BM∥平面 A1ED．
证明：(1)在△AED 中，AE＝DE＝ 2，AD＝2，
∴AE⊥DE．
∵A1A⊥平面 ABCD，
∴A1A⊥DE，
∴DE⊥平面 A1AE．
(2) 设 AD 的中点为 N，连结 MN、BN．
在△A1AD 中，AM＝MA1，AN＝ND，∴MN∥A1D，
∵BE∥ND 且 BE＝ND，
∴四边形 BEDN 是平行四边形，
∴BN∥ED，
∴平面 BMN∥平面 A1ED，
∴BM∥平面 A1ED．
11．(2010 年扬州调研)在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M， N 分别是 AB，
BC 的中点．
(1)求证：平面 B1MN⊥平面 BB1D1D；
(2)若在棱 DD1 上有一点 P，使 BD1∥平面 PMN，求线段 DP 与 PD1 的比
解：(1)证明：连结 AC，则 AC⊥BD ，
又 M，N 分别是 AB，BC 的中点，
∴MN∥AC，∴MN⊥BD．
∵ABCD－A1B1C1D1 是正方体，
99
∴BB1⊥平面 ABCD，
∵MN⊂平面 ABCD，
∴BB1⊥MN，
∵BD∩BB1＝B，
∴MN⊥平面 BB1D1D，
∵MN⊂平面 B1MN，
∴平面 B1MN⊥平面 BB1D1D．
(2)设 MN 与 BD 的交点是 Q，连结 PQ，PM，PN
∵BD1∥平面 PMN，BD1⊂平面 BB1D1D，平面 BB1D1D∩平 面 PMN＝PQ，
∴BD1∥PQ，
∴DP∶PD1＝DQ∶QB＝3∶1．
12．如图，四边形 ABCD 为矩形，BC⊥平面 ABE，F 为 CE 上的点，且 BF⊥平面 ACE．
(1)求证：AE⊥BE；
(2)设点 M 为线段 AB 的中点，点 N 为线段 CE 的中点．求证：MN∥平面 DAE．
证明：(1)因为 BC⊥平面 ABE，AE⊂平面 ABE，
所以 AE⊥BC，
又 BF⊥平面 ACE，AE⊂平面 ACE，
所以 AE⊥BF，
又 BF∩BC＝B，所以 AE⊥平面 BCE，
又 BE⊂平面 BCE，所以 AE⊥BE．
(2)取 DE 的中点 P，连结 PA，PN，因为点 N 为线段 CE 的 中点．
所以 PN∥DC，且 PN＝1
2DC，
又四边形 ABCD 是矩形，点 M 为线段 AB 的中点，
所以 AM∥DC，且 AM＝1
2DC，
所以 PN∥AM，且 PN＝AM，故四边形 AMNP 是平行四 边 形 ， 所 以
MN∥AP，
而 AP⊂平面 DAE，MN⊄平面 DAE，所以 MN∥平面 DAE．
第四节 垂直关系
A 组
1．(2010 年宁波十校联考)设 b、c 表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是________．
①若 b⊂α，c∥α，则 b∥c ②若 b⊂α，b∥c，则 c∥α
③若 c∥α，α⊥β，则 c⊥β ④若 c∥α，c⊥β，则α⊥β
解析：①中，b，c 亦可能异面；②中，也可能是 c⊂α；③中，c 与β的关系还可能是斜交、平行或 c
⊂β；④中，由面面垂直的判定定理可知正确．
答案：④
2．(2010 年青岛质检)已知直线 l⊥平面α，直线 m⊂平面β，下面有三个命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β．则真命题的个数为________．
解析：对于①，由直线 l⊥平面α，α∥β，得 l⊥β，又直线 m⊂平面β，故 l⊥m，故①正确；对于②，
由条件不一定得到 l∥m，还有 l 与 m 垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个
数为 2．答案：2 个
3．(2009 年高考山东卷改编)已知α、β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β ”是
“m⊥β ”的________条件．
解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一
定．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．
100
答案：必要不充分
4．(2009 年高考浙江卷)如图，在长方形 ABCD 中，AB＝2，BC＝1，E 为 DC 的中点，F 为线段 EC(端点
除外)上一动点．现将△AFD 沿 AF 折起，使平面 ABD⊥平面 ABC．在平面 ABD 内过点 D 作 DK⊥AB，K
为垂足．设 AK＝t，则 t 的取值范围是________．
解析：如图，过 D 作 DG⊥AF，垂足为 G，连结 GK，∵平面 ABD⊥平面 ABC，又 DK⊥AB，
∴DK⊥平面 ABC，∴DK⊥AF．
∴AF⊥平面 DKG，∴AF⊥GK．
容易得到，当 F 接近 E 点时，K 接近 AB 的中点，当 F 接 近 C 点时，K
接近 AB 的四等分点．∴t 的取值范围是(1
2
，1)．
答案：(1
2
，1)
5．(原创题)已知 a、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且 a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题
的有________．
①若 a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则 a⊥b；③若 a、b 相交，则α、β相交；④若α、β相交，则 a，b 相
交．
解析：若α、β相交，则 a、b 既可以是相交直线，也可以是异面直线．
答案：④
6．(2009 年高考山东卷)如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，AB
＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1 分别是棱 AD，AA1 的中点．
(1)设 F 是棱 AB 的中点，证明：直线 EE1∥平面 FCC1；
(2)证明：平面 D1AC⊥平面 BB1C1C．
证明：(1)法一：取 A1B1 的中点为 F1，连结 FF1，C1F1．
由于 FF1∥BB1∥CC1，
所以 F1∈平面 FCC1．
因此平面 FCC1 即为平面 C1CFF1．
连结 A1D，F1C，
由于 A1F1 綊 D1C1 綊 CD，
所以四边形 A1DCF1 为平行四边形，
因此 A1D∥F1C．又 EE1∥A1D，
得 EE1∥F1C．
而 EE1⊄平面 FCC1，F1C⊂平面 FCC1，
故 EE1∥平面 FCC1．
法二：因为 F 为 AB 的中点，
CD＝2，AB＝4，AB∥CD，
所以 CD 綊 AF，
因此四边形 AFCD 为平行四边形，
所以 AD∥FC．
又 CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面 FCC1，CC1⊂平面 FCC1，AD∩DD1＝D，AD⊂平面 ADD1A1，
DD1⊂平面 ADD1A1．
所以平面 ADD1A1∥平面 FCC1．
又 EE1⊂平面 ADD1A1，所以 EE1∥平面 FCC1．
(2)连结 AC，在△FBC 中，FC＝BC＝FB，
又 F 为 AB 的中点，所以 AF＝FC＝FB．
因此∠ACB＝90°，即 AC⊥BC．
101
又 AC⊥CC1，且 CC1∩BC＝C，
所以 AC⊥平面 BB1C1C．
而 AC⊂平面 D1AC，
故平面 D1AC⊥平面 BB1C1C．
B 组
1．设 a，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出 a⊥b 的是____．
①a⊥α，b∥β，α⊥β ②a⊥α，b⊥β，α∥β
③a⊂α，b⊥β，α∥β ④a⊂α，b∥β，α⊥β
解析：由α∥β，b⊥β ⇒b⊥α，又 a⊂α，故 a⊥b．答案：③
2．设α，β为不重合的平面，m，n 为不重合的直线，则下列命题正确的是________．
①若 m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
②若 n⊥α，n⊥β，m⊥β，则 m⊥α
③若 m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则 m⊥α
解析：由 n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因 m⊥β，所以 m⊥α．答案：②
3．设 m，n 是两条不同的直线， α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是．
①m⊥α，n⊂β，m⊥n⇒α⊥β ②α∥β，m⊥α，n∥β ⇒m⊥n
③α⊥β，m⊥α，n∥β ⇒m⊥n ④α⊥β，α∩β＝m，n⊥m⇒n⊥β
解析：①错，不符合面面垂直的判断定理的条件；②由空间想象易知命题正确；③错，两直线可平行；
④错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线 n 在平面α内时命题才成立．答案：②
4．已知两条不同的直线 m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是_．
①若 m⊥α，n⊥β，α⊥β，则 m⊥n
②若 m⊥α，n∥β，α⊥β，则 m⊥n
③若 m∥α，n∥β，α∥β，则 m∥n
④若 m∥α，n⊥β，α⊥β，则 m∥n
解析：易知①正确．而②中α⊥β且 m⊥α⇒m∥β或 m∈β，又 n∥β，容易知道 m，n 的位置关系不定，
因此②错误．而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此③错误．而④中因为②不对，此
项也不对．综上可知①正确．答案：①
5．设 a，b，c 表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是________．
①c⊥α，若 c⊥β，则α∥β
②b⊂β，c 是 a 在β内的射影，若 b⊥c，则 a⊥b
③b⊂β，若 b⊥α，则β⊥α
④b⊂α，c⊄α，若 c∥α，则 b∥c
解析：当 b⊂β，若β⊥α，则未必有 b⊥α．答案：③
6．已知二面角α－l－β的大小为 30°，m、n 为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则 m、n 所成的角为________．
解析：∵m⊥α，n⊥β，
∴m、n 所成的夹角与二面角α－l－β所成的角相等或互补．
∵二面角α－l－β为 30°，
∴异面直线 m、n 所成的角为 30°．答案：30°
7．如图所示，在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在
直线______上．
解析：由 AC⊥AB，AC⊥BC1，AC⊥平面 ABC1，AC⊂平面 ABC，∴平面
ABC1⊥平面 ABC，C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上．答案：
AB
8．(2010 年江苏昆山模拟)在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，P 在 AD 上 运
动，设∠ABP＝θ，将△ABP 沿 BP 折起，使得平面 ABP 垂直于平 面 BPDC，AC
长最小时θ的值为________．
解析：过 A 作 AH⊥BP 于 H，连 CH，∴AH⊥平面 BCDP．
∴在 Rt△ABH 中，AH＝3sinθ，BH＝3cosθ．
102
在△BHC 中，CH2＝(3cosθ)2＋42－2×4×3cosθ×cos(90°－θ)，
∴在 Rt△ACH 中，
AC2＝25－12sin2θ，
∴θ＝45°时，AC 长最小．答案：45°
9．在正四棱锥 P－ABCD 中，PA＝ 3
2 AB，M 是 BC 的中点，G 是△PAD 的重心，则在平面 PAD 中经过 G
点且与直线 PM 垂直的直线有________条．
解析：设正四棱锥的底面边长为 a，则侧棱长为 3
2 a．
由 PM⊥BC，
∴PM＝
3
2 a 2－
a
2 2＝ 2
2 a，
连结 PG 并延长与 AD 相交于 N 点，
则 PN＝ 2
2 a，MN＝AB＝a，
∴PM2＋PN2＝MN2，∴PM⊥PN，又 PM⊥AD，
∴PM⊥面 PAD，
∴在平面 PAD 中经过 G 点的任意一条直线都与 PM 垂直．答 案：无数
10．如图，在三棱锥 S－ABC 中，OA＝OB，O 为 BC 中点，SO⊥ 平面 ABC，
E 为 SC 中点，F 为 AB 中点．
(1)求证：OE∥平面 SAB；
(2)求证：平面 SOF⊥平面 SAB．
证明：(1)取 AC 的中点 G，连结 OG，EG，
∵OG∥AB，EG∥AS，EG∩OG＝G，SA∩AB＝A，
∴平面 EGO∥平面 SAB，OE⊂平面 OEG
∴OE∥平面 SAB
(2)∵SO⊥平面 ABC，
∴SO⊥OB，SO⊥OA，
又∵OA＝OB，SA2＝SO2＋OA2，SB2＝SO2＋OB2，
∴SA＝SB，又 F 为 AB 中点，
∴SF⊥AB，∵SO⊥AB，
∵SF∩SO＝S，∴AB⊥平面 SOF，
∵AB⊂平面 SAB，∴平面 SOF⊥平面 SAB．
11．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝2AB＝2BC，E，F， E1 分 别 是 棱
AA1，BB1，A1B1 的中点．
(1)求证：CE∥平面 C1E1F；
(2)求证：平面 C1E1F⊥平面 CEF．
证明：(1)取 CC1 的中点 G，连结 B1G 交 C1F 于点 F1，连结 E1F1 ， A1G ，
FG，
∵F 是 BB1 的中点，BCC1B1 是矩形，
∵四边形 FGC1B1 也是矩形，
∴FC1 与 B1G 相互平分，即 F1 是 B1G 的中点．
又 E1 是 A1B1 的中点，∴A1G∥E1F1．
又在长方体中，AA1 綊 CC1，E，G 分别为 AA1，CC1 的中点，
∴A1E 綊 CG，∴四边形 A1ECG 是平行四边形，
∴A1G∥CE，∴E1F1∥CE．
∵CE⊄平面 C1E1F，E1F1⊂平面 C1E1F，
∴CE∥平面 C1E1F．
(2)∵长方形 BCC1B1 中，BB1＝2BC，F 是 BB1 的中点，
∴△BCF、△B1C1F 都是等腰直角三角形，
103
∴∠BFC＝∠B1FC1＝45°，
∴∠CFC1＝180°－45°－45°＝90°，
∴C1F⊥CF．
∵E，F 分别是矩形 ABB1A1 的边 AA1，BB1 的中点，
∴EF∥AB．
又 AB⊥平面 BCC1B1，又 C1F⊂平面 BCC1B1，
∴AB⊥C1F，∴EF⊥C1F．
又 CF∩EF＝F，∴C1F⊥平面 CEF．
∵C1F⊂平面 C1E1F，∴平面 C1E1F⊥平面 CEF．
12．(2010 年江苏淮安模拟)如图，已知空间四边形 ABCD 中， BC＝AC，AD
＝BD，E 是 AB 的中点．
求证：(1)AB⊥平面 CDE；
(2)平面 CDE⊥平面 ABC；
(3)若 G 为△ADC 的重心，试在线段 AE 上确定一点 F，使 得 GF∥平面
CDE．
证明：(1)
BC＝AC
AE＝BE
⇒CE⊥AB，同理，
AD＝BD
AE＝BE
⇒DE⊥AB，
又∵CE∩DE＝E，∴AB⊥平面 CDE．
(2)由(1)知 AB⊥平面 CDE，
又∵AB⊂平面 ABC，
∴平面 CDE⊥平面 ABC．
(3)连结 AG 并延长交 CD 于 H，连结 EH，则AG
GH
＝2
1
，
在 AE 上取点 F 使得AF
FE
＝2
1
，
则 GF∥EH，
第五节 简单几何体的面积和体积
A 组
1．(2010 年东北四校联考)已知一个长方体的同一顶点处的三条棱长分别为 1，3，2，则其外接球的表面积
为________．
解析：设外接球半径为 r，则(2r)2＝12＋( 3)2＋22＝8，故 r2＝2．∴S 球＝4πr2＝8π．答案：8π
2．(2009 年高考上海卷)若等腰直角三角形的直角边长为 2，则以一 直角边所在的
直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_________．
解析：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．
V＝1
3S·h＝1
3πR2·h
＝1
3π×22×2＝8π
3
．答案：8π
3
3．(2010 年南京调研)如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中
点．若截面△BC1D 是面积为 6 的直角三角形，则此三棱柱的体积 为________．
解析：设 AC＝a，CC1＝b，则由 BC12＝BC2＋CC12，BC12＝DC12 ＋DB2，即得
(a2＋1
4b2)×2＝a2＋b2，得 b2＝2a2，又1
2
×3
2a2＝6，∴a2＝8，∴V＝ 3
4
×8×4 ＝
8 3．
答案：8 3
104
4．矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B－AC－D，则四面体 ABCD
的外接球的体积为________．
解析：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，所以球心在对角线 AC 上，且其半径为 AC 长度的一
半，则 V 球＝4
3π×(5
2)3＝125π
6
．答案：125π
6
5．已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一半，且 AC＝BC＝6，AB＝4，则球的
半径等于________，球的表面积等于________．
解析：如右图，设球的半径为 r，O′是△ABC 的外心，外接圆 半径为 R，则
OO′⊥面 ABC．在 Rt△ACD 中，cosA＝1
3
，则 sinA＝2 2
3
．在 △ABC 中，由
正弦定理得 6
sinA
＝2R，R＝9
4 2，即 O′C＝9
4 2．
在 Rt△OCO′中，由题意得 r2－1
4r2＝81×2
16
，得 r＝3 6
2
．球 的表面积 S＝
4πr2＝4π×9×6
4
＝54π．
答案：3 6
2 54π
6．在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝BC＝2，过 A1、C1、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到
如图所示的几何体 ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为40
3
．(1)证明：直线 A1B∥平面 CDD1C1；(2)求
棱 A1A 的长；(3)求经过 A1，C1，B，D 四点的球的表面积．
解：(1)证明：法一：如图，连结 D1C，
∵ABCD－A1B1C1D1 是长方体，
∴A1D1∥BC 且 A1D1＝BC．
∴四边形 A1BCD1 是平行四边形．
∴A1B∥D1C．
∵A1B⊄平面 CDD1C1，D1C⊂平面 CDD1C1，
∴A1B∥平面 CDD1C1．
法二：∵ABCD－A1B1C1D1 是长方体，
∴平面 A1AB∥平面 CDD1C1．
∵A1B⊂平面 A1AB，A1B⊄平面 CDD1C1．
∴A1B∥平面 CDD1C1．
(2)设 A1A＝h，∵几何体 ABCD－A1C1D1 的体积为40
3
，
∴VABCD－A1C1D1＝VABCD－A1B1C1D1－VB－A1B1C1＝40
3
，
即 SABCD×h－1
3
×S△A1B1C1×h＝40
3
，
即 2×2×h－1
3
×1
2
×2×2×h＝40
3
，解得 h＝4．
∴A1A 的长为 4．
(3)如图，连结 D1B，设 D1B 的中点为 O，连 OA1，OC1，OD．
∵ABCD－A1B1C1D1 是长方体，∴A1D1⊥平面 A1AB．
∵A1B⊂平面 A1AB，∴A1D1⊥A1B．
∴OA1＝1
2D1B．同理 OD＝OC1＝1
2D1B．
∴OA1＝OD＝OC1＝OB．
∴经过 A1，C1，B，D 四点的球的球心为点 O．
∵D1B2＝A1D12＋A1A2＋AB2＝22＋42＋22＝24．
105
∴S 球＝4π×(OD1)2＝4π×(D1B
2 )2＝π×D1B2＝24π．
故经过 A1，C1，B，D 四点的球的表面积为 24π．
B 组
1．(2008 年高考湖北卷)用与球心距离为 1 的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为________．
解析：截面圆的半径为 1，又球心到截面距离等于 1，所以球的半径 R＝ 2，故球的体积 V＝4
3πR3＝
8
3 2π．答案：8 2π
3
2．在三棱锥 A－BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB 的面积分别为 2
2
，3
2
，6
2
，
则该三棱锥的体积为________．
解析：1
2AB·AC＝ 2
2
，1
2AD·AC＝ 3
2
，1
2AB·AD＝ 6
2
，∴AB＝ 2，AC＝1，AD＝ 3．∴V＝1
3·1
2·1· 2· 3
＝ 6
6
．答案： 6
6
3．(2010 年福建厦门检测)已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是32π
3
，
则这个三棱柱的体积是________．
解析：由4
3πR3＝32π
3
，得 R＝2．∴正三棱柱的高 h＝4．设其底面边长为 a，则1
3· 3
2 a＝2．∴a＝4 3．∴V
＝ 3
4 (4 3)2·4＝48 3．答案：48 3
4．(2009 年高考陕西卷改编)若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积
为________．
解析：所求八面体体积是两个底面边长为 1，高为 2
2
的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积 V1＝1
3
×1× 2
2
＝ 2
6
，故八面体体积 V＝2V1＝ 2
3
．答案： 2
3
5．(2009 年高考全国卷Ⅰ)已知 OA 为球 O 的半径，过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M．若
圆 M 的面积为 3π，则球 O 的表面积等于__________．
解析：由题意得圆 M 的半径 r＝ 3，又球心到圆 M 的距离为R
2
，由勾股定理得 R2＝r2＋(R
2)2，∴R＝2，
则球的表面积为 4π×22＝16π．答案：16π
6．(2009 年高考江西卷)体积为 8 的一个正方体，其全面积与球 O 的表面积相等，则球 O 的体积等于
________．
解析：设正方体棱长为 a，则 a3＝8，∴a＝2．
∵S 正方体＝S 球，∴6×22＝4πR2，∴R＝ 6
π
．
V 球＝4
3πR3＝4
3π( 6
π)3＝8 6π
π
．答案：8 6π
π
7．若长方体的三个共顶点的面的面积分别是 2，3，6，则长方体的体积是__．
解析：可设长方体同一个顶点上的三条棱长分别为a，b，c，列出方程组
ab＝ 2，
bc＝ 3，
ac＝ 6，
解得
a＝ 2，
b＝1，
c＝ 3.
所以长方体的体积 V＝1× 2× 3＝ 6．
8．在一个锥体中，作平行于底面的截面，若这个截面面积与底面面积之比为 1∶3，则锥体被截面所分成
的两部分的体积之比为________
解析：利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方，而这
个截面面积与底面面积之比等于相似比的平方．
106
答案：1∶3 3
9．(2010 年南通调研)正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2 3，则四面体 A－B1CD1 的外接球的体积为
________．
解析：四面体 A－B1CD1 的外接球即为正方体的外接球，所以 2r ＝
3×(2 3)2．∴r＝3，V 球＝4
3πr3＝4
3π×27＝36π．答案：36π
10．(2009 年高考宁夏、海南卷)如图，在三棱锥 P－ABC 中，△PAB 是 等 边 三 角
形，∠PAC＝∠PBC＝90°．
(1)证明：AB⊥PC；
(2)若 PC＝4，且平面 PAC⊥平面 PBC，求三棱锥 P－ABC 的体 积．
解：(1)证明：因为△PAB 是等边三角形，
∠PAC＝∠PBC＝90°，
所以 Rt△PBC≌Rt△PAC，可得 AC＝BC．
如图，取 AB 中点 D，连结 PD、CD，
则 PD⊥AB，CD⊥AB，所以 AB⊥平面 PDC，
所以 AB⊥PC．
(2)作 BE⊥PC，垂足为 E，连结 AE．
因为 Rt△PBC≌Rt△PAC，
所以 AE⊥PC，AE＝BE．
由已知，平面 PAC⊥平面 PBC，故∠AEB＝90°．
因为 Rt△AEB≌Rt△PEB，
所以△AEB，△PEB，△CEB 都是等腰直角三角形．
由已知 PC＝4，得 AE＝BE＝2，
△AEB 的面积 S＝2．
因为 PC⊥平面 AEB，
所以三棱锥 P－ABC 的体积 V＝1
3
×S×PC＝8
3
．
11．如图，已知 AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，△ACD 为等边三角形，AD＝DE＝2AB＝2，F 为 CD 的
中点．
(1)求证：AF⊥平面 CDE；
(2)求证：AF∥平面 BCE；
(3)求四棱锥 C－ABED 的体积．
解：(1)证明：∵F 为等边三角形 CD 边上的中点，
∴AF⊥CD，
∵DE⊥平面 ACD，AF⊂平面 ACD，
∴AF⊥DE，
又 CD∩DE＝D，∴AF⊥平面 CDE．
(2)证明：取 CE 的中点 G，连 FG、BG．∵F 为 CD 的中点，
∴GF∥DE 且 GF＝1
2DE．
∵AB⊥平面 ACD，DE⊥平面 ACD，
∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又 AB＝1
2DE，∴GF＝AB．
∴四边形 GFAB 为平行四边形，则 AF∥BG．
∵AF⊄平面 BCE，BG⊂平面 BCE，∴AF∥平面 BCE．
(3)取 AD 中点 M，连结 CM，
∵△ACD 为等边三角形，则 CM⊥AD，
∵DE⊥平面 ACD，且 DE⊂平面 ABED，
∴平面 ACD⊥平面 ABED，
107
又平面 ACD∩平面 ABED＝AD，∴CM⊥平面 ABED，
∴CM 为四棱锥 C－ADEB 的高，
∴V＝1
3CM·SABED＝1
3AF·SABED＝ 3．
12．(2010 年广州质检)如图，A1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于 A、
B 的任意一点，A1A＝AB＝2．
(1)求证：BC⊥平面 A1AC；
(2)求三棱锥 A1－ABC 的体积的最大值．
解：(1)证明：∵C 是底面圆周上异于 A、B 的任意一点，且 AB 是圆柱底面圆的直径，
∴BC⊥AC．
∵AA1⊥平面 ABC，BC 平面 ABC，
∴AA1⊥BC．
∵AA1∩AC＝A，AA1 平面 AA1C，AC 平面 AA1C，
∴BC⊥平面 AA1C．
(2)设 AC＝x，在 Rt△ABC 中，
BC＝ AB2－AC2＝ 4－x2(0＜x＜2)，
故 VA1－ABC＝1
3S△ABC·AA1＝1
3·1
2·AC·BC·AA1
＝1
3x 4－x2(0＜x＜2)，
即 VA1－ABC＝1
3x 4－x2＝1
3 x2(4－x2)
＝1
3
－(x2－2)2＋4．
∵0＜x＜2，0＜x2＜4，∴当 x2＝2，即 x＝ 2时，
三棱锥 A1－ABC 的体积最大，其最大值为2
3
．
第十五章 解析几何
第一节 直线的倾斜角、斜率及方程
A 组
1．已知θ∈R，则直线 xsinθ－ 3y＋1＝0 的倾斜角的取值范围是________．
解析：k＝ 3
3 sinθ，∵θ∈R，∴k∈[－ 3
3
， 3
3 ]，∴倾斜角α∈[0°，30°]∪[150°，180°)．答案：[0°，30°]∪[150°，
180°)
2．已知直线 l1 的方程是 ax－y＋b＝0，l2 的方程是 bx－y－a＝0(ab≠0，a≠b)，则下列各示意图形中，正
确的是________．
解析：kl1＝a，l1 与 y 轴的交点为(0，b)，kl2＝b，l2 与 y 轴的交点为(0，－a)，可知④对．答案：④
3．直线 mx－y＋2m＋1＝0 经过一定点，则该点的坐标是______________．
解析：mx－y＋2m＋1＝0⇒m(x＋2)＋(1－y)＝0，
∴x＝－2 时，y＝1，即过定点(－2，1)．答案：(－2，1)
4．(2008 年高考浙江卷)已知 a>0，若平面内三点 A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则 a＝________．
108
解析：由 kAB＝kBC，即a2＋a
1
＝a3－a2
1
，可得 a(a2－2a－1)＝0，即 a＝1± 2或 a＝0，又 a>0，故 a＝1
＋ 2．答案：1＋ 2
5．(原创题)若点 A(ab，a＋b)在第一象限内，则直线 bx＋ay－ab＝0 不经过第________象限．
解析：点 A 在第一象限内，∴ab>0 且 a＋b>0，即 a>0，b>0，
由 bx＋ay－ab＝0⇒y＝－a
bx＋b，∴－a
b<0，y 轴的交点为(0，b)，
∴直线不过第三象限．答案：三
6．求过点 P(2，3)，且满足下列条件的直线方程：
(1)倾斜角等于直线 x－3y＋4＝0 的倾斜角的二倍的直线方程；
(2)在两坐标轴上截距相等的直线方程．
解：(1)由题意，可知 tanα＝1
3
，k＝tan2α＝ 2tanα
1－tan2α
＝
2×1
3
1－1
9
＝3
4
，
y－3＝3
4(x－2)，所以所求直线的方程为：3x－4y＋6＝0．
(2)当直线过原点时方程为：y＝3
2x，当直线不过原点时方程为：x
5
＋y
5
＝1，故所求直线的方程为 3x－2y＝0
或 x＋y－5＝0．
B 组
1．直线 l 的倾角α满足 4sinα＝3cosα，而且它在 x 轴上的截距为 3，则直线 l 的方程是________________．
解析：由 4sinα＝3cosα，得 tanα＝3
4
，∴k＝3
4
，直线 l 在 x 轴上的截距为 3，∴l 与 x 轴的交点为(3，0)，
∴直线 l：y－0＝3
4(x－3)，即 3x－4y－9＝0．
2．已知直线 y＝kx－2k－1 与直线 x＋2y－4＝0 的交点位于第一象限，则 k 的取值范围是________．
解析：由 y＝kx－2k－1
x＋2y－4＝0
，解之得
x＝4k＋6
2k＋1
y＝2k－1
2k＋1
，∵交点在第一象限，∴x>0，y>0，得 k>1
2
或 k<－
3
2
．
3．直线 l 与两直线 y＝1，x－y－7＝0 分别交于 P、Q 两点，线段 PQ 的中点恰为(1，－1)，则直线 l 的斜
率为________．
解析：设直线 l 与两直线的交点分别为(a，1)，(b，c)，P、Q 的中点为(1，－1)，∴c＝－2－1＝－3，
代入 x－y－7＝0 可得 b＝4，∴a＝2－b＝－2，∴P(－2，1)，Q(4，－3)，∴kPQ＝1－(－3)
－2－4
＝－2
3
．
4．若直线(k2－1)x－y－1＋2k＝0 不过第二象限，则实数 k 的取值范围是________．
解析：由直线方程可化为 y＝(k2－1)x＋2k－1，直线不过第二象限，
∴ k2－1＝0
2k－1<0
或 2k－1＝0
k2－1>0
或 k2－1>0
2k－1<0
，解之得 k≤－1．
5．(2010 年苏州模拟)若 ab<0，则过点 P(0，－1
b)与 Q(1
a
，0)的直线 PQ 的倾斜角的取值范围是__________．
解析：kPQ＝
－1
b
－0
0－1
a
＝a
b<0．又倾斜角的取值范围为[0，π)，所以直线 PQ 的倾斜角的取值范围是(π
2
，π)．
109
6．函数 y＝asinx－bcosx 的一个对称轴方程为 x＝π
4
，则直线 ax－by＋c＝0 的倾斜角为______．
解析：令 f(x)＝asinx－bcosx，由于 f(x)的一条对称轴为 x＝π
4
，得 f(0)＝f(π
2)，即－b＝a，a
b
＝－1．∴直
线 ax－by＋c＝0 的斜率为－1，倾斜角为 135°．
7．已知两直线 a1x＋b1y＋1＝0 与 a2x＋b2y＋1＝0 的交点是 P(2，3)，则过两点 Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直
线方程是______________________．
解析：由条件可得 2a1＋3b1＋1＝0，2a2＋3b2＋1＝0，显然点(a1，b1)与(a2，b2)在直线 2x＋3y＋1＝0
上．
8．直线 ax＋y＋1＝0 与连结 A(2，3)，B(－3，2)的线段相交，则 a 的取值范围是__．
解析：∵直线 ax＋y＋1＝0 过定点 C(0，－1)，当直线处在直线 AC 与 BC 之间时，必与线段 AB 相交，
故应满足－a≥3＋1
2
或－a≤2＋1
－3
，即 a≤－2 或 a≥1．
9．(2010 年湛江质检)已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，P 是 AB 上的一动点，则点 P 到
AC，BC 的距离乘积的最大值是________．
解析：以 C 为坐标原点，CA，CB 分别为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，所以 A(3，0)，B(0，4)．直
线 AB：x
3
＋y
4
＝1，设 P(x，y)，所以 P 到 AC、BC 的距离乘积为 xy，xy＝x(4－4
3x)＝－4
3x2＋4x＝－4
3[(x－3
2)2
－9
4]≤4
3
×9
4
＝3．
答案：3
10．已知直线方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0．
(1)证明：直线恒过定点 M；
(2)若直线分别与 x 轴、y 轴的负半轴交于 A、B 两点，求△AOB 面积的最小值及此时直线的方程．
解：(1)证明：(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0 可化为(x－2y－3)m＝－2x－y－4．由 x－2y－3＝0
－2x－y－4＝0
得 x＝－1
y＝－2
，∴直线必过定点(－1，－2)．
(2)设直线的斜率为 k，则其方程为 y＋2＝k(x＋1)，∴OA＝2
k
－1，OB＝k－2，
S△AOB＝1
2·|OA|·|OB|＝1
2|(2
k
－1)(k－2)|＝1
2|－(k－2)2
k
|．
∵k<0，∴－k>0，∴S△AOB＝1
2[－(k－2)2
k
]＝1
2[4＋(－4
k)＋(－k)]≥4．
当且仅当－4
k
＝－k，即 k＝－2 时取等号，∴△AOB 的面积最小值是 4，
直线的方程为 y＋2＝－2(x＋1)，即 y＋2x＋4＝0．
11．已知直线 l：ay＝(3a－1)x－1．
(1)求证：无论 a 为何值，直线 l 总过第三象限；
(2)a 取何值时，直线 l 不过第二象限？
解：(1)证明：由直线 l：ay＝(3a－1)x－1，得 a(3x－y)＋(－x－1)＝0，
由 3x－y＝0
－x－1＝0
，得 x＝－1
y＝－3
，
所以直线 l 过定点(－1，－3)，因此直线总过第三象限．
(2)直线 l 不过第二象限，应有斜率 k＝3a－1
a
≥0 且－1
a
≤0．
∴a≥1
3
时直线 l 不过第二象限．
12．若直线 l 过点 P(3，0)且与两条直线 l1：2x－y－2＝0，l2：x＋y＋3＝0 分别相交于两点 A、B，且点 P
平分线段 AB，求直线 l 的方程．
110
解：设 A(m，2m－2)，B(n，－n－3)．∵线段 AB 的中点为 P(3，0)，
∴ m＋n＝6，
(2m－2)＋(－n－3)＝0，
∴ m＋n＝6，
2m－n＝5，
∴
m＝11
3
，
n＝7
3.
∴A(11
3
，16
3 )，
∴直线 l 的斜率 k＝
16
3
－0
11
3
－3
＝8，
∴直线 l 的方程为 y－0＝8(x－3)，即 8x－y－24＝0
第二节 点与直线、直线与直线的位置关系
A 组
1．(2009 年高考安徽卷改编)直线 l 过点(－1，2)且与直线 2x－3y＋4＝0 垂直，则 l 的方程是________．
解析：由题意知，直线 l 的斜率为－3
2
，因此直线 l 的方程为 y－2＝－3
2(x＋1)，即 3x＋2y－1＝0．
2．(2010 年西安调研)已知两条直线 y＝ax－2 和 y＝(a＋2)x＋1 互相垂直，则 a 等于________．
解析：∵两条直线互相垂直，∴a(a＋2)＝－1，∴a＝－1．
3．(2010 年苏州质检)直线 x＋ay＋3＝0 与直线 ax＋4y＋6＝0 平行的充要条件是 a＝________．
解析：由两条直线平行可知 4－a2＝0，
6≠3a，
∴a＝－2．
4．若点 P(a，3)到直线 4x－3y＋1＝0 的距离为 4，且点 P 在不等式 2x＋y－3<0 表示的平面区域内，则实
数 a 的值为________．
解析：由|4a－9＋1|
5
＝4 得 a＝7 或－3，又 2a＋3－3<0，得 a<0，∴a＝－3．
5．在平面直角坐标系中，定义平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，若直线 l 过点 A(－2，3)，
且法向量为 n＝(1，－2)，则直线 l 的方程为_________．
解析：设 P(x，y)是直线 l 上任意一点，则PA→＝(－2－x，3－y)，且PA→⊥n，故PA→·n＝0，即(－2－x，3
－y)·(1，－2)＝－x＋2y－8＝0，即直线 l 的方程为 x－2y＋8＝0．答案：x－2y＋8＝0
6．直线 2y x= 是△ABC 中∠C 的角平分线所在的直线，若 A、B 的坐标分别为 A(－4，2)，B(3，1)，求
点 C 的坐标，并判断△ABC 的形状．
解：设 A(－4，2)关于直线 y＝2x 对称的点 A′的坐标是(m，n)
由
2＋n
2
＝－4＋m
2
·2，
2－n
－4－m
·2＝－1，
解得 m＝4，
n＝－2，
即 A′的坐标是(4， －2)，
由 B、A′得 BC 所在的直线方程，3x＋y－10＝0，由
3x＋y－10＝0，
y＝2x，
解得 C 的坐标是(2，4)，又
∵ 1
3ACk ¢ = , 3BCk ¢ =- ，
∴AC′⊥BC′，即△ABC′是直角三角形．
B 组
1．已知点 P(3，2)与点 Q(1，4)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为______________．
111
解析：kPQ＝4－2
1－3
＝－1，PQ 的中点为(3＋1
2
，2＋4
2
)，即(2，3)，
∴kl＝1，∴直线 l 的方程为 y－3＝(x－2)，即 x－y＋1＝0．
2．若三条直线 l1：x＋y＝7，l2：3x－y＝5，l3：2x＋y＋c＝0 不能围成三角形，则 c 的值为________．
解析：由 l1，l2，l3 的方程可知 l1，l2，l3 不平行，由 x＋y＝7，
3x－y＝5，
解得交点(3，4)，代入 l3 的方程得 c
＝－10．
3．已知两条直线 l1：ax＋by＋c＝0，直线 l2：mx＋ny＋p＝0，则 an＝bm 是直线 l1∥l2 的________条件．
解析：∵l1∥l2⇒an－bm＝0，且 an－bm＝0⇒/ l1∥l2．
答案：必要不充分
4．过点 P(1，2)作直线 l，使直线 l 与点 M(2，3)和点 N(4，－5)距离相等，则直线 l 的方程为________________．
解析：直线 l 为与 MN 平行或经过 MN 的中点的直线，当 l 与 MN 平行时，斜率为－4，故直线方程为
y－2＝－4(x－1)，即 4x＋y－6＝0；当 l 经过 MN 的中点时，MN 的中点为(3，－1)，直线 l 的斜率为－3
2
，
故直线方程为 y－2＝－3
2(x－1)，即 3x＋2y－7＝0．
答案：3x＋2y－7＝0 或 4x＋y－6＝0
5．已知直线 l 经过点(1
2
，2)，其横截距与纵截距分别为 a、b(a、b 均为正数)，则使 a＋b≥c 恒成立的 c 的
取值范围为________．
解析：设直线方程为x
a
＋y
b
＝1，∴ 1
2a
＋2
b
＝1，a＋b＝(a＋b)·( 1
2a
＋2
b)＝5
2
＋ b
2a
＋2a
b
≥9
2
，故 c≤9
2
．答案：(－
∞，9
2]
6．(2010 年苏南四市调研)若函数 y＝ax＋8 与 y＝－1
2x＋b 的图象关于直线 y＝x 对称，则 a＋b＝________．
解析：直线 y＝ax＋8 关于 y＝x 对称的直线方程为 x＝ay＋8，所以 x＝ay＋8 与 y＝－1
2x＋b 为同一直
线，故得 a＝－2
b＝4
，所以 a＋b＝2．答案：2
7．如图，已知 A(4，0)、B(0，4)，从点 P(2，0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直
线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程是______．
解析：分别求点 P 关于直线 x＋y＝4 及 y 轴的对称点，为 P1(4， 2)、P2(－2，
0)，由物理知识知，光线所经路程即为 P1P2＝2 10．答案：2 10
8．设 a、b、c、分别是△ABC 中∠A、∠B、∠C 所对边的边长， 则直线 xsinA
＋ay＋c＝0 与 bx－ysinB＋sinC＝0 的位置关系是______．
解析：由 bsinA－asinB＝0 知，两直线垂直．答案：垂直
9．(2010 年江苏常州模拟)已知 00)与两坐标轴无公共点，那么实数 k 的取值范围为________．
解析：圆的方程为(x－k)2＋(y＋1)2＝k2－1，圆心坐标为(k，－1)，半径 r＝ k2－1，若圆与两坐标无公
113
共点，即 k2－1<|k|
k2－1<1
，解得 10)，B(0，a)，C(－4，0)，D(0，4)，设△AOB 的外接圆
圆心为 E．
(1)若⊙E 与直线 CD 相切，求实数 a 的值；
(2)设点 P 在圆 E 上，使△PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有三个，试问这样的⊙E 是否存在，若存
在？求出⊙E 的标准方程；若不存在，说明理由．
解：(1)直线 CD 方程为 y＝x＋4，圆心 E(a
2
，a
2)，半径 r＝ 2
2 a．
由题意得
|a
2
－a
2
＋4|
2
＝ 2
2 a，解得 a＝4．
(2)∵|CD|＝ (－4)2＋42＝4 2，∴当△PCD 面积为 12 时，点 P 到直线 CD 的距离为 3 2．又圆心 E
115
到直线 CD 距离为 2 2(定值)，要使△PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有三个，只须圆 E 半径 2a
2
＝5 2，
解得 a＝10，
此时，⊙E 的标准方程为(x－5)2＋(y－5)2＝50．
11．在 Rt△ABO 中，∠BOA＝90°，OA＝8，OB＝6，点 P 为它的内切圆 C 上任一点，求点 P 到顶点 A、B、
O 距离的平方和的最大值和最小值．
解：如图所示，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，建立直角坐标系 xOy，则
A(8，0)，B(0，6)，内切圆 C 的半径 r＝1
2(OA＋OB－AB)＝8＋6－10
2
＝2．∴内切圆 C 的方程为(x－2)2＋(y
－2)2＝4．
设 P(x，y)为圆 C 上任一点，点 P 到顶点 A、B、O 的距离的平方和为 d，则
d＝PA2＋PB2＋PO2
＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2
＝3x2＋3y2－16x－12y＋100
＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76．
∵点 P(x，y)在圆 C 上，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4．∴d＝3×4 －4x＋76＝88
－4x．
∵点 P(x，y)是圆 C 上的任意点，∴x∈[0，4]．
∴当 x＝0 时，dmax＝88；当 x＝4 时，dmin＝72．
12．(2008 年高考江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，设二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两个坐标
轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为 C．
(1)求实数 b 的取值范围；
(2)求圆 C 的方程；
(3)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)？请证明你的结论．
解：(1)显然 b≠0．否则，二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b 的图象与两个坐标轴只有两个交点(0，0)，(－2，
0)，这与题设不符．由 b≠0 知，二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b 的图象与 y 轴有一个非原点的交点(0，b)，故它
与 x 轴必有两个交点，从而方程 x2＋2x＋b＝0 有两个不相等的实数根，因此方程的判别式 4－4b>0，即 b<1．
所以 b 的取值范围是(－∞，0)∪(0，1)．
(2)由方程 x2＋2x＋b＝0，得 x＝－1± 1－b．
于是，二次函数 f(x)＝x2＋2x＋b 的图象与坐标轴的交点是(－1－ 1－b，0)，(－1＋ 1－b，0)，(0，
b)．设圆 C 的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．
因圆 C 过上述三点，将它们的坐标分别代入圆 C 的方程，得
(－1－ 1－b)2＋D(－1－ 1－b)＋F＝0，
(－1＋ 1－b)2＋D(－1＋ 1－b)＋F＝0，
b2＋Eb＋F＝0.
解上述方程组，因 b≠0，
得
D＝2，
E＝－(b＋1)，
F＝b.
所以，圆 C 的方程为 x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0．
(3)圆 C 过定点．证明如下：
假设圆 C 过定点(x0，y0)(x0，y0 不依赖于 b)，将该点的坐标代入圆 C 的方程，并变形为 x02＋y02＋2x0
－y0＋b(1－y0)＝0．(*)为使(*)式对所有满足 b<1(b≠0)的 b 都成立，必须有 1－y0＝0，结合(*)式得 x02＋y02
＋2x0－y0＝0．
解得 x0＝0，
y0＝1，
或 x0＝－2，
y0＝1.
经检验知，点(0，1)，(－2，1)均在圆 C 上，
因此，圆 C 过定点．
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
116
A 组
1．(2009 年高考天津卷)若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的 公共弦的长为
2 3，则 a＝________．
解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝1
a
，
如图，由已知|AC|＝ 3，|OA|＝2，有|OC|＝1
a
＝1，∴a＝1．
答案：1
2．(2009 年高考全国卷Ⅱ)已知圆 O：x2＋y2＝5 和点 A(1，2)，则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围
成的三角形的面积等于________．
解析：依题意，过 A(1，2)作圆 x2＋y2＝5 的切线方程为 x＋2y＝5，在 x 轴上的截距为 5，在 y 轴上的
截距为5
2
，切线与坐标轴围成的三角形面积 S＝1
2
×5
2
×5＝25
4
．答案：25
4
3．(2009 年高考湖北卷)过原点 O 作圆 x2＋y2－6x－8y＋20＝0 的两条切线，设切点分别为 P、Q，则线段
PQ 的长为________．
解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，可知圆心为(3，4)，半径为 5．如图可知，|CO|＝5，
∴OP＝ 25－5＝2 5．∴tan∠POC＝PC
OP
＝1
2
．在 Rt△POC 中，OC·PM＝
OP·PC，∴PM＝2 5× 5
5
＝2．∴PQ＝2PM＝4．答案：4
4．若直线 3x＋4y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 没有公共点， 则实数 m 的
取值范围是________．
解析：将圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 化为标准方程，得(x－1)2 ＋ (y ＋ 2)2 ＝
1，圆心为(1，－2)，半径为 1．
若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，
即 d＝|3×1＋4×(－2)＋m|
32＋42
＝|m－5|
5
>1，∴m<0 或 m>10．
答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)
5．(原创题)已知直线 3x－y＋2m＝0 与圆 x2＋y2＝n2 相切，其中 m，n∈N*，且 n－m<5，则满足条件的有
序实数对(m，n)共有________个．
解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即 2m－1＝n，所以
2m－1－m<5，因为 m，n∈N*，所以 m＝1
n＝1
，m＝2
n＝2
，m＝3
n＝4
，m＝4
n＝8
，故有序实数对(m，n)共有
4 个．答案：4 个
6．(2010 年南京调研)已知：以点 C(t，2
t)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A，与 y 轴交于点 O、B，
其中 O 为原点．
(1)求证：△OAB 的面积为定值；
(2)设直线 y＝－2x＋4 与圆 C 交于点 M，N，若 OM＝ON，求圆 C 的方程．
解：(1)证明：∵圆 C 过原点 O，∴OC2＝t2＋4
t2
．设圆 C 的方程是(x－t)2＋(y－2
t)2＝t2＋4
t2
，令 x＝0，
得 y1＝0，y2＝4
t
；令 y＝0，得 x1＝0，x2＝2t．
∴S△OAB＝1
2OA·OB＝1
2
×|4
t|×|2t|＝4，即△OAB 的面积为定值．
(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC 垂直平分线段 MN．∵kMN＝－2，∴kO C＝1
2
，
∴直线 OC 的方程是 y＝1
2x．∴2
t
＝1
2t，解得：t＝2 或 t＝－2．
当 t＝2 时，圆心 C 的坐标为(2，1)，OC＝ 5，此时圆心 C 到直线 y＝－2x＋4 的距离 d＝ 1
5
< 5，圆
117
C 与直线 y＝－2x＋4 相交于两点．
当 t＝－2 时，圆心 C 的坐标为(－2，－1)，OC＝ 5，此时圆心 C 到直线 y＝－2x＋4 的距离 d＝ 1
5
> 5，
圆 C 与直线 y＝－2x＋4 不相交，
∴t＝－2 不符合题意舍去．∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．
B 组
1．直线 ax＋by＋b－a＝0 与圆 x2＋y2－x－3＝0 的位置关系是________．
解析：直线方程化为 a(x－1)＋b(y＋1)＝0，过定点(1，－1)，代入圆的方程，左侧小于 0，则定点在圆
内，所以直线与圆总相交．答案：相交
2．(2010 年秦州质检)已知直线 y＝ 3－x 与圆 x2＋y2＝2 相交于 A、B 两点，P 是优弧 AB 上任意一点，则
∠APB＝____________．
解析：弦心距长为 6
2
，半径为 2，所以弦 AB 所对的圆心角为π
3
，又因为同弦所对的圆周角是圆心角
的一半，所以∠APB＝π
6
．答案：π
6
3．已知向量 a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，a 与 b 的夹角为 60°，直线 xcosα＋ysinα＝0 与圆(x＋cosβ)2
＋(y＋sinβ)2＝1
2
的位置关系是________．
解析：cos60°＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝cos(α－β)，
d＝|cosα·cosβ＋sinα·sinβ|
cos2α＋sin2α
＝|cos(α－β)|＝ 3
2 > 2
2
＝r．答案：相离
4．过点 A(11，2)作圆 x2＋y2＋2x－4y－164＝0 的弦，其中弦长为整 数的共有__
条．
解析：方程化为(x＋1)2＋(y－2)2＝132，圆心为(－1，2)，到点 A(11，2)的距
离为 12，最短弦长为 10，最长弦长为 26，所以所求直线条数为 2 ＋ 2×(25 －
10)＝32(条)．答案：32
5．若集合 A＝{(x，y)|y＝1＋ 4－x2}，B＝{(x，y)|y＝k(x－2)＋4}．当 集 合 A∩B
有 4 个子集时，实数 k 的取值范围是________________．
解析：A∩B 有 4 个子集，即 A∩B 有 2 个元素，∴半圆 x2＋(y－1)2＝4(y≥1)与过 P(2，4)点，斜率为
k 的直线有两个交点，如图：A(－2，1)，kPA＝3
4
，过 P 与半圆相切时，k＝ 5
12
，∴ 5
120)，又 Q 点在底面 ABCD 的对角线 BD 上，所 以可设 Q 点
的 坐 标 为 (y ， y ， 0) ， 因 此 P 、 Q 两 点 间 的 距 离 PQ ＝
(－x－y)2＋(x－y)2＋( 2
2 a－ 2x)2
＝ 4(x－a
4)2＋2y2＋a2
4
，显然当 x＝a
4
，y＝0 时 d 取得最小值，d 的最小值等于a
2
，这时，点 P 恰好为
SC 的中点，点 Q 恰好为底面的中心．
122
xo
P
Q
A
y
第十六章 圆锥曲线
1．椭圆 12
2
2
2
b
y
a
x （a>b>0）的两焦点为 F1F2，连接点 F1，F2 为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角
形的另两条边，则椭圆的离心率为 13 ．
2．已知 N（3，1），点 A、B 分别在直线 y=x 和 y=0 上，则△ABN 的周长的最小值是 20 ．
3．一个动圆的圆心在抛物线 2 8y x 上，且动圆恒与直线 2 0x 相切，则此动圆必经过点 (2,0)
4．抛物线顶点在原点，焦点在 y 轴上，其上一点 ( ,1)M m 到焦点的距离为 5，则此抛物线的方程为 2 16x y
5．椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率为 3
3
，那么双曲线
2 2
2 2 1x y
a b
的离心率为 15
3
6．已知椭圆的焦点是 1 2, ,F F P 是椭圆上的一个动点，如果延长 1F P 到Q ，使得 2PQ PF ，那么动点Q
的轨迹是 圆 （写出曲线类型）
7．椭圆
2 2
112 3
x y 的焦点是 1 2,F F ，点 P 在椭圆上，如果线段 1F P 的中点在 y 轴上，那么 1 2:PF PF 7 :1
8．过点 (0,1)M 且与抛物线 2: 4C y x 仅有一个公共点的直线方程是 0, 1x y 及 1y x
9．函数 1x1xx21xf 2 的图象为 C，则 C 与 x 轴围成的封闭图形的面积为 2 2
p- ．
10 ．若 椭圆 )0(12
2
2
2
bab
y
a
x 的左 、右 焦点分 别为 21 , FF ，抛 物线 bxy 42 的焦 点为 M ，若
||2|| 21 MFMF ，则此椭圆的离心率为
10
103
10
10 或 ．
11．已知双曲线 )0(122 mmyx 的右顶点为 A，而 B、C 是双曲线右支上两点，若三角形 ABC 为等边三
角形，则 m 的取值范围是 ( )3,+¥ ．
12．长度为 a 的线段 AB 的两个端点 A、B 都在抛物线 )2,0(22 pappxy 上滑动，则线段 AB 的中点 M
到 y 轴的最短距离为 2a ．
13．已知△ABC 的顶点 A（1，4），若点 B 在 y 轴上，点 C 在直线 y=x 上，则△ABC 的周长的最小值是 34 ．
14．设过点 22,2 的直线 l 的斜率为 k，若圆 422 yx 上恰有三点到直线 l 的距离等于 1，则 k 的值
是 1 或 7．
15．设 a 、 b 是方程 2 cot cos 0x x 的两个不相等的实数根，那么过点 2( , )A a a 和点 2( , )B b b 的直
线与圆 2 2 1x y 的位置关系是（ A ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．随 的值变化而变化
16．已知圆 C 过三点 O（0，0），A（3，0），B（0，4），则与圆 C 相切且与坐标轴上截距相等的切线方程
是 043 yx 或 7 5 2
2 2x y+ = ± ．
17．P 是双曲线 )0,0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 左支上一点，F1、F2 分别是左、右焦点，且焦距为 2c，则 21FPF
的内切圆的圆心横坐标为 a ．
18．在直角坐标平面上，O 为原点，N 为动点，|ON
uuur
|＝6， 1
5
OM ON=
uuur uuur
．过点 M 作 MM1⊥y 轴于 M1，
过 N 作 NN1⊥x 轴于点 N1， 1 1OT M M N N= +
uuur uuuuur uuuur
，
记点 T 的轨迹为曲线 C．
123
（Ⅰ）求曲线 C 的方程；
（Ⅱ）已知直线 L 与双曲线 C1： 2 25 36x y- = 的右支
相交于 P、Q 两点（其中点 P 在第一象限），
线段 OP 交轨迹 C 于 A，
若 3 , 26tanPAQOP OA S PAQ= =- ÐV
uuur uur
，
求直线 L 的方程．
解：（Ⅰ）设 T（x，y），点 N（x1，y1），则 N1（x1，0）．又
5
1OM ON ＝（
5
1 x1，
5
1 y1），∴M1（0，
5
1 y1），
MM1 ＝（
5
1 x1，0）， NN1 ＝（0，y1）．于是 OT ＝ MM1 ＋ NN1 ＝（
5
1 x1，y1），即（x，y）＝（
5
1 x1，
y1）．
yy
xx
1
1 5 代入｜ ON ｜＝6，得 5x2＋y2＝36．所求曲线 C 的轨迹方程为 5x2＋y2＝36．
（Ⅱ）设 ( , ),A m n 由 3OP OA 及 P 在第一象限得
(3 ,3 ), 0, 0.P m n m n 1 2, ,A c P c
∴ 2 2 2 25 36,5 4,m n m n 解得 2, 4,m n 即 (2,4), (6,12).A P
设 ( , ),Q x y 则 2 25 36.x y ①
由 26tan ,S PAQ 得 1 sin 26tan2 AP AQ PAQ PAQ ，
52AP AQ ，即 (4,8) ( 2, 4) 52, 2 3 0.x y x y ②
联立①， ②，解得
51,19
3 ,19
x
y
或 3,
3.
x
y
因点 Q 在双曲线 C1 的右支，故点 Q 的坐标为 (3, 3) 由 (6,12),P (3, 3)Q 得直线 l 的方程为
3 3
12 3 6 3
y x
，即5 18 0.x y
19．设椭圆 E ：
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1 2,F F ，已知椭圆 E 上任意一点 P ，满足
2
1 2
1
2PF PF a ，过 1F 作垂直于椭圆长轴的弦长为 3．
（1）求椭圆 E 的方程；
（2）若过 1F 的直线交椭圆于 ,A B 两点，求 2 2F A F B 的取值范围．
解：（1）设点 P 0 0( , )x y ，则 1 0 0 2 0 0( , ), ( , )PF c x y PF c x y ，
2
2 2 2 2 2 2
1 2 0 0 02
cPF PF x c y x b ca
2 2 2
1 2 0
1 ,02PF PF a x a
2 2 21 , 22b c a a c ，又
2 2 2 2
2 2
31, , 2
c y b bya b a a
，
2 24, 3a b ，
∴椭圆的方程为：
2 2
14 3
x y
（2）当过 1F 直线 AB 的斜率不存在时，点 3 3( 1, ), ( 1, )2 2A B ，则 2 2
1
2F A F B ；当过 1F 直线 AB
124
的斜率存在时，设斜率为 k ，则直线 AB 的方程为 ( 1)y k x ，设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y
由 2 2
( 1)
14 3
y k x
x y
得： 2 2 2 2(4 3) 8 4 12 0k x k x k
2 2
1 2 1 22 2
8 4 12,4 3 4 3
k kx x x xk k
综合以上情形，得： 2 2
73 4F A F B
20．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，实轴长为 2．一条斜率为1的直线 l 过右焦点 F 与双曲
线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆与右准线交于 M，N 两点．
（1）若双曲线的离心率为 2 ，求圆的半径；
（2）设 AB 的中点为 H，若 16
3HM HN
，求双曲线的方程．
解答：（1）设所求方程为
2 2
2 2 1x y
a b
．由已知 2a＝2，∴a＝1，又 e＝ c
a
＝2，∴c＝2．
∴双曲线方程为
2
2 1,3
yx 右焦点 F(2，0)，L；y＝x－2，代入
2
2 1,3
yx 得
22 4 7 0x x ．设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 1 2 1 2
72, 2x x x x ，
∴ 2
1 2 1 22 ( ) 4 6AB x x x x ，∴r＝3．
（2）设双曲线方程为
2
2
2 1,1
yx c
L；y＝x－2，代入并整理得
2 2 2( 2) 2 2 1 0c x cx c ．
∴
3
1 2 2 2
1 ( ) ,2 2 2H H H
c c cx x x y x cc c
．
2
2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2
2
2 2
2
2 2
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
( 1) ( 1)( ) ( 1)
7 9 7 57
4 3 4 4(4 3)
70, 3 4
F A F B x x y y x x k x x
k x x k x x k
k
k k
k F A F B
125
设半径为 R， ,HM HN ，则 2 16cos 3R ．
∵
2
1
2cos 2
c
c c
R
＝ ，∴
2
2
1
2
2
c
R
c
，∴ 1cos 2 c
．
∴
2
2
2
2cos 2cos 12
c
c
，代入 2 16cos 3R 得： 2c ＝3．
∴
2
2 12
yx 为所求．
高考文科数学复习(附参考答案)
A 级
(时间：40 分钟 满分：60 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)
1．渡轮以 15 km/h 的速度沿与水流方向成 120°角的方向行驶，水流速度为
4 km/h，则渡轮实际航行的速度为(精确到 0.1 km/h)( )．
A．14.5 km/h B. 15.6 km/h
C．13.5 km/h D．11.3 km/h
解析 画示意图直接求．
答案 C
2．如图所示，为了测量某障碍物两侧 A，B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定 A，B
间距离的是( )．
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
解析 选项 B 中由正弦定理可求 b，再由余弦定理可确定 AB.选项 C 中可由余弦定理确定 AB.
选项 D 同 B 类似，故选 A.
答案 A
3．某人向正东方向走 x km 后，向右转 150°，然后朝新方向走 3 km，结果他离出发点恰好是
126
3 km，那么 x 的值为( )．
A. 3 B．2 3 C. 3或 2 3 D．3
解析 如图所示，设此人从 A 出发，则 AB＝x，BC＝3，AC＝ 3，∠ABC＝30°，由余弦定理
得( 3)2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得 x2－3 3x＋6＝0，解得 x＝ 3或 2 3.
答案 C
4．(2011·青岛模拟)如图，在湖面上高为 10 m 处测得天空中一朵云的仰角为 30°
，测得湖中之影的俯角为 45°，则云距湖面的高度为(精确到 0.1 m)( )．
A．2.7 m
B．17.3 m
C．37.3 m
D．373 m
解析 在△ACE 中，tan 30°＝CE
AE
＝CM－10
AE .
∴AE＝CM－10
tan 30° m.
在△AED 中，tan 45°＝DE
AE
＝CM＋10
AE
，
∴AE＝CM＋10
tan 45° m，
∴CM－10
tan 30°
＝CM＋10
tan 45°
，
∴CM＝10 3＋1
3－1
＝10(2＋ 3)≈37.3(m)．
答案 C
5．如图所示，D、C、B 三点在地面同一直线上，DC＝a，从 C、D 两点测得 A 点的仰角分别
127
是β、α(α＜β)，则点 A 离地面的高 AB 等于( )．
A.asin αsin β
sinβ－α B.asin αsin β
cosβ－α
C.acos αcos β
sinβ－α D.acos αcos β
cosβ－α
解析 在△ADC 中，∠DAC＝β－α，由正弦定理，
AC
sin α
＝ a
sinβ－α
，得 AC＝ asin α
sinβ－α.
在 Rt△ABC 中，
AB＝AC·sin β＝asin αsin β
sinβ－α .
答案 A
二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)
6．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得
俯角分别为 45°和 60°，而且两条船与炮台底部连线成 30°角，则两条船相距________m.
解析 如图，OM＝AOtan 45°＝30 (m)，
ON＝AOtan 30°＝ 3
3
×30＝10 3 (m)，
由余弦定理得，
MN＝ 900＋300－2×30×10 3× 3
2
＝ 300＝10 3 (m)．
答案 10 3
7．(2011·大连部分中学联考)如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C，使 C 在
塔底 B 的正东方向上，测得点 A 的仰角为 60°，再由点 C 沿北偏东 15°方向走 10 米到位置 D，
测得∠BDC＝45°，则塔 AB 的高是________米．
128
解析 在△BCD 中，CD＝10 米，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°， BC
sin 45°
＝ CD
sin 30°
，BC＝CDsin 45°
sin 30°
＝10 2(米)．在 Rt△ABC 中，tan 60°＝AB
BC
，AB＝BCtan 60°＝10 6(米)．
答案 10 6
8．(2011·安徽三校联考)2010 年 11 月 12 日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为 15°
的观礼台上，某一列座位所在直线 AB 与旗杆所在直线 MN 共面，在该列的第一个座位 A 和
最后一个座位 B 测得旗杆顶端 N 的仰角分别为 60°和 30°，且座位 A、B 的距离为 10 6米，
则旗杆的高度为________米．
解析 由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得 AN
sin 45°
＝ 10 6
sin 30°
，解得 AN＝
20 3(米)，在 Rt△AMN 中，MN＝20 3 sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为 30 米．
答案 30
三、解答题(共 23 分)
9．(11 分)隔河看两目标 A 与 B，但不能到达，在岸边先选取相距 3千米的 C，D 两点，同时，
测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D 在同一平面内)，
求两目标 A，B 之间的距离．
解 如图所示，在△ACD 中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝ 3(千米)，
在△BDC 中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.
由正弦定理得，BC＝ 3sin 75°
sin 60°
＝ 6＋ 2
2 (千米)．
在△ABC 中，由余弦定理，可得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA，
即 AB2＝( 3)2＋
6＋ 2
2 2－2 3· 6＋ 2
2 cos 75°＝5.
∴AB＝ 5 (千米)．
所以，两目标 A、B 间的距离为 5千米．
129
10．(12 分)(2011·广州二测)如图，渔船甲位于岛屿 A 的南偏西 60°方向的 B 处，且与岛屿 A
相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从 B
处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用 2 小时追上，此时到达 C 处．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求 sin α的值．
解 (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，
在△ABC 中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.
解得 BC＝28(海里)．
所以渔船甲的速度为BC
2
＝14 海里/时．
(2)在△ABC 中，因为 AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦定理，
得 AB
sin α
＝ BC
sin 120°.
即 sin α＝ABsin 120°
BC
＝12× 3
2
28
＝3 3
14 .
B 级
(时间：30 分钟 满分：40 分)
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
1．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到 12 级以上，大
风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与
地面成 45°角，树干也倾斜为与地面成 75°角，树干底部与树尖着地处相距 20 米，则折断点
与树干底部的距离是( )．
130
A.20 6
3
米 B．10 6米 C.10 6
3
米 D．20 2米
解析 如图所示，设树干底部为 O，树尖着地处为 B，折断点为 A，则∠ABO＝45°，∠AOB
＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知， AO
sin 45°
＝ 20
sin 60°
，
∴AO＝20 6
3 (米)．
答案 A
2．(2011·贵阳模拟)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔 18 km，
速度为 1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为 30°，经过 1 min 后又看到山顶的俯角为 75°，
则山顶的海拔高度为(精确到 0.1 km)( )．
A．11.4 B．6.6 C．6.5 D．5.6
解析 AB＝1 000×1 000× 1
60
＝50 000
3 (m)，
∴BC＝ AB
sin 45°·sin 30°＝50 000
3 2 (m)．
∴航线离山顶 h＝50 000
3 2
×sin 75°≈11.4 (km)．
∴山高为 18－11.4＝6.6 (km)．
答案 B
二、填空题(每小题 4 分，共 8 分)
3．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从 A 处沿正北方向行进 x m 到达 B 处发
现一个生命迹象，然后向右转 105°，进行 10 m 到达 C 处发现另一生命迹象，这时它向右转
135°后继续前行回到出发点，那么 x＝________.
解析 由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴ x
sin 45°
＝
131
10
sin 60°.
∴x＝10 6
3 m.
答案 10 6
3 m
4．(2011·合肥一检)如图，一船在海上自西向东航行，在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东α
角，前进 m 海里后在 B 处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围 n 海里范围内(包括
边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．
解析 由题可知，在△ABM 中，根据正弦定理得 BM
sin90°－α
＝ m
sinα－β
，解得 BM＝ mcos α
sinα－β
，
要使该船没有触礁危险需满足 BMsin(90°－β)＝mcos αcos β
sinα－β
＞n，所以当α与β的关系满足 mcos
αcos β＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．
答案 mcos αcos β＞nsin(α－β)
三、解答题(共 22 分)
5．(10 分)(2010·陕西)如图，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3)海里的两个观测点．现
位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60°
且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援
船到达 D 点需要多长时间？
解 由题意知 AB＝5(3＋ 3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，
在△DAB 中，由正弦定理得 DB
sin∠DAB
＝ AB
sin∠ADB
，
132
∴DB＝AB·sin∠DAB
sin∠ADB
＝53＋ 3·sin 45°
sin 105°
＝ 53＋ 3·sin 45°
sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°
＝5 3 3＋1
3＋1
2
＝10 3(海里)．
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20 3(海里)，在△DBC 中，由余弦
定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1 200－2×10 3×20 3×1
2
＝900，
∴CD＝30(海里)，则需要的时间 t＝30
30
＝1(小时)．
所以，救援船到达 D 点需要 1 小时．
6．(★)(12 分)某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，
轮船位于港口 O 北偏西 30°且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/时的航行速度沿
正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以 v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与
轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速
度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
思路分析 第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式；第(2)问建立速度与时间的函数关系
式．
解 (1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则
S＝ 900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°
＝ 900t2－600t＋400＝ 900 t－1
3 2＋300.
故当 t＝1
3
时，Smin＝10 3(海里)，
此时 v＝10 3
1
3
＝30 3(海里/时)．
133
即，小艇以 30 3海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
(2)设小艇与轮船在 B 处相遇，则 v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
故 v2＝900－600
t
＋400
t2
，∵0＜v≤30，∴900－600
t
＋400
t2
≤900，即2
t2
－3
t
≤0，解得 t≥2
3.
又 t＝2
3
时，v＝30 海里/时．
故 v＝30 海里/时时，t 取得最小值，且最小值等于2
3.
此时，在△OAB 中，有 OA＝OB＝AB＝20 海里，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东 30°，航行速度为 30 海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
【点评】 解决这一类问题一般是根据余弦定理来建立函数关系式，利用函数的有关知识解决
问题，充分体现了函数与方程思想的重要性.
高考文科数学复习试卷(附参考答案)
一、选择题：
1. 函数 f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期是（ ）
A. 4
B. 2
C. π D. 2π
2. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，P、Q、R 分别是 AB、AD、B1C1 的中点. 那么，正方体的过 P、
Q、R 的截面图形是（ ）
A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形
3. 函数 )0(12 xxy 的反函数是（ ）
A. )1(1 xxy
B. )1(1 xxy
C. )0(1 xxy
D. )0(1 xxy
4. 已知函数 )2,2(tan 在xy 内是减函数，则（ ）
A. 0< ≤1 B. －1≤ <0
C. ≥1 D. ≤－1
Y
134
5. 抛物线 yx 42 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 与抛物线焦点的距离为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 双曲线 194
22
yx 的渐近线方程是（ ）
A. xy 3
2 B. xy 9
4
C. xy 2
3 D. xy 4
9
7. 如果数列 }{ na 是等差数列，则（ ）
A. 5481 aaaa B. 5481 aaaa
C. 5481 aaaa D. 5481 aaaa
8. 10)2( yx 的展开式中 46 yx 项的系数是（ ）
A. 840 B. －840
C. 210 D. －210
9. 已知点 A（ 3 ，1），B（0，0）C（ 3 ，0）.设∠BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E，那
么有 其中,
CEBC 等于（ ）
A. 2 B. 2
1 C. －3 D. －
3
1
10. 已知集合 为则 NMxxxNxxM },06|{|},74|{ 2 （ ）
A. }7324|{ xxx 或
B. }7324|{ xxx 或
C.
D.
11. 点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量 )3,4( v （即点 P 的运动方向与 v 相同，且每秒移
动的距离为|v|个单位）。设开始时点 P 的坐标为（－10，10），则 5 秒后点 P 的坐标为（ ）
A. （－2，4） B. （－30，25）
C. （10，－5） D. （5，－10）
12. △ABC 的顶点 B 在平面 内，A、C 在 的同一侧，AB、BC 与 所成的角分别是
30°和 45°.若 AB=3，BC=4 2 ，AC=5，则 AC 与 所成的角为（ ）
135
A. 60° B. 45°
C. 30° D. 15°
第 II 卷
注意事项：
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
2. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。
3. 本卷共 10 小题，共 90 分。
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。把答案填在题中横线上。）
13. 在
2
27
3
8 和 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 。
14. 圆心为（1，2）且与直线 相切的圆的方程为07125 yx 。
15. 在由数字 0，1，2，3，4，5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共
有 个。
16. 下面是关于三棱锥的四个命题：
①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥。
②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥。
③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥。
④侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥.
其中，真命题的编号是 （写出所有真命题的编号）。
三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分 12 分）
已知 为第二象限的角， ,5
3sin 为第一象限的角， )2tan(,13
5cos 求 的值.
18. （本小题满分 12 分）
甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，本场
比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求
（Ⅰ）前三局比赛甲队领先的概率；
（Ⅱ）本场比赛乙队以 3：2 取胜的概率。（精确到 0.001）
19. （本小题满分 12 分）
乙知{an}是各项为不同的正数的等差数列，lga1、lga2、lga4 成等差数列，又
nabn
2
1 ，n=1，
2，3…。
（Ⅰ）证明{bn}为等比数列；
（Ⅱ）如果数列{bn}前 3 项的和等于
24
7 ，求数列{an}的首项 a1 和公差 d。
20. （本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PD⊥底面 ABCD，AD=PD，E、F 分别为 CD、
PB 的中点。
Y
136
（Ⅰ）求证：EF⊥平面 PAB；
（Ⅱ）设 AB= 2 BC，求 AC 与平面 AEF 所成的角的大小。
21. （本小题满分 12 分）
设 a 为实数，函数 axxxxf 23)( 。
（Ⅰ）求 )(xf 的极值；
（Ⅱ）当 a 在什么范围内取值时，曲线 xxfy 与)( 轴仅有一个交点。
22. （本小题满分 14 分）P、Q、M、N 四点都在椭圆 12
2
2 yx 上，F 为椭圆在 y 轴正半
轴上的焦点。 已知
PQPF 与 共线，
FNMF 与 共线， 0
MFPF 。 求四边形 PMQN 的面积
的最小值和最大值。
137
参考答案
一. 选择题：
1. C 2. D 3. B 4. B 5. D 6. C
7. B 8. A 9. C 10. A 11. C 12. C
二. 填空题：
13. 216 14. 4)2()1( 22 yx
15. 192 16. ①，④
三. 解答题：
17. 本小题主要考查有关角的和、差、倍的三角函数的基本知识，以及分析能力和计算能
力。满分 12 分。
解法一：
tan2tan1
tan2tan)2tan(
为第二象限的角，
5
3sin ，所以
5
4sin1cos 2
4
3
cos
sintan
所以
7
24
tan1
tan22tan 2
为第一象限的角，
13
5cos ，所以
5
12tan,13
12cos1sin 2
所以
253
204
5
12)7
24(1
5
12
7
24
)2tan(
解法二： 为第二象限角，
5
3sin ，所以
5
4sin1cos 2
为第一象限角，
13
5cos ，所以
13
12cos1sin 2
故
25
24cossin22sin
25
7sin212cos 2
138
325
204sin2coscos2sin)2sin(
325
253sin2sincos2cos)2cos(
所以
253
204
)2cos(
)2sin()2tan(
18. 本小题主要考查相互独立事件概率的计算，运用概率知识解决实际问题的能力，满分
12 分。
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为 0.6，乙队胜甲队的概率为 1－0.6＝0.4
（I）记“甲队胜三局”为事件 A，“甲队胜二局”为事件 B，则
216.06.0)( 3 AP
432.04.06.0)( 22
3 CBP
所以，前三局比赛甲队领先的概率为 648.0)()( BPAP
（II）若本场比赛乙队 3：2 取胜，则前四局双方应以 2：2 战平，且第五局乙队胜，
所以，所求事件的概率为 138.04.06.04.0 222
4 C
19. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。满分 12 分。
（1）证明：
421 lglglg aaa 、、 成等差数列
412 lglglg2 aaa ，即 41
2
2 aaa
又设等差数列 }{ na 的公差为 d，则
)3()( 11
2
1 daada
这样 dad 1
2
从而 0)( 1 add
0
0
1
ad
d
nn
nn
dab
ddaa
n
n
2
111
2)12(
2
12
这时 }{ nb 是首项
db 2
1
1 ，公比为
2
1 的等比数列
139
（II）解：
24
7)4
1
2
11(2
1
321
dbbb
3d
所以 31 da
20. 本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识，及思维能力和空间
想象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力。满分 12 分。
方法一：
（I）证明：连结 EP
ABCD，PD 底面 DE 在平面 ABCD 内
DEPD ，又 CE＝ED，PD＝AD＝BC
BEPE
PDERtBCERt
F 为 PB 中点
PBEF
由三垂线定理得 ABPA
在 PABRt 中 AFPF ，又 EABEPE
FAEF
EFAEFP
PB、FA 为平面 PAB 内的相交直线
EF 平面 PAB
（II）解：不妨设 BC＝1，则 AD＝PD＝1
3,22 AC，PAAB
PAB 为等腰直角三角形，且 PB＝2，F 为其斜边中点，BF＝1，且 PBAF
PB 与平面 AEF 内两条相交直线 EF、AF 都垂直
PB 平面 AEF
连结 BE 交 AC 于 G，作 GH//BP 交 EF 于 H，则 GH 平面 AEF
GAH 为 AC 与平面 AEF 所成的角
由 BGAEGC ~ 可知
3
32
3
2,3
1,2
1 ACAGEBEGGBEG
140
由 EBFEGH ~ 可知
3
1
3
1 BFGH
6
3sin
AG
GHGAH
AC 与平面 AEF 所成的角为
6
3arcsin
方法二：
以 D 为坐标原点，DA 的长为单位，建立如图所示的直角坐标系
（1）证明：
设 E（a，0，0），其中 0a ，则 C（2a，0，0），A（0，1，0），B（2a，1，0），P（0，0，
1），F（a，
2
1 ，
2
1 ）
)0,0,2()1,1,2()2
1,2
1,0( aABaPBEF
PBEFPBEF
0
ABEFEFAB
0
又 PB 平面 PAB， AB 平面 PAB， BABPB
EF 平面 PAB
（II）解：由 BCAB 2 ，得
2
2a
可知 )1,1,2(),0,1,2(
PBAC
6
3
||||
,cos
PBAC
PBACPBAC
异面直线 AC、PB 所成的角为
6
3arccos
141
)2
1,2
1,2
2(
AF
AFPBPBAF
0
又 EFPB ，EF、AF 为平面 AEF 内两条相交直线
PB 平面 AEF
AC 与平面 AEF 所成的角为 )6
3arcsin(6
3arccos2
即 AC 与平面 AEF 所成的角为
6
3arcsin 21. 本小题主要考查导数的概念和计算，应用导
数研究函数性质的方法及推理和运算能力，满分 12 分。
解：（I） f x x x'( ) 3 2 12
若 f x'( ) 0 ，则 x 1
3 1，
当 x 变化时， )(),(' xfxf 变化情况如下表：
x ( ) ， 1
3
1
3 ( ) 1
3 1， 1 ( )1，
f x'( ) ＋ 0 － 0 ＋
f x( ) 极大值 极小值
所以 f(x)的极大值是 f a( ) 1
3
5
27
，极小值是 f a( )1 1
（II）函数 f x x x x a x x a( ) ( ) ( ) 3 2 21 1 1
由此可知 x 取足够大的正数时，有 f x( ) 0 ，x 取足够小的负数时有 f x( ) 0 ，所以曲线
y f x ( ) 与 x 轴至少有一个交点。
结合 f(x)的单调性可知：
当 f(x)的极大值 5
27 0 a ，即a ( )， 5
27
时，它的极小值也小于 0，因此曲线 y f x ( )
与 x 轴仅有一个交点，它在( )1， 上；
当 f(x)的极小值a 1 0，即a ( )1， 时，它的极大值也大于 0，因此曲线 y f x ( ) 与
x 轴仅有一个交点，它在( ) ， 1
3
上
所以当a ( ) ( )， ，5
27 1 时，曲线 y f x ( ) 与 x 轴仅有一个交点。
142
22. 本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件，两点间的距离，不
等式的性质等基本知识及综合分析能力。满分 14 分。
解：如图，由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦，相交于焦点 F（0，1）且 MNPQ ，
直线 PQ、MN 中至少有一条存在斜率，不妨设 PQ 的斜率为 k。又 PQ 过点 F（0，1），故 PQ
方程为 y＝kx＋1
将此式代入椭圆方程得
012)2( 22 kxxk
设 P、Q 两点的坐标分别为 ),(),,( 2211 yxyx ，则
2
2
22
2
1 2
22,
2
22
k
kkx
k
kkx
从而 22
22
2
21
2
21
2
)2(
)1(8)()(||
k
kyyxxPQ
亦即 2
2
2
)1(22||
k
kPQ
（i）当 0k 时，MN 的斜率为
k
1 ，同上可推得
2
2
)1(2
))1(1(22
||
k
kMN
故四边形面积
||||2
1 MNPQS
)12)(2(
)11)(1(4
2
2
2
2
k
k
k
k
143
2
2
2
2
225
)12(4
k
k
k
k
令 2
2 1
k
ku ，得
)25
11(225
)2(4
uu
uS
因为 21
2
2
k
ku
当 1k 时，
9
162 ，Su
且 S 是以 u 为自变量的增函数
所以 29
16 S
（ii）当 k=0 时，MN 为椭圆长轴， 2||22|| PQ，MN
2||||2
1 MNPQS
综合（i），（ii）知，四边形 PMQN 面积的最大值为 2，最小值为
9
16
2005 年高考文科数学 上海卷 试题及答案
源头学子小屋
一、填空题（本大题满分 48 分）本大题共有 12 题，只要求直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一
律得零分
1.函数 )1(log)( 4 xxf 的反函数 )(1 xf =__________
2.方程 0224 xx 的解是__________
3.若 yx, 满足条件
xy
yx
2
3，则 yxz 43 的最大值是__________
4.直角坐标平面 xoy 中，若定点 )2,1(A 与动点 ),( yxP 满足 4 OAOP ，则点 P 的轨迹方程是
__________
5.函数 xxxy cossin2cos 的最小正周期 T=__________
6.若
7
1cos ，
2,0 ，则
3cos =__________
144
7.若椭圆长轴长与短轴长之比为 2，它的一个焦点是 0,152 ，则椭圆的标准方程是__________
8.某班有 50 名学生，其中 15 人选修 A 课程，另外 35 人选修 B 课程 从班级中任选两名学生，他们是
选修不同课程的学生的概率是__________ （结果用分数表示）
9.直线 xy 2
1 关于直线 1x 对称的直线方程是__________
10.在 ABC 中，若 120A ，AB=5，BC=7，则 AC=__________
11.函数 2,0|,sin|2sin)( xxxxf 的图象与直线 ky 有且仅有两个不同的交点，则 k 的取
值范围是__________
12.有两个相同的直三棱柱，高为
a
2 ，底面三 角形的
三边长分别为 )0(5,4,3 aaaa 用它们拼成一个 三棱柱
或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的 是一个
四棱柱，则 a 的取值范围是__________
二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题都给出代号为 A.B.C.D 的四个结论，其中有且只有
一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4 分，不选.选错或者选出的代号
超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分
13.若函数
12
1)(
xxf ，则该函数在 , 上是（ ）
A．单调递减无最小值 B．单调递减有最小值
C．单调递增无最大值 D．单调递增有最大值
14.已知集合 RxxxM ,2|1|| ，
ZxxxP ,11
5| ，则 PM 等于（ ）
A． Zxxx ,30| B． Zxxx ,30|
C． Zxxx ,01| D． Zxxx ,01|
15.条件甲：“”是条件乙：“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
16.用 n 个不同的实数 naaa ,,, 21 可得到 !n 个不同的排列，每个排列为一 行 写 成 一
个 !n 行 的 数 阵 对 第 i 行 inii aaa ,,, 21 ， 记
in
n
iiii naaaab )1(32 321 ， !,,3,2,1 ni 例如：用 1，2，3 可得 数阵如图，
由 于 此 数 阵 中 每 一 列 各 数 之 和 都 是 12 ， 所 以 ，
1 2 3
1 3 2
2 1 3
2 3 1
3 1 2
3 2 1
4a
5a
3a
2
a
4a
5a
3a
2
a
145
2412312212621 bbb ，那么，在用 1，2，3，4，5 形成的数阵中， 12021 bbb
等于（ ）
A．—3600 B．1800 C．—1080 D．—720
三、解答题（本大题满分 86 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须写出必要的步骤
17.（本题满分 12 分）已知长方体 1111 DCBAABCD 中，M.N 分别是 1BB 和 BC 的中点，AB=4，AD=2，
DB1 与平面 ABCD 所成角的大小为 60 ，求异面直线 DB1 与 MN 所 成
角的大小 （结果用反三角函数值表示）
18.（本题满分 12 分）在复数范围内解方程
i
iizzz
2
3)(|| 2 （i 为虚数单位）
19.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分
已知函数 bkxxf )( 的图象与 yx, 轴分别相交于点 A.B， jiAB 22 （ ji, 分别是与 yx, 轴正半
轴同方向的单位向量），函数 6)( 2 xxxg
（1）求 bk, 的值；
（2）当 x 满足 )()( xgxf 时，求函数
)(
1)(
xf
xg 的最小值
M
D 1 C 1
B
1
A
1
N
D
C
B
A
146
20.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分
假设某市 2004 年新建住房面积 400 万平方米，其中有 250 万平方米是中低价房 预计在今后的若干年
内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8% 另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增
加 50 万平方米 那么，到哪一年底，
（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以 2004 年为累计的第一年）将首次不少于 4750 万平方米？
（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%？
21.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6
分
已知抛物线 )0(22 ppxy 的焦点为 F，A 是抛物线上横坐标为 4.且位于 x 轴上方的点，A 到抛物
线准线的距离等于 5 过 A 作 AB 垂直于 y 轴，垂足为 B，OB 的中点为 M
（1）求抛物线方程；
（2）过 M 作 FAMN ，垂足为 N，求点 N 的坐标；
（3）以 M 为圆心，MB 为半径作圆 M，当 )0,(mK 是 x
轴上一动点时，讨论直线 AK 与圆 M 的位置关系
22.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 8 分，第 3 小题满分 6
分
对定义域是 fD . gD 的函数 )(xfy . )(xgy ，
规定：函数
gf
gf
gf
DxDxxg
DxDxxf
DxDxxgxf
xh
且当
且当
且当
),(
),(
),()(
)(
（1）若函数 ( ) 2 3f x x 1x ， ( ) 2g x x ，写出函数 )(xh 的解析式；
F
A
N
B
M
o
y
x
147
（2）求问题（1）中函数 )(xh 的值域；
（3）若 )()( xfxg ，其中 是常数，且 ,0 ，请设计一个定义域为 R 的函数 )(xfy ，
及一个 的值，使得 ( ) cos2h x x ，并予以证明
参考答案
1. 4 x -1 2. x=0 3. 11 4. x+2y-4=0 5. π 6. -
14
11 7. 12080
22
yx
8.
7
3 9. x+2y-2=0 10. 3 11. 1 g(x),得 x+2>x2-x-6,即(x+2)(x-4)<0, 得-20,则
)(
1)(
xf
xg ≥-3,其中等号当且仅当 x+2=1,即 x=-1 时成立
∴
)(
1)(
xf
xg 的最小值是-3.
20. [解](1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中 a1=250,d=50,
则 Sn=250n+ 502
)1( nn =25n2+225n,
M
D 1 C 1
B
1
A
1
N
D
C
B
A
149
令 25n2+225n≥4750,
即 n2+9n-190≥0,而 n 是正整数, ∴n≥10.
∴到 2013 年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4750 万平方米.
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中 b1=400,q=1.08,
则 bn=400·(1.08)n-1.
由题意可知 an>0.85 bn,有 250+(n-1)·50>400·(1.08)n-1·0.85.
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数 n=6.
到 2009 年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.
21. [解](1) 抛物线 y2=2px 的准线为 x=-
2
p ,于是 4+
2
p =5, ∴p=2.
∴抛物线方程为 y2=4x.
(2)∵点 A 是坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2),
又∵F(1,0), ∴kFA=
3
4 ;MN⊥FA, ∴kMN=-
4
3 ,
则 FA 的方程为 y=
3
4 (x-1),MN 的方程为 y-2=-
4
3 x,解方程组得 x=
5
8 ,y=
5
4 ,
∴N 的坐标(
5
8 ,
5
4 ).
(1) 由题意得, ,圆 M.的圆心是点(0,2), 半径为 2,
当 m=4 时, 直线 AK 的方程为 x=4,此时,直线 AK 与圆 M 相离.
当 m≠4 时, 直线 AK 的方程为 y=
m4
4 (x-m),即为 4x-(4-m)y-4m=0,
圆心 M(0,2)到直线 AK 的距离 d=
2)4(16
82
m
m ,令 d>2,解得 m>1
∴当 m>1 时, AK 与圆 M 相离;
当 m=1 时, AK 与圆 M 相切;
当 m<1 时, AK 与圆 M 相交.
22. [解](1) ( 2 3)( 2), [1, )( ) 2 ( ,1)
x x xh x x x
(2) 当 x≥1 时, h(x)= (-2x+3)(x-2)=-2x2+7x-6=-2(x-
4
7 )2+
8
1
∴h(x)≤
8
1 ;
当 x<1 时, h(x)<-1,
∴当 x=
4
7 时, h(x)取得最大值是
8
1
(3)令 f(x)=sinx+cosx,α=
2
则 g(x)=f(x+α)= sin(x+
2
)+cos(x+
2
)=cosx-sinx,
于是 h(x)= f(x)·f(x+α)= (sinx+cosx)( cosx-sinx)=cos2x.
150
另解令 f(x)=1+ 2 sinx, α=π,
g(x)=f(x+α)= 1+ 2 sin(x+π)=1- 2 sinx,
于是 h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+ 2 sinx)( 1- 2 sinx)=cos2x.
全国普通高等学校招生统一考试(附参考答案)
数学试卷（文史类）
一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分）
1、计算： 3
1
i
i
（i 为虚数单位）
2、若集合 2 1 0A x x ， 1B x x ，则 A B ＝
3、函数 sin 2( ) 1 cos
xf x x
的最小正周期是
4、若 (2,1)d 是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）
5、一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2 ，该圆柱的表面积为
6、方程 14 2 3 0x x 的解是
7、有一列正方体，棱长组成以 1 为首项、 1
2
为公比的等比数列，体积分别记为 1 2, ,..., ,...nV V V ，则
1 2lim( ... )nn
V V V
8、在
61x x
的二项式展开式中，常数项等于
9、已知 ( )y f x 是奇函数，若 ( ) ( ) 2g x f x 且 (1) 1g ，则 ( 1)g
10、满足约束条件 2 2x y 的目标函数 z y x 的最小值是
11、三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位同学选择的项
目相同的概率是 （结果用最简分数表示）
12、在矩形 ABCD 中，边 AB 、 AD 的长分别为 2、1，若 M 、 N 分别是边 BC 、 CD 上的点，且满足
BM CN
BC CD
，则 AM AN 的取值范围是
151
13、已知函数 ( )y f x 的图像是折线段 ABC ，其中 (0,0)A 、 1( ,1)2B 、 (1,0)C ，函数 ( )y xf x （ 0 1x ）
的图像与 x 轴围成的图形的面积为
14、已知 1( ) 1f x x
，各项均为正数的数列 na 满足 1 1a ， 2 ( )n na f a ，若 2010 2012a a ，则 20 11a a
的值是
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分）
15、若1 2 i 是关于 x 的实系数方程 2 0x bx c 的一个复数根，则（ ）
A、 2, 3b c B、 2, 1b c C、 2, 1b c D、 2, 3b c
16、对于常数 m 、 n ，“ 0mn ”是“方程 2 2 1mx ny 的曲线是椭圆”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条
件
17、在△ ABC 中，若 2 2 2sin sin sinA B C ，则△ ABC 的形状是（ ）
A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、不能确定
18、若 2sin sin ... sin7 7 7n
nS （ n N ），则在 1 2 100, ,...,S S S 中，正数的个数是（ ）
A、16 B、72 C、86 D、100
三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）
19、（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 6 分
如图，在三棱锥 P ABC 中， PA ⊥底面 ABC ， D 是 PC 的中点，已知∠ BAC ＝
2
， 2AB ，
2 3AC ， 2PA ，求：
（1）三棱锥 P ABC 的体积
（2）异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小（结果用反三角函数值
表示）
152
20、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分
已知 ( ) lg( 1)f x x
（1）若 0 (1 2 ) ( ) 1f x f x ，求 x 的取值范围
（2）若 ( )g x 是以 2 为周期的偶函数，且当 0 1x 时， ( ) ( )g x f x ，求函数 ( )y g x （ 1,2x ）的
反函数
21、（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分
海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 y 轴正方向建立平面直角
坐标系（以 1 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 12 海里 A 处，如图，现假设：①失事船
的移动路径可视为抛物线 212
49y x ；②定位后救援船即刻沿直线匀
速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为 7t
（1）当 0.5t 时，写出失事船所在位置 P 的纵坐标，若此时两船
恰好会合，求救援船速度的大小和方向
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？
153
22、（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 5 分，第 3 小题满分 6 分
在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2 2: 2 1C x y
（1）设 F 是C 的左焦点， M 是C 右支上一点，若 2 2MF ，求点 M 的坐标；
（2）过 C 的左焦点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；
（3）设斜率为 k （ 2k ）的直线l 交C 于 P 、Q 两点，若l 与圆 2 2 1x y 相切，求证：OP ⊥OQ
23、（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分
对于项数为 m 的有穷数列 na ，记 1 2max , ,...,k kb a a a （ 1,2,...,k m ），即 kb 为 1 2, ,..., ka a a 中的最
大值，并称数列 nb 是 na 的控制数列，如 1，3，2，5，5 的控制数列是 1，3，3，5，5
（1）若各项均为正整数的数列 na 的控制数列为 2，3，4，5，5，写出所有的 na
（2）设 nb 是 na 的控制数列，满足 1k m ka b C （ C 为常数， 1,2,...,k m ），求证： k kb a
（ 1,2,...,k m ）
（ 3 ） 设 100m ， 常 数 1 ,12a
， 若
( 1)
2 2( 1)
n n
na an n
， nb 是 na 的 控 制 数 列 ， 求
1 1 2 2( ) ( )b a b a 100 100... ( )b a
154
155
156
157
158
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）
数 学（文史类）
参考公式：
如果事件互斥，那么 球的表面积公式
( ) ( ) ( )P A B P A P B+ = + 24 RS
如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径
)()()( BPAPBAP 球的体积公式
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ，那么 3
3
4 PV
在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径
( ) (1 ) ( 0,1,2, , )k k n k
n nP k C p p k n-= - = …
第一部分 （选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 份，共 60 份。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1、设集合 { , }A a b ， { , , }B b c d ，则 A B （ ）
A、{ }b B、{ , , }b c d C、{ , , }a c d D、{ , , , }a b c d
2、 7(1 )x 的展开式中 2x 的系数是（ ）
A、21 B、28 C、35 D、42
3、交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社
区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为 N ，其中甲社区有驾驶员 96 人。若在甲、乙、丙、
丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为（ ）
A、101 B、808 C、1212 D、2012
4、函数 ( 0, 1)xy a a a a 的图象可能是（ ）
5、如图，正方形 ABCD 的边长为1，延长 BA 至 E ，使 1AE ，连接 EC 、 ED 则 sin CED （ ）
A、 3 10
10 B、 10
10 C、 5
10 D、 5
15
6、下列命题正确的是（ ）
A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
159
B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
7、设 ba、 都是非零向量，下列四个条件中，使
b
b
a
a 成立的充分条件是（ ）
A、 baba //且 B、 ba C、 ba // D、 2ba
8、若变量 ,x y 满足约束条件
3,
2 12,
2 12
0
0
x y
x y
x y
x
y
，则 3 4z x y 的最大值是（ ）
A、12 B、26 C、28 D、33
9、已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点 0(2, )M y 。若点 M 到该抛物线焦点
的距离为 3，则| |OM （ ）
A、 2 2 B、 2 3 C、 4 D、 2 5
10、如图，半径为 R 的半球 O 的底面圆O 在平面 内，过点 O 作
平面 的垂线交半球面于点 A ，过圆O 的直径CD 作平面 成 45
角的平面与半球面相交，所得交线上到平面 的距离最大的点为
B ，该交线上的一点 P 满足 60BOP ，则 A 、P 两点间的球面
距离为（ ）
A、 2arccos 4R B、
4
R C、 3arccos 3R D、
3
R
11、方程 2 2ay b x c 中的 , , { 2,0,1,2,3}a b c ，且 , ,a b c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，
不同的抛物线共有（ ）
A、28 条 B、32 条 C、36 条 D、48 条
12、设函数 3( ) ( 3) 1f x x x ，{ }na 是公差不为 0 的等差数列， 1 2 7( ) ( ) ( ) 14f a f a f a ，则
1 2 7a a a （ ）
A、0 B、7 C、14 D、21
160
第二部分 （非选择题 共 90 分）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分）
13、函数 1( )
1 2
f x
x
的定义域是____________。（用区间表示）
14、如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，M 、N 分别是CD 、 1CC 的中点，
则异面直线 1A M 与 DN 所成的角的大小是____________。
15、椭圆
2 2
2 1(5
x y aa
为定值，且 5)a 的左焦点为 F ，直线 x m 与椭圆
相交于点 A 、 B ， FAB 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是______。
16、设 ,a b 为正实数，现有下列命题：
①若 2 2 1a b ，则 1a b ；
②若 1 1 1b a
，则 1a b ；
③若| | 1a b ，则| | 1a b ；
④若 3 3| | 1a b ，则| | 1a b 。
其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 74 分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。
17、(本小题满分 12 分)
某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） A 和 B ，系统 A 和系统 B 在任意时刻发生
故障的概率分别为 1
10
和 p 。
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 49
50
，求 p 的值；
（Ⅱ）求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率。
18、(本小题满分 12 分)
已知函数 2 1( ) cos sin cos2 2 2 2
x x xf x 。
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的最小正周期和值域；
（Ⅱ）若 3 2( ) 10f ，求 sin 2 的值。
19、(本小题满分 12 分)
如 图 ， 在 三 棱 锥 P ABC 中 ， 90APB ，
60PAB ， AB BC CA ，点 P 在平面 ABC 内的 射 影 O 在
AB 上。
（Ⅰ）求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小；
（Ⅱ）求二面角 B AP C 的大小。
161
20、(本小题满分 12 分)
已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS ，常数 0 ，且 1 1n na a S S 对一切正整数 n 都成立。
（Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式；
（Ⅱ）设 1 0a ， 100 。当 n 为何值时，数列 1{lg }
na
的前 n 项和最大？
21、(本小题满分 12 分)
如 图 ， 动 点 M 与 两 定 点 ( 1,0)A 、 (1,0)B 构 成 MAB ， 且
直线 MA MB、 的斜率之积为 4，设动点 M 的轨迹为C 。
（Ⅰ）求轨迹 C 的方程；
（Ⅱ）设直线 ( 0)y x m m 与 y 轴交于点 P ，与轨迹C 相 交 于 点
Q R、 ，且| | | |PQ PR ，求 | |
| |
PR
PQ
的取值范围。
22、(本小题满分 14 分)
已知 a 为正实数， n 为自然数，抛物线 2
2
nay x 与 x 轴正半轴相交于点 A ，设 ( )f n 为该抛物线
在点 A 处的切线在 y 轴上的截距。
（Ⅰ）用 a 和 n 表示 ( )f n ；
（Ⅱ）求对所有 n 都有 ( ) 1
( ) 1 1
f n n
f n n
成立的 a 的最小值；
（Ⅲ）当 0 1a 时，比较 1 1 1
(1) (2) (2) (4) ( ) (2 )f f f f f n f n
与
)1()0(
)1()1(6 ff
nff
的大小，
并说明理由。
普通高等学校招生全国统一考试(附参考答案)
数 学（文史类）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） i 是虚数单位，复数 5 3
4
i
i
=
（A）1 i （B） 1 i
（C）1 i （D） 1 i
【解析】复数 ii
ii
ii
i
i
117
1717
)4)(4(
)4)(35(
4
35 ，选 C.
【答案】C
162
（2） 设变量 x,y 满足约束条件
01
042
022
x
yx
yx
,则目标函数
z=3x-2y 的最小值为
（A）-5 （B）-4 （C）-2 （D）3
【解析】做出不等式对应的可行域如图，由 yxz 23 得
22
3 zxy ，
由图象可知当直线
22
3 zxy 经过点 )2,0(C 时，直线
22
3 zxy 的
截距最大，而此时 yxz 23 最小为 423 yxz ，选 B.
【答案】B
（3） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为
（A）8 （B）18 （C）26 （D）80
【 解 析 】 第 一 次 循 环 2,233 0 nS ， 第 二 次 循 环
3,8332 2 nS ， 第 三 次 循 环
4,26338 23 nS ，第四次循环满足条件输出 26S ，
选 C.
【答案】C
（4） 已知 12 0.2
5
12 , ( ) , 2log 22a b c ，则 a，b，c 的大小关
系为
（A）c 1
2
”是“2x2+x-1>0”的
（A） 充分而不必要条件
（B） 必要而不充分条件
（C） 充分必要条件
（D） 既不充分也不必要条件
【解析】不等式 012 2 xx 的解集为
2
1x 或 1x ，所以“
2
1x ”是“ 012 2 xx ”成
立的充分不必要条件，选 A.
【答案】A
（6） 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为
163
（A） cos2y x ，xR
（B） xy 2log ，xR 且 x≠0
（C）
2
x xe ey
，xR
（D） 3 1y x ，xR
【解析】函数 xy 2log 为偶函数，且当 0x 时，函数 xxy 22 loglog 为增函数，所以在 )2,1( 上也
为增函数，选 B.
【答案】B
（7） 将函数 ( ) sinf x x （其中 >0）的图像向右平移
4
个单位长度，所得图像经过点 )0,4
3( ，
则 的最小值是
（A） 1
3
（B）1 C） 5
3
（D）2
【解析】函数向右平移
4
得到函数 )4sin()4(sin)4()( xxxfxg ，因为此时函数过点
)0,4
3( ，所以 0)44
3(sin ，即 ,2)44
3( k 所以 Zkk ,2 ,所以 的最小值为 2，
选 D.
【答案】D
（8） 在△ABC 中， A=90°，AB=1，设点 P，Q 满足 AP
= AB
，AQ
=(1- ) AC
， R。若 BQ
CP
=-2，
则 =
（A） 1
3
（B） 2
3
C） 4
3
（D）2
【解析】
如图，
设 cACbAB , ，
则 0,2,1 cbcb ，
又 cbAQBABQ )1( ， bcAPCACP ，
由 2CPBQ 得
2)1(4)1()(])1([
22
bcbccb ，
即
3
2,23 ，选 B.
164
【答案】B
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共 12 小题，共 110 分。
二.填空题：本答题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
（9）集合 | 2 5A x R x 中最小整数位 .
【解析】 3 不等式 52 x ，即 525 x ， 73 x ，所以集合 }73{ xxA ，所以最
小的整数为 3 。
【答案】 3
（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积 3m .
【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积
为 24243 ，五棱柱的体积是 6412
)21( ，所以几何体的总体积为30。
【答案】 30
（11）已知双曲线 )0,0(1: 2
2
2
2
1 ba
b
y
a
xC 与双曲线 1164:
22
2 yxC 有相同的渐近线，且 1C 的右
焦点为 ( 5,0)F ,则 a b
【解析】双曲线的 1164
22
yx 渐近线为 xy 2 ，而 12
2
2
2
b
y
a
x 的渐近线为 xa
by ，所以有 2
a
b ，
ab 2 ， 又 双 曲 线 12
2
2
2
b
y
a
x 的 右 焦 点 为 )0,5( ， 所 以 5c ， 又 222 bac ， 即
222 545 aaa ，所以 2,1,12 baa 。
165
【答案】1，2
（12）设 ,m n R ,若直线 : 1 0l mx ny 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于 B，且 l 与圆 2 2 4x y 相交
所得弦的长为 2，O 为坐标原点，则 AOB 面积的最小值为 。
【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为 )0,1(),1,0( mBnA ，直线与圆相交所得的弦长为 2，圆心到直线的
距离 d 满足 3141222 rd ，所以 3d ，即圆心到直线的距离 31
22
nm
d ，所以
3
122 nm 。 三 角 形 的 面 积 为
mnnmS 2
111
2
1 ， 又 31
2
1
22
nmmnS ， 当 且 仅 当
6
1 nm 时取等号，所以最小值为 3。
【答案】3
（13）如图，已知 AB 和 AC 是圆的两条弦，过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于 D .过点C 作 BD 的
平行线与圆交于点 E ,与 AB 相交于点 F , 3AF , 1FB , 3
2EF ,则线段CD 的长为 .
【解析】如图连结 BC，BE，则∠1=∠2，∠2=∠A
1A ，又∠B=∠B， CBF ∽ ABC ，
AC
CF
AB
CB
BC
BF
AB
CB , ,代入数值得 BC=2，
AC=4，又由平行线等分线段定理得
FB
AF
CD
AC , 解 得
CD=
3
4 .
【答案】
3
4
（14）已知函数
2 1
1
x
y x
的图像与函数 y kx 的图像恰有两个交点，则实数 k 的取值范围是 .
【解析】函数
1
)1)(1(
1
12
x
xx
x
x
y ，当 1x 时， 111
12
xxx
x
y ，当 1x 时，
166
1,1
11,111
12
xx
xxxx
x
y ，综上函数
1,1
11,1
11
1
12
xx
xx
xx
x
x
y
，
，做出函数的图
象，要使函数 y 与 kxy 有两个不同的交点，则直线 kxy
必须在蓝色或黄色区域内，如图，则此时当直线经过黄色 区 域 时
)2,1(B ， k 满足 21 k ，当经过蓝色区域时， k 满足
10 k ，综上实数的取值范围是 10 k 或 21 k 。
【答案】 10 k 或 21 k 。
三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字 说 明 ，
证明过程或演算步骤。
（15 题）（本小题满分 13 分）
某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学
生进行视力调查。
（I）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。
（II）若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，
（1）列出所有可能的抽取结果；
（2）求抽取的 2 所学校均为小学的概率。
、
（16）（本小题满分 13 分）
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的分别是 a,b，c。已知 a=2.c= 2 ,cosA= 2- 4 .
（I）求 sinC 和 b 的值；
（II）求 cos（2A+ 3
д）的值。
167
17.（本小题满分 13 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2 3 ，PD=CD=2.
（I）求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值；
（II）证明平面 PDC⊥平面 ABCD；
（III）求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值。
168
（18）（本题满分 13 分）
已知｛ ｝是等差数列，其前 n 项和为 nS ，｛ ｝是等比数列，且 = =2, 2744 ba , - =10
（I）求数列｛ ｝与｛ ｝的通项公式；
（II）记 = + ，（n ,n>2）。
169
（19）（本小题满分 14 分）
已知椭圆 （a>b>0）,点 P（ , ）在椭圆上。
（I）求椭圆的离心率。
（II）设 A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若 Q 在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线OQ 的斜率的值。
170
（20）（本小题满分 14 分）
已知函数 aaxxaxxf 23
2
1
3
1)( ，x 其中 a>0.
（I）求函数 )(xf 的单调区间；
（II）若函数 )(xf 在区间（-2，0）内恰有两个零点，求 a 的取值范围；
（III）当 a=1 时，设函数 )(xf 在区间 ]3,[ tt 上的最大值为 M（t），最小值为 m（t）,记 g(t)=M(t)-m(t),求
函数 g(t)在区间 ]1,3[ 上的最小值。
171
高考总复习 概率(附参考答案)
1（本小题满分 12 分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛，他们所有比赛得
分的情况用如图所示的茎叶图表示
（1）求甲、乙两名运动员得分的中位数；
（2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？
（3）如果从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随
机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．
（参考数据： 2 2 2 2 2 2 29 8 10 2 6 10 9 466 ，
23611213647 2222222 ）
172
2 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日，评委会把同
学们上交作品的件数按 5 天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形的高的
比为 2：3：4：6：4：1，第三组的频数为 12，请解答下列问题：
(1)本次活动共有多少件作品参加评 比？
(2)哪组上交的作品数量最多？共有 多少件？
(3)经过评比，第四组和第六组分别有 10 件、2 件作
品获奖，问这两组哪组获奖率高？
3 已知向量 1, 2a ， ,b x y ．
（1）若 x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为 1，2，3，4，
5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足 1a b
的概率；
（2）若实数 ,x y 1,6 ，求满足 0a b
的概率．
4 某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了
统计，统计结果如下表所示：
分组
[500，
900)
[900，
1100)
[1100，
1300)
[1300，
1500)
[1500，
1700)
[1700，
1900)
[1900，
)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率
（1）将各组的频率填入表中；
（2）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率；
（3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 2 支，若将上述频率作为概率，试求恰有 1 支灯管的使
用寿命不足 1500 小时的概率．
173
5 为研究气候的变化趋势，某市气象部门统计了共 100 个星期中每个星期气温的最高温度和
最低温度，如下表：
（1）若第六、七、八组的频数t 、 m 、
n 为递减的等差数列，且第一组与第八组
的频数相同，求出 x 、t 、 m 、 n 的值；
（2）若从第一组和第八组的所有星期
中随机抽取两个星期，分别记它们的平均
温度为 x ， y ，求事件“| | 5x y ”的概率．
6 某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被
抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了 22 人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果
的频率分布条形图如图 5 所示,其中 120～130(包括 120 分 但 不
包括 130 分)的频率为 0.05,此分数段的人数为 5 人.
(1)问各班被抽取的学生人数各为多少人?
(2)在抽取的所有学生中,任取一名学生,
求分数不小于 90 分的概率.
7 某班 50 名学生在一次百米测试中，成绩全部介于 13 秒 与 18
秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组 )14,13 ；
第二组 )15,14 ，……，第五组 18,17 ．右图是按上述分 组 方 法
得到的频率分布直方
图.
（I）若成绩大于或等于 14 秒且小于 16 秒认为
良好，求该班在这次百米测试中
成绩良好的人数；
（II）设 m 、 n表示该班某两位同学的百米
测试成绩，且已知 18,17)14,13, nm ，
求事件“ 1 nm ”的概率.
8 一人盒子中装有 4 张卡片，每张卡上写有 1 个数字，数字分别是 0，1、2、3。现从盒子中随机抽取卡片。
气温（℃） 频数 频率
[ 5, 1] x 0．03
[0,4] 8
[5,9] 12
[10,14] 22
[15,19] 25
[20,24] t
[25,29] m
[30,34] n
合计 100 1
频率
分数
90 100 110 120 130
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
8070
174
（I）若一次抽取 3 张卡片，求 3 张卡片上数字之和大于等于 5 的概率；
（II）若第一次抽 1 张卡片，放回后再抽取 1 张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字 2 的概率。
9 为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从 A,B,C 三个区中抽取 7 个工厂进
行调查。已知 A,B,C 区中分别有 18,27,18 个工厂，
（1）求从 A,B,C 区中应分别抽取的工厂个数；
（2）若从抽得的 7 个工厂中随机地抽取 2 个进行调查结果的对比，用列举法计算这 2 个工厂中至少
有 1 个来自 A 区的概率；
10 某市一公交线路某区间内共设置六个站点,分别为 0 1 2 3 4 5, , , , ,A A A A A A ,现有甲乙两人同时从 0A 站点上
车,且他们中的每个人在站点 ( 1,2,3,4,5)iA i 下车是等可能的．
（Ⅰ）求甲在 2A 站点下车的概率；
（Ⅱ）甲,乙两人不在同一站点下车的概率．
1 解：（1）运动员甲得分的中位数是 22，运动员乙得分的中位数是 23 …2 分
（2） 217
32232224151714 甲x …………3 分
12 13 11 23 27 31 30 217x 乙 …………………4 分
2 2 2 2 2 2 2
2 21-14 21-17 21-15 21-24 21-22 21-23 21-32 236
7 7S 甲
…5 分
2 2 2 2 2 2 2
2 21-12 21-13 21-11 21-23 21-27 21-31 21-30 466
7 7S
乙
22 S乙甲 S ，从而甲运动员的成绩更稳定………………………………8 分
（3）从甲、乙两位运动员的 7 场得分中各随机抽取一场的得分的基本事件总数为 49 其中
甲的得分大于乙的是：甲得 14 分有 3 场，甲得 17 分有 3 场，甲得 15 分有 3 场甲得 24 分有
4 场 ， 甲 得 22 分 有 3 场 ， 甲 得 23 分 有 3 场 ， 甲 得 32 分 有 7 场 ， 共 计 26
场 …………………………………………………………11 分
从而甲的得分大于乙的得分的概率为 26
49P ………………………………12 分
2 解：（1）因为 60x
12
146432
4 x
所以本次活动共有 60 件作品参加评比. ……………………4 分
175
（2）因为 1860
x
146432
6 x
所以第四组上交的作品数量最多，共有 18 件. ……………………8 分
（3）因为 360
x
146432
1 x
所以
3
2
18
10 ，所以第六组获奖率高. ……………………12 分
3 解（1）设 ,x y 表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有（1，1），（1，2），
（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），……，（6，5），（6，6），共 36 个．
用 A 表示事件“ 1 a b ”，即 2 1x y .
则 A 包含的基本事件有（1，1），（3，2）， （5，3），
共 3 个．
∴ 3 1
36 12P A ． 答：事件“ 1 a b ” 的 概 率 为
1
12
．…………………6 分
（2）用 B 表示事件“ 0a b ”，即 2 0x y .
试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 为
, 1 6,1 6x y x y ，
构成事件 B 的区域为
, 1 6,1 6, 2 0x y x y x y ，
如图所示．
所以所求的概率为
1 4 2 42
5 5 25P B
．
答：事件“ 0a b ”的概率为 4
25
．………………………12 分
4 解：（I）
分组 [500，
900)
[900，
1100)
[1100，
1300)
[1300，
1500)
[1500，
1700)
[1700，
1900)
[1900，
)
频数 48 121 208 223 193 165 42
频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042
………………………………………………（4 分）
（II）由（I）可得 0.048 0.121 0.208 0.223 0.6 ，
所以灯管使用寿命不足 1500 小时的频率为 0.6． …………………………（8 分）
（III）由（II）知，1 支灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 1 0.6P ，另一支灯管使用寿命超过 1500 小
时的概率 2 11 1 0.6 0.4P P ，则这两支灯管中恰有 1 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是
176
1 2 2 1 2 0.6 0.4 0.48PP P P ．
所以有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 0.48．…………………………（12 分）
5 解：（1） 3x ， 17t ， 10m ， n =3 …………………………………6 分
（2） 9 3
15 5
…………………………………………………12 分
6 解:(1) 由频率分布条形图知,
抽取的学生总数为 5 1000.05
人. ………………………………4 分
∵各班被抽取的学生人数成等差数列,设其公差为 d ,
由 4 22 6d =100,解得 2d .
∴各班被抽取的学生人数分别是 22 人，24 人，26 人，28 人. ……………8 分
(2) 在 抽 取 的 学 生 中 , 任 取 一 名 学 生 , 则 分 数 不 小 于 90 分 的 概 率 为
0.35+0.25+0.1+0.05=0.75. ……………………………………………12 分
7 解：（Ⅰ）由直方图知，成绩在 16,14 内的人数为： 2738.05016.050 （人）
所以该班成绩良好的人数为 27 人.
（Ⅱ）由直方图知，成绩在 14,13 的人数为 306.050 人，
设为 x 、 y 、 z ；成绩在 18,17 的人数为 408.050 人，设为 A 、 B 、 C 、 D .
若 )14,13, nm 时，有 yzxzxy ,, 3 种情况；
若 18,17, nm 时，有 CDBDBCADACAB ,,,,, 6 种情况；
若 nm, 分别在 14,13 和 18,17 内时，
A B C D
x xA xB xC xD
y yA yB yC yD
z zA zB zC zD
共有 12 种情况.
所以基本事件总数为 21 种，事件“ 1 nm ”所包含的基本事件个数有 12 种.
∴P（ 1 nm ）=
7
4
21
12 …………12 分
177
9 解析：（1）从 A,B,C 区中应分别抽取的工厂个数为 2，3，2
（ 2 ） 设 抽 得 的 A,B,C 区 的 工 厂 为 2132121 CCBBBAA ， 随 机 地 抽 取 2 个 ， 所 有 的 结 果 为
,21 AA ,31 AA ,11BA ,21BA ,31BA ,11CA ,21CA ,31CA 共 21 个，记事件 A “至少有 1 个来自 A 区”，
包含 11 个，
21
11 P
10 解： （Ⅰ）设事件“ A 甲在 2A 站点下车”, 则 1( ) 5P A
（Ⅱ）设事件“ B 甲,乙两人不在同一站点下车”，则 1 4( ) 1 5 5P B
