【数学】2021届一轮复习北师大版（文）第七章 第4讲 基本不等式作业
第4讲 基本不等式
[基础题组练]
1．(2020·安徽省六校联考)若正实数x，y满足x＋y＝2，则的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选A.因为正实数x，y满足x＋y＝2，
所以xy≤＝＝1，
所以≥1.
2．下列选项中，正确的是( )
A．x＋的最小值为2
B．sin x＋的最小值为4，x∈(0，π)
C．x2＋1的最小值为2
D．4x(1－x)的最大值为1
解析：选D.对于A，当x<0时，x＋<0，错误；对于B，当x∈(0，π)时，0
0，则函数y＝x＋－的最小值为( )
A．0 B.
C．1 D．
解析：选A.y＝x＋－＝＋－2≥2－2＝0，当且仅当x＋＝
eq f(1,x＋f(1,2))，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.
4．若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选B.法一：由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4或a＋b≤0(舍去)，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
法二：由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
法三：由题意知a＝(b>1)，所以a＋b＝＋b＝2＋b－1＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.
5．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 ．
解析：一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
答案：30
6．函数y＝(x>－1)的最小值为 ．
解析：因为y＝＝x－1＋＝x＋1＋－2(x>－1)，
所以y≥2－2＝0，
当且仅当x＝0时，等号成立．
答案：0
7．(2020·湖南岳阳期末改编)若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为 ，＋的最小值为 ．
解析：因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2，因为＋＝·＝≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为.
答案：2
8．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值．
解：(1)由2x＋8y－xy＝0，
得＋＝1，
又x>0，y>0，
则1＝＋≥2 ＝.
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
[综合题组练]
1．设a>0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )
A．16 B．9
C．4 D．2
解析：选C.在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号)．
由题意知2＋1≥5，所以a≥4.
2．(2020·陕西铜川一模)已知x>0，y>0，且＋＝，则x＋y的最小值为( )
A．3 B．5
C．7 D．9
解析：选C.因为x>0，y>0.且＋＝，所以x＋1＋y＝2(x＋1＋y)＝2(1＋1＋＋)≥2＝8，当且仅当＝，即x＝3，y＝4时取等号，所以x＋y≥7，故x＋y的最小值为7，故选C.
3．已知正实数x，y满足x＋y＝1，①则x2＋y2的最小值为 ；②若＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是 ．
解析：因为x＋y＝1，所以xy≤＝，所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，所以x2＋y2的最小值为.
若a≤＋恒成立，则a小于等于的最小值，因为＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，所以＋的最小值为9，所以a≤9，故实数a的取值范围是(－∞，9]．
答案： (－∞，9]
4．(2020·洛阳市统考)已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为 ．
解析：因为＋＝1，所以2x＋y＝xy，所以xy＋x＋y＝3x＋2y，因为3x＋2y＝(3x＋2y)(＋)＝7＋＋，且x>0，y>0，所以3x＋2y≥7＋4，所以xy＋x＋y的最小值为7＋4.
答案：7＋4
