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文档介绍
高考理科数学专题复习练习12.2古典概型与几何概型
第十二章概率与统计 12.2古典概型与几何概型 专题1 古典概型的概率 ■(2015辽宁鞍山一模,古典概型的概率,填空题,理15)现有5双不同号码的鞋,从中任意取出4只,则恰好只能配出一双的概率为 . 解析:总的基本事件数为C104=210, 恰有两只成双的取法是C51·C42·C21·C21=120. 故从中任意取出4只,则恰好只能配出一双的概率P=120210=47. 答案:47 专题3 几何概型在不同测度中的概率 ■(2015东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理7)不等式组-2≤x≤2,0≤y≤4表示的点集记为A,不等式组x-y+2≥0,y≥x2表示的点集记为B,在A中任取一点P,则P∈B的概率为( ) A.932 B.732 C.916 D.716 解析:分别画出点集A,B.如图, A对应的区域面积为4×4=16,B对应的区域面积如图阴影部分,为-12 (x+2-x2)dx=12x2+2x-13x3-12=92. 由几何概型公式得,在A中任取一点P,则P∈B的概率为9216=932. 答案:A 12.4离散型随机变量的均值与方差 专题2 离散型随机变量的均值与方差 ■(2015沈阳一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理19)某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖,甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张,每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为13,且三人投票相互没有影响,若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目最终获一等奖;否则,该节目不能获一等奖. (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率; (2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票数之和X的分布列及数学期望. 解:(1)设“某节目的投票结果是最终获一等奖”为事件A,则事件A包含该节目可以获2张“获奖票”或该节目可以获3张“获奖票”. ∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任意一类票的概率为13,且三人投票相互没有影响, ∴某节目的投票结果是最终获一等奖的概率: P(A)=C3213223+C33133=727. (2)所含“获奖”和“待定”票数之和X的值为0,1,2,3, P(X=0)=C30133=127, P(X=1)=C3123132=627, P(X=2)=C3223213=1227, P(X=3)=C33233=827, ∴X的分布列为: X 0 1 2 3 P 127 29 49 827 EX=0×127+1×29+2×49+3×827=2. ■(2015辽宁大连二十四中高考模拟,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)某单位组织职工开展构建绿色家园活动,在今年3月份参加义务植树活动的职工中,随机抽取M名职工为样本,得到这些职工植树的株数,根据此数据作出了频数与频率统计表和频率分布直方图如图: (1)求出表中M,p及图中a的值; (2)单位决定对参加植树的职工进行表彰,对植树株数在[25,30)区间的职工发放价值800元的奖品,对植树株数在[20,25)区间的职工发放价值600元的奖品,对植树株数在[15,20)区间的职工发放价值400元的奖品,对植树株数在[10,15)区间的职工发放价值200元的奖品,在所取样本中,任意取出2人,并设X为此二人所获得奖品价值之差的绝对值,求X的分布列与数学期望E(X). 分组 频数 频率 [10,15) 5 0.25 [15,20) 12 n [20,25) m p [25,30) 1 0.05 合计 M 1 解:(1)由题可知5M=0.25,12M=n,mM=p, 又5+12+m+1=M, 解得M=20,n=0.6,m=2,p=0.1, 则[15,20)组的频率与组距之比a为0.12. (2)两人所获得奖品价值之差的绝对值可能为0元,200元,400元,600元,则 P(X=0)=C52+C122+C22C202=10+66+1190=77190, P(X=200)=C51C121+C121C21+C21C11C202=86190, P(X=400)=C51C21+C11C121C202=22190, P(X=600)=C51C11C202=5190. 所以X的分布列为 X 0 200 400 600 P 77190 86190 22190 5190 EX=0×77190+200×86190+400×22190+600×5190=2 90019. ■(2015东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)为调查市民对汽车品牌的认可度,在秋季车展上,从有意购车的500名市民中,随机抽取100名市民,按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如下: 频率分布表 分组(单位:岁) 频数 频率 [20,25) 5 0.05 [25,30) 20 0.20 [30,35) ① 0.350 [35,40) 30 ② [40,45) 10 0.10 合计 100 1.000 (1)频率分布表中的①②位置应填什么数?并补全频率分布直方图,再根据频率分布直方图统计这500名志愿者的平均年龄; (2)在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加宣传活动,再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人.记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X,求X的分布列及数学期望. 频率分布直方图 解:(1)由题意知频率分布表中的①位置应填数字为100-5-20-30-10=35. ②位置应填数字为30100=0.30. 补全频率分布直方图,如图所示. 频率分布直方图 平均年龄估值为 12(45×0.05+55×0.2+65×0.35+75×0.3+85×0.1)=33.5(岁). (2)由表知,抽取的20人中,年龄低于30岁的有5人,故X的可能取值为0,1,2. P(X=0)=C152C202=2138, P(X=1)=C51C151C202=1538, P(X=2)=C52C202=119. ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 2138 1538 119 EX=0×2138+1×1538+2×119=12. ■(2015辽宁鞍山一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理19)某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45,23,23,他们考核所得的等次相互独立. (1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率; (2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ. 解:(1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件E, 则事件A,B,C相互独立,A·B·C与事件E是对立事件. 则P(E)=1-P(A·B·C)=1-P(A)·P(B)·P(C)=1-15×13×13=4445. (2)ξ的可能取值为32,2,52,3. ∵Pξ=32=P(A·B·C)=145, P(ξ=2)=P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)=845, Pξ=52=P(A·B·C)+P(A·B·C)+P(A·B·C)=2045, P(ξ=3)=P(A·B·C)=1645. ∴ξ的分布列为 ξ 32 2 52 3 P 145 845 2045 1645 ∴Eξ=32×145+2×845+52×2045+3×1645=7730. 专题3 均值与方差在决策中的应用 ■(2015辽宁抚顺重点高中协作体高考模拟,均值与方差在决策中的应用,解答题,理18)“十一黄金周”期间,某市再次迎来了客流高峰,小李从该市的A地到B地有L1,L2两条路线(如图),L1路线上有A1,A2,A3三个路口,各路口遇到堵塞的概率均为23;L2路线上有B1,B2两个路口,各路口遇到堵塞的概率依次为34,35. (1)若走L1路线,求最多遇到1次堵塞的概率; (2)按照“平均遇到堵塞次数最少”的要求,请你帮助小李从上述两条路线中选择一条最好的出行路线,并说明理由. 解:(1)设走L1路线,最多遇到1次堵塞为A事件, 则P(A)=C30×133+C21×23×132=727, 故走L1路线,最多遇到1次堵塞的概率为727. (2)设走L2路线,遇到堵塞的次数为X,则X的可能取值为0,1,2, P(X=0)=1-34×1-35=110, P(X=1)=34×1-35+1-34×35=920, P(X=2)=34×35=920, 则EX=110×0+920×1+920×2=2720. 设走L1路线,遇到堵塞的次数为Y,则Y服从二项分布,Y~B3,23,则EY=3×23=2. 由于EX查看更多
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