【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版7-3一元二次不等式及其解法学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版7-3一元二次不等式及其解法学案

‎§7.3　一元二次不等式及其解法 最新考纲 考情考向分析 ‎1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.‎ ‎2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.‎ ‎3.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.‎ 以理解一元二次不等式的解法为主，常与集合的运算相结合考查一元二次不等式的解法，有时也在导数的应用中用到，加强函数与方程思想，分类讨论思想和数形结合思想的应用意识.在高考中常以选择题的形式考查，属于低档题，若在导数的应用中考查，难度较高.‎ ‎1.一元二次不等式的解集 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0‎ Δ＝0‎ Δ<0‎ 二次函数 y＝ax2＋bx＋c ‎(a>0)的图象 方程 ax2＋bx＋c＝0‎ ‎(a>0)的根 有两相异 实根x1，x2‎ ‎(x10‎ ‎(a>0)的解集 ‎{x|xx2}‎ ‎{x|x∈R}‎ ax2＋bx＋c<0‎ ‎(a>0)的解集 ‎{x|x1<‎ x0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法 不等式 解集 ab ‎(x－a)·‎ ‎(x－b)>0‎ ‎{x|xb}‎ ‎{x|x≠a}‎ ‎{x|xa}‎ ‎(x－a)·‎ ‎(x－b)<0‎ ‎{x|a0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？‎ 提示　ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.‎ ‎2.一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？‎ 提示　显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是 题组一　思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.(　√　)‎ ‎(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.(　√　)‎ ‎(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　×　)‎ ‎(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.(　×　)‎ ‎(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2.已知集合A＝{x|x2－x－6>0}，则∁RA等于(　　)‎ A.{x|－23}‎ D.{x|x≤－2}∪{x|x≥3}‎ 答案　B 解析　∵x2－x－6>0，∴(x＋2)(x－3)>0，∴x>3或x<－2，即A＝{x|x>3或x<－2}.在数轴上表示出集合A，如图所示.‎ 由图可得∁RA＝{x|－2≤x≤3}.‎ 故选B.‎ ‎3.y＝log2(3x2－2x－2)的定义域是________________.‎ 答案　∪ 解析　由题意，得3x2－2x－2>0，‎ 令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，‎ ‎∴3x2－2x－2>0的解集为 ∪.‎ 题组三　易错自纠 ‎4.不等式－x2－3x＋4>0的解集为________.(用区间表示)‎ 答案　(－4,1)‎ 解析　由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，‎ 得－40的解集是，则a＋b＝________.‎ 答案　－14‎ 解析　∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，‎ ‎∴解得 ‎∴a＋b＝－14.‎ ‎6.不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(－∞，2] B.(－2,2]‎ C.(－2,2) D.(－∞，2)‎ 答案　B 解析　∵∴－20}，‎ ‎∴ A∩B＝{x|00).‎ 解　原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，‎ 因为a>0，所以(x－1)<0.‎ 所以当a>1时，解为1时，不等式的解集为.‎ 思维升华　对含参的不等式，应对参数进行分类讨论：‎ ‎①根据二次项系数为正、负及零进行分类.‎ ‎②根据判别式Δ判断根的个数.‎ ‎③有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.‎ 跟踪训练1　解不等式12x2－ax>a2(a∈R).‎ 解　原不等式可化为12x2－ax－a2>0，‎ 即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，‎ 解得x1＝－，x2＝.‎ 当a>0时，不等式的解集为∪；‎ 当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；‎ 当a<0时，不等式的解集为∪.‎ 题型二　一元二次不等式恒成立问题 命题点1　在R上的恒成立问题 例3　已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈R，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围.‎ 解　当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立.‎ 当m≠0时，则即－40时，g(x)在[1,3]上是增函数，‎ 所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，‎ 所以m<，所以00，‎ 又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.‎ 因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可.‎ 所以m的取值范围是.‎ 引申探究 ‎1.若将“f(x)<5－m恒成立”改为“f(x)<5－m无解”，如何求m的取值范围？‎ 解　若f(x)<5－m无解，即f(x)≥5－m恒成立，‎ 即m≥恒成立，又x∈[1,3]，‎ 得m≥6，即m的取值范围为[6，＋∞).‎ ‎2.若将“f(x)<5－m恒成立”改为“存在x，使f(x)<5－m成立”，如何求m的取值范围？‎ 解　由题意知f(x)<5－m有解，‎ 即m<有解，则m0的解集为{x|－10的解集为(　　)‎ A. B. C.{x|－21}‎ 答案　A 解析　∵不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10，‎ 解得x<－1或x>，故选A.‎ ‎3.若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)‎ A.(－3,0) B.[－3,0]‎ C.[－3,0) D.(－3,0]‎ 答案　A 解析　由题意可得 解得－3x2－2x＋5，设f(x)＝x2－2x＋5＝(x－1)2＋4，x∈[2,4]，当x＝2时f(x)min＝5，∃x∈[2,4]使x2－2x＋5－m<0成立，即m>f(x)min，∴m>5.故选B.‎ ‎‎ ‎5.若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　　)‎ A.[－4,1] B.[－4,3]‎ C.[1,3] D.[－1,3]‎ 答案　B 解析　原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即10在区间[1,5]上有解，则a的取值范围是(　　)‎ A. B. C.(1，＋∞) D. 答案　A 解析　由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图.所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－，故选A.‎ ‎7.在关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是(　　)‎ A.(－3,5) B.(－2,4)‎ C.[－1,3] D.[－2,4]‎ 答案　C 解析　因为关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a<0可化为(x－1)(x－a)<0，‎ 当a>1时，不等式的解集为{x|1a≥－1，‎ 所以实数a的取值范围是a∈[－1,3]，故选C.‎ ‎8.设a<0，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　当a0)的解集为________.‎ 答案　{x|－a0，∴－a<3a，不等式的解集为{x|－a的解集为________.‎ 答案　(－1,0)∪(1，＋∞)‎ 解析　当x>0时，原不等式等价于x2>1，‎ 解得x>1；当x<0时，原不等式等价于x2<1，‎ 解得－1的解集为(－1,0)∪(1，＋∞).‎ ‎11.若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________.‎ 答案　(－4,0)‎ 解析　因为x2－ax－a>0的解集为R，‎ 所以Δ＝(－a)2－4(－a)<0，解得－40，则实数a的取值范围是________.‎ 答案　(1,5]‎ 解析　设f(x)＝x2－2(a－2)x＋a，‎ 当Δ＝4(a－2)2－4a<0时，‎ 即10 对x∈R恒成立；‎ 当a＝1时，f(－1)＝0，不合题意；‎ 当a＝4时，f(2)＝0 符合题意；‎ 当Δ>0 时，由即 即40；‎ ‎(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值.‎ 解　(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，‎ ‎∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，‎ 即a2－6a－3<0，‎ 解得3－2b的解集为(－1,3)，‎ ‎∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，‎ ‎∴解得 ‎16.已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5).‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围.‎ 解　(1)f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)，‎ 即2x2＋bx＋c<0的解集是(0,5)，‎ ‎∴0和5是方程2x2＋bx＋c＝0的两个根，‎ 由根与系数的关系知，－＝5，＝0，‎ ‎∴b＝－10，c＝0，f(x)＝2x2－10x.‎ ‎(2)f(x)＋t≤2恒成立等价于2x2－10x＋t－2≤0恒成立，‎ ‎∴2x2－10x＋t－2在x∈[－1,1]上的最大值小于或等于0.‎ 设g(x)＝2x2－10x＋t－2，x∈[－1,1]，‎ 则由二次函数的图象可知g(x)＝2x2－10x＋t－2在区间[－1,1]上为减函数，‎ ‎∴g(x)max＝g(－1)＝10＋t，‎ ‎∴10＋t≤0，即t≤－10.‎