【数学】2020届一轮复习人教A版直线、平面垂直的判定与性质学案

【数学】2020届一轮复习人教A版直线、平面垂直的判定与性质学案

第四节直线、平面垂直的判定与性质 突破点一　直线与平面垂直的判定与性质 ‎1．直线和平面垂直的定义 直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．‎ ‎2．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b ‎3．直线与平面所成的角 ‎(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角．‎ ‎(2)线面角θ的范围：.‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　　)‎ ‎(2)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　　)‎ ‎(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√‎ 二、填空题 ‎1．过一点有________条直线与已知平面垂直．‎ 答案：一 ‎2．在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，‎ ‎①若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．‎ ‎②若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．‎ 答案：外　垂 ‎3．如图，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC， △PAC的边所在的直线中，与PC 垂直的直线有________________；与AP垂直的直线有________．‎ 解析：因为PC⊥平面ABC，‎ 所以PC垂直于直线AB，BC，AC.‎ 因为AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，‎ 所以AB⊥平面PAC，‎ 又因为AP⊂平面PAC，‎ 所以AB⊥AP，与AP垂直的直线是AB.‎ 答案：AB，BC，AC　AB ‎[典例]　(2019·郑州一测)如图，在三棱锥PABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB＝6，BC＝2，AC＝2，D为线段AB上的点，且AD＝2DB，PD⊥AC.‎ ‎(1)求证：PD⊥平面ABC；‎ ‎(2)若∠PAB＝，求点B到平面PAC的距离．‎ ‎[解]　(1)证明：连接CD，据题知AD＝4，BD＝2，AC2＋BC2＝AB2，‎ ‎∴∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝＝，‎ ‎∴CD2＝22＋(2)2－2×2×2cos∠ABC＝8，‎ ‎∴CD＝2，∴CD2＋AD2＝AC2，则CD⊥AB.‎ ‎∵平面PAB⊥平面ABC，‎ ‎∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，‎ ‎∵PD⊥AC，AC∩CD＝C，‎ ‎∴PD⊥平面ABC.‎ ‎(2)由(1)得PD⊥AB，∵∠PAB＝，‎ ‎∴PD＝AD＝4，PA＝4，‎ 在Rt△PCD中，PC＝＝2，‎ ‎∴△PAC是等腰三角形，∴可求得S△PAC＝8.‎ 设点B到平面PAC的距离为d，‎ 由VBPAC＝VPABC，得S△PAC×d＝S△ABC×PD，‎ ‎∴d＝＝3.‎ 故点B到平面PAC的距离为3.‎ ‎[方法技巧]‎ 证明直线与平面垂直的方法 ‎(1)定义法：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用)；‎ ‎(2)判定定理(常用方法)；‎ ‎(3)若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面(客观题常用)；‎ ‎(4)若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；‎ ‎(5)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法); ‎ ‎(6)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面(客观题常用)．　　‎ ‎[针对训练]‎ ‎(2019·贵州模拟)如图，在直棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AD＝1，AA1＝，∠ABC＝60°.‎ ‎(1)求证：AC⊥BD1；‎ ‎(2)求四面体D1AB1C的体积．‎ 解：(1)证明：连接BD，与AC交于点O，因为四边形ABCD为平行四边形，且AB＝AD，所以四边形ABCD为菱形，‎ 所以AC⊥BD.在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，可知BB1⊥AC，则AC⊥平面BB1D1D，又BD1⊂平面BB1D1D，则AC⊥BD1.‎ ‎(2)VD1AB1C＝VABCDA1B1C1D1－VB1ABC－VD1ACD－VAA1B1D1－VCC1B1D1＝VABCDA1B1C1D1－4VB1ABC＝×－4×××＝.‎ 突破点二　平面与平面垂直的判定与性质 ‎1．平面与平面垂直 ‎(1)平面与平面垂直的定义：两个平面相交， 如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．‎ ‎(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：‎ 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α ‎2．二面角的有关概念 ‎(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．‎ ‎(2)二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角．‎ ‎(3)二面角α的范围：.‎ 一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)‎ ‎(1)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α.(　　)‎ ‎(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(　　)‎ ‎(3)如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×‎ 二、填空题 ‎1．m，n为直线，α，β为平面，若m⊥α，m∥n，n∥β，则α与β的位置关系为________．‎ 答案：垂直 ‎2．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的____________条件．‎ 答案：充分不必要 ‎3．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．‎ 解析：由于PD⊥平面ABCD，故平面PAD⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PAD, 平面PBC⊥平面PDC，共7对．‎ 答案：7‎ ‎[典例]　(2019·开封定位考试)如图，在三棱锥DABC中，AB ‎＝2AC＝2，∠BAC＝60°，AD＝，CD＝3，平面ADC⊥平面ABC.‎ ‎(1)证明：平面BDC⊥平面ADC；‎ ‎(2)求三棱锥DABC的体积．‎ ‎[解]　(1)证明：在△ABC中，由余弦定理可得，‎ BC＝ ‎＝ ＝，‎ ‎∴BC2＋AC2＝AB2，∴BC⊥AC，‎ ‎∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，‎ ‎∴BC⊥平面ADC，‎ 又BC⊂平面BDC，∴平面BDC⊥平面ADC.‎ ‎(2)由余弦定理可得cos∠ACD＝，‎ ‎∴sin∠ACD＝，‎ ‎∴S△ACD＝·AC·CD·sin∠ACD＝，‎ 则VDABC＝VBADC＝·BC·S△ACD＝.‎ ‎[方法技巧]　面面垂直判定的两种方法与一个转化 两种方法 ‎(1)面面垂直的定义；‎ ‎(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)‎ 一个转化 在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直 ‎[针对训练]‎ ‎(2019·洛阳一模)如图，在四棱锥EABCD中，△EAD为等边三角形，底面ABCD为等腰梯形，满足AB∥CD，AD＝DC＝AB，且AE⊥BD.‎ ‎(1)证明：平面EBD⊥平面EAD；‎ ‎(2)若△EAD的面积为，求点C到平面EBD的距离．‎ 解：(1)证明：如图，取AB的中点M，连接DM，‎ 则由题意可知四边形BCDM为平行四边形，‎ ‎∴DM＝CB＝AD＝AB，即点D在以线段AB为直径的圆上，‎ ‎∴BD⊥AD，又AE⊥BD，且AE∩AD＝A，‎ ‎∴BD⊥平面EAD.‎ ‎∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面EAD.‎ ‎(2)∵BD⊥平面EAD，且BD⊂平面ABCD，‎ ‎∴平面ABCD⊥平面EAD.‎ ‎∵等边△EAD的面积为，‎ ‎∴AD＝AE＝ED＝2，‎ 取AD的中点O，连接EO，则EO⊥AD，EO＝，‎ ‎∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，‎ ‎∴EO⊥平面ABCD.‎ 由(1)知△ABD，△EBD都是直角三角形，‎ ‎∴BD＝＝2，‎ S△EBD＝ED·BD＝2，‎ 设点C到平面EBD的距离为h，‎ 由VCEBD＝VEBCD，得S△EBD·h＝S△BCD·EO，‎ 又S△BCD＝BC·CDsin 120°＝，‎ ‎∴h＝.∴点C到平面EBD的距离为.‎ 突破点三　平行与垂直的综合问题 ‎1．平行关系之间的转化 在证明线面、面面平行时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向是由题目的具体条件而定的，不可过于“模式化”．‎ ‎2．垂直关系之间的转化 在证明线面垂直、面面垂直时，一定要注意判定定理成立的条件．同时抓住线线、线面、面面垂直的转化关系，即：‎ 在证明两平面垂直时，一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线在图中不存在，则可通过作辅助线来解决．‎ ‎[典例]　(2018·北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．‎ ‎(1)求证：PE⊥BC；‎ ‎(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；‎ ‎(3)求证：EF∥平面PCD.‎ ‎[证明]　(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，‎ 所以PE⊥AD.‎ 因为底面ABCD为矩形，‎ 所以BC∥AD，所以PE⊥BC.‎ ‎(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.‎ 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，‎ 所以AB⊥平面PAD，‎ 因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.‎ 又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，‎ 所以PD⊥平面PAB.‎ 因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.‎ ‎(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.‎ 因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝BC.‎ 因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，‎ 所以DE∥BC，DE＝BC.‎ 所以DE∥FG，DE＝FG.‎ 所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.‎ 又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，‎ 所以EF∥平面PCD.‎ ‎[方法技巧]‎ 平行与垂直的综合问题主要是利用平行关系、垂直关系之间的转化去解决．注意遵循“空间到平面”“低维”到“高维”的转化关系．　　 ‎ ‎[针对训练]‎ ‎(2019·北京西城区期末)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G，H分别是CE，CF的中点．‎ ‎(1)求证：AC⊥平面BDEF；‎ ‎(2)求证：平面BDGH∥平面AEF.‎ 证明：(1)因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.‎ 又平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，‎ 所以AC⊥平面BDEF.‎ ‎(2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF.‎ 又GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.‎ 设AC∩BD＝O，连接OH，如图．‎ 在△ACF中，因为O，H分别为CA，CF的中点，‎ 所以OH∥AF.‎ 因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，‎ 所以OH∥平面AEF.‎ 因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，‎ 所以平面BDGH∥平面AEF.‎