高中数学讲义微专题98 含新信息问题的求解

高中数学讲义微专题98 含新信息问题的求解

- 1 - 微专题 98 含新信息问题的求解 一、基础知识： 所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则， 然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问 题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本 文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧 1、读取“新信息”的步骤 （1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围 （2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系 （3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律 （4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。 2、理解“新信息”的技巧与方法 （1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息 的理解 （2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息 理解的较为透彻。 （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律 （4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处， 以及在什么情况下可以使用原概念。 二、典型例题 例 1：设 是两个集合，定义集合 ，如果 ， ，则 等于（ ） A. B. C. D. 思路：依 可知该集合为在 中且不属于 中的元素组成，或 者可以理解为 集合去掉 的元素后剩下的集合。先解出 中的不等式。 ， ， 所 以 ， 从 而 可 得 ： ,P Q  |P Q x x P x Q   且  2| log 1P x x   | 2 1Q x x   P Q  | 0 1x x   | 0 1x x   |1 2x x   | 2 3x x   |P Q x x P x Q   且 P Q P P Q ,P Q :P 2log 1 0 2x x    : 2 1 1 3Q x x      1,2P Q   0,1P Q  - 2 - 答案：B 例 2： 在 内有定义。对于给定的正数 ，定义函数 取函数 。若对任意的 ，恒有 ，则（ ） A． 的最大值为 2 B. 的最小值为 2 C． 的最大值为 1 D. 的最小值为 1 思路：由所给分式函数 可知，若 ，则取 ，如果 ，就取 ， 由这个规则可知，若 恒成立，意味着 ，均有 恒成立， 从而将问题转化为恒成立问题，即 ，下面求 的最大值： ， 可知 在 单调递增，在 单调递减，所以 ，从而 ，即 的最小值为 1 答案：D 例 3：设集合 ，在 上定义运算 为： ，其中 为 被 4 除的余数， ，则满足关系式 的 的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 思路：本题的关键在于读懂规则，“ ”运算的结果其实与角标和除以 4 的余数相关，如果理 解文字叙述较为抽象不如举几个例子，例如： ，按照要求， 除以 4 的余数为 0，所以 。掌握规律后再看所求关系式：要求得 ，则需要先解出 ，将 其视为一个整体 ，可知 ，即 除以 4 的余数为 0，可推断 ，即 ，不妨设 ，即 除以 4 的余数为 2，则 的值为 ，所以 或 者 ，共有两个解 答案：C 例 4：定义两个平面向量 的一种运算 ，其中 为 的夹角，对于这种 运 算 ， 给 出 以 下 结 论 ： ① ； ② ； ③  y f x  ,  K         , ,k f x f x K f x K f x K      2 xf x x e    ,x       kf x f x K K K K  kf x  f x K  f x  f x K K    kf x f x  ,x     f x K  maxK f x  f x  ' 1 xf x e   f x  ,0  0,    max 0 1f x f  1K  K  0 1 2 3, , ,S A A A A S  i j kA A A  k i j , 0,1,2,3i j    2 0x x A A    x x S  1 3A A  1 3 1 3 0A A A  x  x x mA 2 0mA A A   2m  2m  2x x A  nx A  n n n 1,3 1x A 3x A ,a b  sina b a b       ,a b  a b b a         a b a b       - 3 - ；④ 若 ，则 你认为恒成立的有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 思路：本题的新运算 ，即 的模长乘以夹角。所以对于结论①， ； 对 于 ② ， ， 而 ， 显 然 当 时 等 式 不 成 立 ； 对 于 ③ ， （ 其 中 表 示 的 夹 角 ）， 而 ，显然等式不会恒成立（也可举特殊情况 如 ，左边为 0，而右边大于等于 0）；对于④，可代入坐标进行运算，为了计算简便考 虑 将 左 边 平 方 ， 从 而 ， 可 与 找 到 联 系 ： ，即 。综上所述，①④正确 答案：B 例 5 ： 如 果 函 数 对 任 意 两 个 不 等 实 数 ， 均 有 ，在称函数 为区间 上的“G”函数，给 出下列命题： ① 函数 是 上的“G”函数 ② 函数 是 上的“G”函数 ③ 函数 是 上的“G”函数 ④ 若函数 是 上的“G”函数，则 其中正确命题的个数是（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 本 题 看 似 所 给 不 等 式 复 杂 ， 但 稍 作 变 形 可 得 ：      a b c a c b c               1 1 2 2, , ,a x y b x y   1 2 2 1a b x y x y    sina b a b      ,a b  sin sinb a b a a b a b               sina b a b         sin sina b a b a b             0    sin ,a b c a b c a b c               sin ,a b c   ,a b c       sin , sin ,a c b c a c a c b c b c                a b   2 2sin 1 cos   a b        2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2sin 1 cosa b a b a b a b a b x y x y                       2 2 1 2 1 2 1 2 2 1x x y y x y x y    1 2 2 1a b x y x y     f x  1 2, ,x x a b        1 1 2 2 1 2 2 1x f x x f x x f x x f x    f x  ,a b   2 sinf x x x  R   2 4 , 0 1, 0 x x xf x x x       R   2 , 1 2 1, 1 x xf x x x       3,6   2xf x e ax   R 0a  1 2 3 4 - 4 - ， 所 以 即 与 同号，反映出 是 上的增函数，从而从单调性的角度 判断四个命题：①： 恒成立，所以 是 上的增函数 ②③：可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增，通过作图可知② 正确，③不正确 ④：若 是“G 函数”，则 是 上的增函数，所以 即 恒成 立，因为 ，所以可得： ，④正确 综上所述：①②④正确，共有三个命题 答案：C 例 6：对于各数互不相等的正数数组 ，其中 ，如果在 时，有 ，则称“ 与 ”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数 组的“顺序数”，例如：数组 中有顺序“ ”，“ ”，其“顺序数”等于 2，若各 数互不相等的正数数组 的“顺序数”是 4，则 的“顺序数” 是（ ） A. B. C. D. 思路：本题中对于“顺序”的定义为 ，即序数小的项也小。要得到“顺序数” 则需要对数组中的数两两进行比较，再进行统计。在所求数组中可发现 刚好 是 进行倒序的排列，所以原先数组的“顺序”在新数组中不成立，而原先数 组不成“顺序”的（即 ）反而成为所求数组的“顺序”。在五元数组中任意 两个数比较大小，共有 组，在 中“顺序”有 4 个，则非“顺序”有 6 个，所以到了 中，顺序数即为 6 答案：B 小炼有话说：本题也可以通过特殊的例子得到答案：例如由 的“顺序数”是 4，假设 ，其余各项 ，则在        1 1 2 2 2 1 0x f x f x x f x f x               1 2 1 2 0x x f x f x      1 2x x    1 2f x f x    f x  ,a b  ' 2 cos 0f x x    f x R  f x  f x R  ' 0xf x e a   xa e  0,xe   0a   1 2, , , ni i i 2,n n N   p q p qi i pi qi  2,4,3,1 2,4 2,3  1 2 3 4 5, , , ,a a a a a  5 4 3 2 1, , , ,a a a a a 7 6 5 4 p qp q i i    5 4 3 2 1, , , ,a a a a a  1 2 3 4 5, , , ,a a a a a p qp q a a   2 5 10C   1 2 3 4 5, , , ,a a a a a  5 4 3 2 1, , , ,a a a a a  1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 1 2 1 3 1 4 1 5, , ,a a a a a a a a    2 3 4 5a a a a    5 4 3 2 1, , , ,a a a a a - 5 - 中即可数出顺序数为 6 例 7 ： 对 任 意 实 数 定 义 运 算 如 下 ： ， 则 函 数 的值域为（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 本 题 可 将 描 述 成 取 中 较 小 的 数 ， 即 ， 所 以 对 于 ，即 为 中较小的数。解不等式 ，则 ，所 以 ，从而可解得值域为 答案：B 小炼有话说：本题也可以利用数形结合的方式， 的图像为将 的图像画在同一坐标系下，取位于下方的部分，从而作出 的图像，其中 的交点通过计算可得 ，所以结合图像即可得 到 的值域为 ，即 例 8：已知平面上的线段 及点 ，任取 上一点 ，线段 长度的最小值称为 到 的距 离，记作 （1）求点 到线段 的距离 （2）设 是长为 2 的线段，求点的集合 所表示的图形面积 思路：首先要明确新定义的“距离”，即线段上的点到该点的最小值。此时可做几个具体的图 ,a b  ( ) ( ) a a ba b b a b      2 1 2 ( ) log 3 2 logf x x x    0,  ,0 2 2log ,03      2 2log ,3     ( ) ( ) a a ba b b a b     ,a b  min ,a b  2 1 2 ( ) log 3 2 logf x x x    0f x  2 0 1 0 2 log 3 2 ,logx x  2 1 2 3 2 0 log 3 2 log 0 1 13 2 x x x x x x x                2 1 2 2log 3 2 log 13x x x      2 1 2 log 3 2 , 1 ( ) 2log , 13 x x f x x x        ,0  2 1 2 ( ) log 3 2 logf x x x    2 1 2 log 3 2 , logy x y x    f x  2 1 2 log 3 2 , logy x y x   1x   f x   , 1f   ,0 l P l Q PQ P l  ,d P l  1,1P  : 3 0 3 5l x y x      ,d P l l   | , 1D P d P l  - 6 - 形来理解定义。可发现过 作线段 的垂线，若垂足在线段上，则垂线段最短，与传统的定义 相同；若垂足在线段的延长线上，则需找线段上距离 点最近的，即线段的某个端点。在第 （1）问中，作出图像可得 在线段 上的垂足位于线段延长线上，所以只需比较 到两个端 点的距离即可；在第（2）问中，先作出 的图形，表示的图形是长为 2，宽为 2 的 正方形和两个半径是 1 的半圆的组合图形，则 为该图形的内部，再求出面积即可 解：（1）设线段 的端点 ，代入直线方程可得： （2）若 ，则 点的轨迹为长 ，宽 的正方形和两个半径 的半圆 的组合图形 例 9 ：设 表示不超过 的最大整数（如 ），对于给定的 ，定义 ，则当 时，函数 的值域为 （ ） A. B. C. D. 思路：由定义的式子 可知分子分母含多少项，与 的取值有 关，即分子分母分别为 个项的乘积，所以根据 的定义将 分为 和 两段进行考虑。当 时， ，所以 ，所以 在 的值域为 ；当 时， ，所以 ，从而 P l P P l P  , 1d P l  D l    1 23, , 5,A y B y 1 20, 2y y     3,0 , 5,2A B        2 2 2 23 1 0 1 5, 5 1 2 1 17AP BP            , 5d P l PA    , 1d P l  P 2a  2b  1r  212 42S r a b         x x   32 2, 12      n N             1 1 , 1,1 1 x n n n n xC xx x x x          5 ,34x       8 xf x C 324, 5      32 284, ,285 3           32 284, ,285 3           28,283                1 1 1 1 x n n n n xC x x x x          x  x  x 5 ,34x     5 ,24      2,3 5 ,24x       1x  8 8xC x  f x 5 ,24     324, 5       2,3x    2x   8 22 8 7 56 56 1 1 1 2 4 xC x x x x x          - 7 - 在 单调递减， ，综上所述可得： 答案：B 例 10：在实数集 中，我们定义的大小关系“ ”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们 这平面向量集合 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为 “ ”。定 义 如 下 ： 对 于 任 意 两 个 向 量 ， 当 且 仅 当 “ ”或“ 且 ”，按上述定义的关系“ ”，给出下列四个命题： ① 若 ，则 ② 若 ， ，则 ③ 若 ，则对于任意的 ， ④ 对于任意的向量 ，其中 ，若 ，则 其中命题正确的序号为__________ 思路：从题意中可发现比较向量的“序”主要比较的是坐标，其中优先比较横坐标，若横坐 标相等则再比较纵坐标，结合这个规律便可分析各个命题：（为方便说明，任一向量 的横坐 标记为 ，纵坐标记为 ①：显然 ，所以 ， ，所以 ，综上可 得： ②：由 可知： 或“ 且 ”，同理：由 可得： 或“ 且 ”，所以由不等式和等式的传递性 可得“ 或“ 且 ”成立，所以 ③ ： 设 ， 由 由 可 知 ： 或 “ 且 ” ， 所 以 或 “ 且 ”成立，所以  f x  2,3   28,283f x        32 284, ,285 3f x          R    | , , ,D a a x y x R y R         1 1 1 2 2 2, , ,a x y a x y   1 2a a  1 2x x 1 2x x 1 2y y       1 21,0 , 0,1 ,0 0,0e e     1 2 0e e    1 2a a  2 3a a  1 3a a  1 2a a  a D 1 2a a a a      0a    0 0,0 1 2a a  1 2a a a a      a  x a  y a    1 2x e x e  1 2e e         2 20 , 0x e x y e y     2 0e   1 2 0e e    1 2a a     1 2x a x a     1 2x a x a     1 2y a y a  2 3a a     2 3x a x a     2 3x a x a     2 3y a y a     1 3x a x a     1 3x a x a     1 3y a y a  1 3a a   ,a m n 1 2a a     1 2x a x a     1 2x a x a     1 2y a y a     1 2x a m x a m       1 2x a m x a m       1 2y a n y a n    1 2a a a a      - 8 - ④ ： 设 ， 由 可 知 ： 或 “ 且 ” ， 考 虑 若 “ 且 ” ， 则 由 可 知 存 在 一 种 情 况 ： 且 ，则 即 ，故④不正确 答案：①②③ 小炼有话说：本题处理④的关键在于定义中 的一种情况： 且对 无大小限 制，且数量积的结果不仅与 取值相关，还与 的值相关。所以在考虑反例时就可以利用 消除横坐标大小的关系。进而 的大小关系由 的纵坐标决定，就能轻松找到反 例了  ,a m n 0a   0m  0m  0n         1 1 1 2 2 2, ,a a x a m y a n a a x a m y a n             0m  0n     1 1 2 2, ,a a y a n a a y a n         1 2a a     1 2x a x a     1 2y a y a     1 2y a n y a n    1 2a a a a      1 2a a  1 2x x 1 2,y y x y 0m  1 2,a a a a     1 2,a a 