【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第二章第一讲　函数及其表示

【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第二章第一讲　函数及其表示

第二章　函数概念与基本初等函数Ⅰ 第一讲　函数及其表示 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.下列说法中正确的个数是(　　)‎ ‎(1)f (x)=‎1‎x-4‎‎+‎‎3-x是一个函数.‎ ‎(2)已知f (x)=m(x∈R),则f (m3)=m3.‎ ‎(3)y=ln x2与y=2ln x表示同一函数.‎ ‎(4)f (x)=x‎2‎‎+1,-1≤x≤1,‎x+3,x>1或x<-1,‎则f ( - x)=‎x‎2‎‎+1,-1≤x≤1,‎‎-x+3,x>1或x<-1.‎ A.0 B.1 C.2 D.3‎ ‎2.[2020湖南师大附中模拟]已知函数f (x)的图象如图2 - 1 - 1所示,则函数f (x)的解析式可能是(　　)‎ A.f (x)=(4x+4 - x)|x|‎ B.f (x)=(4x - 4 - x)log4|x|‎ C.f (x)=(4x+4 - x)log‎1‎‎4‎|x|‎ D.f (x)=(4x+4 - x)log4|x|‎ ‎3.[2016全国卷Ⅱ,10,5分]下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(　　)‎ A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y=‎‎1‎x ‎4.[2020成都市高三测试]已知函数f (x)=sin(πx+π‎6‎),x≤0,‎‎2‎x‎+1,x>0,‎则f ( - 2)+f (1)=(　　)‎ A.‎6+‎‎3‎‎2‎ B.‎6-‎‎3‎‎2‎ C.‎7‎‎2‎ D.‎‎5‎‎2‎ ‎5.[2019江苏,4,5分]函数y=‎7+6x-‎x‎2‎的定义域是　　　　.  ‎ ‎6.[2015福建,14,4分][理]若函数f (x)=‎-x+6,x≤2,‎‎3+logax,x>2‎(a>0,且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是　　　　. ‎ 考法1求函数的定义域 命题角度1　求具体函数的定义域 ‎1(1)函数y=‎1‎log‎1‎‎2‎(2-x)‎‎+‎‎1‎‎2x-3‎的定义域为　　　　. ‎ ‎(2)函数y=‎1‎loga(x-1)‎(a>0且a≠1)的定义域为　　　　. ‎ ‎(1)要使函数有意义,则log‎1‎‎2‎(2-x)>0,‎‎2x-3≠0‎⇒‎0<2-x<1,‎x≠‎‎3‎‎2‎⇒‎‎11时,由loga(x - 1)>0,得x - 1>1,所以x>2;‎ 当00,得01时,函数的定义域为(2,+∞);当01),则实数b的值为　　　　. ‎ 考法4分段函数的应用 ‎7 (1)[2015新课标全国Ⅱ,5,5分][理]设函数f (x)=‎1+log‎2‎(2-x),x<1,‎‎2‎x-1‎‎,x≥1,‎则f ( - 2)+f (log212)=‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ ‎(2)[2017山东,9,5 分]设f (x)=x‎,01,f (a)=a,f (a+1)=2(a+1 - 1)=2a,因为f (a)=f (a+1),所以a=2a,解得a=‎1‎‎4‎或a=0(舍去).所以f (‎1‎a)=f (4)=2×‎ ‎(4 - 1)=6.当a>1时,a+1>2,所以f (a)=2(a - 1),f (a+1)=2(a+1 - 1)=2a,‎ 所以2(a - 1)=2a,无解.当a=1时,a+1=2,f (1)=0,f (2)=2,不符合题意.综上,f (‎1‎a)=6.故选C.‎ ‎(3)当x≥0时,2x - 1≤3,所以2x≤4=22,所以0≤x≤2.‎ 当x<0时,x2 - 2x≤3,所以x2 - 2x - 3≤0,所以 - 1≤x<0.‎ 综上可得x的取值范围是[ - 1,2].‎ ‎3. (1)[2017全国卷Ⅲ,15,5分][理]设函数f (x)=x+1,x≤0,‎‎2‎x‎,x>0,‎则满足f (x)+f (x - ‎1‎‎ 2‎)>1的x的取值范围是　　　. ‎ ‎ (2)[2016北京,14,5分]设函数f (x)=‎x‎3‎‎-3x,x≤a,‎‎-2x,x>a.‎ ‎①若a=0,则f (x)的最大值为　　　　; ‎ ‎②若f (x)无最大值,则实数a的取值范围是　　　　. ‎ 数学探究与函数有关的新定义问题 ‎8在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,若函数f (x)的图象恰好经过n(n∈N*)个整点,则称函数f (x)为n阶整点函数.给出下列函数:‎ ‎①f (x)=sin 2x ; ②g(x)=x3;③h(x)=(‎1‎‎3‎)x; ④φ(x)=ln x.‎ 其中是一阶整点函数的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.①②③④ B.①③④ C.①④ D.④‎ 给什么 得什么 ‎(1)新定义——n阶整点函数,即其图象恰好经过n个整点(其横、纵坐标为整数的点),注意这里“恰好”指的是经过且仅经过n个整点.‎ ‎(2)4个具体的函数.‎ 求什么 想什么 判定给出的4个具体函数中哪几个为一阶整点函数.‎ 差什么 找什么 分别判定有关函数是否为一阶整点函数,并结合选项排除得解.‎ 对于函数f (x)=sin2x,它的图象(图略)只经过一个整点(0,0),所以它是一阶整点函数,排除D;‎ 对于函数g(x)=x3,它的图象(图略)经过整点(0,0),(1,1),…,所以它不是一阶整点函数,排除A…………………………….….(只要找到两个整点,即可判断函数不是一阶整点函数)‎ 对于函数h(x)=(‎1‎‎3‎)x,它的图象(图略)经过整点(0,1),( - 1,3), … ,所以它不是一阶整点函数,排除B.选C.‎ C ‎4.[2017山东,15,5分][理]若函数exf (x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f (x)的定义域上单调递增,则称函数 f (x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为　　　　. ‎ ‎①f (x)=2 - x　②f (x)=3 - x　②f (x)=x3　④f (x)=x2+2‎ 思想方法　分类与整合思想在函数中的应用 ‎9[2015山东,10,5分][理]设函数f (x)=‎3x-1,x<1,‎‎2‎x‎,x≥1.‎则满足f (f (a))=2f (a)的a的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.[‎2‎‎3‎,1] B.[0,1] C.[‎2‎‎3‎,+∞) 　D.[1,+∞)‎ 由f (f (a))=2f (a),得f (a)≥1.若a<1,则3a - 1≥1,解得‎2‎‎3‎≤a<1;若a≥1,则2a≥1,解得a≥1.综上,a的取值范围是[‎2‎‎3‎,+∞).‎ C ‎5.函数y=f (x)的图象是如图2 - 1 - 2所示的折线段OAB,其中A(1,2),B(3,0),函数g(x)=x·f (x),那么函数g(x)的值域为(　　)‎ A.[0,2] 　　B.[0,‎9‎‎4‎]‎ C.[0,‎3‎‎2‎] 　　D.[0,4]‎ 答案 ‎1.B　对于(1),定义域是空集,不满足函数的概念,故(1)错误;对于(2),f (x)是常数函数,所以f (m3)=m,故(2)错误;对于(3),两个函数的定义域不同,故不是同一函数,(3)错误;对于(4),结合分段函数可知(4)正确.所以正确命题的个数为1,故选B.‎ ‎2.D　对于A,f (x)大于等于0恒成立,与图象不符,排除;对于B,当x< - 1时,f (x)<0,与图象不符,排除;对于C,当x>1时,f (x)<0,与图象不符,排除.选D.‎ ‎3.D　解法一　函数y=10lg x的定义域为(0,+∞),当x>0时,y=10lg x=x,故函数的值域为(0,+∞).只有选项D符合.‎ 解法二　易知函数y=10lg x中x>0,排除选项A,C;因为10lg x必为正值,所以排除选项B.选D.‎ ‎4.C　f ( - 2)+f (1)=sin( - 2π+π‎6‎)+(21+1)=sin π‎6‎+3=‎1‎‎2‎+3=‎7‎‎2‎,故选C.‎ ‎5.[ - 1,7]　要使函数有意义,则7+6x - x2≥0,解得 - 1≤x≤7,则函数的定义域是[ - 1,7].‎ ‎6.(1,2]　因为f (x)=‎ - x+6,x≤2,‎‎3+logax,x>2,‎所以当x≤2时,f (x)≥4.又函数f (x)的值域是[4,+∞),所以a>1,‎‎3+loga2≥4,‎解得10的解集为(2,+∞),由2a·x - 1>0可得x>‎1‎‎2‎a,∴‎1‎‎2‎a=2,∴a= - 1.‎ ‎(2)3　f (x)=‎1‎‎2‎(x - 1)2+1,x∈[1,b]且b>1,f (1)=1,f (b)=‎1‎‎2‎(b - 1)2+1,函数图象的对称轴为直线x=1,且f (x)在[1,b]上单调递增.‎ ‎∴函数的值域为[1,‎1‎‎2‎(b - 1)2+1].‎ 由已知得‎1‎‎2‎(b - 1)2+1=b,解得b=3或b=1(舍).‎ ‎3.(1)( - ‎1‎‎4‎,+∞)　当x>0时,f (x)=2x>1恒成立,当x - ‎1‎‎2‎>0,即x>‎1‎‎2‎时,f (x - ‎1‎‎2‎)=‎2‎x - ‎‎1‎‎2‎>1,当x - ‎1‎‎2‎≤0,即0‎‎1‎‎2‎,则不等式f (x)+f (x - ‎1‎‎2‎)>1恒成立.当x≤0时,f (x)+f (x - ‎1‎‎2‎)=x+1+x - ‎1‎‎2‎+1=2x+‎3‎‎2‎>1,即 - ‎1‎‎4‎0.‎当x>0时, - 2x<0;当x≤0时,f ' (x)=3x2 - 3=3(x+1)(x - 1),令f ' (x)>0,得x< - 1,令f ' (x)<0,得 - 1a无最大值,由图象可知 - 2a>2,解得a< - 1.所以实数a的取值范围是( - ∞, - 1).‎ ‎4.①④　对于①,exf (x)=ex·2 - x,故[exf (x)]'=(ex·2 - x)'=ex·2 - x(1 - ln 2)>0,故函数exf (x)=ex·2 - x在( - ∞,+∞)上为增函数,故①符合要求;‎ 对于②,exf (x)=ex·3 - x,故[exf (x)]'=(ex·3 - x)'=ex·3 - x(1 - ln 3)<0,故函数exf (x)=ex·3 - x在( - ∞,+∞)上为减函数,故②不符合要求;‎ 对于③,exf (x)=ex·x3,故[exf (x)]'=(ex·x3)'=ex·(x3+3x2),显然函数exf (x)=ex·x3在( - ∞,+∞)上不单调,故③不符合要求;‎ 对于④,exf (x)=ex·(x2+2),故[exf (x)]'=[ex·(x2+2)]'=ex·(x2+2x+2)=ex·[(x+1)2+1]>0,故函数exf (x)=ex·(x2+2)在( - ∞,+∞)上为增函数,故④符合要求.‎ 综上,具有M性质的函数的序号为①④.‎ ‎5.B　由题图可知,直线OA的方程是y=2x;因为kAB=‎0 - 2‎‎3 - 1‎= - 1,所以直线AB的方程为y= - (x - 3)= - x+3.‎ 所以f (x)=‎2x,0≤x≤1,‎‎ - x+3,1

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