2019届二轮复习直线与圆的方程的应用课件（36张）（全国通用）
直线与圆的方程的应用
抗日战争时期，虎子担任我军的交通员，在一次送情报中，遇上一个鬼子兵的追捕．当虎子跑到一个大的圆形池塘边时，鬼子兵看着无路可走的虎子就猛扑上去．虎子急中生智，纵身跳到池塘里．鬼子兵不会游泳，只好盯住虎子沿塘边跟着虎子跑动，打算在虎子爬上岸时抓住他．如果鬼子兵跑动的速度是虎子游泳速度的
2.5
倍，问虎子用怎样的方法才能摆脱鬼子兵的追捕？
通过直线与圆的方程，可以确定直线与圆、圆和圆的位置关系，对于生产、生活实践以及平面几何中与直线和圆有关的问题，我们可以建立直角坐标系，通过直线与圆的方程，将其转化为代数问题来解决
.
对此，我们必须掌握此类解决问题的基本思想和方法
.
一般地
,
已知直线
Ax+By+C=0(A,B
不同时为零
)
和圆
(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
,
则圆心
(a,b)
到此直线的距离为
d
r
d
与
r
的大小关系
2
个
1
个
0
个
交点个数
图形
相交
相切
相离
位置
r
d
r
d
r
d
则
求圆心坐标及半径
r
（配方法）
圆心到直线的距离
d
（点到直线距离公式）
消去
y
几何方法
代数方法
判断直线和圆的位置关系
1.
理解直线与圆的位置关系的几何性质
.
（重点）
2.
利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系
.
（难点）
3.
会用“数形结合”的数学思想解决问题．
知识探究：直线与圆的方程在实际生活中的应用
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西
70 km
处，受影响的范围是半径长为
30km
的圆形区域
.
已知港口位于台风中心正北
40 km
处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
轮船
港口
台风
思考
1:
解决这个问题的本质是什么？
思考
2:
你有什么办法判断轮船航线是否经过台风圆域？
解：
以台风中心为原点，
东西方向为
x
轴，建立
如图所示的直角坐标系，
（其中，取
10 km
为单位
长度）这样，受台风影响
的圆形区域所对应的圆
Ｏ方程为
轮船航线所在直线
L
的方程为
4x+7y-28=0
问题归结为圆Ｏ与直线
L
有无公共点的问题
.
.
x
O
y
港口
.
轮船
例
1.
如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图
.
这个圆的圆拱跨度
AB=20m
，拱高
OP=4m
，建造时每间隔
4m
需要用一根支柱支撑，求支柱
A
2
P
2
的高度（精确到
0.01m
）
.
A
B
A
1
A
2
A
3
A
4
O
P
P
2
知识应用
分析：
建立如图所示
的直角坐标系，把实
际问题转化为数学问
题
——
求出圆拱桥所
在的圆的方程；然后解决这个实际问题
——
利用圆的方程求出点
P
2
的坐标，从而求线段
A
2
P
2
的长，解释实际意义
——
圆拱形桥支柱的高
A
2
P
2
.
A
B
A
1
A
2
A
3
A
4
O
P
P
2
y
x
解：
建立如图所示的
直角坐标系，使圆心
在
y
轴上，设圆心的
坐标是（
0
，
b
），圆
的半径为
r
，那么圆的方程为：
x
2
＋（
y
－
b
）
2
＝
r
2
，
点
P
（
0,4
），
B
（
10,0
）在圆上，所以有
A
B
A
1
A
2
A
3
A
4
O
P
P
2
y
x
解得：
所以，圆的方程为：
把 的横坐标 代入
圆的方程得：
由题可知
y
＞
0
，解得：
y≈3.86(m)
答：支柱
A
2
P
2
的高度约为
3.86 m.
思考：
不建立坐标系
,
如何解决这个问题
?
C
B
作
即
得
在
中，
得
又
在
中
所以支柱
A
2
P
2
的高度约是
3.86m.
解法如下
C
H
B
某
次生产中，一个圆形的零件损坏了，只剩下了如图所示的一部分．现在陈
师傅
所在的车间准备重新做一个这样的零件，为了获得这个圆形零件的半径，陈
师傅
在零件上画了一条线段
AB
，并作出了
AB
的垂直平分线
MN
，而且测得
AB
＝
8
cm
，
MN
＝
2
cm
．根据已有数据，试帮陈
师傅
求出这个零件的半径．
A
B
N
M
┐
【
变式练习
】
解：
以
AB
中点
M
为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，由已知有
A
(
－
4
，
0
)
，
B
(
4
，
0
)
，
N
(
0
，
2
)
．
设过
A
，
B
，
N
的圆的方程为
x
2
＋
y
2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝
0
，
代入
A
，
B
，
N
的坐标，可得
解得
A
B
N
M
┐
x
y
因此所求圆的方程为
x
2
＋
y
2
＋
6y
－
16
＝
0
，
化为标准方程是
x
2
＋
(y
＋
3)
2
＝
5
2
，
所
以
这个零件的半径为
5
cm
．
A
B
N
M
┐
x
y
例
2
．已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，
求证圆心到一边的距离等于这条边所对边长的
一半
.
探究
:
解决
平面几何问题常利用“坐标法”，首先要考虑的问题是建立适当的直角坐标系，关键是如何选取坐标系？
x
y
O
如图所示
探究：
如图所示，设四边形的四个顶点分别为
A(a
，
0)
，
B(0
，
b)
，
C(c
，
0)
，
D(0
，
d)
，那么
BC
边的长为多少？
y
A
B
C
D
M
x
O
E
探究：
四边形
ABCD
的外接圆圆心
O′
的坐标如何表示？
O'
A
B
C
D
x
y
O
E
N
M
过四边形外接圆的圆心
O′
分别作
AC
、
BD
、
AD
的垂线，垂足为
M
、
N
、
E
，则
M
、
N
、
E
分别为
AC
、
BD
、
AD
的中点，由中点坐标公式，有：
证明：
以四边形
ABCD
互相垂直的对角线
CA
、
BD
所在直线分别为
x
轴、
y
轴，建立如图所示的直角坐标系，设
A
（
a
，
0
），
B
（
0
，
b
），
C
（
c
，
0
），
D
（
0
，
d
），过四边形外接圆的圆心 分别作
AC
、
BD
、
AD
的垂线，垂足为
M
、
N
、
E
，则
M
、
N
、
E
分别为
AC
、
BD
、
AD
的中点，
第一步
:
建立坐标系，用坐标表示有关的量
.
O'
A
B
C
D
x
y
O
E
N
M
由中点坐标公式，有：
第二步
:
进行有关代数运算
由两点间的距离公式，有：
所以
即圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半
.
第三步
:
把代数运算结果翻译成几何关系
.
利用“坐标法”解决平面问题的“三步曲”：
第一步：
建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问
题
中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题．
第二步：
通过代数运算，解决代数问题．
第三步：
把代数运算结果“翻译”成几何结论．
【
提升总结
】
【
变式练习
】
1.
直线y=kx+3与圆（x-3）
2
+（y-2）
2
=4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取范围是
（ ）
A. B.
C. D.
A
2.
若⊙
O
1
：
x
2
+y
2
=5
与⊙
O
2
：（
x-5
）
2
+y
2
=20
（
m∈R
）
相交于
A
、
B
两点，且两圆在点
A
处的切线互相垂直，
则线段
AB
的长度是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
D
解：
选
D.
由题意作出图形
分析得：由圆的几何性质
两圆在点
A
处的切线互相垂
直，且过对方圆心
C
2
,C
1
．
则在
Rt△C
2
AC
1
中，
|C
1
A|=
，
|C
2
A
|=
，
斜边上的高为半弦，
用等积法易得
：
⇒
分析：
从圆与圆的位置关系、点到直线的距离以及
直线与圆的位置关系角度处理
.
1.
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系
,
用坐标和方程表示问题中的几何元素
,
将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算
,
解决代数问题；
第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论
.
2.
对于直线和圆
,
熟记各种定义、基本公式、法则
固然重要
,
但要做到迅速、准确地解题
,
还必须掌握一些方法和技巧
.
