【数学】2020届一轮复习人教B版已知不等恒成立，分离参数定最值学案

【数学】2020届一轮复习人教B版已知不等恒成立，分离参数定最值学案

‎【题型综述】‎ 不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：①分离参数＋函数最值；②直接化为最值＋分类讨论；③缩小范围＋证明不等式；④分离函数＋数形结合。分类参数的优势在于所得函数不含参数，缺点在于函数结构复杂，一般是函数的积与商，因为结构复杂，导函数可能也是超越函数，则需要多次求导，也有可能不存在最值，故需要求极限，会用到传说中的洛必达法则求极限（超出教大纲要求）；直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的同性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。缩小参数范围优点是函数结构简单，分类范围较小，分类情况较少，难点在于寻找特殊值，并且这种解法并不流行，容易被误判。分离函数主要针对选择填空题。因为图形难以从微观层面解释清楚图像的交点以及图像的高低，这要涉及到图像的连续性以及凸凹性。还有在构作函数图像时，实际上是从特殊到一般，由特殊几点到整个函数图像，实际是一种猜测。 俗话说，形缺数时难入微。‎ ‎【典例指引】‎ 例1 己知函数.‎ ‎（1）若函数在处取得极值，且，求；‎ ‎（2）若，且函数在上单调递増，求的取值范围.‎ 法二（直接化为最值＋分类讨论）：令，.令，‎ ‎①当时，，所以，即在上单调递减.而，与在上恒成立相矛盾.‎ ‎②当时，则开口向上 ‎(方案一）：Ⅰ.若，即时，,即，所以在上递增，所以，即.‎ Ⅱ.若，即时，此时，不合题意.‎ 法三（缩小范围＋证明不等式）：令，则.‎ 另一方面，当时，则有，令，开口向上，对称轴，故在上为增函数，所以在上为增函数，则，故适合题意.&‎ 例2. (2016全国新课标Ⅱ文20)己知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.‎ 法二（直接化为最值）：在恒成立，则 (导函数为超越函数）；在为增函数，则（1）当即时，则(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.‎ ‎（2）当即 时，则，且，故在有唯一实根，则在为减函数，在增函数，又有，则存在,使得，故不适合题意.综上，实数的取值范围为.&‎ 法三（分离参数）：在恒成立在恒成立（端点自动成立），则设，令 在为增函数，则在为增函数，又因，故实数的取值范围为 法四（缩小范围）：在恒成立，且，则存在，使得在上为增函数在上恒成立，令.‎ 又当时，在为增函数，则(当且仅当(当且仅当时，取“”)，故在为增函数，则有，故在恒成立，故适合题意.‎ 综上，实数的取值范围为.&‎ 点评：当端点刚好适合题意时，则分离参数法一般会用到传说中的洛必达法则，缩小范围则可利用端点值导数符号来求出参数范围。这两种转化方式都有超出教大纲要求的嫌疑。‎ ‎2.(重庆市2015届一诊理20)已知曲线在点处的切线的斜率为1；‎ ‎（1）若函数在上为减函数，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ 当时，在上单减，上单增，而，矛盾；‎ 综上，.‎ 法二（分离参数）在上恒成立（端点自动成立）‎ 设，令 在上为减函数，则在上为减函数，又因，故实数的取值范围为 ‎（2）若时，则，故在上单减，上单增，而，矛盾；&‎ 综上，实数的取值范围为 点评：（1)在端点处恰好适合题意，分离参数所得函数却在时得到下确界，值得留意.‎ ‎（2）缩小范围所得参数范围不一定恰好具有充分性，则需要分类讨论，这时可以减少分类的层级数，缩短解题步骤。‎ ‎ （3）构造反例，寻找合适的特殊值，具有很强的技巧性。因函数分解为二次函数与对数函数之和，故构造特殊值的反例时可以分别考虑二次函数与对数函数的零点，对数函数的零点为，而二次函数的零点为及，又知当时，零点，故易得，从而导出矛盾。‎ ‎【扩展链接】‎ 洛必达法则简介：‎ 法则1 若函数和满足下列条件：（1) 及；（2）在点的去心邻域内，与可导，且；（3），那么.‎ 法则2 若函数和满足下列条件：（1) 及；（2），和在与上可导，且；（3），那么.‎ 法则3 若函数和满足下列条件：（1) 及；（2）在点的去心邻域内，与可导且；（3），那么.‎ 利用洛必达法则求未定式的极限是微分中的重点之一，在解题中应注意：‎ ‎①将上面公式中的换成洛必达法则也成立。‎ ‎②洛必达法则可处理型。‎ ‎③在着手求极限以前，首先要检查是否满足型定式，否则滥用洛必达法则会 出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。‎ ‎④若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。‎