2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章5.7 三角函数的应用
5.7 三角函数的应用
学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象
的重要函数模型．
知识点一 三角函数的应用
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周
期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验．
知识点二 函数 y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
预习小测 自我检验
1．函数 y＝3sin
1
2
x－π
6 的初相为________．
答案 －
π
6
2．某人的血压满足函数式 f(t)＝24sin 160πt＋110，其中 f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单
位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________．
答案 80
3．电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I＝5sin
100πt＋π
3 ，则当 t＝ 1
200
时，电流为____ A.
答案
5
2
4．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要______ s往返一次．
答案 0.8
解析 观察图象可知，此简谐运动的周期 T＝0.8，所以这个简谐运动需要 0.8 s往返一次．
一、三角函数在物理中的应用
例 1 已知电流 I与时间 t的关系为 I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是 I＝Asin(ωt＋φ)
ω>0，|φ|<π
2 在一个周期内的图象，根据图中数据求 I＝
Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果 t在任意一段
1
150
的时间内，电流 I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的
最小正整数值是多少？
解 (1)由题图可知 A＝300，设 t1＝－
1
900
，t2＝
1
180
，
则周期 T＝2(t2－t1)＝2
1
180
＋
1
900 ＝
1
75
.
∴ω＝2π
T
＝150π.
又当 t＝ 1
180
时，I＝0，即 sin
150π· 1
180
＋φ
＝0，
而|φ|<π
2
，∴φ＝π
6
.
故所求的解析式为 I＝300sin
150πt＋π
6 .
(2)依题意知，周期 T≤ 1
150
，即
2π
ω
≤
1
150
(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
反思感悟 处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与
对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练 1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位
置的位移 S(单位：cm)与时间 t(单位：s)的函数关系是 S＝6sin
2πt＋π
6 .
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即 t＝0)时，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)周期 T＝2π
2π
＝1(s)．
列表：
t 0
1
6
5
12
2
3
11
12
1
2πt＋π
6
π
6
π
2
π
3π
2
2π 2π＋π
6
6sin
2πt＋π
6
3 6 0 －6 0 3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(即 t＝0)时，离开平衡位置为 3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是 6 cm.
③小球来回摆动一次需要 1 s(即周期)．
二、三角函数在生活中的应用
例 2 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图
象．某年 2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在 14时，最高温度为 14℃；最低温度出
现在凌晨 2时，最低温度为零下 2℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午 9时某高中将举行期末考试，如果温度低于 10℃，教室就要开空调，请问届时
学校后勤应该开空调吗？
解 (1)由题意知
A＋b＝14，
－A＋b＝－2，
解得
A＝8，
b＝6，
易知
T
2
＝14－2，所以 T＝24，所以ω＝ π
12
，
易知 8sin
π
12
×2＋φ
＋6＝－2，
即 sin
π
12
×2＋φ
＝－1，
故
π
12
×2＋φ＝－
π
2
＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－
2π
3
，
所以 y＝8sin
π
12
x－2π
3 ＋6(x∈[0,24))．
(2)当 x＝9时，y＝8sin
π
12
×9－2π
3 ＋6
＝8sin π
12
＋6<8sin π
6
＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调．
反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤
跟踪训练 2 已知某地一天从 4～16时的温度变化曲线近似满足函数 y＝10sin
π
8
x－5π
4 ＋20，
x∈[4,16]．
(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在 15℃到 25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长
时间？
解 (1)当 x＝14时函数取最大值，此时最高温度为 30℃，
当 x＝6时函数取最小值，此时最低温度为 10℃，
所以最大温差为 30℃－10℃＝20℃.
(2)令 10sin
π
8
x－5π
4 ＋20＝15，
得 sin
π
8
x－5π
4 ＝－
1
2
，
而 x∈[4,16]，所以 x＝26
3
.
令 10sin
π
8
x－5π
4 ＋20＝25，
得 sin
π
8
x－5π
4 ＝
1
2
，
而 x∈[4,16]，所以 x＝34
3
.
当 x∈
26
3
，
34
3 时，
π
8
x－5π
4
∈
－
π
6
，
π
6 ，
所以 y在
26
3
，
34
3 上单调递增．
故该细菌能存活的最长时间为
34
3
－
26
3
＝
8
3
小时．
1.如图所示的是一个单摆，以平衡位置 OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间 t(s)满
足函数关系式θ＝1
2
sin
2t＋π
2 ，则当 t＝0时角θ的大小，及单摆的频率是( )
A.1
2
，
1
π
B．2，1
π
C.1
2
，π D．2，π
答案 A
解析 当 t＝0时，θ＝1
2
sin π
2
＝
1
2
，由函数解析式易知单摆的周期为
2π
2
＝π，故单摆的频率为
1
π
.
2．在两个弹簧上各有一个质量分别为 M1和 M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间 t(s)
离开平衡位置的位移 s1(cm)和 s2(cm)分别由 s1＝5sin
2t＋π
6 ，s2＝10cos 2t确定，则当 t＝2π
3
s
时，s1与 s2的大小关系是( )
A．s1>s2 B．s1
0，ω>0))在一个周期内的图象，则
该函数解析式可以是( )
A．I＝300sin
50πt＋π
3
B．I＝300sin
50πt－π
3
C．I＝300sin
100πt＋π
3
D．I＝300sin
100πt－π
3
答案 C
解析 A＝300，T＝2
1
150
＋
1
300 ＝
1
50
，ω＝2π
T
＝100π，I＝300sin(100πt＋φ)．
代入点
－
1
300
，0
，得 100π×
－
1
300 ＋φ＝0，
取φ＝π
3
，∴I＝300sin
100πt＋π
3 .
4．如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为 0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在 0.1 s和 0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在 0.3 s和 0.7 s时的加速度为零
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在天文、物理学方面的应用
答案 D
解析 由图象及简谐运动的有关知识知 T＝0.8 s，A＝5 cm，当 t＝0.1 s及 t＝0.5 s时，v＝0，
故排除选项 A，B，C.
5．一根长 l cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm)
与时间 t(s)的函数关系式为 s＝3cos
g
l
t＋π
3 ，其中 g是重力加速度，当小球摆动的周期是 1
s时，线长 l＝________cm.
答案
g
4π2
解析 由已知得
2π
g
l
＝1，所以
g
l
＝2π，g
l
＝4π2，l＝ g
4π2
.
1．知识清单：
(1)三角函数在物理中的应用．
(2)三角函数在生活中的应用．
2．方法归纳：数学建模．
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过
1
2
周期后，乙的位置将移至
( )
A．x轴上 B．最低点 C．最高点 D．不确定
答案 C
解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点．
2.如图，某港口一天 6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数 y＝3sin
π
6
x＋φ
＋k.据此函数
可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
答案 C
解析 根据图象得函数的最小值为 2，
有－3＋k＝2，k＝5，最大值为 3＋k＝8.
3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数 F(t)＝50＋
4sin t
2
(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
答案 C
解析 由 2kπ－π
2
≤
t
2
≤2kπ＋π
2
，k∈Z，知函数 F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.
当 k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选 C.
4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上，按 f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋
b
A>0，ω>0，|φ|<π
2 的模型波动(x为月份)，已知 3月份达到最高价 9千元，7月份价格最低
为 5千元，根据以上条件可确定 f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝2sin
π
4
x－π
4 ＋7(1≤x≤12，x∈N*)
B．f(x)＝9sin
π
4
x－π
4 (1≤x≤12，x∈N*)
C．f(x)＝2 2sin π
4
x＋7(1≤x≤12，x∈N*)
D．f(x)＝2sin
π
4
x＋π
4 ＋7(1≤x≤12，x∈N*)
答案 A
解析 方法一 令 x＝3可排除 D，令 x＝7，可排除 B，
由 A＝9－5
2
＝2可排除 C.
方法二 由题意，可得 A＝9－5
2
＝2，b＝7.
周期 T＝2π
ω
＝2×(7－3)＝8.
∴ω＝π
4
.
∴f(x)＝2sin
π
4
x＋φ
＋7.
∵当 x＝3时，y＝9，∴2sin
3π
4
＋φ
＋7＝9.
即 sin
3π
4
＋φ
＝1.
∵|φ|<π
2
，∴φ＝－
π
4
.
∴f(x)＝2sin
π
4
x－π
4 ＋7(1≤x≤12，x∈N*)．
故选 A.
5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产
市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每
个季度的平均单价 y(每平方米的价格，单位：元)与第 x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)
＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
答案 C
解析 因为 y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，
所以当 x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；
当 x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，
所以ω可取
3π
2
，φ可取π，
即 y＝500sin
3π
2
x＋π
＋9 500.
当 x＝3时，y＝9 000.
6．某城市一年中 12个月的平均气温 y与月份 x的关系可近似地用函数 y＝a＋Acos
π
6
x－6
(x
＝1，2，3，…，12)来表示，已知 6 月份的月平均气温最高，为 28℃，12月份的月平均气
温最低，为 18℃，则 10月份的平均气温为________℃.
答案 20.5
解析 根据题意得
18＝a＋Acos
π
6
12－6
＝a－A，28＝a＋A，
解得 a＝23，A＝5，
所以 y＝23＋5cos
π
6
x－6
，
令 x＝10，
得 y＝23＋5cos
π
6
10－6
＝23＋5cos 2π
3
＝20.5.
7．如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度 h(米)在某天 0～24时的变化情况，则水
面高度 h关于时间 t的函数关系式为________．
答案 h＝－6sin π
6
t(0≤t≤24)
解析 设 h＝Asin(ωt＋φ)，
由图象知 A＝6，T＝12，
∴
2π
ω
＝12，得ω＝2π
12
＝
π
6
.
点(6,0)为五点法作图中的第一点，
故
π
6
×6＋φ＝0，得φ＝－π，
∴h＝6sin
π
6
t－π
＝－6sin π
6
t(0≤t≤24)．
8．如图是电流强度 I(单位：安)随时间 t(单位：秒)变化的函数 I＝Asin
ωt＋π
6 (A>0，ω>0)的
图象，则当 t＝ 1
50
秒时，电流强度是________安．
答案 5
解析 由图象可知，A＝10，
周期 T＝2×
4
300
－
1
300 ＝
1
50
，
所以ω＝2π
T
＝100π，
所以 I＝10sin
100πt＋π
6 .
当 t＝ 1
50
秒时，I＝10sin
2π＋π
6 ＝5(安)．
9．交流电的电压 E(单位：伏)与时间 t(单位：秒)的关系可用 E＝220 3sin
100πt＋π
6 来表示，
求：
(1)开始时的电压；
(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．
解 (1)当 t＝0时，E＝220 3sin π
6
＝110 3(伏)，
即开始时的电压为 110 3 伏．
(2)电压的最大值为 220 3 伏，
当 100πt＋π
6
＝
π
2
，即 t＝ 1
300
秒时第一次取得这个最大值．
10．如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要 12 分钟，其中心 O距离地面
40.5米，半径为 40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而
变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第 4次距离地面 60.5米时，用了多长时间？
考点 三角函数模型的应用
题点 三角函数在日常生活中的应用
解 (1)由已知可设 y＝40.5－40cos ωt，t≥0，
由周期为 12分钟可知，当 t＝6时，摩天轮第 1次到达最高点，即此函数第 1次取得最大值，
所以 6ω＝π，即ω＝π
6
，
所以 y＝40.5－40cos π
6
t(t≥0)．
(2)设转第 1圈时，第 t0分钟时距离地面 60.5米．
由 60.5＝40.5－40cos π
6
t0，得 cos π
6
t0＝－
1
2
，
所以
π
6
t0＝2π
3
或
π
6
t0＝4π
3
，
解得 t0＝4或 t0＝8，
所以 t＝8(分钟)时，第 2次距地面 60.5米，
故第 4次距离地面 60.5米时，用了 12＋8＝20(分钟)．
11.如图是一个半径为 3米的水轮，水轮的圆心 O距离水面 2米，已知水轮每分钟旋转 4圈，
水轮上的点 P到水面的距离 y(米)与时间 t(秒)满足关系式 y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则( )
A．ω＝15
2π
，A＝3 B．ω＝2π
15
，A＝3
C．ω＝2π
15
，A＝5 D．ω＝15
2π
，A＝5
答案 B
解析 由题意知 A＝3，ω＝2π×4
60
＝
2π
15
.
12．有一冲击波，其波形为函数 y＝－sin πx
2
的图象，若其在区间[0，t]上至少有 2个波峰，
则正整数 t的最小值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
13.如图所示，有一广告气球，直径为 6 m，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角
∠BAC＝30°时，测得气球的视角为 2°(若β(弧度)很小时，可取 sin β≈β)，试估算该气球的高
BC的值约为( )
A．70 m B．86 m C．102 m D．118 m
答案 B
解析 在 Rt△ADC中，CD＝3 m，sin∠CAD＝CD
AC
，
∴AC＝ CD
sin∠CAD
.①
∵∠CAD很小，1°＝ π
180
rad，
∴sin∠CAD＝ π
180
rad.②
在 Rt△ABC中，sin∠CAB＝sin 30°＝BC
AC
，③
∴由①②③得 BC≈86 m.
14．某时钟的秒针端点 A到中心点 O的距离为 5 cm，秒针均匀地绕点 O旋转，当时间 t＝0
时，点 A与钟面上标 12的点 B重合，若将 A，B两点的距离 d(cm)表示成时间 t(s)的函数，
则 d＝________，其中 t∈[0,60]．
答案 10sin πt
60
解析 秒针 1 s转 π
30
弧度，t s后秒针转了
π
30
t弧度，如图所示，sin πt
60
＝
d
2
5
，
所以 d＝10sin πt
60
.
15．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin
ωπt＋π
4 ＋60(美元)(A>0，ω>0)，
现采集到下列信息：最高油价 80 美元，当 t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为
________．
答案
1
120
解析 因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin
ωπt＋π
4 ＋60，最高油价 80
美元，
所以 A＝20.
当 t＝150(天)时达到最低油价，
即 sin
150ωπ＋π
4 ＝－1，
此时 150ωπ＋π
4
＝2kπ－π
2
，k∈Z，
因为ω>0，所以令 k＝1，
得 150ωπ＋π
4
＝2π－π
2
，
解得ω＝ 1
120
.
故ω的最小值为
1
120
.
16．某商品一年内出厂价格在 6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知 3月份达到最高价
格 8元，7 月份价格最低为 4 元，该商品在商店内的销售价格在 8元基础上按月份随正弦曲
线波动，5月份销售价格最高为 10元，9月份销售价格最低为 6元，假设商店每月购进这种
商品 m件，且当月销售完，你估计哪个月份盈利最大？
解 设出厂价波动函数为 y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)，
易知 A＝2，T1＝8，ω1＝
π
4
，
3π
4
＋φ1＝
π
2
⇒φ1＝－
π
4
，
所以 y1＝6＋2sin
π
4
x－π
4 .
设销售价波动函数为 y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)，
易知 B＝2，T2＝8，ω2＝
π
4
，
5π
4
＋φ2＝
π
2
⇒φ2＝－
3π
4
，
所以 y2＝8＋2sin
π
4
x－3π
4 .
每件盈利 y＝y2－y1
＝ 8＋2sin
π
4
x－3π
4 － 6＋2sin
π
4
x－π
4
＝2－2 2sin π
4
x，
当 sin π
4
x＝－1，即
π
4
x＝2kπ－π
2
(k∈Z)，
x＝8k－2(k∈Z)时，
y取最大值．
当 k＝1，即 x＝6时，y最大．
所以估计 6月份盈利最大．
