2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章5.7 三角函数的应用

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2020年高中数学新教材同步必修第一册 第5章5.7 三角函数的应用

5.7 三角函数的应用 学习目标 1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.2.体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型. 知识点一 三角函数的应用 1.三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周 期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用. 2.用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验. 知识点二 函数 y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义 预习小测 自我检验 1.函数 y=3sin 1 2 x-π 6 的初相为________. 答案 - π 6 2.某人的血压满足函数式 f(t)=24sin 160πt+110,其中 f(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单 位:min),则此人每分钟心跳的次数为________. 答案 80 3.电流 I(A)随时间 t(s)变化的关系式是 I=5sin 100πt+π 3 ,则当 t= 1 200 时,电流为____ A. 答案 5 2 4.如图为某简谐运动的图象,则这个简谐运动需要______ s往返一次. 答案 0.8 解析 观察图象可知,此简谐运动的周期 T=0.8,所以这个简谐运动需要 0.8 s往返一次. 一、三角函数在物理中的应用 例 1 已知电流 I与时间 t的关系为 I=Asin(ωt+φ). (1)如图所示的是 I=Asin(ωt+φ) ω>0,|φ|<π 2 在一个周期内的图象,根据图中数据求 I= Asin(ωt+φ)的解析式; (2)如果 t在任意一段 1 150 的时间内,电流 I=Asin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的 最小正整数值是多少? 解 (1)由题图可知 A=300,设 t1=- 1 900 ,t2= 1 180 , 则周期 T=2(t2-t1)=2 1 180 + 1 900 = 1 75 . ∴ω=2π T =150π. 又当 t= 1 180 时,I=0,即 sin 150π· 1 180 +φ =0, 而|φ|<π 2 ,∴φ=π 6 . 故所求的解析式为 I=300sin 150πt+π 6 . (2)依题意知,周期 T≤ 1 150 ,即 2π ω ≤ 1 150 (ω>0), ∴ω≥300π>942,又ω∈N*, 故所求最小正整数ω=943. 反思感悟 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与 对应的三角函数知识结合解题. 跟踪训练 1 一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位 置的位移 S(单位:cm)与时间 t(单位:s)的函数关系是 S=6sin 2πt+π 6 . (1)画出它的图象; (2)回答以下问题: ①小球开始摆动(即 t=0)时,离开平衡位置是多少? ②小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少? ③小球来回摆动一次需要多少时间? 解 (1)周期 T=2π 2π =1(s). 列表: t 0 1 6 5 12 2 3 11 12 1 2πt+π 6 π 6 π 2 π 3π 2 2π 2π+π 6 6sin 2πt+π 6 3 6 0 -6 0 3 描点画图: (2)①小球开始摆动(即 t=0)时,离开平衡位置为 3 cm. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是 6 cm. ③小球来回摆动一次需要 1 s(即周期). 二、三角函数在生活中的应用 例 2 通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数 y=Asin(ωx+φ)+b的图 象.某年 2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在 14时,最高温度为 14℃;最低温度出 现在凌晨 2时,最低温度为零下 2℃. (1)求出该地区该时段的温度函数 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,x∈[0,24))的表达式; (2)29日上午 9时某高中将举行期末考试,如果温度低于 10℃,教室就要开空调,请问届时 学校后勤应该开空调吗? 解 (1)由题意知 A+b=14, -A+b=-2, 解得 A=8, b=6, 易知 T 2 =14-2,所以 T=24,所以ω= π 12 , 易知 8sin π 12 ×2+φ +6=-2, 即 sin π 12 ×2+φ =-1, 故 π 12 ×2+φ=- π 2 +2kπ,k∈Z, 又|φ|<π,得φ=- 2π 3 , 所以 y=8sin π 12 x-2π 3 +6(x∈[0,24)). (2)当 x=9时,y=8sin π 12 ×9-2π 3 +6 =8sin π 12 +6<8sin π 6 +6=10. 所以届时学校后勤应该开空调. 反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤 跟踪训练 2 已知某地一天从 4~16时的温度变化曲线近似满足函数 y=10sin π 8 x-5π 4 +20, x∈[4,16]. (1)求该地这一段时间内温度的最大温差; (2)若有一种细菌在 15℃到 25℃之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存多长 时间? 解 (1)当 x=14时函数取最大值,此时最高温度为 30℃, 当 x=6时函数取最小值,此时最低温度为 10℃, 所以最大温差为 30℃-10℃=20℃. (2)令 10sin π 8 x-5π 4 +20=15, 得 sin π 8 x-5π 4 =- 1 2 , 而 x∈[4,16],所以 x=26 3 . 令 10sin π 8 x-5π 4 +20=25, 得 sin π 8 x-5π 4 = 1 2 , 而 x∈[4,16],所以 x=34 3 . 当 x∈ 26 3 , 34 3 时, π 8 x-5π 4 ∈ - π 6 , π 6 , 所以 y在 26 3 , 34 3 上单调递增. 故该细菌能存活的最长时间为 34 3 - 26 3 = 8 3 小时. 1.如图所示的是一个单摆,以平衡位置 OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间 t(s)满 足函数关系式θ=1 2 sin 2t+π 2 ,则当 t=0时角θ的大小,及单摆的频率是( ) A.1 2 , 1 π B.2,1 π C.1 2 ,π D.2,π 答案 A 解析 当 t=0时,θ=1 2 sin π 2 = 1 2 ,由函数解析式易知单摆的周期为 2π 2 =π,故单摆的频率为 1 π . 2.在两个弹簧上各有一个质量分别为 M1和 M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间 t(s) 离开平衡位置的位移 s1(cm)和 s2(cm)分别由 s1=5sin 2t+π 6 ,s2=10cos 2t确定,则当 t=2π 3 s 时,s1与 s2的大小关系是( ) A.s1>s2 B.s10,ω>0))在一个周期内的图象,则 该函数解析式可以是( ) A.I=300sin 50πt+π 3 B.I=300sin 50πt-π 3 C.I=300sin 100πt+π 3 D.I=300sin 100πt-π 3 答案 C 解析 A=300,T=2 1 150 + 1 300 = 1 50 ,ω=2π T =100π,I=300sin(100πt+φ). 代入点 - 1 300 ,0 ,得 100π× - 1 300 +φ=0, 取φ=π 3 ,∴I=300sin 100πt+π 3 . 4.如图是一个简谐运动的图象,则下列判断正确的是( ) A.该质点的振动周期为 0.7 s B.该质点的振幅为-5 cm C.该质点在 0.1 s和 0.5 s时的振动速度最大 D.该质点在 0.3 s和 0.7 s时的加速度为零 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在天文、物理学方面的应用 答案 D 解析 由图象及简谐运动的有关知识知 T=0.8 s,A=5 cm,当 t=0.1 s及 t=0.5 s时,v=0, 故排除选项 A,B,C. 5.一根长 l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移 s(cm) 与时间 t(s)的函数关系式为 s=3cos g l t+π 3 ,其中 g是重力加速度,当小球摆动的周期是 1 s时,线长 l=________cm. 答案 g 4π2 解析 由已知得 2π g l =1,所以 g l =2π,g l =4π2,l= g 4π2 . 1.知识清单: (1)三角函数在物理中的应用. (2)三角函数在生活中的应用. 2.方法归纳:数学建模. 1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,经过 1 2 周期后,乙的位置将移至 ( ) A.x轴上 B.最低点 C.最高点 D.不确定 答案 C 解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期,故乙移至最高点. 2.如图,某港口一天 6时到 18时的水深变化曲线近似满足函数 y=3sin π 6 x+φ +k.据此函数 可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 答案 C 解析 根据图象得函数的最小值为 2, 有-3+k=2,k=5,最大值为 3+k=8. 3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数 F(t)=50+ 4sin t 2 (t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的?( ) A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20] 答案 C 解析 由 2kπ-π 2 ≤ t 2 ≤2kπ+π 2 ,k∈Z,知函数 F(t)的增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z. 当 k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15]⊆[3π,5π],故选 C. 4.据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在 7 千元的基础上,按 f(x)=Asin(ωx+φ)+ b A>0,ω>0,|φ|<π 2 的模型波动(x为月份),已知 3月份达到最高价 9千元,7月份价格最低 为 5千元,根据以上条件可确定 f(x)的解析式为( ) A.f(x)=2sin π 4 x-π 4 +7(1≤x≤12,x∈N*) B.f(x)=9sin π 4 x-π 4 (1≤x≤12,x∈N*) C.f(x)=2 2sin π 4 x+7(1≤x≤12,x∈N*) D.f(x)=2sin π 4 x+π 4 +7(1≤x≤12,x∈N*) 答案 A 解析 方法一 令 x=3可排除 D,令 x=7,可排除 B, 由 A=9-5 2 =2可排除 C. 方法二 由题意,可得 A=9-5 2 =2,b=7. 周期 T=2π ω =2×(7-3)=8. ∴ω=π 4 . ∴f(x)=2sin π 4 x+φ +7. ∵当 x=3时,y=9,∴2sin 3π 4 +φ +7=9. 即 sin 3π 4 +φ =1. ∵|φ|<π 2 ,∴φ=- π 4 . ∴f(x)=2sin π 4 x-π 4 +7(1≤x≤12,x∈N*). 故选 A. 5.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产 市场产生了影响,青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测:发现每 个季度的平均单价 y(每平方米的价格,单位:元)与第 x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ) +9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如下表所示: x 1 2 3 y 10 000 9 500 ? 则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( ) A.10 000元 B.9 500元 C.9 000元 D.8 500元 答案 C 解析 因为 y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0), 所以当 x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000; 当 x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500, 所以ω可取 3π 2 ,φ可取π, 即 y=500sin 3π 2 x+π +9 500. 当 x=3时,y=9 000. 6.某城市一年中 12个月的平均气温 y与月份 x的关系可近似地用函数 y=a+Acos π 6 x-6 (x =1,2,3,…,12)来表示,已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃,12月份的月平均气 温最低,为 18℃,则 10月份的平均气温为________℃. 答案 20.5 解析 根据题意得 18=a+Acos π 6 12-6 =a-A,28=a+A, 解得 a=23,A=5, 所以 y=23+5cos π 6 x-6 , 令 x=10, 得 y=23+5cos π 6 10-6 =23+5cos 2π 3 =20.5. 7.如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度 h(米)在某天 0~24时的变化情况,则水 面高度 h关于时间 t的函数关系式为________. 答案 h=-6sin π 6 t(0≤t≤24) 解析 设 h=Asin(ωt+φ), 由图象知 A=6,T=12, ∴ 2π ω =12,得ω=2π 12 = π 6 . 点(6,0)为五点法作图中的第一点, 故 π 6 ×6+φ=0,得φ=-π, ∴h=6sin π 6 t-π =-6sin π 6 t(0≤t≤24). 8.如图是电流强度 I(单位:安)随时间 t(单位:秒)变化的函数 I=Asin ωt+π 6 (A>0,ω>0)的 图象,则当 t= 1 50 秒时,电流强度是________安. 答案 5 解析 由图象可知,A=10, 周期 T=2× 4 300 - 1 300 = 1 50 , 所以ω=2π T =100π, 所以 I=10sin 100πt+π 6 . 当 t= 1 50 秒时,I=10sin 2π+π 6 =5(安). 9.交流电的电压 E(单位:伏)与时间 t(单位:秒)的关系可用 E=220 3sin 100πt+π 6 来表示, 求: (1)开始时的电压; (2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间. 解 (1)当 t=0时,E=220 3sin π 6 =110 3(伏), 即开始时的电压为 110 3 伏. (2)电压的最大值为 220 3 伏, 当 100πt+π 6 = π 2 ,即 t= 1 300 秒时第一次取得这个最大值. 10.如图所示,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转一圈需要 12 分钟,其中心 O距离地面 40.5米,半径为 40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而 变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请解答下列问题: (1)求出你与地面的距离 y(米)与时间 t(分钟)的函数关系式; (2)当你第 4次距离地面 60.5米时,用了多长时间? 考点 三角函数模型的应用 题点 三角函数在日常生活中的应用 解 (1)由已知可设 y=40.5-40cos ωt,t≥0, 由周期为 12分钟可知,当 t=6时,摩天轮第 1次到达最高点,即此函数第 1次取得最大值, 所以 6ω=π,即ω=π 6 , 所以 y=40.5-40cos π 6 t(t≥0). (2)设转第 1圈时,第 t0分钟时距离地面 60.5米. 由 60.5=40.5-40cos π 6 t0,得 cos π 6 t0=- 1 2 , 所以 π 6 t0=2π 3 或 π 6 t0=4π 3 , 解得 t0=4或 t0=8, 所以 t=8(分钟)时,第 2次距地面 60.5米, 故第 4次距离地面 60.5米时,用了 12+8=20(分钟). 11.如图是一个半径为 3米的水轮,水轮的圆心 O距离水面 2米,已知水轮每分钟旋转 4圈, 水轮上的点 P到水面的距离 y(米)与时间 t(秒)满足关系式 y=Asin(ωt+φ)+2,则( ) A.ω=15 2π ,A=3 B.ω=2π 15 ,A=3 C.ω=2π 15 ,A=5 D.ω=15 2π ,A=5 答案 B 解析 由题意知 A=3,ω=2π×4 60 = 2π 15 . 12.有一冲击波,其波形为函数 y=-sin πx 2 的图象,若其在区间[0,t]上至少有 2个波峰, 则正整数 t的最小值是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 C 13.如图所示,有一广告气球,直径为 6 m,放在公司大楼上空,当行人仰望气球中心的仰角 ∠BAC=30°时,测得气球的视角为 2°(若β(弧度)很小时,可取 sin β≈β),试估算该气球的高 BC的值约为( ) A.70 m B.86 m C.102 m D.118 m 答案 B 解析 在 Rt△ADC中,CD=3 m,sin∠CAD=CD AC , ∴AC= CD sin∠CAD .① ∵∠CAD很小,1°= π 180 rad, ∴sin∠CAD= π 180 rad.② 在 Rt△ABC中,sin∠CAB=sin 30°=BC AC ,③ ∴由①②③得 BC≈86 m. 14.某时钟的秒针端点 A到中心点 O的距离为 5 cm,秒针均匀地绕点 O旋转,当时间 t=0 时,点 A与钟面上标 12的点 B重合,若将 A,B两点的距离 d(cm)表示成时间 t(s)的函数, 则 d=________,其中 t∈[0,60]. 答案 10sin πt 60 解析 秒针 1 s转 π 30 弧度,t s后秒针转了 π 30 t弧度,如图所示,sin πt 60 = d 2 5 , 所以 d=10sin πt 60 . 15.国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律:P=Asin ωπt+π 4 +60(美元)(A>0,ω>0), 现采集到下列信息:最高油价 80 美元,当 t=150(天)时达到最低油价,则ω的最小值为 ________. 答案 1 120 解析 因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律:P=Asin ωπt+π 4 +60,最高油价 80 美元, 所以 A=20. 当 t=150(天)时达到最低油价, 即 sin 150ωπ+π 4 =-1, 此时 150ωπ+π 4 =2kπ-π 2 ,k∈Z, 因为ω>0,所以令 k=1, 得 150ωπ+π 4 =2π-π 2 , 解得ω= 1 120 . 故ω的最小值为 1 120 . 16.某商品一年内出厂价格在 6元的基础上按月份随正弦曲线波动,已知 3月份达到最高价 格 8元,7 月份价格最低为 4 元,该商品在商店内的销售价格在 8元基础上按月份随正弦曲 线波动,5月份销售价格最高为 10元,9月份销售价格最低为 6元,假设商店每月购进这种 商品 m件,且当月销售完,你估计哪个月份盈利最大? 解 设出厂价波动函数为 y1=6+Asin(ω1x+φ1), 易知 A=2,T1=8,ω1= π 4 , 3π 4 +φ1= π 2 ⇒φ1=- π 4 , 所以 y1=6+2sin π 4 x-π 4 . 设销售价波动函数为 y2=8+Bsin(ω2x+φ2), 易知 B=2,T2=8,ω2= π 4 , 5π 4 +φ2= π 2 ⇒φ2=- 3π 4 , 所以 y2=8+2sin π 4 x-3π 4 . 每件盈利 y=y2-y1 = 8+2sin π 4 x-3π 4 - 6+2sin π 4 x-π 4 =2-2 2sin π 4 x, 当 sin π 4 x=-1,即 π 4 x=2kπ-π 2 (k∈Z), x=8k-2(k∈Z)时, y取最大值. 当 k=1,即 x=6时,y最大. 所以估计 6月份盈利最大.
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