北京市西城区2020届高三诊断性考试（5月）数学试题

北京市西城区2020届高三诊断性考试（5月）数学试题

西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试 数 学 2020.5‎ 第Ⅰ卷（选择题 共40分）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．‎ ‎01．设集合，，则=‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎02．若复数满足，则在复平面内对应的点位于 ‎（A）第一象限 ‎（B）第二象限 ‎（C）第三象限 ‎（D）第四象限 ‎03．下列函数中，值域为且区间上单调递增的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎04．抛物线的准线方程为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎05．在中，若，则其最大内角的余弦值为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎06．设，，，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎07．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ‎（A）6‎ ‎（B）4‎ ‎（C）3‎ ‎（D）2‎ ‎08．若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎09．若向量与不共线，则“”是“”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎10．设函数．若关于的不等式有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．‎ ‎11．设平面向量，满足，则____．‎ ‎12．若双曲线经过点，则该双曲线渐近线的方程为____．‎ ‎13．设函数，则函数的最小正周期为____；若对于任意，都有成立，则实数的最小值为____．‎ ‎14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，____．‎ 甲获奖 乙获奖 丙获奖 丁获奖 甲的猜测 ‎√‎ ‎×‎ ‎×‎ ‎√‎ 乙的猜测 ‎×‎ ‎○‎ ‎○‎ ‎√‎ 丙的猜测 ‎×‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎√‎ 丁的猜测 ‎○‎ ‎○‎ ‎√‎ ‎×‎ ‎15．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，分别是棱的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：‎ ‎①截面的面积等于；‎ ‎②截面是一个五边形；‎ ‎③截面只与四棱锥四条侧棱中的三条相交．‎ 其中，所有正确结论的序号是______．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，在几何体中，底面是边长为的正方形，平面，，且．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅱ）求钝二面角的余弦值．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 从①前项和，②，③且这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．‎ 在数列中，，_______，其中．‎ ‎（Ⅰ）求的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若成等比数列，其中，且，求的最小值．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：，，…，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ 企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于的种子定为“A级”，发芽率低于 但不低于的种子定为“B级”，发芽率低于的种子定为“C级”．‎ ‎（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；‎ ‎（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费元，以频率为概率，求的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线分别与直线交于点，，求的大小．‎ ‎20．（本小题满分15分）‎ 设函数，其中．‎ ‎（Ⅰ）已知函数为偶函数，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，证明：当时，；‎ ‎（Ⅲ）若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：‎ ‎①对任意，存在使得；‎ ‎②对任意，存在，使得（其中）．‎ ‎（Ⅰ）判断能否等于或；（结论不需要证明）．‎ ‎（Ⅱ）求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）研究是否存在最大值，若存在，求出的最大值；若不在在，说明理由．‎ 西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试 ‎ 数学参考答案 2020.5‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.‎ ‎1．C ‎2．A ‎ ‎3．B ‎4．D ‎ ‎5. A ‎6. B ‎7. D ‎8. A ‎9. A ‎10. D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. ‎ ‎11．‎ ‎12．‎ ‎13．，‎ ‎14．乙，丁 ‎15．② ③ ‎ 注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. ‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）因为，平面，平面， ‎ ‎ 所以平面. ……………… 3分 ‎ 同理，得平面.‎ ‎ 又因为，平面，平面，‎ ‎ 所以平面平面. ……………… 6分 ‎ ‎ （Ⅱ）由平面，底面为正方形，‎ A B C F ‎ E D y x z ‎ 得两两垂直，故分别以为轴，轴，轴，如图建立空间直角 坐标系， ……………… 7分 ‎ 则，，，，‎ ‎ 所以，. ……… 8分 ‎ 设平面的法向量，‎ ‎ 由，，得 ‎ 令，得. ………………11分 ‎ 平面的法向量.‎ ‎ 设钝二面角的平面角为， ‎ ‎ 则 ， ‎ ‎ 所以，即钝二面角的余弦值为. ……………… 14分 ‎ ‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 解：选择 ①： ‎ ‎ (Ⅰ) 当时，由，得. ……………… 2分 ‎ 当时，由题意，得， ……………… 3分 ‎ 所以（）. ……………… 5分 ‎ 经检验，符合上式，‎ ‎ 所以. ……………… 6分 ‎ (Ⅱ)由成等比数列，得， ……………… 8分 ‎ 即. ……………… 9分 ‎ 化简，得， ……………… 11分 ‎ 因为，是大于1的正整数，且， ‎ ‎ 所以当时，有最小值． ……………… 14分 选择 ②: ‎ ‎ (Ⅰ)因为，所以． ……………… 2分 ‎ 所以数列是公差的等差数列． ……………… 4分 ‎ 所以. ……………… 6分 ‎ (Ⅱ)由成等比数列，得， ……………… 8分 ‎ 即. ……………… 9分 ‎ 化简，得， ……………… 11分 ‎ 因为，是大于1的正整数，且， ‎ ‎ 所以当时，取到最小值6． ……………… 14分 ‎ 选择 ③： ‎ ‎ (Ⅰ) 由，得.‎ ‎ 所以数列是等差数列． ……………… 2分 又因为，，‎ 所以． ……………… 4分 所以. ……………… 6分 ‎(Ⅱ) 因为成等比数列，所以， ……………… 8分 ‎ 即. ……………… 9分 ‎ 化简，得， ……………… 11分 ‎ 因为，是大于1的正整数，且， ‎ ‎ 所以当时，有最小值． ……………… 14分 ‎ ‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）设事件为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C级”种子”，‎ ‎ ……………… 1分 ‎ 由图表，得，‎ ‎ 解得. ……………… 2分 ‎ ‎ 由图表，知“C级”种子的频率为， ………… 3分 ‎ 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C级”的概率为. ‎ ‎ 因为事件与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C级”种子”为对立事件，‎ 所以事件的概率. ……………… 5分 ‎ （Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A级”康乃馨的概率为，‎ ‎ 恰好是“B级”康乃馨的概率为，‎ ‎ 恰好是“C级”的概率为. ……………… 7分 ‎ 随机变量的可能取值有，，，，，‎ ‎ 且，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ . ……………… 9分 ‎ 所以的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ……………… 10分 ‎ 故的数学期望.‎ ‎ ……………… 11分 ‎ （Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分 M P A F N x y O Q ‎19．（本小题满分14分）‎ 解：（Ⅰ）由题意得 ‎ ‎ 解得，， …………… 3分 ‎ 从而， ‎ ‎ 所以椭圆的方程为． … 5分 ‎ （Ⅱ）当直线的斜率不存在时，有，，，，，‎ ‎ 则，，故，即． ………… 6分 ‎ 当直线的斜率存在时，设，其中． ……………… 7分 ‎ 联立 得． ……………… 8分 ‎ 由题意，知恒成立，‎ ‎ 设，，则，． ………… 9分 ‎ 直线的方程为． ……………… 10分 ‎ 令，得，即． ……………… 11分 ‎ 同理可得． ……………… 12分 ‎ 所以，．‎ ‎ 因为 ‎ ， 所以． ‎ ‎ 综上，. ……………… 14分 ‎20．（本小题满分15分）‎ 解：（Ⅰ）函数为偶函数，‎ ‎ 所以，即， ……………… 2分 ‎ 解得.‎ ‎ 验证知符合题意. ……………… 4分 ‎ （Ⅱ）. ……………… 6分 ‎ 由，得，， ……………… 7分 ‎ 则，即在上为增函数.‎ ‎ 故，即. ………………9 分 ‎（Ⅲ）由，得.‎ 设函数，， ……………… 10分 则. ……………… 11分 令，得. ‎ 随着变化，与的变化情况如下表所示： ‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎ 所以在上单调递增，在上单调递减. ……………… 13分 又因为，，，‎ 所以当时，方程在区间内有两个不同解，且在区间与上各有一个解.‎ 即所求实数的取值范围为. ……………… 15分 ‎21．（本小题满分14分）‎ 解：(Ⅰ) 可以等于，但不能等于. ……………… 3分 ‎(Ⅱ) 记为区间的长度，‎ ‎ 则区间的长度为，的长度为.‎ ‎ 由①，得. ……………… 6分 ‎ 又因为，，，显然满足条件①，②.‎ ‎ 所以的最小值为. ……………… 8分 ‎(Ⅲ) 的最大值存在，且为. ……………… 9分 ‎ 解答如下：‎ ‎ （1）首先，证明.‎ ‎ 由②,得互不相同，且对于任意，.‎ ‎ 不妨设.‎ 如果，那么对于条件②，当时，不存在，使得.‎ ‎ 这与题意不符，故. ……………… 10分 ‎ 如果，那么，‎ ‎ 这与条件②中“存在，使得”矛盾，‎ ‎ 故.‎ ‎ 所以，，，，‎ ‎ 则. ‎ ‎ 故.‎ ‎ 若存在，这与条件②中“存在，使得”矛盾，‎ ‎ 所以. ……………… 12分 ‎ （2）给出存在的例子 .‎ ‎ 令，其中，即为等差数列，公差.‎ ‎ 由，知，则易得，‎ ‎ 所以满足条件①.‎ ‎ 又公差，‎ ‎ 所以，.（注： ‎ 为区间的中点对应的数）‎ ‎ 所以满足条件②. ‎ ‎ 综合（1）（2）可知的最大值存在，且为. ……………… 14分