人教a版数学【选修1-1】作业：第二章《圆锥曲线与方程》章末检测（a）（含答案）

人教a版数学【选修1-1】作业：第二章《圆锥曲线与方程》章末检测（a）（含答案）

第二章 章末检测(A) (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．椭圆 x2＋my2＝1 的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值是( ) A.1 4 B.1 2 C．2 D．4 2．设椭圆x2 m2 ＋y2 n2 ＝1 (m>0，n>0)的右焦点与抛物线 y2＝8x 的焦点相同，离心率为1 2 ，则 此椭圆的方程为( ) A.x2 12 ＋y2 16 ＝1 B.x2 16 ＋y2 12 ＝1 C.x2 48 ＋y2 64 ＝1 D.x2 64 ＋y2 48 ＝1 3．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是 y＝ 3x，它的一个焦点在抛物 线 y2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x2 36 － y2 108 ＝1 B.x2 9 －y2 27 ＝1 C. x2 108 －y2 36 ＝1 D.x2 27 －y2 9 ＝1 4．P 是长轴在 x 轴上的椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 上的点，F1、F2 分别为椭圆的两个焦点，椭圆的 半焦距为 c，则|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差一定是( ) A．1 B．a2 C．b2 D．c2 5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双 曲线的标准方程为( ) A.x2 4 －y2 4 ＝1 B.y2 4 －x2 4 ＝1 C.y2 4 －x2 8 ＝1 D.x2 8 －y2 4 ＝1 6．设 a>1，则双曲线x2 a2 － y2 a＋12 ＝1 的离心率 e 的取值范围是( ) A．( 2，2) B．( 2， 5) C．(2,5) D．(2， 5) 7．过点 M(2,4)作直线与抛物线 y2＝8x 只有一个公共点，则这样的直线的条数是( ) A．1 B．2 C．3 D．0 8．设 F 为抛物线 y2＝4x 的焦距，A、B、C 为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0， 则FB→|＋|FB→|＋|FC→|等于( ) A．9 B．6 C．4 D．3 9．已知双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 (a>0，b>0)的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 60°的直线与 双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A．(1,2] B．(1,2) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 10．若动圆圆心在抛物线 y2＝8x 上，且动圆恒与直线 x＋2＝0 相切，则动圆必过定点 ( ) A．(4,0) B．(2,0) C．(0,2) D．(0，－2) 11．抛物线 y＝x2 上到直线 2x－y＝4 距离最近的点的坐标是( ) A.（3 2 ，5 4 ） B．(1,1) C. （3 2 ，9 4 ） D．(2,4) 12．已知椭圆 x2sin α－y2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在 y 轴上，则α的取值范围是( ) A.（3 4π，π） B.（π 4 ，π） C.（π 2 ，π） D.（π 2 ，3 4π） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．椭圆的两个焦点为 F1、F2，短轴的一个端点为 A，且三角形 F1AF2 是顶角为 120° 的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________． 14 ． 点 P(8,1) 平 分 双 曲 线 x2 － 4y2 ＝ 4 的 一 条 弦 ， 则 这 条 弦 所 在 直 线 的 方 程 是 ______________． 15．设椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2，线段 F1F2 被点（b 2 ，0）分 成 3∶1 的两段，则此椭圆的离心率为________． 16．对于曲线 C： x2 4－k ＋ y2 k－1 ＝1，给出下面四个命题： ①曲线 C 不可能表示椭圆； ②当 14； ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 1b>0)上的一点，F1、F2 为椭圆的两焦点， 若 PF1⊥PF2，试求： (1)椭圆的方程； (2)△PF1F2 的面积． 21.(12 分)已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，且|AB|＝5 2p， 求 AB 所在的直线方程． 22．(12 分)在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点(0，－ 3)、(0， 3)的距离之和等于 4， 设点 P 的轨迹为 C，直线 y＝kx＋1 与 C 交于 A、B 两点． (1)写出 C 的方程； （2）若OA→ ⊥OB→ ，求 k 的值． 第二章 圆锥曲线与方程(A) 答案 1．A [由题意可得 2 1 m ＝2×2，解得 m＝1 4.] 2．B [∵y2＝8x 的焦点为(2,0)， ∴x2 m2 ＋y2 n2 ＝1 的右焦点为(2,0)，∴m>n 且 c＝2. 又 e＝1 2 ＝2 m ，∴m＝4. ∵c2＝m2－n2＝4，∴n2＝12. ∴椭圆方程为x2 16 ＋y2 12 ＝1.] 3．B [抛物线 y2＝24x 的准线方程为 x＝－6， 故双曲线中 c＝6. ① 由双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1 的一条渐近线方程为 y＝ 3x，知b a ＝ 3， ② 且 c2＝a2＋b2.③ 由①②③解得 a2＝9，b2＝27. 故双曲线的方程为x2 9 －y2 27 ＝1，故选 B.] 4．D [由椭圆的几何性质得|PF1|∈[a－c，a＋c]， |PF1|＋|PF2|＝2a， 所以|PF1|·|PF2|≤ |PF1|＋|PF2| 2 2＝a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号． |PF1|·|PF2|＝|PF1|(2a－|PF1|) ＝－|PF1|2＋2a|PF1|＝－(|PF1|－a)2＋a2 ≥－c2＋a2＝b2， 所以|PF1|·|PF2|的最大值与最小值之差为 a2－b2＝c2.] 5．B [由于双曲线的顶点坐标为(0,2)，可知 a＝2， 且双曲线的标准方程为y2 4 －x2 b2 ＝1. 根据题意 2a＋2b＝ 2·2c，即 a＋b＝ 2c. 又 a2＋b2＝c2，且 a＝2， ∴解上述两个方程，得 b2＝4. ∴符合题意的双曲线方程为y2 4 －x2 4 ＝1.] 6．B [∵双曲线方程为x2 a2 － y2 a＋12 ＝1， ∴c＝ 2a2＋2a＋1. ∴e＝c a ＝ 2＋ 1 a2 ＋2 a ＝ 1 a ＋1 2＋1. 又∵a>1，∴0<1 a<1.∴1<1 a ＋1<2. ∴1< 1＋1 a 2<4.∴ 2 1 sin α>0. 又∵0≤α<2π，∴π 2<α<3π 4 .] 13. 3 2 解析 由已知得∠AF1F2＝30°，故 cos 30°＝c a ，从而 e＝ 3 2 . 14．2x－y－15＝0 解析 设弦的两个端点分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x21－4y21＝4，x22－4y22＝4， 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. 因为线段 AB 的中点为 P(8,1)， 所以 x1＋x2＝16，y1＋y2＝2. 所以y1－y2 x1－x2 ＝ x1＋x2 4y1＋y2 ＝2. 所以直线 AB 的方程为 y－1＝2(x－8)， 代入 x2－4y2＝4 满足Δ>0. 即 2x－y－15＝0. 15. 2 2 解析 由题意，得 b 2 ＋c c－b 2 ＝3⇒b 2 ＋c＝3c－3 2b⇒b＝c， 因此 e＝c a ＝ c2 a2 ＝ c2 b2＋c2 ＝ 1 2 ＝ 2 2 . 16．③④ 解析 ①错误，当 k＝2 时，方程表示椭圆；②错误，因为 k＝5 2 时，方程表示圆；验证 可得③④正确． 17．解 设 P 点的坐标为(x，y)，M 点的坐标为(x0，y0)． ∵点 M 在椭圆x2 36 ＋y2 9 ＝1 上，∴x20 36 ＋y20 9 ＝1. ∵M 是线段 PP′的中点， x0＝x， x0＝x， ∴ y0＝y 2 ， 把 y0＝y 2 ， 代入x20 36 ＋y20 9 ＝1，得x2 36 ＋y2 36 ＝1，即 x2＋y2＝36. ∴P 点的轨迹方程为 x2＋y2＝36. 18．解 设双曲线方程为x2 a2 －y2 b2 ＝1. 由椭圆x2 8 ＋y2 4 ＝1，求得两焦点为(－2,0)，(2,0)， ∴对于双曲线 C：c＝2. 又 y＝ 3x 为双曲线 C 的一条渐近线， ∴b a ＝ 3，解得 a2＝1，b2＝3， ∴双曲线 C 的方程为 x2－y2 3 ＝1. 19．解 将 y＝kx－2 代入 y2＝8x 中变形整理得：k2x2－(4k＋8)x＋4＝0， 由 k≠0 4k＋82－16k2>0 ，得 k>－1 且 k≠0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意得：x1＋x2＝4k＋8 k2 ＝4⇒k2＝k＋2⇒k2－k－2＝0. 解得：k＝2 或 k＝－1(舍去) 由弦长公式得： |AB|＝ 1＋k2· 64k＋64 k2 ＝ 5× 192 4 ＝2 15. 20．解 (1)令 F1(－c,0)，F2(c,0)， 则 b2＝a2－c2.因为 PF1⊥PF2， 所以 kPF1·kPF2＝－1，即 4 3＋c · 4 3－c ＝－1， 解得 c＝5，所以设椭圆方程为x2 a2 ＋ y2 a2－25 ＝1. 因为点 P(3,4)在椭圆上，所以 9 a2 ＋ 16 a2－25 ＝1. 解得 a2＝45 或 a2＝5. 又因为 a>c，所以 a2＝5 舍去． 故所求椭圆方程为x2 45 ＋y2 20 ＝1. (2)由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝6 5， ① 又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100， ② ①2－②得 2|PF1|·|PF2|＝80， 所以 S△PF1F2＝1 2|PF1|·|PF2|＝20. 21．解 焦点 F(p 2 ，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 若 AB⊥Ox，则|AB|＝2p<5 2p，不合题意． 所以直线 AB 的斜率存在，设为 k， 则直线 AB 的方程为 y＝k(x－p 2)，k≠0. 由 y＝kx－p 2 ， y2＝2px 消去 x， 整理得 ky2－2py－kp2＝0. 由韦达定理得，y1＋y2＝2p k ，y1y2＝－p2. ∴|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ 1＋1 k2·y1－y22 ＝ 1＋1 k2· y1＋y22－4y1y2 ＝2p(1＋1 k2)＝5 2p. 解得 k＝±2.∴AB 所在的直线方程为 y＝2(x－p 2)或 y＝－2(x－p 2)． 22．解 (1)设 P(x，y)，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以(0，－ 3)、(0， 3)为焦 点，长半轴为 2 的椭圆，它的短半轴 b＝ 22－ 32＝1， 故曲线 C 的方程为 x2＋y2 4 ＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程 x2＋y2 4 ＝1， y＝kx＋1. 消去 y 并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0. 其中Δ＝4k2＋12(k2＋4)>0 恒成立． 故 x1＋x2＝－ 2k k2＋4 ，x1x2＝－ 3 k2＋4 . OA→ ⊥OB→ ，即 x1x2＋y1y2＝0. 而 y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1， 于是 x1x2＋y1y2＝－ 3 k2＋4 － 3k2 k2＋4 － 2k2 k2＋4 ＋1＝0， 化简得－4k2＋1＝0，所以 k＝±1 2.