- 2021-06-16 发布 |
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文档介绍
高考数学命题角度2_4应用正弦定理和余弦定理解实际问题大题狂练理
命题角度 2.4:应用正弦定理和余弦定理解实际问题 1.如图,某公司要在 两地连线上的定点 处建造广告牌 ,其中 为顶端, 长 米, 长为 80 米,设 在同一水平面上,从 看 的仰角分别为 . (1)若 ,求 的长。 (2)设计中 是铅垂方向( 垂直于 ),若要求 ,问 的长至多为多少? 【答案】(1) ;(2) 的长至多约为 米. 【解析】试题分析:(1)利用正弦定理求解即可; (2)利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论. 2. 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H (单位:m),如图所示,垂直放置的标杆 BC 的高度 4h m ,仰角 ABE ADE , . (1)该小组已经测得一组 , 的值, tan 1.24 tan 1.20 , ,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m ),使 与 的差较大,可以提高测量精确度,若电视塔高度为 125m,问 d 为多大时, 最大? 【答案】(1)124 米 (2)当 55 5d m 时, 最大. 【解析】 试 题 分 析 :( 1 ) 在 直 角 ABE 中 , 可 得 tan HAD , 在 直 角 ADE 中 可 得 tan tan H hAB BD , ,再根据 AB BD AD ,即可求解 H 的值;(2)先用 d 表示出和 tan ,tan , 再 根 据 两 角 和 的 公 式 , 求 出 tan , 利 用 基 本 不 是 可 知 当 125 125 4 55 5d H H h 时, tan( ) 有最大值,即可得到答案. 试题解析:(1)由 tan tan tan H h HAB BD AD , , 及 AB BD AD ,得 tan tan H h H tna ,解得 tan 4 1.24 124tan tan 1.24 1.20 hH . 因此,算出的电视塔的高度 H 是 124m. 考点:解三角形的实际应用. 3.某海轮以 公里/小时的速度航行,在点 测得海上面油井 在南偏东 ,向北航行 40 分 钟后到达 点,测得油井 在南偏东 ,海轮改为北偏东 的航向再行驶 40 分钟到达 点. (1)求 间的距离; (2)在点 测得油井的方位角是多少? 【答案】(1) ;(2) . 【解析】试题分析:(1)在 中,根据正弦定理,求 ,再利用余弦定理算出 的长, 即可算出 两地间的距离;(2)根据内错角相等可证明 ,从而可得出结论. 4 .如图,某生态园将一块三角形地 ABC 的一角 APQ 开辟为水 果园,已知角 A 为120 , ,AB AC 的长度均大于 200 米,现在边界 ,AP AQ 处建围墙,在 PQ 处围竹篱笆. (1)若围墙 AP 、 AQ 总长度为 200 米,如何可使得三角形地块 APQ 面积最大? (2)已知竹篱笆长为50 3 米, AP 段围墙高 1 米, AQ 段围墙高 2 米,造价均为每平方 米 100 元,若 AP AQ ,求围墙总造价的取值范围. 【答案】(1) 100AP AQ (米), max 2500 3S (米 2);(2) 5000 315000, . 【解析】试题分析: (1)设 AP x ,利用题意列出面积的表达式,最后利用均值不等式求解最值即可,注意讨论 等号成立的条件和实际问题的定义域; (2)利用题意结合正弦定理求得围墙造价的函数解析式,利用三角形的性质求得 cos AQP 的 范围即可求得造价的取值范围. 试题解析: 设 AP x ( 米 ) , 则 200AQ x , 所 以 2 01 3 200200 sin120 2500 32 4 2APQS x x (米 2) 当且仅当 200x x 时,取等号。即 100AP AQ (米), max 2500 3S (米 2) (2) 由 正 弦 定 理 sin sin sin AP AQ PQ AQP APQ A , 得 100sin , 100sinAP AQP AQ APQ 故 围 墙 总 造 价 100 2 100000 sin 2sin 10000 3cosy AP AQ AQP APQ AQP 因为 AP AQ , 所以 6 3AQP , 3 33cos2 2AQP 所以围墙总造价的取值范围为 5000 315000, (元) 5. 如 图 , 有 一 码 头 P 和 三 个 岛 屿 , ,A B C , 30 3 , 90 mi , 30PC nmile PB n le AB nmile , 0120PCB , 090ABC . (1)求 ,B C 两个岛屿间的距离; (2)某游船拟载游客从码头 P 前往这三个岛屿游玩,然后返回码头 P .问该游船应按何路线 航行,才能使得总航程最短?求出最短航程. 【答案】(1)30 3 nmile (2) 30 60 3 30 7 nmile (2)因为 0 090 , 30ABC PBC ,所以 0 0 090 30 60PBA ABC PBC , 在 PAB 中, 90, 30PB AB ,由余弦定理得, 2 2 0 2 2 12 · cos60 90 30 2 90 30 30 72PA PB AB PB AB , 根据“两点之间线段最短”可知, 最短航线是“ P A B C P ”或“ P C B A P ”, 其航程为 30 7 30 30 3 30 3 30 60 3 30 7S PA AB BC CP . 所以应按航线“ P A B C P ”或“ P C B A P ”航行, 其航程为 30 60 3 30 7 nmile . 6.如图, OAB 是一块半径为1 ,圆心角为 π 3 的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形 的花坛CDEF ,其中动点C 在扇形的弧 AB 上,记 COA . (1)写出矩形CDEF 的面积 S 与角 之间的函数关系式; (2)当角 取何值时,矩形CDEF 的面积最大?并求出这个最大面积. 【答案】(1) 23sin cos sin3S (2) π 6 时,S 取得最大值 3 6 【 解 析 】 试 题 分 析 : (1) 由 OF cos CF sin , sin π 3 3tan 3 DE CFOE EF OF OE 2sin 3cos • sin cos sin33 S EF CF , π0, 3 ; (2) 化 简 得 3 πsin 23 6S 3 6 .再由 π π π 5π0, 2 ,3 6 6 6 当 π 6 时,矩形 CDEF 的面积 S 取得最大值 3 6 . 试题解析:(1)因为: OF cos CF sin , , 所 以 sin π 3 3tan 3 DE CFOE , sincos 3 EF OF OE , 所 以 2sin 3• cos sin sin cos sin33 S EF CF , π0, 3 . (2) 23sin cos sin3S 1 3 3sin2 cos22 6 6 3 3 1 3sin2 cos23 2 2 6 = 3 π 3sin 23 6 6 . 因为 π0, 3 , 所以 π π 5π2 ,6 6 6 , 所以当 π π2 6 2 ,即 π 6 时,矩形 CDEF 的面积 S 取得最大值 3 6 . 【点睛】本题的主要步骤有: 利用三角函数的定义求得 ,CE EF ,再由矩形的面积公式求得函数; 利用三角恒等变换化简函数的表达式; 利用正弦函数图像求得最值. 7.如下图,为对某失事客轮 AB 进行有效援助,现分别在河岸 MN 选择两处C 、 D 用强光柱 进行辅助照明,其中 A 、B 、C 、D 在同一平面内.现测得 CD 长为 100 米, 105ADN , 30BDM , 45ACN , 60BCM . (1)求△ BCD的面积; (2)求船 AB 的长. 【答案】(1) 32500 ;(2)100 15 3 . 【解析】 (2)由题意 75ADC , 45ACD , 45BDA , 在△ ACD 中, sin sin CD AD CAD ACD ,即 100 sin 60 sin 45 AD , ∴ 100 63AD , 在△ BCD中, 2 2 2 cosBD BC CD BC CD BCD 2 2 1100 100 2 100 100 ( )2 100 3 , 在 △ ABD 中 , 2 2 2 cosAB AD BD AD BD BDA 2 2100 6 100 6( ) (100 3) 2 100 3 cos453 3 100 15 3 . 故船长为 100 15 3 米. 考点:正、余弦定理的应用. 8.如图,某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心O 后转向东偏北 角方向的 OB .位于 该市的某大学 M 与市中心O 的距离 3 13OM km ,且 AOM .现要修筑一条铁路 L , L 在OA上设一站 A ,在OB 上设一站 B ,铁路在 AB 部分为直线段,且经过大学 M .其中 tan 2 , 3cos 13 , 15AO km . (Ⅰ)求大学 M 与 A 站的距离 AM ; (Ⅱ)求铁路 AB 段的长 AB . 【答案】(Ⅰ) 6 2AM ;(Ⅱ) 30 2AB . 【解析】 试题分析:(Ⅰ)在 AOM 中,利用已知及余弦定理即可解得 AM 的值;(Ⅱ)由 3cos 13 , 且 为锐角,可求 sin ,由正弦定理可得 MAOsin ,结合 tan 2 ,可求 sin , cos , AOBsinABOsin , ,结合 15AO ,由正弦定理即可解得 AB 的值. (II)∵ 3cos 13 ,且 为锐角,∴ 2sin 13 , 在 AOM 中,由正弦定理得, sin sin AM OM MAO , 即 6 2 3 132 sin13 MAO ,∴ 2sin 2MAO ,∴ 4MAO , ∴ 4ABO ,∵ tan 2 ,∴ 2sin 5 , 1cos 5 , ∴ 1sin sin( )4 10 ABO ,又 AOB ,∴ 2sin sin( ) 5 AOB , 在 AOB 中, 15AO ,由正弦定理得, sin sin AB AO AOB ABO , 即 15 2 1 5 10 AB ,∴ 30 2AB ,即铁路 AB 段的长 AB 为30 2km . 考点:1、正弦定理,余弦定理;2、同角三角函数关系式,诱导公式的应用. 9.如图所示, MCN 是某海湾旅游区的一角,为营造更加优美的旅游环境,旅游区管委会决 定建立面积为 4 3 平分千米的三角形主题游戏乐园 ABC ,并在区域CDE 建立水上餐厅. 已知 120ACB , 30DCE . (1)设 AC x , AB y ,用 x 表示 y ,并求 y 的最小值; (2)设 ACD ( 为锐角),当 AB 最小时,用 表示区域CDE 的面积 S ,并求 S 的最 小值. 【答案】(1) 2 2 256y 16,4 3x x ;(2)S= 4 3 2 2sin ,8- 4 3 . 试题解析: (1)由 S△ACB= AC·BC·sin∠ACB=4 得,BC= , 在△ACB 中,由余弦定理可得,AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB, 即 y2=x 2+ +16, 所以 y= y= ≥ =4 , 当且仅当 x2= ,即 x=4 时取等号. 所以当 x=4 时,y 有最小值 4 . (2)由(1)可知,AB=4 ,AC=BC=4,所以∠BAC=30°, 在△ACD 中,由正弦定理,CD= = = , 在△ACE 中,由正弦定理,CE= = = , 所以,S= CD·CE·sin∠DCE= = . 因为θ为锐角, 所以当θ= 时,S 有最小值 8-4 . 10.某学校的平面示意图为如下图五边形区域 ABCDE ,其中三角形区域 ABE 为生活区,四 边形区域 BCDE 为教学区, , , , , ,AB BC CD DE EA BE 为学校的主要道路(不考 虑宽度). 2 9, , 3 33 3 10BCD CDE BAE DE BC CD km . (1)求道路 BE 的长度;(2)求生活区 ABE 面积的最大值. 【答案】(1) 3 3 5BE ;(2) 227 3 100 km . 【解析】试题分析:(1)连接 BD,由余弦定理可得 BD,由已知可求 6CDB CBD , 2 3CDE ,可得 2BDE ,利用勾股定理即可得解 BE 的值. (2)设 ABE , 由正弦定理,可得 6 2 6sin , sin5 3 5AB AE ,利用三角函数恒等变换的应用化简 可得 1 9 3 2sin sin sin2 3 25 3ABES AB AE ,结合范围 3 5 6 6 6 , 利用正弦函数的性质可求 ABE 面积的最大值,从而得解. (2)设 ABE ,∵ 3BAE ,∴ 2 3AEB . 在 ABE 中,由正弦定理,得 3 3 6 sin sin sin 55sin 3 AB AE BE AEB ABE BAE , ∴ 6 2 6sin , sin5 3 5AB AE . ∴ 1 9 3 2sin sin sin2 3 25 3ABES AB AE 9 3 1 1 9 3 1 1 27 3sin 225 2 6 4 25 2 4 100 . ∵ 20 3 ,∴ 5 6 6 6 . ∴当 2 6 2 ,即 3 时, ABES 取得最大值为 27 3 100 , 即生活区 ABE 面积的最大值为 227 3 100 km .查看更多