2018-2019学年陕西省铜川市王益区高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年陕西省铜川市王益区高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年陕西省铜川市王益区高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．直线x+1＝0的倾斜角为（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】轴垂直的直线倾斜角为.‎ ‎【详解】‎ 直线垂直于轴,倾斜角为.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查直线的倾斜角,属于基础题.‎ ‎2．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC与A1D1所成的角是（ ）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【答案】B ‎【解析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中, AC∥A1C1,所以为异面直线AC与A1D1所成的角,由此能求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为AC∥A1C1,所以为异面直线AC与A1D1所成的角,‎ 因为是等腰直角三角形,所以.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成的角的求法,属于基础题.‎ ‎3．过点的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为　　‎ A． B．‎ C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】当直线过原点时，方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为：，把点代入直线的方程可得k值，即得所求的直线方程．‎ ‎【详解】‎ 当直线过原点时，方程为：，即；‎ 当直线不过原点时，设直线的方程为：，‎ 把点代入直线的方程可得，‎ 故直线方程是．‎ 综上可得所求的直线方程为：，或，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想，注意不要漏掉当直线过原点时的情况，属基础题．‎ ‎4．过点A（3，4）且与直线l：x﹣2y﹣1＝0垂直的直线的方程是（ ）‎ A．2x+y﹣10＝0 B．x+2y﹣11＝0 C．x﹣2y+5＝0 D．x﹣2y﹣5＝0‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意,设所求直线的一般式方程为,把点坐标代入求解,从而求出一般式方程.‎ ‎【详解】‎ 设经过点且垂直于直线的直线的一般式方程为,‎ 把点坐标代入可得:,解得,‎ 所求直线方程为: .‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的方程、相互垂直的直线斜率之间的关系,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎5．一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为（ ）‎ A．24cm3 B．48cm3 C．32cm3 D．96cm3‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知该几何体是一个横放的直三棱柱,利用所给的数据和直三棱柱的体积公式即可求得体积.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可知该几何体是一个横放的直三棱柱,底面为等腰三角形,底边长为,底面三角形高为,所以其体积为:.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查三视图及几何体的体积计算,认识几何体的几何特征是解题的关键,属于基础题.‎ ‎6．已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是（ ）‎ A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出圆心的距离，与半径的和差的绝对值比较得出结论。‎ 详解：圆，圆,，所以内切。故选C 点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则：‎ ‎，内含；，内切；，相交；，外切；，外离。‎ ‎7．两平行直线l1：3x+2y+1＝0与l2：6mx+4y+m＝0之间的距离为（ ）‎ A．0 B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据两平行直线的系数之间的关系求出,把两直线的方程中的系数化为相同的,然后利用两平行直线间的距离公式,求得结果.‎ ‎【详解】‎ 直线l1与l2平行,所以,解得,‎ 所以直线l2的方程为:,‎ 直线:即,与直线:的距离为:‎ ‎.‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查直线平行的充要条件,两平行直线间的距离公式,注意系数必须统一,属于基础题.‎ ‎8．与圆关于直线对称的圆的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设所求圆的圆心坐标为，列出方程组，求得圆心关于的对称点，即可求解所求圆的方程.‎ ‎【详解】‎ 由题意，圆的圆心坐标，‎ 设所求圆的圆心坐标为，则圆心关于的对称点，‎ 满足，解得，‎ 即所求圆的圆心坐标为，且半径与圆相等，‎ 所以所求圆的方程为，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆的方程的求解，其中解答中熟记圆的方程，以及准确求解点关于直线的对称点的坐标是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎9．设m、n是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：‎ ‎（1）若、，则（2）若，，则 ‎（3）若、，则（4）若，，则 其中真命题的序号是 （ ）‎ A．（1）（4） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）‎ ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ 故选D.‎ ‎10．直线l：ax+y﹣3a＝0与曲线y有两个公共点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A．[，] B．（0，） C．[0，） D．（，0）‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据直线的点斜式方程可得直线过定点,曲线表示以为圆心,1为半径的半圆,作出图形,利用数形结合思想求出两个极限位置的斜率,即可得解.‎ ‎【详解】‎ 直线,即斜率为且过定点,‎ 曲线为以为圆心,1为半径的半圆,如图所示,‎ 当直线与半圆相切,为切点时(此时直线的倾斜角为钝角),圆心到直线的距离,‎ ‎,解得,‎ 当直线过原点时斜率,即,‎ 则直线与半圆有两个公共点时,实数的取值范围为: [0，）,‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的方程与性质,直线与圆的位置关系,考查了数形结合思想的应用,属于中档题.‎ ‎11．已知是球O的球面上四点，面ABC,，则该球的半径为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据面，，得到三棱锥的三条侧棱两两垂直，以三条侧棱为棱长得到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上，长方体的对角线的长就是该球的直径，从而得到答案。‎ ‎【详解】‎ 面，‎ 三棱锥的三条侧棱，，两两垂直，‎ 可以以三条侧棱，，为棱长得到一个长方体，且长方体的各顶点都在该球上，‎ 长方体的对角线的长就是该球的直径，‎ 即 ‎ 则该球的半径为 故答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查三棱锥外接球的半径的求法，本题解题的关键是以三条侧棱为棱长得到一个长方体，三棱锥的外接球，即为该长方体的外接球，利用长方体外接球的直径为长对角线的长，属于基础题。‎ ‎12．过圆C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4的圆心，作直线分别交x，y正半轴于点A，B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足SI+SⅣ＝SⅡ+SⅢ，则这样的直线AB有（ ）‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 ‎【答案】B ‎【解析】数形结合分析出为定值,因此为定值, 从而确定直线AB只有一条.‎ ‎【详解】‎ 已知圆与轴,轴均相切,由已知条件得,第部分的面积是定值,所以为定值,即为定值,当直线绕着圆心C移动时,只有一个位置符合题意,即直线AB只有一条.‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的实际应用,属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知空间中两个点A（1，3，1），B（5，7，5），则|AB|＝_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接代入空间中两点间的距离公式即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵空间中两个点A（1，3，1），B（5，7，5），‎ ‎∴|AB|4．‎ 故答案为: 4‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中两点间的距离公式,属于基础题.‎ ‎14．若点P（1，﹣1）在圆x2+y2+x+y+k＝0（k∈R）外，则实数k的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先把圆的一般方程化为标准方程,点在圆外,则圆心到直线的距离,从而得解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵圆的标准方程为，‎ ‎∴圆心坐标（，），半径r，‎ 若点（1，﹣1）在圆外，‎ 则满足k，且k＞0，‎ 即﹣2＜k，‎ 即实数k的取值范围是（﹣2，）.‎ 故答案为: （﹣2，）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据直线与圆的位置关系求参数的取值范围,属于基础题.‎ ‎15．若圆上有且仅有两个点到直线的距离等于1，则半径R的取值范围是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意分析出直线与圆的位置关系,再求半径的范围.‎ ‎【详解】‎ 圆心到直线的距离为2，又圆（x﹣1）2+（y+1）2＝R2上有且仅有两个点到直线4x+3y＝11的距离等于1，满足，‎ 即： | R﹣2|＜1，解得1＜R＜3．‎ 故半径R的取值范围是1＜R＜3（画图）‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系,考查数形结合的思想,属于中档题.‎ ‎16．如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则下列结论正确的是_____．（填序号）①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④sin∠PDA．‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】由题意,分别根据线面位置关系的判定定理和性质定理,逐项判定,即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵PA⊥平面ABC，如果PB⊥AD，可得AD⊥AB，但是AD与AB成60°，∴①不成立，‎ 过A作AG⊥PB于G，如果平面PAB⊥平面PBC，可得AG⊥BC，∵PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，矛盾，所以②不正确；‎ BC与AE是相交直线，所以BC一定不与平面PAE平行，所以③不正确；‎ 在Rt△PAD中，由于AD＝2AB＝2PA，∴sin∠PDA，所以④正确；‎ 故答案为: ④‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面位置关系的判定与证明,考查线线角,属于基础题.熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键,其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.‎ 三、解答题 ‎17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，CA＝CB，点D，E分别为AB，AC的中点．求证：‎ ‎（1）DE∥平面PBC；‎ ‎（2）CD⊥平面PAB．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】(1)由点D、E分别为AB、AC中点得知DE∥BC,由此证得DE∥平面PBC;‎ ‎(2)要证CD⊥平面PAB,只需证明垂直平面内的两条相交直线与即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为点D、E分别为AB、AC中点，‎ 所以DE∥BC．‎ 又因为DE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，‎ 所以DE∥平面PBC．‎ ‎（2）因为CA＝CB，点D为AB中点，‎ 所以CD⊥AB．‎ 因为PA⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，‎ 所以PA⊥CD．‎ 又因为PA∩AB＝A，‎ 所以CD⊥平面PAB．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行的证明,线面垂直的证明,属于基础题.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行;(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直;(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.‎ ‎18．如图，在△ABC中，A（5，–2），B（7，4），且AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）求△ABC的面积．‎ ‎【答案】（1）（–5，–4） （2）‎ ‎【解析】（1）设点，根据题意写出关于的方程组，得到点坐标；（2）由两点间距离公式求出，再由两点得到直线的方程，利用点到直线的距离公式，求出点到的距离，由三角形面积公式得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，设点，‎ 根据AC边的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，‎ 根据中点公式，可得，解得，‎ 所以点的坐标是．‎ ‎（2）因为， ‎ 得．‎ ‎，‎ 所以直线的方程为，即，‎ 故点到直线的距离，‎ 所以的面积．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查中点坐标公式，两点间距离公式，点到直线的距离公式，属于简单题.‎ ‎19．已知点，圆.‎ ‎（1）求过点且与圆相切的直线方程；‎ ‎（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r，直接求解圆的切线方程即可．‎ ‎（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由圆的方程得到圆心，半径.‎ 当直线斜率不存在时，直线与圆显然相切；‎ 当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，‎ 由题意得：，解得，‎ ‎∴ 方程为，即.‎ 故过点且与圆相切的直线方程为或.‎ ‎（2）∵ 弦长为，半径为2.‎ 圆心到直线的距离，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．‎ ‎20．如图，正方形ABCD所在平面与半圆孤所在平面垂直，M是上异于C，D的点．‎ ‎（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；‎ ‎（2）若正方形ABCD边长为1，求四棱锥M﹣ABCD体积的最大值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】(1)先证明BC⊥平面CMD,推出DM⊥BC,然后证明DM⊥平面BMC,由线面垂直推出面面垂直;‎ ‎(2) 当M位于半圆弧CD的中点处时，四棱锥M﹣ABCD的高最大，体积也最大,相应数值代入棱锥的体积公式即可得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，‎ ‎∵BC⊥CD，BC在平面ABCD内，‎ ‎∴BC⊥平面CMD，‎ 故DM⊥BC，‎ 又DM⊥CM，BC∩CM＝C，‎ ‎∴DM⊥平面BMC，‎ 又DM在平面AMD内，‎ ‎∴平面AMD⊥平面BMC；‎ ‎（2）依题意，当M位于半圆弧CD的中点处时，四棱锥M﹣ABCD的高最大，体积也最大，‎ 因为正方形边长为1，所以半圆的半径为，‎ 此时四棱锥M﹣ABCD的体积为，故四棱锥M﹣ABCD体积的最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明,需转化为证明线面垂直,考查棱锥的体积计算,属于中档题.‎ ‎21．已知A（1，1）和圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1，一束光线从A发出，经x轴反射后到达圆C．‎ ‎（1）求光线所走过的最短路径长；‎ ‎（2）若P为圆C上任意一点，求x2+y2﹣2x﹣4y的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1）；（2）最大值为11，最小值为﹣1．‎ ‎【解析】‎ ‎(1)点关于x轴的对称点在反射光线上,当反射光线从点经轴反射到圆周的路程最短,最短为;‎ ‎(2)将式子化简得到,转化为点点距,进而转化为圆心到的距离,加减半径,即可求得最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）关于x轴的对称点为，‎ 由圆C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1得圆心坐标为C（﹣2，2），‎ ‎∴，‎ 即光线所走过的最短路径长为；‎ ‎（2）x2+y2﹣2x﹣4y＝（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣5．‎ ‎（x﹣1）2+（y﹣2）2表示圆C上一点P（x，y）到点（1，2）的距离的平方，‎ 由题意，得，．‎ 因此，x2+y2﹣2x﹣4y的最大值为11，最小值为﹣1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查最短路径问题,以及圆外一点到圆上一点的距离的最值问题,属于基础题;求最短路径时作对称点,由两点之间线段最短的原理确定长度,将圆外一点距离的最值转化为点到圆心的距离和半径之间的关系.‎ ‎22．已知A（﹣1，0），B（1，0），动点G满足GA⊥GB，记动点G的轨迹为曲线C．‎ ‎（1）求曲线C的方程；‎ ‎（2）如图，点M是C上任意一点，过点（3，0）且与x轴垂直的直线为l，直线AM与l相交于点E，直线BM与l相交于点F，求证：以EF为直径的圆与x轴交于定点T，并求出点T的坐标．‎ ‎【答案】（1）x2+y2＝1；（2）证明见解析，T（3+2，0）或T（3﹣2，0）．‎ ‎【解析】(1)由可得,列出等式即可求动点的轨迹方程;‎ ‎(2)设出点M的坐标,我们可以得到直线AM、直线BM的方程,与直线方程联立求得点E、点F的坐标,进而得到以为直径的圆的方程,最后求出定点坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设G（x，y）（x≠±1），‎ 因为GA⊥GB，所以，‎ 整理得C的方程为x2+y2＝1（x≠±1）；‎ ‎（2）设点M（x0，y0）（x0≠±1），且有x02+y02＝1，‎ 则直线AM的方程为y，令x＝3，得E（3，），‎ 直线BM的方程为y，令x＝3，得F（3，），‎ 从而以EF为直径的圆方程为（x﹣3）2+（y）（y）＝0，‎ 令y＝0，则（x﹣3）2•0，即（x﹣3）20，‎ 又因为x02+y02＝1，所以，代入可得x2﹣6x+1＝0，‎ 解得x＝3±2，‎ 所以定点T（3+2，0）或T（3﹣2，0）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查动点的轨迹方程,考查直线与圆的方程的应用问题,属于中档题,涉及到的知识点有直线的点斜式方程,由圆上两点的坐标列出圆的方程,认真分析题意求得结果.‎