宁夏银川三沙源上游学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

宁夏银川三沙源上游学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（文）试题

银川三沙源上游学校2019-2020学年第一学期期中考试高二数学试卷（文）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.命题“，”的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定可得出正确选项.‎ ‎【详解】由特称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”，故选C.‎ ‎【点睛】本题考查特称命题的否定，着重考查对特称命题概念的理解，属于基础题.‎ ‎2.命题“若，则”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，再判断真假即可.‎ ‎【详解】由题意，原命题：若，则，‎ 则它的逆命题：若，则，为真命题；‎ 它的否命题：若，则，为真命题；‎ 它的逆否命题：若，则，为假命题.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查四种命题以及命题真假的判断，属于基础题.‎ ‎3.“”是“”的什么条件（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用充分条件和必要条件的定义进行判断.‎ ‎【详解】若，，则，但不成立，‎ 故不一定能推出；‎ 若，，则，但不成立，‎ 故不一定能推出；‎ 所以“”是“”的既不充分也不必要条件.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用特殊值举反例可简化解题过程，属于基础题.‎ ‎4.已知数列中，，则的值是（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求解即可.‎ 详解】由题意，，，‎ 所以 故选：B ‎【点睛】本题主要考查和的关系，属于简单题.‎ ‎5.已知，则的最小值为（ ）‎ A. 2 B. ‎1 ‎C. 4 D. 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将的表达式构造成可以利用基本不等式求解最小值的形式.‎ ‎【详解】因为，所以，取等号时即，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】形如形式的函数，可利用基本不等式求解函数最小值：，取等号时有：.‎ ‎6.中，，，，则顶点的轨迹方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由题意可得 顶点 的轨迹是以 为焦点的椭圆(扣除左右顶点)，设其方程为 所求轨迹方程为：，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的定义及其方程、椭圆的简单几何性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想和转化化归思想，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，属于中档题型.先利用椭圆的定义判定： 的轨迹是以 为焦点的椭圆(扣除左右顶点)，设其方程为，再利用待定系数法求得轨迹方程为：.‎ ‎7.已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的性质列出不等式求解即可．‎ ‎【详解】方程1表示焦点在y轴上的椭圆，‎ 可得，解得1＜m．‎ 则m的取值范围为：（1，）．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程及简单性质的应用，基本知识的考查．‎ ‎8.若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为　　‎ A. B. ‎ C. 或 D. 以上答案都不对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的简单性质求解，题中没有明确焦点在轴还是在轴上，所以分情况讨论．‎ ‎【详解】解：设焦点在轴上，椭圆的标准方程为 焦点坐标为，，顶点坐标为，；‎ 椭圆的，，关系：；‎ 直线恒过定点和 直线必经过椭圆的焦点，和顶点 带入直线方程：‎ 解得：，，‎ 焦点在轴上，椭圆的标准方程为；‎ 当设焦点在轴，椭圆的标准方程为 焦点坐标为，，顶点坐标为，；‎ 椭圆的，，关系：‎ 直线恒过定点和 直线必经过椭圆的焦点，和顶点 带入直线方程 解得：，，‎ 焦点在轴上，椭圆的标准方程为．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，题中没有明确焦点在轴还是在轴上，要分情况讨论，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，属于基础题．‎ ‎9.若命题；命题 ‎，则下列命题为真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由配方法判断命题为真命题，由判断命题为假命题，再由复合命题的真假判断即可.‎ ‎【详解】对命题，，‎ 所以命题是真命题；‎ 对命题，时，，‎ 所以命题假命题；‎ 所以、、为假命题，为真命题.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查复合命题真假的判断，属于基础题.‎ ‎10.已知实数，且，则恒成立时的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 恒成立，即小于等于的最小值，利用和基本不等式求出的最小值即的最大值.‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎，‎ 当且仅当，即时等号成立，此时，，‎ 所以恒成立，即的最大值是 故选：B ‎【点睛】本题主要考查利用基本不等式求和的最小值，注意“‎1”‎在解题时的妙用，属于中档题.‎ ‎11.已知直线被椭圆截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为7的有 ‎① ② ③ ④ ‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆关于原点、轴和轴对称，可得直线关于原点、轴和轴的直线与直线被椭圆截得的弦长相等，从而得到答案．‎ ‎【详解】由于椭圆关于原点、轴和轴对称，‎ 所以直线关于原点、轴和轴对称的直线分别为、，则有3条直线被椭圆截得的弦长一定为7．‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查椭圆的标准方程以及其对称性，考查推理能力与计算能力，属于中档题 ‎12.设椭圆：的一个焦点为，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设椭圆的左焦点为，则即，‎ 又椭圆E上存在一点P使得，∴，‎ 即，∵，‎ ‎∴，即，解得．∵，∴．‎ 本题选择C选项.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.不等式的解集是_____．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据一元二次不等式的解法，即可求出．‎ ‎【详解】由x2﹣2x﹣3＞0，得（x+1）（x﹣3）＞0，解得x＜﹣1或x＞3．‎ 所以原不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}．‎ ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，意在考查学生的数学运算能力．‎ ‎14.若，满足约束条件，则的最小值为______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得到答案．‎ ‎【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，‎ 令，即，‎ 易知当直线经过点时，取得最小值．‎ 由可得，故．‎ ‎【点睛】本题考查简单线性规划问题，关键是正确画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最值，考查了数形结合的思想，属于基础题．‎ ‎15.命题“若，则或”的否定为_______ ．‎ ‎【答案】若，则且 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题的否定，只用否定结论.‎ ‎【详解】命题“若，则或”的否定为：若，则且 故答案为若，则且 ‎【点睛】本题考查了命题的否定，属于简单题.‎ ‎16.已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设，由余弦定理知，所以，故填.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17.已知命题p：方程有两个不相等的实数根；命题q：．‎ 若p为真命题，求实数m的取值范围；‎ 若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若为真命题，则应有，解得实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，则，应一真一假，进而实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）若为真命题，则应有，解得； ‎ ‎（2）若为真命题，则有，即，‎ 因为为真命题，为假命题， ‎ 则，应一真一假.‎ ‎①当真假时，有，得；‎ ‎②当假真时，有，无解，综上，的取值范围是.‎ ‎18.已知等差数列中，，，为公差.‎ ‎（1）求，； ‎ ‎（2）设，求数列前项和.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，列关于和的方程组求解即可；‎ ‎（2）由（1）知的表达式，分别求出数列和的前项和，再求解即可.‎ ‎【详解】（1）由题意，，解得，‎ 所以，；‎ ‎（2）由（1）知，，‎ 所以，‎ 数列前项和为，‎ 数列的前项和为，‎ 所以数列的前项和.‎ ‎【点睛】本题主要考查求等差数列的首项和公差，以及等差数列和等比数列前项和公式，属于基础题.‎ ‎19.在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，其焦点为，.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程； ‎ ‎（2）已知点在椭圆上，且，求的面积.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆方程，由椭圆过点，其焦点为，，求出、、，即可求出椭圆方程；‎ ‎（2）由点在椭圆上，且，可求出，由焦点坐标可求出，由此可求出的面积.‎ ‎【详解】（1）由题意，椭圆过点，其焦点为，，‎ 所以设椭圆方程，‎ 则，，所以，‎ 所以椭圆的标准方程为：；‎ ‎（2）由题意，点在椭圆上，且，‎ 由椭圆定义知，，所以，‎ 又椭圆焦点为，，所以，‎ ‎，所以，‎ 所以的面积.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和椭圆定义的应用，属于基础题.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，短轴长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可； （2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程．‎ 试题解析：‎ ‎（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为 ‎（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．‎ 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎21.已知：；：．‎ ‎（1）若是的必要条件，求的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）求出p，q成立的等价条件，根据p是q的必要条件，建立条件关系即可．‎ ‎（Ⅱ）利用￢p是￢q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，建立条件关系进行求解即可．‎ 解：由x2﹣8x﹣20≤0得﹣2≤x≤10，即P：﹣2≤x≤10，‎ 又q：1﹣m2≤x≤1+m2．‎ ‎（1）若p是q的必要条件，‎ 则，即，即m2≤3，解得，‎ 即m的取值范围是．‎ ‎（2）∵¬p是¬q的必要不充分条件，‎ ‎∴q是p的必要不充分条件．‎ 即，即m2≥9，解得m≥3或 m≤﹣3‎ 即m的取值范围是（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．‎ 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎22.已知椭圆的右焦点，且椭圆的右顶点到的距离为．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线与椭圆交于两点，且满足，求面积的最大值．‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)根据已知条件可得，，再结合，即可求出，进而求出椭圆的方程；‎ ‎(2) 根据已知条件，利用点斜式设出直线，的方程，与椭圆的方程联立消去，利用弦长公式，求出，，可得，再对分母进行配凑为后利用基本不等式，即可求出面积的最大值．‎ ‎【详解】(1)由已知得，，所以，所以，‎ 所以椭圆的方程为．‎ ‎(2)根据题意可知，直线，的斜率均存在且不为0，‎ 不妨设直线的方程为，则直线的方程为，‎ 由 得，‎ ‎，‎ 由弦长公式可得 ‎ 同理可得，‎ 所以的面积为：‎ ‎，‎ 当且仅当，即时，面积取得最大值.‎ ‎【点睛】本题主要考查求椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，弦长公式及基本不等式求最值．‎