湖南省2019-2020学年高三上学期模拟检测数学试卷

湖南省2019-2020学年高三上学期模拟检测数学试卷

数学试卷 考生注意：‎ ‎1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。时量120分钟，满分150分。答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。‎ ‎2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。作答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．已知全集U＝，A＝，B＝，则下列结论正确的是 A．B⊆A B．A∪B＝ C．A∩B＝ D．∁UA＝{1，5}‎ ‎2．已知i为虚数单位，z(1＋i)＝3－i，则在复平面上复数z对应的点位于 A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎3．某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是 A. B. C. D. ‎4．下列判断正确的是 A．“α>45°”是“tan α>1”的充分不必要条件 B．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”‎ C．命题“∀x∈R，2x>0”的否定是“∃x0∈R，2x0≤0”‎ D．若命题“p∧q”为假命题，则命题p，q都是假命题 ‎5．已知公差d≠0的等差数列满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝‎ A．10 B．20 C．30 D．5或40‎ ‎6‎ ‎．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著《数书九章》中提出的求多项式值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图，是利用秦九韶算法求一个多项式的值，若输入n，x的值分别为3，，则输出v的值为 A．17 B．11.5 ‎ C．10 D．7‎ ‎7．已知实数x，y满足则z＝2x＋y的最小值为 A．0 B．－5 C．2 D．1‎ ‎8．函数f(x)＝的部分图象大致是 ‎9．将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图象向右平移，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标长度不变)得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是 A．函数g(x)的最大值为＋1‎ B．函数g(x)的最小正周期为π C．函数g(x)在区间上单调递增 D．函数g(x)的图象关于直线x＝对称 ‎10．已知直线y＝kx－1与抛物线x2＝8y相切，则双曲线：x2－k2y2＝1的离心率等于 A. B. C. D. ‎11．如图，平面四边形ABCD中，E，F是AD，BD中点，AB＝AD＝CD＝2，BD＝2，∠BDC＝90°，将△ABD沿对角线BD折起至△A′BD，使平面A′BD⊥平面BCD，‎ 则四面体A′BCD中，下列结论不正确的是 A．EF∥平面A′BC B．异面直线CD与A′B所成的角为90°‎ C．异面直线EF与A′C所成的角为60°‎ D．直线A′C与平面BCD所成的角为30°‎ ‎12．已知函数f(x)＝ln x－＋a在x∈[1，e]上有两个零点，则a的取值范围是 A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知平面向量a与b的夹角为45°，a＝(－1，1)，|b|＝1，则|a－2b|＝__________．‎ ‎14．已知点A(2，0)，B(0，4)，O为坐标原点，则△AOB外接圆的标准方程是__________．‎ ‎15．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1(n∈N*)，设bn＝1＋log2an，则数列的前n项和Tn＝__________．‎ ‎16．已知四棱锥S－ABCD的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于__________．‎ 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17－21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题，共60分。‎ ‎17．(本小题满分12分)‎ 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin Asin Bcos B＋sin2Bcos A＝2sin Ccos B.‎ ‎(1)求tan B的值；‎ ‎(2)若b＝2，△ABC的面积为，求a＋c的值．‎ ‎18．(本小题满分12分)‎ 如图，ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4.‎ ‎(1)求证：EF⊥AC；‎ ‎(2)求几何体EFABCD的体积．‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表：‎ 摄氏温度 ‎－5‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎23‎ ‎30‎ ‎36‎ 热饮杯数 ‎162‎ ‎128‎ ‎115‎ ‎135‎ ‎89‎ ‎71‎ ‎63‎ ‎37‎ ‎(1)从散点图可以发现，各点散布在从左上角到右下角的区域里．因此，气温与当天热饮销售杯数之间成负相关，即气温越高，当天卖出去的热饮杯数越少．统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱．统计学认为，对于变量x、y，如果r∈[－1，－0.75]，那么负相关很强；如果r∈[0.75，1]，那么正相关很强；如果r∈(－0.75，－0.30]∪[0.30，0.75)，那么相关性一般；如果r∈[－0.25，0.25]，那么相关性较弱．请根据已知数据，判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱．‎ ‎(2)(ⅰ)请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程；‎ ‎(ⅱ)记[x]为不超过x的最大整数，如[1.5]＝1，[－4.9]＝－5.对于(ⅰ)中求出的线性回归方程y＝x＋，将y＝[]x＋[]视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系．已知气温x与当天热饮每杯的销售利润f(x)的关系是f(x)＝2＋3(x∈[－7，38))(单位：元)，请问当气温x为多少时，当天的热饮销售利润总额最大？‎ ‎【参考公式】＝r＝2＝1340，100，362＝1296，372＝1369.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 如图，椭圆C：＋＝1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，直线n：x＝4与x轴相交于点E，点M在直线n上，且满足BM∥x轴．‎ ‎(1)当直线l与x轴垂直时，求直线AM的方程；‎ ‎(2)证明：直线AM经过线段EF的中点．‎ ‎21．(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ax2＋x＋1(a>0)．‎ ‎(1)设F(x)＝，讨论函数F(x)的单调性；‎ ‎(2)若0g(x)在(0，＋∞)上恒成立．‎ ‎(二)选考题：共10分。请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。‎ ‎22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin.‎ ‎(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于M，N两点，求△MON的面积．‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|.‎ ‎(1)设a＝1，求不等式f(x)≤7的解集；‎ ‎(2)已知a>－1，且f(x)的最小值等于3，求实数a的值．‎ 数学试卷 一、选择题 题　号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答　案 D A B C C B D A C C C C ‎1.D　【解析】由题知集合A与集合B互相没有包含关系，且A∩B＝{3}，A∪B＝{2，3，4，5}，∁UA＝{1，5}，故选D.‎ ‎2．A　【解析】由题知z＝＝＝1－2i，位于第四象限，故选A ‎3．B　【解析】从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有{黄白}，{黄蓝}，{黄红}，{白蓝}，{白红}，{蓝红}，共6种．其中包含白色的有3种，选中白色的概率为，故选B.‎ ‎4．C　【解析】由否命题的概念知B错；关于A选项，前者应是后者的既不充分也不必要条件；关于D选项，p与q至少有一个为假命题；C选项正确．‎ ‎5．C　【解析】由题知(a4－2)2＝a2a6，因为{an}为等差数列，所以(3d－1)2＝(1＋d)(1＋5d)，因为d≠0，解得d＝3，从而am－an＝(m－n)d＝30，故选C.‎ ‎6．B　【解析】将n＝3，x＝代入程序框图，可得最后输出v＝11.5，故选B.‎ ‎7．D　【解析】由题中给出的三个约束条件，可得可行域为如图所示阴影部分，易知在(0，1)处目标函数取到最小值，最小值为1，故选D.‎ ‎8．A　【解析】由题知，f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，排除C和D，将x＝π代入f(x)得f(π)<0，故选A.‎ ‎9．C　【解析】化简得f(x)＝2sin，所以g(x)＝2sin，由三角函数性质知：g(x)的最大值为2，最小正周期为2π，对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，单调增区间为，k∈Z，故选C.‎ ‎10．C　【解析】由得x2－8kx＋8＝0，因为直线与曲线相切，所以Δ＝64k2－32＝0，k2＝，所以双曲线为x2－＝1，离心率等于，故选C.‎ ‎11．C　【解析】A选项：因为E，F分别为A′D和BD两边中点，所以EF∥A′B，即EF∥平面A′BC，A正确；B选项：因为平面A′BD⊥平面BCD，交线为BD，且CD⊥BD，所以CD⊥平面A′BD，即CD⊥A′B，故B正确；C选项：取CD边中点M，连接EM，FM，则EM∥A′C，所以∠FEM为异面直线EF与A′C所成角，又EF＝1，EM＝，FM＝，即∠FEM＝90°，故C错误，选C.‎ ‎12．C　【解析】∵f′(x)＝＋＝，x∈[1，e]．‎ 当a≥－1时，f′(x)≥0，f(x)在[1，e]上单调递增，不合题意．‎ 当a≤－e时，f′(x)≤0，f(x)在[1，e]上单调递减，也不合题意．‎ 当－e0，f(x)在(－a，e]上单调递增，又f(1)＝0，所以f(x)在x∈[1，e]上有两个零点，‎ 只需f(e)＝1－＋a≥0即可，解得≤a<－1.‎ 综上，a的取值范围是.‎ 二、填空题 ‎13.　【解析】由题知，|a－2b|＝＝.‎ ‎14．(x－1)2＋(y－2)2＝5　【解析】由题知OA⊥OB，故△ABO外接圆的圆心为AB的中点(1，2)，‎ 半径为|AB|＝，所以△ABO外接圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.‎ ‎15.　【解析】令n＝1，a1＝1；n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，an＝2an－1，所以an＝2n－1，bn＝1＋log22n－1＝n，Tn＝＋＋…＋＝.‎ ‎16.　【解析】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，平面SAB⊥平面ABCD，可得R2＝r＋r－，其中r1为△SAB外接圆半径，r2为矩形ABCD外接圆半径，L＝AB.计算得，R2＝＋5－4＝，‎ 所以S＝4πR2＝π.‎ 三、解答题 ‎17．【解析】(1)原等式化简得sin B(sin Acos B＋cos Asin B)＝2sin Ccos B，‎ ‎∴sin Bsin(A＋B)＝2sin Ccos B，‎ ‎∴sin Bsin C＝2sin Ccos B，3分 ‎∵0，则>0，‎ 当x<0，或x>时，F′(x)<0，当00，‎ ‎∴F(x)在，上单调递减，在上单调递增．‎ ‎③若00时，F′(x)<0，当0.‎ ‎∴F(x)在，上单调递减，在上单调递增.6分 ‎(2)证明：∵00，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴h(x)>h(0)＝0，∴ex－x2－x－1>0，ex>x2＋x＋1，‎ 所以ex>x2＋x＋1≥ax2＋x＋1，‎ 所以f(x)>g(x)在(0，＋∞)上恒成立.12分 ‎22．【解析】(1)由消去参数t得x＋y＝4，直线l的普通方程为x＋y－4＝0.2分 由ρ＝4sin＝2sin θ＋2cos θ得，ρ2＝2ρsin θ＋2ρcos θ，‎ 即x2＋y2＝2y＋2x，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程是圆：(x－)2＋(y－1)2＝4.5分 ‎(2)∵原点O到直线l的距离d＝＝2.7分 直线l过圆C的圆心(，1)，∴|MN|＝2r＝4，‎ 所以△MON的面积S＝|MN|×d＝4.10分 ‎23．【解析】(1)a＝1时，f(x)＝＋2.1分 当x<－1时，f(x)≤7即为－3x＋1≤7，解得－2≤x<－1.‎ 当－1≤x≤1时，－x＋3≤7，解得－1≤x≤1.‎ 当x＞1时，3x－1≤7，解得1＜x≤.4分 综上，f(x)≤7的解集为.5分 ‎(2)∵a>－1，∴f(x)＝7分 由y＝f(x)的图象知