2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第七章　第3讲　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第七章　第3讲　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

第3讲　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 一、知识梳理 ‎1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式(组)‎ 表示区域 Ax＋By＋C>0(＜0)‎ 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括边界直线 Ax＋By＋C≥0(≤0)‎ 包括边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 ‎2.二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．‎ ‎3．线性规划的有关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)‎ 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)　‎ 目标函数 关于变量x，y的函数解析式，如z＝x＋2y 线性目标函数 关于变量x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 常用结论 ‎1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域；‎ ‎(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实数．‎ ‎(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取 ‎(0，1)或(1，0)来验证．‎ ‎2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 ‎(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；‎ ‎(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．‎ ‎3．平移规律 当b>0时，直线z＝ax＋by向上平移z变大，向下平移z变小；当b<0时，直线z＝ax＋by向上平移z变小，向下平移z变大．‎ 二、教材衍化 ‎1．已知x，y满足约束条件则z＝2x＋y＋1的最大值、最小值分别是________，________．‎ 解析：‎ 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中A(－1，－1)，B(2，－1)，C，画直线l0：y＝－2x，平移l0过点B时，zmax＝4，平移l0过点A时，zmin＝－2.‎ 答案：4　－2‎ ‎2．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为________________．(用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨)‎ 解析：用表格列出各数据 A B 总数 产品吨数 x y 资金 ‎200x ‎300y ‎1 400‎ 场地 ‎200x ‎100y ‎900‎ 所以不难看出，x≥0，y≥0，200x＋300y≤1 400，200x＋100y≤900.‎ 答案： 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)‎ ‎(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．(　　)‎ ‎(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．(　　)‎ ‎(4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×‎ 二、易错纠偏 (1)不会用代点法判断平面区域；‎ ‎(2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系；‎ ‎(3)不理解目标函数的几何意义；‎ ‎(4)对“最优解有无数个”理解有误．‎ ‎1．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是__________．‎ 解析：因为直线2x－3y＋6＝0的上方区域可以用不等式2x－3y＋6＜0表示，所以由点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方得－4－3t＋6＜0，解得t＞.‎ 答案： ‎2．已知变量x，y满足约束条件则z＝x－y的最大值为________．‎ 解析：‎ 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x－y＝0，平移直线经过点A(1，0)时，目标函数z＝x－y取得最大值，最大值为1.‎ 答案：1‎ ‎3．已知x，y满足条件则z＝的最大值为________．‎ 解析：‎ 作出可行域如图中阴影部分所示，问题转化为区域上哪一点与点M(－3，1)连线斜率最大，观察知点A，使kMA最大，zmax＝kMA＝＝3.‎ 答案：3‎ ‎4．已知x，y满足若使得z＝ax＋y取最大值的点(x，y)有无数个，则a的值为________．‎ 解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z＝ax＋y和直线AB重合时，z取得最大值的点(x，y)有无数个，所以－a＝kAB＝1，所以a＝－1.‎ 答案：－1‎ ‎　　　　　　二元一次不等式(组)表示的平面区域(多维探究)‎ 角度一　平面区域的面积 ‎ 不等式组所表示的平面区域的面积等于(　　)‎ A. B． ‎ C. D． ‎【解析】　‎ 由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A，B(1，1)，C(0，4)，则△ABC的面积为×1×＝.故选C.‎ ‎【答案】　C 角度二　平面区域的形状 ‎ 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是________．‎ ‎【解析】　‎ 不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)．　‎ 解得A；‎ 解得B(1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x＋y＝a中的a的取值范围是00 D．a≤－2‎ 解析：选A.画出不等式组表示的区域D，如图中阴影部分所示，其中A(2，2)，B(1，2)，C(1，3)，任意的(x，y)∈D，使x－y≥a成立，则a≤(x－y)min，平移直线x－y＝0，易知当直线经过点C(1，3)时，x－y取得最小值，(x－y)min＝－2，则a≤－2，故必要不充分条件可以是a<0，故选A.‎ ‎4．已知实数x，y满足则z＝y－ln x的取值范围为________．‎ 解析：作出可行域如图(阴影部分)，其中A(，0)，B(3，0)，C(，－)．　‎ 由图可知，当y＝ln x＋z过点A(，0)时z取得最大值，‎ zmax＝0－ln＝ln 6.设y＝ln x＋z的图象与直线y＝x－3‎ 相切于点M(x0，y0)，由y＝ln x＋z得y′＝，令＝1得x0＝1∈，‎ 故y＝ln x＋z与y＝x－3切于点M(1，－2)时，z取得最小值，zmin＝－2－ln 1＝－2.‎ 所以z＝y－ln x的取值范围为[－2，ln 6]．‎ 答案：[－2，ln 6]‎ ‎5．已知点A(5，5)，直线l：x＝my＋n(n＞0)过点A.若可行域的外接圆的直径为20，求n的值．‎ 解：‎ 注意到直线l′：x－y＝0也经过点A，所以点A为直线l与l′的交点．‎ 画出不等式组 表示的可行域，如图中阴影部分所示．‎ 设直线l的倾斜角为α，则∠ABO＝π－α.‎ 在△OAB中，OA＝＝10.‎ 根据正弦定理，得＝20，解得α＝或.‎ 当α＝时，＝tan ，得m＝－.‎ 又直线l过点A(5，5)，所以5＝－×5＋n，‎ 解得n＝10.‎ 当α＝时，同理可得m＝，n＝0(舍去)．‎ 综上，n＝10.‎ ‎6．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ 原料 肥料　　‎ A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．‎ ‎(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．‎ 解：(1)由已知得，x，y满足的数学关系式为 设二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．‎ ‎(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.‎ 考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋， 这是斜率为－，随z变化的一族平行直线.为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域 上的点M时，截距最大，即z最大．‎ 解方程组 得点M的坐标为(20，24)．‎ 所以zmax＝2×20＋3×24＝112.‎ 即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．‎