湖南省五市十校2020届高三上学期联考试题 数学(理)
绝密★启用前
湖南省五市十校2019年下学期高三年级第二次联考试题
理科数学
本试卷共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后。再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设集合M={x|},N={x|0
-x·f'(x),则实数b的取值范围是
A.(-∞,) B.(-∞,) C.(-∞,) D.(-∞,3)
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分。
13.知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若,则 。
14.观察分析下表中的数据:
猜想一般凸多面体中,F,V,E所满足的等式为 。
15.已知函数,,若,,使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是 。
16.以双曲线C:的右焦点F(c,0)为圆心,a为半径的圆与C的一条渐近线交于A,B两点,若AB=c,则双曲线C的离心率为 。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cosC=。
(1)△ABC求的周长;
(2)求cos(A-C)的值。
18.(12分)
已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且,n∈N*。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设,求数列{bn}的前n项和为Tn。
19.(12分)
如图,在梯形ABCD中,AB//CD,AD=DC=CB=1,∠ABC=60°,四边形ACFE为矩形,
平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1。
(1)证明:BC⊥平面ACFE;
(2)设点M在线段EF上运动,平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ,求cosθ的取值范围。
20.(12分)
如图,分别过椭圆E:的左、右焦点F1,F2的动直线l1,l2:相交于点P,与椭圆E分别交于A、B和C、D四点,直线OA、OB、OC、OD的斜率k1,k2,k3,k4满足k1+k2=k3+k4。已知当l1与x轴重合时,|AB|=2,|CD|=。
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在定点M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出点M、N的坐标及定值;若不存在,请说明理由。
21.(12分)
已知函数f(x)=lnx-ax-3(a≠0)。
(1)讨论函数f(x)的零点个数;
(2)若a∈[1,2],函数g(x)=x3+[m-2f'(x)]在区间(a,3)有最值,求实数m的取值范围。
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中,已知曲线C:(α为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l:ρ(2cosθ-sinθ)=6。
(1)写出直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程;
(2)在曲线C上取一点P,使点P到直线l的距离最大,求最大距离及此时P点的坐标。
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=|x|+2|x-a|,a>0。
(1)当a=1时,求不等式f(x)≤4的解集;
(2)若f(x)≥4恒成立,求实数a的取值范围。
高三理科数学参考答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
C
B
C
A
C
A
D
B
C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13. 14.F+V-E=2 15. 16.
三、 解答题(本大题共6小题,共70分)
17、解:(1)∵ ∴
故的周长为5. ……………………………………………………………………………… 6分
(2) ∵且为的内角 ∴
由正弦定理得 ∴
∴…………………………………………………………………………12分
18、解:(1)依题知 ……………………………………………………………………………………………………①
∴ , 又 ∴
……………………………………………………………………………………………②
由①-②得
∴,则
∴是等差数列,∴…………………………………………………………………………6分
(2) ∵ ,
∴,
∴,
两式相减得,
∴.…………………………………………………………………………12分
19.解:(1)证明:在梯形中,因为,所以,所以,
所以,所以.3分
因为平面平面,平面平面,
因为平面,所以平面5分
(2)由(1)可建立分别以直线为轴,轴,轴的如图所示的空间直角坐标系,
令,则,
∴,
设为平面的一个法向量,
由得,取,则,..7分
∵是平面的一个法向量..8分
∴..10分
∵,∴当时,有最小值,当时,有最大值.
∴12分
20..解:(1)当l1与x轴重合时,k1+k2=k3+k4=0,即k3=-k4,
∴l2垂直于x轴,得|AB|=2a=2,|CD|==,
得a=,b=,∴椭圆E的方程为+=1. 4分
(2)焦点F1,F2坐标分别为(-1,0),(1,0),
当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(-1,0)或(1,0), 5分
当直线l1,l2斜率存在时,设斜率分别为m1,m2,设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(2+3m)x2+6mx+3m-6=0,
∴x1+x2=-,x1x2=,
k1+k2=+=m1=m1=m1=-, 7分
同理k3+k4=-, 8分
∵k1+k2=k3+k4,∴=,即(m1m2+2)(m2-m1)=0,
由题意知m1≠m2,∴m1m2+2=0 9分
设P(x,y),则·+2=0,即+x2=1(x≠±1), 10分
又当直线l1或l2斜率不存在时,P点坐标为(-1,0)或(1,0)也满足此方程,
∴点P(x,y)在椭圆+x2=1上,
存在点M(0,-1)和点N(0,1),使得|PM|+|PN|为定值,定值为2. 12分
21、解(1)………………………………………………………………………1分
………………3分
……………………………………………………………………5分
…………………………………………………6分
(2)
………………………………………………8分
………………………………………………10分
又
………………………………………………12分
22、解:(1)的直角坐标方程为[]
曲线的普通方程为………………………………………………………………………………………………5分
(2)设
……………………………………………………………………………………………10分
23、解:(1) ①
②
③
……………………………………………………………………………5分
(2) ①当
②当
③当
所以的最小值为,∴……………………………………………………………………………10分