高三数学（文数）总复习练习专题十 不等式
(2015· 北京，10，易)2－3，，log25三个数中的最大数是________．
【解析】 ∵2－3＝<1，1＝30<<2，log25>log24＝2，∴2－3<
.
因此0f(x2)，∴>，
即x2ex1>x1ex2，故选C.
4．(2010·辽宁，15，中)已知－10，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号)．
①ab≤1；② ＋≤；③a2＋b2≥2；
④a3＋b3≥3；⑤＋≥2.
【解析】 ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2，即2≥2，
∴ab≤1.故①恒成立；
对于②，(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≥2，∴＋≥.故②不成立；
对于③，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，
∴③恒成立；对于④，可采用特殊值代入法，a＝1，b＝1满足题意，a3＋b3＝2<3，故④不成立；
对于⑤，＋＝＝≥2，故⑤恒成立．
【答案】 ①③⑤
考向1 不等关系与比较大小
两个实数比较大小的法则
关系
法则
作差法则
作商法则
a＞b
a－b＞0
＞1(a，b＞0)或＜1(a，b＜0)
a＝b
a－b＝0
＝1(b≠0)
a＜b
a－b＜0
＜1(a，b＞0)或＞1(a，b＜0)
(1)(2014·山东，5)已知实数x，y满足axy3 B．sin x>sin y
C．ln(x2＋1)>ln(y2＋1) D.>
(2)(2015·湖南邵阳一模，9)若00且a≠1，则|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系是( )
A．|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|
B．|loga(1－x)|<|loga(1＋x)|
C．不确定，由a的值决定
D．不确定，由x的值决定
【解析】 (1)因为0y.对于选项B，取x＝π，y＝，则sin x＜sin y，显然B错误．对于选项C，取x＝－1，y＝－2，则ln(x2＋1)y时，一定有x3>y3成立，所以选A.
(2)方法一(作差法)：
∵00，
∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|
＝－
＝－·[lg(1－x)＋lg(1＋x)]
＝－·lg(1－x2)>0，
∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
方法二(作商法)：
∵01＋x>1，
∴log(1＋x)(1－x)<0，
∴＝|log(1＋x)(1－x)|
＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)>log(1＋x)(1＋x)＝1，
∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.
【答案】 (1)A (2)A
【点拨】 解题(1)要注意当x＞y时，x2＞y2不一定成立，x2＜y2也不一定成立．题(2)方法一利用作差法，作差，变形与0比较大小；方法二利用作商法，作商，变形，与1比较大小．
比较大小的方法
(1)作差法
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、通分、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差．
(2)作商法
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论．
(3)函数法
构造函数，根据函数的单调性作出判断．
(4)特殊值法
若是选择题可以用特殊值法比较大小，若是填空题或解答题，也可以用特殊值法探路．
(1)(2015·安徽淮北一模，3)设a＝30.5，b＝log32，c＝cos 2，则( )
A．c0.
∵＝＝＝sin θ＋cos θ＝sin，
又θ＋∈，
∴sin＞sin＝1，
∴＞1，从而a＞b.
【答案】 ＞
考向2 不等式的性质及应用
1．不等式的基本性质
(1)对称性：a>b⇔bb，b>c⇒a>c.
(3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c.
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒acb，c>d⇒a＋c>b＋d.
(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd.
(7)乘方法则：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
(8)开方法则：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)．
2．不等式的倒数性质
(1)a＞b，ab＞0⇒＜.
(2)a＜0＜b⇒＜.
(3)a＞b＞0，0＜c＜d⇒＞.
(1)(2014·四川，5)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
(2)(2013·北京，2)设a，b，c∈R，且a＞b，则( )
A．ac＞bc B.＜
C．a2＞b2 D．a3＞b3
【解析】 (1)方法一：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2，
则＝－1，＝－1，排除选项C，D；
又＝－，＝－，所以<，所以选项A错误，选项B正确．故选B.
方法二：∵c＜d＜0，∴＜＜0，又a＞b＞0，∴＜.
(2)若c≤0，则A错；若a＞0，b＜0，则B错；若a＝0，b＝－1，则C错，故选D.
【答案】 (1)B (2)D
【点拨】 解题(1)(2)的关键是熟记不等式中的性质并能正确利用，如a＞b＞0，则0＜＜.
判断关于不等式的命题真假的三种方法
(1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断．
(2)利用函数的单调性：当直接利用不等式性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性等进行判断．
(3)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值进行比较、判断．
(2011·大纲全国，5)下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是( )
A．a>b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
【答案】 A A项，若a＞b＋1，则必有a＞b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a＞b，但不能推出a＞b＋1，故a＞b＋1是a＞b成立的充分而不必要条件；B项，当a＝b＝1时，满足a＞b－1，但不能推出a＞b；C项，当a＝－2，b＝1时，满足a2＞b2，但a＞b不成立；D项，a＞b是a3＞b3成立的充要条件．综上所述，选A.
思路点拨：解题的关键是弄清是题干“a＞b”推出“选项”还是“选项”推出“a＞b”．
1．(2015·安徽屯溪一模，7)设a＝0.5，b＝0.9，c＝log50.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＞c＞b B．c＞a＞b
C．a＞b＞c D．b＞a＞c
【答案】 D a＝0.5＝0.25，∵0.25＜0.9，∴0＜a＜b＜1.又∵c＝log50.3＜0，∴b＞a＞c.
2．(2015·重庆一中调研，3)设a＞1＞b＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )
A．a＞b2 B.＞
C.＜ D．a2＞2b
【答案】 A 对于A，∵－11，∴a>b2，故A正确；对于B，若a＝2，b＝，此时满足a>1>b>－1，但<，故B错误；对于C，若a＝2，b＝－，此时满足a>1>b>－1，但>，故C错误；对于D，若a＝，b＝，此时满足a>1>b>－1，但a2<2b，故D错误，综上可知，选A.
思路点拨：由函数的性质，知当b∈(－1，1)时，b2∈[0，1)，由此得选项A正确．
3．(2014·浙江宁波二模，3)若角α，β满足－＜α＜β＜π，则α－β的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】 B ∵－＜2＜π，－＜β＜π，∴－π＜－β＜，
∴－＜α－β＜.又∵α＜β，∴α－β＜0，从而－＜α－β＜0.故选B.
4．(2015·湖南湘潭一模，4)设a，b是实数，则“a＞b＞1”是“a＋＞b＋”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】 A 因为a＋－＝，若a＞b＞1，显然a＋－＝＞0，则充分性成立，当a＝，b＝时，显然不等式a＋＞b＋成立，但a＞b＞1不成立，所以必要性不成立，故选A.
5．(2015·河南郑州联考，7)已知a，b，c∈R，给出下列命题：
①若a＞b，则ac2＞bc2；②若ab≠0，则＋≥2；
③若a＞|b|，则a2＞b2.
其中真命题的个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】 C 当c＝0时，ac2＝bc2＝0，故①为假命题；当a与b异号时，＜0，＜0，＋≤ －2，故②为假命题；因为a＞|b|≥0，所以a2＞b2，故③为真命题．
6．(2014·安徽黄山质检，13)定义a*b＝已知a＝30.3，b＝0.33，c＝log30.3，则(a*b)*c＝________．(结果用a，b，c表示)
【解析】 ∵log30.3<0<0.33<1<30.3，
∴c0，解得x<－3或x>1.
2．(2015· 广东，11，易)不等式－x2－3x＋4＞0的解集为________．(用区间表示)
【解析】 由－x2－3x＋4>0可得，x2＋3x－4＜0，即(x＋4)(x－1)＜0，得－4＜x＜1，所以不等式－x2－3x＋4＞0的解集为(－4，1)．
【答案】 (－4，1)
1．(2014·江西，2，易)设全集为R，集合A＝{x|x2－9＜0}，B＝{x|－1＜x≤5}，则A∩()＝( )
A．(－3，0) B．(－3，－1)
C．(－3，－1] D．(－3，3)
【答案】 C 由A＝{x|x2－9＜0}，可解得A＝{x|－3＜x＜3}，
而＝{x|x≤－1或x＞5}，
因此A∩()＝{x|－3＜x≤－1}，选C.
易错点拨：解题过程中一定要注意区间的开闭．
2．(2012·江西，2，易)若全集U＝{x∈R|x2≤4}，则集合A＝{x∈R||x＋1|≤1}的补集∁UA为( )
A．{x∈R|00的解集是________．
【解析】 原不等式⇔或⇒解集为{x|x>3或－30(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)的形式；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
2．分式不等式的解法
解分式不等式的关键是先将给定不等式移项，通分，整理成一边为商式，另一边为0的形式，再通过等价转化化成整式不等式(组)的形式进行求解．即：
(1)＞0(<0)⇔f(x)·g(x)＞0(<0)；
(2)≥0(≤0)⇔
(2012·重庆，2)不等式≤0的解集为( )
A.
B.
C.∪[1，＋∞)
D.∪[1，＋∞)
【答案】 A 不等式≤0⇔
⇔－＜x≤1，
∴不等式的解集为.
考向2 含参数的一元二次不等式问题
求解含参数的一元二次不等式，需要分类讨论，讨论时要做到“不重”“不漏”“最简”三个原则．
(2015·山东青岛模拟，17，12分)求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
【解析】 原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.
当a＞0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a＜0时，不等式的解集为∪.
【点拨】 解答本题的关键是对参数a进行不重不漏的分类讨论．
含参数的一元二次不等式的解题步骤
(1)若二次项含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
(2014·江西宜春三模，18，12分)解关于x的不等式kx2－2x＋k＜0(k∈R)．
解：(1)当k＝0时，不等式的解为x＞0.
(2)当k＞0时，若Δ＝4－4k2＞0，即0＜k＜1时，不等式的解为＜x＜；
若Δ≤0，即k≥1时，不等式无解．
(3)当k＜0时，若Δ＝4－4k2＞0，即－1＜k＜0时，
x＜或x＞；
若Δ＜0，即k＜－1时，不等式的解集为R；
若Δ＝0，即k＝－1时，不等式的解为x≠－1.
综上所述，k≥1时，不等式的解集为∅；
0＜k＜1时，不等式的解集为
；
k＝0时，不等式的解集为{x|x＞0}；
当－1＜k＜0时，不等式的解集为
；
k＝－1时，不等式的解集为{x|x≠－1}；
k＜－1时，不等式的解集为R.
考向3 一元二次不等式的恒成立问题
1．一元二次不等式恒成立问题分为两类
(1)在R上恒成立；
(2)在给定某一区间上恒成立．
2．一元二次不等式恒成立的条件
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)f(x)＞0在x∈R上恒成立⇔a＞0且Δ＜0；
(2)f(x)＜0在x∈R上恒成立⇔a＜0且Δ＜0.
(3)当a＞0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立⇔或或
f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立⇔
(4)当a＜0时，f(x)＞0在x∈[α，β]上恒成立⇔
f(x)＜0在x∈[α，β]上恒成立⇔或或
在解决不等式ax2＋bx＋c>0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时，当二次项系数含有字母时，需要对二次项系数a进行讨论，并研究当a＝0时是否满足题意．
(1)(2012·福建，15)已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a
的取值范围是________．
(2)(2012·江苏，13)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f (x)＜c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．
【解析】 (1)不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，即Δ＝(－a)2－8a＜0，∴0＜a＜8，即a的取值范围是(0，8)．
(2)∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，
∴Δ＝0，即a2－4b＝0.
∴b－＝0，
∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝.
又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，
∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9.
【答案】 (1)(0，8) (2)9
【点拨】 (1)解一元二次不等式，要与相应二次函数的图象结合在一起考虑；(2)由函数f(x)的值域为[0，＋∞)，可知Δ＝0，f(x)＜c的解集为(m，m＋6)，则m，m＋6是f(x)－c＝0的两根．
一元二次不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)＞α对一切x∈I恒成立⇔f(x)min＞α；
f(x)＜α对一切x∈I恒成立⇔f(x)max＜α.
(2)f(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立⇔f(x)的图象在g(x)的图象的上方或f(x)min＞g(x)max(x∈I)．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．
(2014·河南郑州调研，14)若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈恒成立，则a的最小值是________．
【解析】 方法一：由于x＞0，则由已知可得a≥－x－在x∈上恒成立，而当x∈时，
＝－，
∴a≥－，故a的最小值为－.
方法二：设f(x)＝x2＋ax＋1，则其对称轴为x＝－.
①若－≥，即a≤－1时，f(x)在上单调递减，此时应有f ≥0，从而－≤a≤－1.
②若－<0，即a>0时，f(x)在上单调递增，此时应有f(0)＝1＞0恒成立，故a＞0.
③若0≤－＜，即－1＜a≤0时，则应有f ＝－＋1＝1－≥0恒成立，故－1ax－a对一切3≤x≤4恒成立，实数a的取值范围是________．
【解析】 ∵x2－3>ax－a对一切3≤x≤4恒成立，
∴a<在x∈[3，4]恒成立，
令g(x)＝，x∈[3，4]，即a0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4 C. D．2
【答案】 B 约束条件的可行域如图．
因为a>0，b>0，
所以目标函数y＝－x＋在A点处取最小值．联立方程解得所以2a＋b＝2.设P(a，b)，原点O(0，0)，则OP2＝a2＋b2表示直线上的点与原点距离的平方，所以OP2的最小值为O到直线l：2a＋b＝2的距离的平方，即d2＝＝4.
思路点拨：该题解题的关键是找到a，b满足的条件，再以a，b为变量，根据a2＋b2的几何意义求出其最大值.
7．(2014·辽宁，14，中)已知x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋4y的最大值为________．
【解析】 画出可行域如图：
当z＝3x＋4y过点A时，z最大，点A的坐标为(2，3)，
∴zmax＝3×2＋4×3＝18.
【答案】 18
8．(2014·北京，13，中)若x，y满足则z＝x＋y的最小值为________．
【解析】 画出可行域如图所示，当z＝x＋y过点A时，zmin＝1.
【答案】 1
9．(2012·浙江，14，中)设z＝x＋2y，其中实数x，y满足则z的取值范围是________．
【解析】 画出可行域如图，
由z＝x＋2y，得y＝－x＋，
则的几何意义是直线y＝－x＋在y轴上的截距，当直线过点O和直线x－y＋1＝0和x＋y－2＝0的交点A时，z分别取得最小值0和最大值，故z的取值范围是.
【答案】
10．(2014·江西，15，中)x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________．
【解析】 设f(x)＝|x|＋|x－1|，
∴f(x)＝
∴f(x)的图象如图：
从图象可知f(x)≥1，即|x|＋|x－1|≥1，
同理得|y|＋|y－1|≥1，而已知|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，
由此可得|x|＋|x－1|＝1且|y|＋|y－1|＝1.
由图象知当x∈[0，1]时，|x|＋|x－1|＝1成立，
同理当y∈[0，1]时，|y|＋|y－1|＝1成立．
∴x＋y∈[0，2]．
【答案】 [0，2]
思路点拨：本题关键在于找出|x|＋|x－1|的最小值，从而找出突破口．
考向1 平面区域的相关问题
1．二元一次不等式表示的平面区域
(1)二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)，不含边界直线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包含边界直线．
(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合Ax＋By＋C<0.
2．二元一次不等式(组)表示平面区域的确定
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．
(2)特殊点定域，由于对在直线Ax＋By＋C＝0同侧的点，实数Ax＋By＋C的值的符号都相同，故为确定Ax＋By＋C的值的符号，可采用特殊点法，如取原点、(0，1)、(1，0)等点．
由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．
(1)(2014·福建，11)已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为( )
A．5 B．29 C．37 D．49
(2)(2014·安徽，13)不等式组表示的平面区域的面积为________．
【思路导引】 (1)利用目标函数的几何意义转化为求距离的平方的最大值；(2)作出不等式组表示的可行域，根据可行域求面积．
【解析】 (1)平面区域Ω为如图所示的阴影部分的△ABD，因为圆心C(a，b)∈Ω，且圆C与x轴相切，所以点C在如图所示的线段MN上，线段MN的方程为y＝1(－2≤x≤6)，由图形得，当点C在点N(6，1)处时，a2＋b2取得最大值为62＋12＝37.
(2)不等式组表示的区域如图所示，
由图可知A(0，2)，B(2，0)，C(8，－2)，D(4，0)，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD
＝×(4－2)×2＋×(4－2)×2＝4.
【答案】 (1)C (2)4
平面区域问题的求解思路
求解平面区域与函数图象、曲线方程等一些综合问题时，要以数形结合思想方法为核心，充分利用函数图象与曲线方程的特征(增减性、对称性、经过的定点、变化趋势等)，与平面区域的位置和形状联系起来，对参数的取值情况分析讨论，进行求解．
(1)(2012·福建，9)若函数y＝2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为( )
A. B．1 C. D．2
(2)(2013·山东，14)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
(1)【答案】 B 在同一直角坐标系中作出函数y＝2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示．由图可知，当m≤1时，函数y＝2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.
(2)【解析】 如图所示阴影部分为可行域，数形结合可知，原点O到直线x＋y－2＝0的垂线段长是|OM|的最小值，
∴|OM|min＝＝.
【答案】
考向2 线性规划的相关问题
1．线性规划中的有关概念
名 称
意 义
约束条件
由变量x，y组成的不等式组
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合(区域)
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
2.线性目标函数的最值问题
求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b<0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．
(1)(2014·课标Ⅱ，9)设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为( )
A．8 B．7 C．2 D．1
(2)(2014·课标Ⅰ，11)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
【解析】 (1)可行域如图，目标函数y＝－x＋在A点处取得最大值，联立方程解得
∴A(3，2)，∴zmax＝3＋2×2＝7.
(2)由约束条件作可行域如图阴影部分，
联立
解得
∴A.
当a＝0时，A，z＝x＋ay的最小值不存在，不满足题意；
当a<0时，由z＝x＋ay得y＝－x＋，
要使z最小，
则直线y＝－x＋在y轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；
当a>0时，由z＝x＋ay得y＝－x＋，
由图可知，当直线过点A时，直线y＝－x＋在y轴上的截距最小，z最小．
此时z＝＋＝7，解得a＝3或a＝－5(舍去)．
综上a＝3.故选B.
【答案】 (1)B (2)B
【点拨】 解题(1)，(2)的关键是准确作出可行域，然后根据图形求解，注意解题(2)时要对a的取值进行分类讨论．
1.利用线性规划求目标函数最值的步骤
(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l；
(2)平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．有时需要对目标函数l和可行域边界的斜率的大小进行比较；
(3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
2．线性规划中的参数问题及其求解思路
线性规划中的参数问题，就是已知目标函数的最值或其他限制条件，求约束条件或目标函数中所含参数的值或取值范围的问题．
解决这类问题时，首先要注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来，以确定是否符合题意，然后在符合题意的可行域里，寻求最优解，从而确定参数的值．
(1)(2013·课标Ⅰ，14)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为________．
(2)(2013·江苏，9)抛物线y＝x2在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D
(包含三角形内部和边界)．若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x＋2y的取值范围是________．
(3)(2013·浙江，15)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
(1)【解析】 可行域为平行四边形ABCD(如图所示)．
由z＝2x－y，得y＝2x－z.－z的几何意义是直线y＝2x－z在y轴上的截距，要使z最大，则－z最小，所以当直线y＝2x－z过点A(3，3)时，z最大，最大值为2×3－3＝3.
【答案】 3
(2)【解析】 ∵y＝x2，∴y′|x＝1＝2x|x＝1＝2.
故抛物线y＝x2在x＝1处的切线方程为2x－y－1＝0.设其与x轴，y轴交于A，B两点，则A，B(0，－1)，区域D为如图阴影部分．
令z＝x＋2y，即y＝－x＋z，
易知y＝－x＋z分别过A，B两点时z取最大、最小值，
∴zmax＝＋2×0＝，
zmin＝0＋2×(－1)＝－2，
∴x＋2y的取值范围是.
【答案】
(3)【解析】 画出如图所示的可行域．
其中A(2，3)，B(2，0)，C(4，4)．
当k＝0时，显然不符合题意；
当k＞0时，最大值在点C处取得，此时12＝4k＋4，即k＝2；
当k＜0时，最大值在点A处或C处取得，此时12＝2k＋3或12＝4k＋4，即k＝＞0(舍)或k＝2＞0(舍)．故k＝2.
【答案】 2
思路点拨：解题(1)的关键是直线y＝2x－z在y轴上的截距－z与目标函数z的符号相反，即截距最大时z最小，截距最小时z最大；题(2)考查导数的几何意义、线性规划等知识，在求解过曲线上点的切线方程时，可通过几何意义得到，对于线性规划问题应通过数形结合求解；解题(3)时应注意对k的取值进行讨论，以便求得参数的值．
考向3 线性规划的实际应用
(2013·湖北，9)某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
【解析】 设租用A型车x辆，B型车y辆，目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为
作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A(5，12)时，有最小值zmin＝36 800(元)．
【答案】 C
【点拨】 先根据题意列出约束条件和目标函数，通过平移目标函数加以解决．
1.解线性规划应用题的步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．
2．求解线性规划应用题的三个注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．
(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否为整数、是否为非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式．
(2012·江西，8)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表．
年产量/亩
年种植成本/亩
每吨售价
黄瓜
4吨
1.2万元
0.55万元
韭菜
6吨
0.9万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为( )
A．50，0 B．30，20
C．20，30 D．0，50
【答案】 B 设黄瓜，韭菜的种植面积分别为x，y，则总利润z＝4×0.55x＋6×0.3y－1.2x－0.9y＝x＋0.9y.此时x，y满足条件画出可行域如图．
当目标函数表示的直线z＝x＋0.9y在可行域上平移至点A(30，20)时，取得最大值，
所以当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故选B.
1．(2015·黑龙江大庆一模，5)已知x，y满足则2x－y的最大值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】 B 设z＝2x－y，则y＝2x－z，作出不等式对应的平面区域如图阴影部分所示，
平移直线y＝2x－z，由图象可知当直线y＝2x－z经过点C(1，0)时，直线y＝2x－z的截距最小，此时z最大，把C(1，0)代入直线z＝2x－y得z＝2，所以2x－y的最大值为2.
思路点拨：根据约束条件画出可行域，然后分析平面区域里各个交点，将其代入2x－y中，求出2x－y的最大值即可．
2．(2015·山西忻州一模，4)不等式组所围成的平面区域的面积为( )
A．3 B．6
C．6 D．3
【答案】 D 如图，不等式组所围成的平面区域为△ABC，其中A(2，0)，B(4，4)，C(1，1)，所求平面区域的面积为S△ABO－S△ACO＝(2×4－2×1)＝3.
思路点拨：画出不等式组所围成的平面区域，利用三角形面积公式求解．
3．(2015·山东省实验中学一模，6)设x，y满足则z＝x＋y( )
A．有最小值2，最大值3
B．有最小值2，无最大值
C．有最大值3，无最小值
D．既无最小值，也无最大值
【答案】 B 作出不等式组表示的可行域，如图所示(阴影部分)．由z＝x＋y，得y＝－x＋z，作直线y＝－x，平移直线y＝－x，由图可知当直线经过点C(2，0)时，直线y＝－x＋z的截距最小，此时z的最小值为2，没有最大值．
4．(2014·河北石家庄正定中学月考，10)已知z＝2x＋y，x，y满足且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是( )
A. B. C. D.
【答案】 A 根据题意画出如图所示的可行域．
平移直线l：2x＋y＝0，当l过点A(m，m)时z最小，过点B(1，1)时z最大，由题意知，zmax＝4zmin，即3＝4×3m，∴m＝.
5．(2014·湖南娄底二模，10)已知O为坐标原点，点M的坐标为(1，1)．若点N(x，y)的坐标满足
则·的最大值为( )
A. B．2 C. D．2
【答案】 B 如图，
点N在图中阴影区域内，当O，M，N共线，且||＝2时，·最大，此时N(，)，∴·＝(1，1)·(，)＝2，故选B.
6．(2015·安徽池州一模，8)已知x，y满足则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】 C 不等式组表示的平面区域如图．
因为＝＝1＋，而为区域内的点与点(4，2)连线的斜率，显然斜率的最小值为0，点A(－3，－4)与点(4，2)连线的斜率最大为＝，所以1＋的取值范围为，故选C.
思路点拨：遇到由两个变量满足的不等式组求范围问题时，通常利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行解答．
7．(2015·湖南常德一模，8)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，
运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝( )
A．4 650元 B．4 700元 C．4 900元 D．5 000元
【答案】 C 设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，
则
目标函数z＝450x＋350y.
作出可行域为如图所示阴影部分包含的整点．
当时，zmax＝450×7＋350×5＝4 900，故选C.
8．(2015·湖北武汉一模，14)若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是________．
【解析】 易知直线y＝kx＋恒过点A，作出可行域如图，由图可知，当直线经过线段BC的中点D时，平分可行域△ABC的面积，由题意得点C(0，4)，B(1，1)，从而D，于是k＝kAD＝.
【答案】
9．(2015·江西景德镇一模，13)设不等式组所表示的平面区域为S，若A，B为区域S内的两个动点，则|AB|的最大值为________．
【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，
则由图可知A(0，3)，B(2，0)两点的距离最大，|AB|的最大值为.
【答案】
10．(2015·江苏扬州一模，9)在平面直角坐标系xOy中，记不等式组表示的平面区域为D.若对数函数y＝logax(a＞1)的图象与D有公共点，则a的取值范围是________．
【解析】 作出不等式组表示的平面区域，如图所示，
∵a＞1，∴当对数函数图象经过点A时，满足条件，
此时解得即A(2，3)，此时loga2＝3，解得a＝，
∴当1＜a≤时，满足条件．
∴实数a的取值范围是1＜a≤.
【答案】 (1，]
思路点拨：作出不等式组表示的平面区域，根据对数函数的图象和性质，即可得到结论．
11．(2014·河北承德一模，14)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，且方程f(x)＝0在区间(0，1)和(1，2)上各有一解，则2a－b的取值范围为________．
【解析】 ∵函数f(x)＝x2＋ax＋b，且方程f(x)＝0在区间(0，1)和(1，2)上各有一解，
∴函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(0，1)和(1，2)上各有一个零点．
又∵f(x)＝x2＋ax＋b是开口向上的抛物线，
∴f(1)<0，f(2)>0，f(0)>0.
即f(1)＝a＋b＋1<0，①
f(2)＝4＋2a＋b>0，②
f(0)＝b>0，③
画出约束条件①②③表示的可行域如图，设2a－b＝z，
由解得A(－3，2)，z＝2a－b经过点A时取得最小值，最小值为－8，
由得B(－1，0)，z＝2a－b经过B点时取得最大值，最大值为－2，
所以2a－b的取值范围为(－8，－2)．
【答案】 (－8，－2)
思路点拨：由已知方程x2＋ax＋b＝0在区间(0，1)和(1，2)上各有一个根，根据方程的根与对应零点之间的关系，结合二次函数图象的性质，易得到f(1)<0，f(2)>0，f(0)>0.画出约束条件表示的可行域，即可求解2a－b的范围．
1．(2015·福建，5，易)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，1)，则a＋b的最小值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】 C ∵直线＋＝1过点(1，1)，
∴＋＝1.∵a＞0，b＞0，
∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝2时，等号成立)．
∴a＋b的最小值为4.
2．(2015·湖南，7，中)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2 C．2 D．4
【答案】 C 因为＋＝，
所以a，b同号且均大于零，由均值不等式可得＝＋≥2，
所以ab≥2.当且仅当＝时取等号．
所以ab最小值为2.
3．(2015·重庆，14，易)设a，b>0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．
【解析】 令t＝＋，
则t2＝(＋)2
＝a＋1＋b＋3＋2·
≤9＋a＋1＋b＋3
＝18，
当且仅当a＋1＝b＋3时，
即a＝，b＝时，等号成立．
即t的最大值为3.
【答案】 3
4．(2015·山东，14，中)定义运算“”：xy＝(x，y∈R，xy≠0)．当x＞0，y＞0时，xy
＋(2y)x的最小值为________．
【解析】 由x⊗y＝，得x⊗y＋(2y)⊗x＝＋＝.因为x＞0，y＞0，所以≥＝，当且仅当x＝y时，等号成立．
【答案】
1．(2011·陕西，3，易)设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是( )
A．a＜b＜＜ B．a＜＜＜b
C．a＜＜b＜ D.＜a＜＜b
【答案】 B 方法一：由a＝，b＝＝，0＜a＜b，及均值不等式知＜＜＜，故选B.
方法二：特殊值法，令a＝1，b＝2，代入验证即可．
2．(2012·陕西，10，中)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则( )
A．a＜v＜ B．v＝
C.＜v＜ D．v＝
【答案】 A 设甲乙两地相距为s，
则v＝＝.
∵aa.
又＋>2，∴v<.
故a0，
∴＝1，即＋＝1.
∴a＋b＝(a＋b)×1＝(a＋b)
＝7＋＋≥7＋4，
∴当且仅当＝时，“＝”成立，
即a＋b的最小值为7＋4.
5．(2013·福建，7，中)若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是( )
A．[0，2] B．[－2，0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
【答案】 D 因为2x＞0，2y＞0，所以1＝2x＋2y≥2＝2，当且仅当x＝y时，取等号，故≤，即2x＋y≤＝2－2.
由指数函数的单调性知x＋y≤－2，故选D.
6．(2013·山东，12，中)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
A．0 B. C．2 D.
C ＝＝＋－3≥2－3＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2.故选C.
7．(2012·湖北，9，中)设a，b，c∈R＋，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的( )
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 A ∵abc＝1，
∴a＋b＋c＝＋＋.
∵a，b，c∈R＋，
∴＋≥2＝2＝，①
同理＋≥，②
＋≥，③
当且仅当a＝b＝c时取等号．
①＋②＋③得
a＋b＋c≥＋＋，
故abc＝1是＋＋≤a＋b＋c的充分条件．
再令a＝2，b＝c＝1，
满足a＋b＋c≥＋＋，但abc≠1，
故abc＝1不是＋＋≤a＋b＋c的必要条件．故选A.
思路点拨：本题以充分、必要条件为载体，考查学生对基本不等式的应用能力．解题时注意从“充分性”和“必要性”两个方面说明．
8．(2014·浙江，16，难)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a
的最大值是________．
【解析】 方法一：∵a＋b＋c＝0，
∴b＋c＝－a.
∴a2＋b2＋c2＝a2＋(b＋c)2－2bc＝2a2－2bc＝1.∴2a2－1＝2bc.
由不等式得：2bc≤＝.
∴2a2－1≤.
∴a2≤，－≤a≤，∴amax＝.
方法二：由a＋b＋c＝0，得c＝－(a＋b)，代入a2＋b2＋c2＝1，
得a2＋b2＋(a＋b)2＝1，
即b2＋ab＋a2－＝0.
把它看成关于b的一元二次方程，要使其有解，则Δ≥0，
即Δ＝a2－4≥0，
解得－≤a≤，∴amax＝.
【答案】
考向1 利用基本不等式求最值
1．基本不等式及有关结论
(1)基本不等式：如果a>0，b>0，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即正数a与b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
(2)重要不等式：a∈R，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)几个常用的重要结论
①＋≥2(a与b同号，当且仅当a＝b时取等号)；
②a＋≥2(a>0，当且仅当a＝1时取等号)，a＋≤－2(a<0，当且仅当a＝－1时取等号)；
③ab≤(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)；
④≤≤≤(a，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．
2．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2(简记：积定和最小)．
(2)如果x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值(简记：和定积最大)．
①求最值时要注意三点：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”指正数，“二定”是指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指等号成立．
②连续使用基本不等式时，要注意等号要同时成立．
(1)(2014·辽宁，16)对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋b2－c＝0且使|2a＋b|最大时，＋＋的最小值为________．
(2)(2013·四川，13)已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．
【解析】 (1)由题意得c＝4a2＋b2－2ab＝(2a＋b)2－6ab.
∵2ab≤，
当且仅当2a＝b时取“＝”，
∴－6ab≥－3，
∴c＝(2a＋b)2－6ab≥(2a＋b)2－3，
即c≥，∴|2a＋b|≤2，
∴当且仅当2a＝b时，|2a＋b|有最大值2.
此时|2a＋2a|＝2，∴c＝4a2，
∴＋＋＝＋＋
＝＋＝－1≥－1，
∴＋＋的最小值为－1.
(2)∵x>0，a>0，
∴f(x)＝4x＋≥2＝4，
当且仅当4x＝，即4x2＝a时f(x)取得最小值．
又∵x＝3，∴a＝4×32＝36.
【答案】 (1)－1 (2)36
【点拨】 解题(1)时需注意分析基本不等式成立的条件；解题(2)的关键是准确写出不等式成立的条件，以便求参数a的值．
利用基本不等式求最值的方法
(1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值，主要有两种思路：
①对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解．
②条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值．
(2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件，但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式．常用的方法还有：拆项法、变系数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等．
(1)(2011·重庆，7)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )
A．1＋ B．1＋
C．3 D．4
(2)(2012·浙江，9)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是 ( )
A. B. C．5 D．6
(1)【答案】 C ∵f(x)＝x＋＝(x－2)＋＋2≥2＋2，当且仅当x－2＝，即x＝1(舍)或3时，上式取最小值，即a＝3，故选C.
(2)【答案】 C 由x＋3y＝5xy，得＋＝5(x＞0，y＞0)，
则3x＋4y＝(3x＋4y)
＝
≥
＝(13＋12)＝5.
当且仅当＝，即x＝2y时，等号成立，
此时由解得故选C.
考向2 基本不等式的实际应用
(1)(2011·北京，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
(2)(2014·湖北，16)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝.
①如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；
②如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
【思路导引】 解题(1)的关键是对函数表达式变形转化，利用基本不等式求最值；解题(2)把所给l的值代入，分子、分母同除以v，构造基本不等式求最值．
【解析】 (1)每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，
∴每批应生产产品80件．
(2)①若l＝6.05，
则F＝＝＝.
∵v>0，∴v＋＋18≥2＋18＝40，
∴F≤＝1 900.
②若l＝5，则
F＝
＝＝.
∵v>0，∴v＋＋18≥38，
∴F≤＝2 000.
∴此时最大车流辆比(1)中的最大车流量增加100辆/小时．
【答案】 (1)B (2)①1 900 ②100
有关函数最值的实际问题的解题技巧
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值；
(2)一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；
(3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围；
(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．
(2012·江苏，17，14分)如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
解：(1)令y＝0，得
kx－(1＋k2)x2＝0.
由实际意义和题设条件知x>0，k>0，
故x＝＝≤＝10，
当且仅当k＝1时取等号．
所以炮的最大射程为10千米．
(2)因为a>0，所以炮弹可以击中目标，即存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立，故关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根，
所以有判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，即a≤6.
所以当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标．
1．(2015·福建南平一模，6)若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )
A.＞ B.＋≤1
C.≥2 D.≤
【答案】 D ∵a>0，b>0，且a＋b＝4，
∴4＝a＋b≥2，∴≤2，即ab≤4.
A项，∵ab≤4，∴≥，故A不恒成立；
B项，∵ab≤4＝a＋b，∴＋≥1，故B不恒成立；
C项，∵≤2，∴C不恒成立．
D项，因为2＝≤，所以a2＋b2≥8，所以≤.∴D恒成立．
2．(2015·山东青岛二模，7)已知x＞0，y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则＋的最小值是( )
A．2 B．2 C．4 D．2
【答案】 C 因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x＋3y＝1，所以＋＝(x＋3y)＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即x＝，y＝时，取等号．
3．(2014·闽南四校联考，8)设a＞0，若关于x的不等式x＋≥4在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )
A．4 B．2 C．16 D．1
【答案】 A 因为x＞0，a＞0，所以x＋≥2，要使x＋≥4在x∈(0，＋∞)上恒成立，则需2≥4，所以a≥4，从而a的最小值为4，故选A.
4．(2015·湖北咸宁一模，7)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，则代数式＋的最小值为( )
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】 B 因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1＝0上，所以2a＋3b－1＝0，a＞0，b＞0，即2a＋3b＝1，所以＋＝(2a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2＝25，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为25，选B.
5．(2015·江西五校联考，7)设a＞0，b＞1，若a＋b＝2，则＋的最小值为( )
A．3＋2 B．6
C．4 D．2
【答案】 A 由题意可知a＋b＝2，a＋b－1＝1，
∴＋＝(a＋b－1)
＝2＋＋＋1≥3＋2，
当且仅当＝，即a＝2，b＝＋1时取等号．
6．(2015·山西师大附中调研，12)已知函数f(x)＝ln ，若f＋f＋…＋f＝503(
a＋b)，则a2＋b2的最小值为( )
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】 B 因为f(x)＋f(e－x)
＝ln＋ln＝ln e2＝2，
所以f＋f＋…＋f＝×2＝2 012，即a＋b＝4，由不等式可得a2＋b2≥＝8，当且仅当a＝b时，等号成立，故选B.
7．(2015·河南郑州一模，8)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为( )
A. B. C．5 D．4
【答案】 B 作出可行域，如图所示，由z＝ax＋by，得y＝－x＋，因为a＞0，b＞0，所以直线斜率－＜0，直线截距越大，z越大，作出直线y＝－x＋，
由图象可知当直线y＝－x＋经过点B时，截距最大，此时z＝12，由得代入直线z＝ax＋by得4a＋6b＝12，即＋＝1.所以＋＝＝＋＋＋≥＋＋2＝，当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，故选B.
8．(2015·湖北鄂州一模，14)已知x＞0，则的最大值为________．
【解析】 因为＝，又x＞0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时取等号，所以0＜≤，即的最大值为.
【答案】
9．(2015·湖南邵阳一模，15)设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)(a＞0，b＞0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是________．
【解析】 易知＝(a－1，1)，＝(－b－1，2)．因为A，B，C三点共线，所以2(a－1)－(－b－1)＝0，即2a＋b＝1.又a＞0，b＞0，所以＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋4＝8，当且仅当a＝，b＝时，等号成立．
【答案】 8
10．(2015·安徽望江中学二模，14)设二次函数f(x)＝ax2－4x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最大值为________．
【解析】 由题意知a＞0，Δ＝16－4ac＝0，∴c＝＞0，
∴＋＝＋＝＋＝＝1＋＝1＋.
∵a＞0，∴a＋≥12，
∴＋≤1＋＝.
【答案】
11．(2015·湖北孝感一模，18，12分)某工厂去年某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品的固定成本为8元，今年，工厂第一次投入100万元，
并计划以后每年比上一年多投入100万元，预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝(k＞0，k为常数，n∈N)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．
(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；
(2)若今年是第1年，则第几年年利润最高？最高利润为多少万元？
解：(1)∵g(n)＝，当n＝0时，由题意得k＝8.
从而第n次投入后的年利润f(n)为
f(n)＝(100＋10n)－100n
＝1 000－80.
(2)由(1)知
f(n)＝1000－80
≤1 000－80×2×＝520，
当且仅当＝，即n＝8时取等号．
所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元．
(时间：90分钟__分数：120分)
一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)
1．(2014·陕西咸阳二模，5)下列命题中，正确的是( )
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ac＞bc，则a＞b
C．若＜，则a＜b
D．若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
【答案】 C 对于A项，只有在a，b，c，d均为正数时成立；对于B项，当c＜0时，则ac＞bc⇒a＜b，所以错误；由不等式的性质知C项正确；对于D项，同向不等式作差一般不成立，例如，c＝a，d＝b时，a－c＞b－d不成立，故选C.
2．(2012·湖南，7)设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．
其中所有的正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
【答案】 D ∵a＞b＞1，∴＜.又c＜0，
∴＞，故①正确．
构造函数y＝xc.
∵c＜0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数．
又a＞b＞1，
∴ac＜bc，故②正确．
∵a＞b＞1，－c＞0，∴a－c＞b－c＞1.
∵a＞b＞1，
∴logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，
即logb(a－c)＞loga(b－c)，故③正确．
3．(2015·安徽马鞍山一模，5)已知logb＜loga＜0＜c＜1，则( )
A．2b＞2a＞2c B．2a＞2b＞2c
C．2c＞2b＞2a D．2c＞2a＞2b
【答案】 A 由logb＜loga＜0，得b＞a＞1.
又∵0＜c＜1，∴0＜c＜1.∴c＜a＜b，
∴2b＞2a＞2c.
4．(2014·天津，2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】 B 由线性约束条件画出可行域(如图所示)．
由z＝x＋2y，得y＝－x＋z，z的几何意义是直线y＝－x＋z在y轴上的截距，要使z最小，需使z最小，易知当直线y＝－x＋z过点A(1，1)时，z最小，最小值为3，故选B.
5．(2014·湖北，4)若变量x，y满足约束条件则2x＋y的最大值是( )
A．2 B．4 C．7 D．8
【答案】 C 画出可行域如图(阴影部分)，
设目标函数为z＝2x＋y，由解得A(3，1)，当目标函数过A(3，1)时取得最大值，∴zmax＝2×3＋1＝7，故选C.
6．(2013·重庆，3)(－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B. C．3 D.
【答案】 B 因为－6≤a≤3，所以≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时等号成立，故选B.
7．(2015·江西抚州一模，10)已知正数a，b，c满足a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，则c的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】 D ∵正数a，b满足a＋b＝ab，∴ab≥2⇒()2－2≥0⇒≥2⇒ab≥4.由a＋b＝ab，a＋b＋c＝abc，
得c＝＝＝1＋.
∵ab≥4，∴ab－1≥3，∴0＜≤，
∴1＜1＋≤，故选D.
8．(2011·北京，7)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
【答案】 B 每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓储费用是元，则＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，
∴每批应生产产品80件，故选B.
9．(2011·广东，6)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为( )
A．3 B．4 C．3 D．4
【答案】 B 由题意知区域D用图表示为：
∴z＝·＝x＋y.
∴当点M的坐标是(，2)时，z取最大值，zmax＝4，故选B.
10．(2015·山东泰安一模，7)设奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，若函数f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1，1]都成立，则当a∈[－1，1]时t的取值范围是( )
A．－2≤t≤2 B．－≤t≤
C．t≤－2或t＝0或t≥2 D．t≤－或t＝0或t≥
【答案】 C 因为奇函数f(x)在[－1，1]上是增函数，且f(－1)＝－1，所以最大值为f(1)＝1，要使f(x)≤t2－2at＋1对所有的x∈[－1，1]都成立，则1≤t2－2at＋1，即t2－2at≥0，即t(t－2a)≥0，当t＝0时，不等式成立．当0≤a≤1时，不等式的解为t≥2a≥2.当－1≤a≤0时，不等式的解为t≤2a≤－2.综上选C.
二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)
11．(2014·福建厦门二模，11)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－4，1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c＞0的解集为________．
【解析】 由题意可知，－4，1是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，
所以－3＝－，－4＝，即b＝3a，
c＝－4a，
b(x2－1)＋a(x＋3)＋c>0可变为3x2＋x－4＜0，解得－＜x＜1.
【答案】
12．(2014·湖南，13)若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为________．
【解析】 二元一次不等式组表示的平面区域为如图所示的△ABC的内部及其边界，由z＝2x＋y得y＝－2x＋z.当直线y＝－2x＋z过B点时，z最大．由得B(3，1)，因此，当x＝3，y＝1时，zmax＝2×3＋1＝7.
【答案】 7
13．(2013·北京，12)设D为不等式组表示的平面区域．区域D上的点与点(1，0)之间的距离的最小值为________．
【解析】 不等式组表示的平面区域如图所示．
由题意得A(1，2)，B(0，3)，O(0，0)．由图可知最小值是点(1，0)到直线y＝2x的距离，即d＝＝.
【答案】
14．(2012·四川，16)设a，b为正实数．现有下列命题：
①若a2－b2＝1，则a－b＜1；
②若－＝1，则a－b＜1；
③若|－|＝1，则|a－b|＜1；
④若|a3－b3|＝1，则|a－b|＜1.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的编号)
【解析】 ①中，a2－b2＝(a＋b)(a－b)＝1，a，b为正实数，若a－b≥1，则必有a＋b＞1，a2－b2≠
1，不合题意，故①正确．
②中，－＝＝1，只需a－b＝ab即可．如取a＝2，b＝满足上式，但a－b＝＞1，故②错．
③中，a，b为正实数，所以＋＞|－|＝1，且|a－b|＝|(＋)(－)|＝|＋|＞1，故③错．
④中，|a3－b3|＝|(a－b)(a2＋ab＋b2)|＝|a－b|(a2＋ab＋b2)＝1.
若|a－b|≥1，不妨取a＞b＞1，则必有a2＋ab＋b2＞1，不合题意，故④正确．
【答案】 ①④
三、解答题(共4小题，共50分)
15．(12分)(2015·山东潍坊调研，18)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0.
解：若a＝0，原不等式等价于－x＋1＜0，解得x＞1.
若a＜0，原不等式等价于(x－1)＞0，解得x＜或x＞1.
若a＞0，原不等式等价于(x－1)＜0.
①当a＝1时，＝1，(x－1)＜0无解；
②当a＞1时，＜1，解(x－1)＜0，得＜x＜1；
③当0＜a＜1时，＞1，解(x－1)＜0，得1＜x＜.
综上所述，当a＜0时，解集为；
当a＝0时，解集为{x|x＞1}；
当0＜a＜1时，解集为；当a＝1时，解集为∅；
当a>1时，解集为.
16．(12分)(2015·河南郑州质检，18)若正数x，y满足x＋2y＋4＝4xy，且不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，求实数a的取值范围．
解：∵正实数x，y满足x＋2y＋4＝4xy，
即x＋2y＝4xy－4，∴不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，
即(4xy－4)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，变形得2xy(2a2＋1)≥4a2－2a＋34恒成立，即xy≥恒成立．
又∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥2，
∴4xy＝x＋2y＋4≥4＋2，
即2()2－－2≥0，
∴≥或≤－(舍去)，可得xy≥2.
要使xy≥恒成立，只需2≥恒成立，
化简得2a2＋a－15≥0，
解得a≤－3或a≥.
故a的取值范围是(－∞，－3]∪.
思路点拨：不等式(x＋2y)a2＋2a＋2xy－34≥0恒成立，即xy≥恒成立，由基本不等式结合不等式的解法得xy≥2，故只需2≥恒成立，解关于a的不等式可得结论．
17．(12分)(2015·黑龙江哈尔滨三模，18)本地一公司计划2015年在省、市两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，省、市电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，预计省、市两个电视台为该公司所做的广告每分钟能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．那么该公司如何分配在省、市两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
解：设该公司在省电视台和市电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得
目标函数为z＝3 000x＋2 000y.
上述二元一次不等式组等价于
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示．
作直线l：3 000x＋2 000y＝0，
即3x＋2y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
联立
解得
∴点M的坐标为(100，200)．
∴zmax＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)．
即该公司在省电视台和市电视台做广告的时间分别为100分钟和200分钟时，总收益最大，最大收益为70万元．
18．(14分)(2015·广州惠州质检，20)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图所示)．
(1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；
(2)要使公园所占面积最小，则休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
解：(1)设休闲区的宽为a米，则长为ax米，由a2x＝4 000，得a＝.
则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)
＝a2x＋(8x＋20)a＋160
＝4 000＋(8x＋20)·＋160
＝80＋4 160(x>1)．
(2)由(1)知，
S(x)＝80＋4 160
≥80×2＋4 160
＝1 600＋4 160＝5 760.
当且仅当2＝，即x＝2.5时，等号成立，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100米，宽40米．
