【数学】广西桂林、崇左、防城港市2020届高三联合模拟考试试题（文）（解析版）

【数学】广西桂林、崇左、防城港市2020届高三联合模拟考试试题（文）（解析版）

广西桂林、崇左、防城港市2020届高三联合模拟考试 数学试题（文）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，，‎ 所以，‎ 故选A.‎ ‎2.已知（其中为虚数单位），则的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题得.‎ 所以的虚部为1.‎ 故选：B.‎ ‎3.已知，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，，‎ 所以，‎ 故选A.‎ ‎4.若x,y满足约束条件的取值范围是（ ）‎ A. [0,6] B. [0,4] C. [6, D. [4, ‎ ‎【答案】D ‎【解析】x、y满足约束条件，表示的可行域如图：‎ 目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，‎ 由解得C（2，1），‎ 目标函数的最小值为：4‎ 目标函数的范围是[4，+∞）．‎ 故选D．‎ ‎5.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出名学生参加文史知识竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的平均分是，乙班学生成绩的中位数是，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】班学生成绩的平均分是85，‎ ‎，‎ 即．‎ 乙班学生成绩的中位数是83，‎ 若，则中位数为81，不成立．‎ 若，则中位数为，‎ 解得．‎ ‎，‎ 故选：C．‎ ‎6.函数的大致图象为（　　）‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数，，，，则函数为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当，排除B， 故选A.‎ ‎7.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，直角三角形的斜边长为，‎ 设内切圆的半径为，则，解得.‎ 所以内切圆的面积为，‎ 所以豆子落在内切圆外部的概率，故选C．‎ ‎8.在中，若，则的形状是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】由已知，或，即或，由正弦定理，得，即，即，均为的内角，或或，为等腰三角形或直角三角形，故选D.‎ ‎9.已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（ ）‎ A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称 ‎【答案】B ‎【解析】因为函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，‎ 所以函数的周期为，，，‎ 将函数的图象向左平移个单位后，‎ 得到函数图象，‎ 图象关于轴对称，‎ ‎，即，‎ 又，，‎ 令，‎ 解得，‎ ‎，得的图象关于点对称，故选B.‎ ‎10.如图所示，正方体的棱长为，为，的中点，点是正方形内的动点，若平面，则点的轨迹长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，取中点，的中点，的中点，连接，，，，，，．‎ 可得：四边形是平行四边形，．‎ 又平面，平面，‎ 所以平面 同理可得：．又平面，平面，‎ 所以平面 ‎．‎ 平面平面，‎ 点是正方形内的动点，若平面．‎ 点在线段上．‎ 点的轨迹长度．‎ 故选：C．‎ ‎11.已知函数在区间（1，3）上有最大值，则实数a的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】. 令，‎ 由韦达定理可得若函数有零点，则必有一个负零点和一个正零点， 又由函数在区间（1，3）上有最大值，‎ 则在区间（1，3）上有零点， 由零点存在性定理可得，‎ 解得. ∴实数a的取值范围是. 故选：A.‎ ‎12.已知双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，且线段的垂直平分线经过点，则的离心率为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设双曲线的左焦点为，连接.点是线段的中点，是线段的垂直平分线，则点在上.‎ 如图所示 则.‎ 又双曲线和以为圆心的圆都关于轴对称，点关于轴对称，‎ 是等边三角形，‎ ‎.‎ 由题意，.‎ 又点在双曲线的右支上，.‎ 中，，由余弦定理得 ‎，‎ 即，‎ 整理得，即或（舍），‎ ‎.‎ 故选：B.‎ 二、填空题 ‎13.已知，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为 所以，‎ 所以 故答案为：‎ ‎14.已知向量，，则在方向上的投影为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为向量，，‎ 所以，‎ 因此，在方向上的投影为.‎ 故答案为：.‎ ‎15.设函数，则使成立的的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，函数的定义域为 可看作和复合而成的 在上单调递增，且函数递增 函数在上单调递增 ‎，则函数为偶函数 等价于 即，即，整理得 解得或 故答案为：‎ ‎16.在三棱锥中，平面平面，是边长为6的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，在等边三角形中，取的中点，‎ 设其中心为，由，‎ 得，‎ 是以为斜边的等腰角三角形，,‎ 又因为平面平面，‎ 平面 ，，‎ ‎，‎ 则为棱锥的外接球球心，‎ 外接球半径，‎ 该三棱锥外接球的表面积为，‎ 故答案为.‎ 三、解答题 ‎17.如图是某市‎3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择‎3月1日至‎3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.‎ ‎（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；‎ ‎（2）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；‎ ‎（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）‎ 解：（1）在‎3月1日至‎3月13日这13天中，5日、8日共2天的空气重试污染，所以此人到达当日空气重度污染的概率为.‎ ‎（2）根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为.‎ ‎（3）由图可以看出，从‎3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.‎ ‎18.已知数列的前项和为，，.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，设数列的前项和为，求.‎ ‎（1）证明：因为，，所以，所以，‎ 所以.‎ 所以是以为首项，以为公差的等差数列.‎ ‎（2）解：由（1）可得，所以.‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎19.已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足（表示的面积）.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）当时，求点到平面的距离.‎ ‎（1）证明：由题知四边形ABCD为正方形 ‎∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD ‎∴AB//平面PCD ‎ 又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF ‎∴EF // AB，又AB//CD ‎∴EF //CD， ‎ 由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点 连接BD交AC与G，则G为BD中点，‎ 在△PBD中FG为中位线，∴ EG//PB ‎ ‎∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE ‎∴PB//平面ACE. ‎ ‎（2）解：∵PA=2，AD=AB=1， ∴, ‎ ‎∵CD⊥AD，CD⊥PA，AD∩PA=A，‎ ‎∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD 在Rt△CDE中， ‎ 在△ACE中由余弦定理知 ‎∴，∴S△ACE=‎ 设点F到平面ACE的距离为，则 ‎ 由DG⊥AC，DG⊥PA，AC∩PA=A，得DG⊥平面PAC，且 ‎∵E为PD中点，∴E到平面ACF距离为 ‎ 又F为PC中点，∴S△ACF S△ACP ，∴‎ 由知 ‎∴点F到平面ACE的距离为.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.‎ 解：（1）∵‎ ‎①若时，，此时函数在上单调递增；‎ ‎②若时，又得：‎ 时，此时函数在上单调递减；‎ 当时，此时函数在上单调递增；‎ ‎（2）由题意知：在区间上有两个不同实数解，‎ 即函数图像与函数图像有两个不同的交点，‎ 因为，令得：‎ 所以当时，，函数在上单调递减 当时，，函数在上单调递增；‎ 则，而，且，‎ 要使函数图像与函数图像有两个不同的交点，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎21.已知椭圆的焦点坐标为，，过垂直于长轴的直线交椭圆于、两点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过的直线与椭圆交于不同的两点、，则的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由.‎ 解：（1）设椭圆方程为，由焦点坐标可得.‎ 由，可得.又，得，.‎ 故椭圆方程为.‎ ‎（2）设，，不妨令，，‎ 设的内切圆的半径为，则的周长为，‎ ‎，‎ 因此要使内切圆的面积最大，则最大，此时也最大.‎ ‎，‎ 由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，‎ 由得，‎ 得，，‎ 则，令，则，‎ 则 令，则，‎ 当时，，所以在上单调递增，‎ 有，，‎ 当，时，，又，∴‎ 这时所求内切圆面积的最大值为，此时直线的方程为 ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（Ⅰ）求圆的极坐标方程； ‎ ‎（Ⅱ）设是圆上的两个动点，且，求的最大值.‎ 解：（Ⅰ）圆的直角坐标方程为，即，‎ 所以圆的极坐标方程为，即. ‎ ‎(Ⅱ)设的极坐标为，，则 ‎，则 ‎,‎ 又，所以，‎ 所以当时，取最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，解不等式；‎ ‎（Ⅱ）当时，函数的最小值为，求实数的值.‎ 解：(Ⅰ) 时，不等式为 ‎①当 时，不等式化为，，此时 ‎ ‎②当 时，不等式化为，‎ ‎③当 时，不等式化为，，此时 综上所述，不等式的解集为 ‎（Ⅱ）法一：函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，当a＜2，即时，‎ ‎ ‎ 所以f(x)min＝f（）＝－＋1＝3，得a＝－4＜2(符合题意)，故a＝－4. ‎ 法二： ‎ 所以，又，所以.‎