辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学（文）试题

辽宁省沈阳市东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试数学（文）试题

‎ 东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟考试 数学试题（文科）‎ ‎ ‎ 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、 选择题（共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题列出的四个选项中，选出符 合题目要求的一项.）‎ ‎1.已知集合，集合，则有 A. B. C. D.‎ ‎2.若复数满足，则在复平面内与复数对应的点位于 ‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.“为第一或第四象限角”是“”的 ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度. 某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%，2015年开始全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占2019年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：‎ 实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业 参加户占比 ‎40%‎ ‎40%‎ ‎10%‎ ‎10%‎ 脱贫率 ‎95%‎ ‎95%‎ ‎90%‎ ‎90%‎ 那么2019年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）倍 A. B. C. D.‎ ‎5.已知正项等比数列的前项和为，，则公比的值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音. 一般地，若强度为的声音对应的等级为dB，则有，则90dB的声音与60dB的声音强度之比 ‎ A.100 B.1000 C. D.‎ ‎8.如图，在以下四个正方体中，使得直线与平面垂直的个数是 ‎ ① ② ③ ④‎ ‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎9.已知圆与抛物线的准线交于，两点，且，为该抛物线上一点，，垂足为点，点为该抛物线的焦点.若是等边三角形，则的面积为 ‎ A. B.4 C. D.2‎ ‎10.已知函数，若函数的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎11.已知为双曲线上位于右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，则的最小值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.已知函数（，）满足，‎ ‎，且在区间上是单调函数，则的值可能是 A.3 B.4 C.5 D.6‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上.）‎ ‎13.等差数列中，，公差，是其前项和，若，则 .‎ ‎14.已知实数，满足约束条件，则的最小值为 .‎ ‎15.圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，若圆锥的底面半径为3，则圆锥的内切球的表面积为 . ‎ ‎16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数. 设，则函数的所有零点之和为 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 在 ①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．‎ 已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若 ‎，，求的面积的大小．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x（元）与销量（杯）的相关数据如下表：‎ 单价x（元）‎ ‎8.5‎ ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10‎ ‎10.5‎ 销量y（杯）‎ ‎120‎ ‎110‎ ‎90‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎（Ⅰ）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大?（结果四舍五入保留到整数）‎ 附：线性回归方程中斜率和截距最小二乗法估计计算公式：，，，.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图，在四边形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，，三棱锥的表面积为，求三棱锥的体积.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）求 的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点. 如果函数存在不动点，求实数的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线与轴的正半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点，两点，连接，求的面积的最大值．‎ 请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.（本小题满分10分）【选修4－4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若射线与曲线交于，两点，求.‎ ‎23.（本小题满分10分）【选修4-5: 不等式选讲】‎ 已知，函数，.‎ ‎（Ⅰ）若，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值与最小值之和.‎ 东北育才学校高中部2020届高三第八次模拟数学试题（文科）‎ ‎ 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题：高三数学备课组 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、 选择题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。‎ ‎1.已知集合，集合，则有（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【详解】,‎ 故选C.‎ ‎2.若复数满足，则与复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限 ‎【详解】，点位于第四象限 故选：D ‎3.“为第一或第四象限角”是“”的（）‎ A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 ‎【详解】时，是第一或第二象限角或终边在轴正半轴，因此“为第一或第四象限角”是“”的充分不必要条件．‎ 故选：A．‎ ‎4.C ‎5.已知正项等比数列的前项和为，，则公比的值为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【详解】，．，‎ 化为：，解得．‎ 故选：．‎ ‎6.如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 A. B. C. D.‎ ‎【解析】连接，，则．‎ 故答案为：C.‎ ‎7.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，其中0dB是人能听到的等级最低的声音.一般地，如果强度为的声音对应的等级为的dB，则有,则90dB的声音与60dB的声音强度之比 A.100B.1000 C. D.‎ ‎【详解】令,则,则,同理,所以 答案:B ‎8．如图，在以下四个正方体中，使得直线与平面垂直的个数是（）‎ ‎ ① ② ③ ④‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【详解】对于A，由与所成角为，‎ 可得直线与平面不垂直；‎ 对于B，由，，，‎ 可得平面；‎ 对于C，由与所成角为，‎ 可得直线与平面不垂直；‎ 对于D，连接，由平面，‎ 可得，同理可得，‎ 又，所以平面.‎ 故选：B ‎9.已知圆与抛物线的准线交于，两点，且，为该抛物线上一点，于点，点为该抛物线的焦点.若是等边三角形，则的面积为（ ）‎ A. B. 4 C. D. 2‎ ‎【详解】由可得圆心到的距离为，即，即 所以抛物线的方程为 因为是等边三角形，焦点到准线的距离为2‎ 所以的边长为4‎ 所以 故选：A ‎10.已知函数若函数的图象上存在关于坐标原点对称的点，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】存在两对称点,,则,即,故与有交点,先求得与相切时的斜率,进而求解即可 ‎【详解】由题,设两对称点,,，则,所以,即与有交点,设与的切点为,则切线斜率为,又有,所以,即,所以当与有交点时,,故选:B ‎11.已知为双曲线上位于右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，则的最小值为 A.B. C.D.‎ ‎【详解】由题意双曲线的渐近线为，即，‎ 设，不妨设在渐近线上，‎ 在双曲线上，则，，‎ ‎，，∴‎ 两渐近线夹角为，∴，，当且仅当时等号成立，∴，即最小值为，D正确．‎ ‎12．已知函数（，）满足，，且在上是单调函数，则的值可能是 A．3 B．4C．5 D．6‎ ‎【详解】函数满足，所以函数关于对称，同时又满足，所以函数又关于对称，设周期为,‎ ‎，而显然是奇数，‎ 当=3时，，关于对称，‎ ‎，而，，，‎ ‎，显然不单调；‎ 当=5时，，关于对称，‎ ‎，而，，，‎ ‎，显然单调，‎ 故选C 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题共4小题，每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.在等差数列中，首项，公差，是其前项和，若，则 答案:46‎ 解：因为等差数列中，首项，公差，其前项和,‎ 所以，,‎ ‎,‎ ‎,‎ 解得,‎ ‎14.已知点满足约束条件则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【详解】作出可行域，如图，由图可知点到距离最小，‎ 联立和，得，所以原点到点的距离的最小值为.‎ 故答案为：.‎ ‎15．圆锥（其中为顶点，为底面圆心）的侧面积与底面积的比是，，则圆锥的内切球的表面积为 ‎【详解】设圆锥底面圆的半径为r,圆锥母线长为l，则侧面积为，‎ 侧面积与底面积的比为,则母线l=2r,所以轴截面为边长为6的等边三角形 其内切圆的半径为，所以所求内切球的表面积为 ‎16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为 ‎【详解】由题意知，当时，，所以不是函数的零点，‎ 当时，可得，，‎ 令，‎ 作出函数的图象如图所示：‎ 由图象可知，除点外，函数图象其余交点关于（0，1）中心对称，∴横坐标互为相反数，即，‎ 由函数零点的定义知，函数的所有零点之和为 ‎.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ ‎①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决相应问题．‎ 已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，，求的面积的大小．‎ ‎【详解】因为，，‎ ‎，所以．‎ 显然，所以，又，所以．‎ 若选择①由得,‎ 又,，由，‎ 得．‎ 又 ‎，‎ 所以．‎ 若选择②，‎ 所以 ‎18. (本小题满分12分)‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 一饮料店制作了一款新饮料，为了进行合理定价先进行试销售，其单价x ‎（元）与销量（杯）的相关数据如下表：‎ 单价x（元）‎ ‎8.5‎ ‎9‎ ‎9.5‎ ‎10‎ ‎10.5‎ 销量y（杯）‎ ‎120‎ ‎110‎ ‎90‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎（Ⅰ）已知销量y与单价x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）若该款新饮料每杯的成本为8元，试销售结束后，请利用（Ⅰ）所求的线性回归方程确定单价定为多少元时，销售的利润最大?（结果四舍五入保留到整数）‎ 附：线性回归方程中斜率和截距最小二乗法估计计算公式：，，，.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 如图，在四边形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）若为的中点，，三棱锥的表面积为，求三棱锥的体积.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，‎ 所以平面，‎ 又因为平面，所以.‎ 又因为，‎ 所以平面.‎ ‎（2）∵平面，‎ ‎∴三棱锥的各面均为直角三角形，‎ 设，则，，‎ ‎∴三棱锥的表面积为，‎ ‎∴‎ ‎∵为的中点，‎ ‎∴‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数，.‎ ‎（1）求 的单调区间；‎ ‎（2）定义：对于函数，若存在，使成立，则称为函数的不动点.如果函数存在不动点，求实数的取值范围.‎ ‎【详解】(1)的定义域为，‎ 对于函数，‎ ‎①当时，在恒成立.‎ 在恒成立.在为增函数；‎ ‎② 当时，由，得；‎ 由，得；‎ 在为增函数，在减函数.‎ 综上，当时，的单调递增区间为 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 ‎（2），‎ 存在不动点，方程有实数根，即有解， ‎ ‎ ………………5分 ‎ 令，，………………6分 ‎ 令，得，‎ 当时，单调递减； ‎ 当时，单调递增； ‎ ‎， ………………8分 设,则,,即时,‎ 将两边取对数,则 ………………10分 当时,‎ 当时 , ‎ 当时，有不动点，‎ 的范围为. ………………12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知长度为4的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点 的轨迹为曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线与轴的正半轴交于点，过点作互相垂直的两条直线，分别交曲线C于点，两点，连接，求的面积的最大值．‎ ‎【详解】（Ⅰ）解：设.‎ ‎，‎ ‎，即.‎ ‎. 又，.‎ 从而.‎ 曲线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，直线的斜率存在且不为o．‎ 故可设直线的方程为，由对称性，不妨设，‎ 由，消去得，‎ 则，将式子中的换成，得：．‎ ‎，‎ 设，则．‎ 故，取等条件为即，‎ 即，解得时，取得最大值．‎ 请考生在22~23中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.(本小题满分10分)【选修4－4：坐标系与参数方程】‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若射线与曲线交于，两点，求.‎ 解：（1）由得，‎ 即，‎ 故曲线的极坐标方程为.‎ 射线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将代入，‎ 得，即，‎ 则，，‎ 所以.‎ ‎23.(本小题满分10分)【选修4-5: 不等式选讲】‎ 已知，函数，.‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）若对恒成立，求的最大值与最小值之和.‎ 解：（1）因为，所以，‎ 两边同时平方得，‎ 即，‎ 当时，；‎ 当时，.‎ ‎（2）因为，‎ 所以的最小值为3，‎ 所以，则，‎ 解得，‎ 故的最大值与最小值之和为.‎