2019届二轮复习（文）等比数列及其前n项和学案（全国通用）

2019届二轮复习（文）等比数列及其前n项和学案（全国通用）

‎ 5.3 等比数列及其前n项和 一、知识梳理：‎ ‎1．等比数列的定义 如果一个数列 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示．‎ 用符号语言表示为：＝q(n≥2，q为非零常数)，或＝q(n∈N ，q为非零常数)．‎ ‎2．等比中项 若 ，那么G叫做a与b的等比中项．‎ ‎3．等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝ ．‎ 通项公式的推广：an＝am· (n，m∈N )．‎ ‎4．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，‎ 当q＝1时，Sn＝ ；‎ 当q≠1时，Sn＝ ;‎ ‎5．等比数列的常用性质 ‎(1)若{an}，{bn}(项数同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．‎ ‎(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N )，则 .‎ ‎(3)若{an}是等比数列，公比为q，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N )是公比为 的等比数列．‎ ‎(4)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 .‎ ‎【思考辨析】：判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)满足an＋1＝qan(n∈N ，q为常数)的数列{an}为等比数列． ( 　)‎ ‎(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab. ( 　) ‎ ‎(3)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列． ( 　) ‎ ‎(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列． ( 　) ‎ ‎(5)等比数列{an}的首项为a，公比为－1，前n项和为Sn，则S2n＝0，S2n－1＝a. ( 　)‎ ‎(6)1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5＝. ( 　) ‎ 二、基础自测：‎ ‎1. （2017年江苏，9T）等比数列的各项均为实数，其前n项的和为，已知，则 .‎ ‎2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S1，S2＋a2，S3成等差数列，则数列{an}的公比为(　　)‎ A．1 B．2 C. D．3‎ ‎3.(2018·临沂模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn=a·2n-1+,则a的值为 ‎ (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎4．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(　　)‎ A．12 B．10 C． 8 D．2＋log35‎ ‎5．设Sn是等比数列{an}的前n项和，若＝3，则＝ (　　)‎ A．2 B. C. D．1或2‎ 三、典例分析：‎ 题型一　等比数列基本量的计算 ‎[例1] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＋a3＝，且a2＋a4＝，则＝(　　)‎ A．4n－1 B．4n－1 C．2n－1 D．2n－1‎ ‎[变式1] 已知Sn是各项均为正数的等比数列{an}的前n项和，若a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝ .‎ 题型二　等比数列的性质及应用 ‎[例2] 已知已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝ (　　)‎ A．5 B．7 C．6 D．4 ‎[变式2] 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝ .‎ ‎[变式3] 设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(　　)‎ A. B．－ C. D. 题型三　等比数列的判定与证明 ‎[例3] 设已知数列{an}满足对任意的正整数n，均有an＋1＝5an－2·3n，且a1＝8.‎ ‎(1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎[变式4] 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝，n∈N .‎ ‎(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；‎ ‎(2)求{an}的通项公式．‎ ‎ 5.3 等比数列及其前n项和 跟踪练习 一、选择题 ‎1．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于 (　　)‎ A．3 B．－3 C．－1 D．1‎ ‎2．(2017年全国Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 (　　)‎ A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 ‎3．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N ，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为A．－2 B．2 C．－3 D．3 (　　)‎ ‎4．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝x·3n－1－，则x的值为 (　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎5． 各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n等于 (　　)‎ A．80 B．30 C．26 D．16‎ ‎6．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于 (　　)‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎7．在公比为的等比数列{an}中,若sin(a1a4)=,则cos(a2a5)的值是 (　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎8．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的一个可能的值是 (　　)‎ A. B. C．2 D. ‎9．(2018·衡水模拟)已知正数组成的等比数列{an}，若a1·a20＝100，那么a7＋a14的最小值为A．20　　　 B．25 C．50　　　 D．不存在 (　　)‎ ‎10．正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋2a1，若存在am，an，使得aman＝16a，则＋的最小值为 A. B. C. D. (　　)‎ 二、填空题 ‎11．若三个正数，，成等比数列，其中，，则 ．‎ ‎12．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则的值为 ．‎ ‎13．在等比数列{an}中，a1＝2，a4＝16，则数列{an}的通项公式an＝ ，设bn＝log2an，则数列{bn}的前n项和Sn＝ ．‎ ‎14． (2018·河北武邑中学二模)设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a11＝2(Sm－Sn)(m>n>0，m，n∈N )，则m＋n的值是 ．‎ ‎15．(2018·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝ .‎ ‎16．已知数列{xn}满足lg xn＋1＝1＋lg xn(n∈N )，且x1＋x2＋x3＋…＋x100＝1，则lg(x101＋x102＋…＋x200)＝ .‎ ‎ 5.3 等比数列及其前n项和 跟踪练习答题卷 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 二、填空题 ‎11、 12、 13、 14、 15、 16、 ‎ 三、解答题 ‎17．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81。‎ ‎(1)求an；‎ ‎(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn。‎ ‎18．已知等比数列{an}中，a1＝，公比q＝.‎ ‎(1)Sn为{an}的前n项和，证明：Sn＝；‎ ‎(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎19．（2017年全国Ｉ，17T）记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。‎ ‎20．（2018年全国Ｉ，17T）已知数列满足，，设．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；‎ ‎（3）求的通项公式．‎ ‎ 5.3 等比数列及其前n项和 答案 一、 知识梳理：‎ ‎1．从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)； 公比； q； ‎ ‎2．G2＝a·b(ab≠0)； 3．a1·qn－1；·qn－m； ‎ ‎4．na1；＝； 5． ak·al＝am·an； qm； qn.‎ ‎【思考辨析】××××√×‎ 二、基础自测：‎ ‎1. 32 2．【答案】D ‎3.【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=a·2n-1-a·2n-2=a·2n-2,当n=1时,a1=S1=a+,又因为{an}是等比数列,所以a+=,所以a=-. 4．【答案】B 5．【答案】B 三、典例分析：‎ ‎[例1] 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为q，由题意，‎ 得解得 则an＝a1·n－1＝，Sn＝＝，所以＝2n－1.故选D ‎[变式1] 【答案】128‎ ‎[例2] 【答案】A【解析】(a1a2a3)×(a7a8a9)＝a＝50，a4a5a6＝a＝5.选A.‎ ‎[变式2] 【答案】31【解析】a3a5＝a2a6＝64，因为a3＋a5＝20，所以a3和a5为方程x2－20x＋64＝0的两根，因为an>0，q>1，所以a3n>0，m，n∈N ，所以m＝5，n＝4，所以m＋n＝9，故填：9.‎ ‎15．[答案]　14[解析]　设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，‎ 可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以n＝14.‎ ‎16．100‎ 三、解答题 ‎17．【解析】(1)设{an}的公比为q，依题意得 解得因此，an＝3n－1。‎ ‎(2)因为bn＝log3an＝n－1，所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝。‎ ‎18．(1)证明　因为an＝×n－1＝，Sn＝＝，所以Sn＝.‎ ‎ (2)解　bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.所以bn＝－.‎ ‎19．解：‎ ‎（1）设的公比为，由题设可得 解得 故的通项公式为 ‎（2）由（1）可得 由于 故成等差数列 ‎20．解：（1）由条件可得an+1=．‎ 将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．‎ 将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．‎ 从而b1=1，b2=2，b3=4．‎ ‎（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ 由条件可得，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．‎ ‎（3）由（2）可得，所以an=n·2n-1．‎