北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试（5-11班）数学试题

北京市首都师范大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试（5-11班）数学试题

首都师大附中2019—2020学年第一学期期中考试 高一数学（5-11班）‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，再计算得到答案.‎ ‎【详解】，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题.‎ ‎2.已知命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为（ ）‎ A. ∀c＞0，方程x2-x+c=0无解 B. ∀c≤0，方程x2-x+c=0有解 C. ∃c＞0，方程x2-x+c=0无解 D. ∃c≤0，方程x2-x+c=0有解 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特称命题的否定是全称命题，可得结果.‎ ‎【详解】命题p：∃c＞0，方程x2-x+c=0有解，则¬p为∀c＞0，方程x2-x+c=0无解,‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查特称命题否定，是基础题.‎ ‎3.已知定义在R上的函数f（x）的图像是连续不断的，且有如下对应值表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ f（x）‎ ‎6.1‎ ‎2.9‎ ‎-3.5‎ ‎-1‎ 那么函数f（x）一定存在零点的区间是（ ）‎ A. （-∞，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，4）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由表中数据，结合零点存在性定理可得出结果.‎ ‎【详解】由表可知，‎ 由零点存在性定理可知f（x）一定存在零点的区间是（2，3），‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查零点存在性定理，理解零点存在性定理是关键，是基础题.‎ ‎4.下列函数中，在其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减的（ ）‎ A. y=x2 B. y=‎ C. y=x+1 D. y=-‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 运用函数的奇偶性和单调性对每个选项进行判断.‎ ‎【详解】对A. y=x2在（0,+∞）上单调递增，故排除；‎ 对B. y=，其定义域上既是偶函数，又在（0,+∞）上单调递减；‎ 对C. y=x+1，其为非奇非偶函数，故排除；‎ 对D. y=-，其为非奇非偶函数，故排除，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的判断，是基础题.‎ ‎5.若a＞b，则下列四个不等式中必成立的是（ ）‎ A. ac＞bc B. ＞‎ C. a2＞b2 D. ＞‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据不等式的基本性质，逐一分析选项是否恒成立.‎ ‎【详解】A.当时，不等式不成立；‎ B.当时，不等式不成立；‎ C.当时，不等式不成立；‎ D.因为，故不等式必成立，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题以命题真假判断为载体，考查了不等式恒成立，不等式的基本性质，是基础题.‎ ‎6.函数f(x)=的最大值为 （ ）‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 本小题主要考查均值定理．（当且仅，即时取等号．故选B．‎ ‎7.是命题“，”为真命题的　　‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎“，”等价于大于等于的最大值，由的范围求得的范围，可得的取值范围，然后结合充分条件、必要条件的定义可得结果．‎ ‎【详解】因为“，”等价于大于等于的最大值，‎ 而，有，所以，‎ 由，可得成立，即，成立；‎ 反之，，成立，可得，不能推出．‎ 是命题“，”为真命题的充分而不必要条件，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查恒成立问题的求解方法，考查充分必要条件的判定，是基础题．判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎8.已知奇函数的图像关于直线对称，且，则的值为（ ）‎ A. 3 B. ‎0 ‎C. -3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数的图象关于直线对称，可得，再结合为奇函数，求得的值.‎ ‎【详解】解：由函数的图象关于直线对称，可得， 再结合为奇函数，可得， 求得， 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的性质，函数的图象的对称性，属于基础题.‎ ‎9.已知函数,若对任意,且,不等式恒成立,则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对不等式进行化简，转化为a（x1+x2）﹣1＞0恒成立，再将不等式变形，得到a＞恒成立，从而将恒成立问题转变成求的最大值，即可求出a的取值范围．‎ ‎【详解】不妨设x2＞x1≥2，不等式=‎ ‎==a（x1+x2）﹣1，‎ ‎∵对任意x1，x2∈[2，+∞），且x1≠x2，不等式＞0恒成立，‎ ‎∴x2＞x1≥2时，a（x1+x2）﹣1＞0，即a＞恒成立 ‎∵x2＞x1≥2‎ ‎∴＜‎ ‎∴a≥，即a的取值范围为[，+∞）；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了函数恒成立求参数取值范围，也是常考题型，本题以“任性函数”的形式考查函数恒成立求参数取值范围，一种方法，可以采用参变分离的方法，将恒成立转化为求函数的最大值和最小值，二种方法，将不等式整理为的形式，即求 ‎ ‎，或是的形式，即求 ，求参数取值.‎ ‎10.给定条件：①∃x0∈R，f（-x0）=-f（x0）；②∀x∈R，f（1-x）=-f（1+x）.下列三个函数：y=x3，y=|x-1|，y=中，同时满足条件①②的函数个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件②得函数图象关于（1，0）对称，故可判断y=x3；根据的解的情况，可判断y=|x-1|；最后验证y=满足①②.‎ ‎【详解】解：令，则，‎ 所以为偶函数，关于对称， 将的图象向右平移一个单位可得的图象，故图象关于对称，故可排除； 若存在一个使得，即，该方程无解，故不满足②，排除； 对于，‎ 当时，，其满足①， 画出图象如下： 由图象可知，满足②. 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的基本性质，根据条件能判断出函数关于对称是关键，属于中档题.‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡中的横线上. ‎ ‎11.计算+=____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化小数为分数，化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简求值.‎ ‎【详解】原式，‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础的计算题.‎ ‎12.函数y=+的定义域为____________.‎ ‎【答案】[，1）∪（1，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令被开方数大于等于0，同时分母非0，列出不等式组，求出的范围.‎ ‎【详解】解：要使函数有意义需要解得且， 故答案为：[，1）∪（1，+∞）.‎ ‎【点睛】求函数的定义域，要保证开偶次方根的被开方数大于等于0；分母非0；对数的底数大于0且不为1，真数大于0等方面考虑.‎ ‎13.若函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最大值为4，则a的值为____________.‎ ‎【答案】-1或1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对a分类讨论，利用函数f（x）=x2-2x+1在区间[a，a+2]上的最大值为4，建立方程，即可求得a的值.‎ ‎【详解】解：由题意，当时，，即，‎ ‎； 当时，，即，‎ ‎； 综上知，的值为1或−1. 故答案为：1或−1.‎ ‎【点睛】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题.‎ ‎14.如果关于x的方程x2+（m-1）x-m=0有两个大于的正根，则实数m的取值范围为____________.‎ ‎【答案】（-∞，-）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程有两个大于的根，据此可以列出不等式组求得m的取值范围即可.‎ ‎【详解】解：根据题意，m应当满足条件 即：，解得：， 实数m的取值范围：（-∞，-）. 故答案为：（-∞，-）.‎ ‎【点睛】本题考查根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是正确的运用判别式及韦达定理，是中档题.‎ ‎15.能说明“若对任意的都成立，则在上的最小值大于在上的最大值”为假命题的一对函数可以是____，_______．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式恒成立可设，，结合单调性求出其在上的最大值，即可得到符合题意．‎ ‎【详解】“若对任意的都成立，‎ 则在上的最小值大于在上的最大值”，‎ 可设，，‎ 显然恒成立，且在的最小值为0，在的最大值为1，‎ 显然不成立，故答案为，．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数恒成立问题解法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，熟练掌握初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．‎ ‎16.已知函数.（1）当1时，函数的值域是___________；（2）若函数的图像与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是_______________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据分段函数单调性求值域，‎ ‎（2）先根据分段函数解析式关系确定讨论点，再结合图象确定满足条件的参数范围.‎ ‎【详解】（1）当1时，‎ 当时，‎ 当时，‎ 所以函数的值域是 ‎（2）因为当时，，所以只需函数的图像与直线只有一个公共点，‎ 当，即时，所以当时，函数图像与直线只有一个公共点，‎ 当，即或时，所以当或，即，从而函数的图像与直线无公共点，‎ 因此实数的取值范围是 故答案为：(1). (2). ‎ ‎【点睛】本题考查分段函数值域以及根据函数图象交点个数求参数，考查综合分析判断与求解能力，属中档题.‎ 三、解答题：共40分.‎ ‎17.设关于x的不等式的解集为A，不等式的解集为B．‎ ‎（1）求集合A，B；‎ ‎（2）若，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解绝对值不等式和分式不等式得解；（2）由题得且，解不等式得解.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）∵‎ 且，‎ 即a取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式和分式不等式的解法，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎⑴若函数的图象经过点，求实数的值.‎ ‎⑵当时，函数的最小值为1，求当时，函数最大值.‎ ‎【答案】⑴b＝2；⑵见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把点的坐标代入f（x）计算；‎ ‎（2）对f（x）的对称轴与区间[﹣1，2]的关系进行分情况讨论，判断f（x）的单调性，利用单调性解出b，再求出最大值．‎ ‎【详解】解：（1）把（4，3）代入f（x）得16﹣8b+3＝3，∴b＝2．‎ ‎（2）f（x）的图象开口向上，对称轴为x＝b．‎ ‎①若b≤﹣1，则f（x）在[﹣1，2]上是增函数，‎ ‎∴fmin（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝1，解得b＝﹣．‎ ‎∴fmax（x）＝f（2）＝7﹣4b＝13．‎ ‎②若b≥2，则f（x）在[﹣1，2]上是减函数，‎ ‎∴fmin（x）＝f（2）＝7﹣4b＝1，解得b＝（舍）．‎ ‎③若﹣1＜b＜2，则f（x）在[﹣1，b]上是减函数，在（b，2]上增函数．‎ ‎∴fmin（x）＝f（b）＝﹣b2+3＝1，解得b＝或b＝﹣（舍）．‎ ‎∴fmax（x）＝f（﹣1）＝4+2b＝4+2．‎ 综上，当b≤﹣1时，f（x）的最大值为13，当﹣1＜b＜2时，f（x）最大值为4+2．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的单调性与对称轴的关系，考查了分类讨论思想，属于中档题．‎ ‎19.如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为‎1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎【答案】（1）炮的最大射程是10千米．‎ ‎（2）当不超过‎6千米时，炮弹可以击中目标．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求炮的最大射程即求（k＞0）与x轴的横坐标，求出后应用基本不等式求解．（2）求炮弹击中目标时的横坐标的最大值，由一元二次方程根的判别式求解 试题解析：（1）令y＝0，得kx－（1＋k2）x2＝0，‎ 由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，‎ 故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．‎ ‎（2）因为a＞0，所以炮弹可击中目标 ‎⇔存在k＞0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立 ‎⇔关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ‎⇔判别式Δ＝（－‎20a）2－‎4a2（a2＋64）≥0‎ ‎⇔a≤6.‎ 所以当a不超过6（千米）时，可击中目标．‎ 考点：函数模型的选择与应用 ‎20.如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（-x）≠-f（x），则称该函数是“X—函数”.‎ ‎（1）分别判断下列函数：①y=；②y=x+1；③y=x2+2x-3否为“X—函数”？（直接写出结论）‎ ‎（2）若函数f（x）=x-x2+a是“X—函数”，求实数a取值范围；‎ ‎（3）设“X—函数”f（x）=在R上单调递增，求所有可能的集合A与B.‎ ‎【答案】（1）①②是“X—函数”，③不是“X—函数”.（2）（0，+∞）（3）A=[0，+∞），B=（-∞，0）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用信息判断结果； （2）利用信息的应用求出参数的取值范围； （3）利用函数的单调性的应用和应用的例证求出结果.‎ ‎【详解】（1）①②是“X—函数”，③不是“X—函数”；‎ ‎（2）∵f（-x）=-x-x2+a，‎ ‎-f（x）=-x+x2-a，f（x）=x-x2+a是“X—函数”，‎ ‎∴f（-x）=-f（x）无实数解，‎ 即x2+a=0无实数解，‎ ‎∴a＞0，‎ ‎∴a的取值范围为（0，+∞）；‎ ‎（3）对任意的x≠0，‎ 若x∈A且-x∈A，则-x≠x，f（-x）=f（x），与f（x）在R上单调增矛盾，舍去；‎ 若x∈B且-x∈B，f（-x）=-f（x），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；‎ ‎∴对任意的x≠0，x与-x恰有一个属于A，另一个属于B，‎ ‎∴（0，+∞）⊆A，（-∞，0）⊆B，‎ 假设0∈B，则f（-0）=-f（0），与f（x）是“X—函数”矛盾，舍去；‎ ‎∴0∈A，‎ 经检验，A=[0，+∞），B=（-∞，0）符合题意.‎ ‎【点睛】本题考查的知识要点：信息题型的应用，反证法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.‎