【数学】2020届一轮复习浙江专版板块命题点专练(八)平面向量

【数学】2020届一轮复习浙江专版板块命题点专练(八)平面向量

板块命题点专练(八) 平面向量 命题点一　平面向量基本定理 ‎1．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　)‎ A．(－7，－4)　　　　　　 　B．(7,4)‎ C．(－1,4) D．(1,4)‎ 解析：选A　法一：设C(x，y)，‎ 则＝(x，y－1)＝(－4，－3)，‎ 所以 从而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故选A.‎ 法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，‎ ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A.‎ ‎2．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)‎ A.－ B.－ C.＋ D.＋ 解析：选A　法一：作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.‎ 法二：不妨设△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝，AB＝AC＝1.建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D，E.故＝(1,0)，＝(0,1)，＝(1,0)－＝，即＝－.‎ ‎3．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)‎ A．3 B．2 C. D．2‎ 解析：选A　以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，‎ 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)，D(0,2)，可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，所以圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝.‎ 因为P在圆C上，所以P.‎ 又＝(1,0)，＝(0,2)，＝λ＋μ＝(λ，2μ)，‎ 所以 λ＋μ＝2＋cos θ＋sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.‎ ‎4．(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.‎ 解析：2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，‎ 所以4λ＝2，解得λ＝.‎ 答案： 命题点二　平面向量数量积 ‎1．(2018·浙江高考)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)‎ A．－1 B．＋1‎ C．2 D．2－ 解析：选A　法一：∵b2－4e·b＋3＝0，‎ ‎∴(b－2e)2＝1，∴|b－2e|＝1.‎ 如图所示，把a，b，e的起点作为公共点O，以O为原点，向量e所在直线为x轴，则b的终点在以点(2,0)为圆心，1为半径的圆上，|a－b|就是线段AB的长度．‎ 要求|AB|的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|a－b|的最小值为－1.‎ 法二：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1,0)，由b ‎2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，不妨令点A在射线y＝x(x＞0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.‎ ‎2．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O.记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)‎ A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2‎ C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3‎ 解析：选C　如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AO＜AF，而∠AFB＝90°，∴∠AOB与∠COD为钝角，∠AOD与∠BOC为锐角．根据题意，I1－I2＝·－·＝·(－)＝·＝||·||cos∠AOB＜0，∴I1＜I2，‎ 同理得，I2＞I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，‎ ‎∴OB＜BG＝GD＜OD，而OA＜AF＝FC＜OC，‎ ‎∴||·||＜||·||，‎ 而cos∠AOB＝cos∠COD＜0，‎ ‎∴·＞·，即I1＞I3，‎ ‎∴I3＜I1＜I2.‎ ‎3．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．0‎ 解析：选B　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.‎ ‎∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.‎ ‎4．(2018·天津高考)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)‎ A． B． C． D．3‎ 解析：选A　如图，以D为坐标原点建立平面直角坐标系，连接AC.‎ 由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，‎ 则D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)．‎ 设E(0，y)(0≤y≤ )，‎ 则＝(－1，y)，＝，‎ ‎∴·＝＋y2－y＝2＋，‎ ‎∴当y＝时，·有最小值.‎ ‎5．(2017·浙江高考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，则|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________．‎ 解析：法一：由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝4.‎ 又≤ ＝＝，∴|a＋b|＋|a－b|的最大值为2.‎ 法二：设a，b的夹角为θ.‎ ‎∵|a|＝1，|b|＝2，‎ ‎∴|a＋b|＋|a－b|＝＋ ‎＝＋.‎ 令y＝＋，‎ 则y2＝10＋2.‎ ‎∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]，‎ ‎∴y∈[4,2 ]，即|a＋b|＋|a－b|的最小值为4，最大值为2.‎ 答案：4　2 ‎6．(2017·天津高考)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－ (λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________．‎ 解析：法一：＝＋＝＋ ‎＝＋(－)＝＋.‎ 又·＝3×2×＝3，‎ 所以·＝·(－＋λ)‎ ‎＝－2＋·＋λ2‎ ‎＝－3＋3＋λ×4＝λ－5＝－4，‎ 解得λ＝.‎ 法二：以点A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，不妨假设点C在第一象限，‎ 则A(0,0)，B(3,0)，C(1，)．‎ 由＝2，得D，‎ 由＝λ－，得E(λ－3，λ)，‎ 则·＝·(λ－3，λ)＝(λ－3)＋×λ＝λ－5＝－4，解得λ＝.‎ 答案： ‎7．(2016·浙江高考)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，则a·b的最大值是________．‎ 解析：由于e是任意单位向量，可设e＝，‎ 则|a·e|＋|b·e|＝＋ ‎≥ ‎＝＝|a＋b|.‎ ‎∵|a·e|＋|b·e|≤，∴|a＋b|≤，‎ ‎∴(a＋b)2≤6，∴|a|2＋|b|2＋2a·b≤6.‎ ‎∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋4＋2a·b≤6，‎ ‎∴a·b≤，∴a·b的最大值为.‎ 答案： ‎8．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.‎ 解析：法一：易知|a＋2b|＝＝＝2.‎ 法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以 ‎|a＋2b|＝2.‎ 答案：2