河北省衡水中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

河北省衡水中学2020届高三上学期期中考试数学（文）试题

‎2019-2020学年河北省衡水中学高三（上）期中数学试卷（文科）‎ 一、选择题（本大题共12小题）‎ 1. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是 A. B. C. D. ‎ 2. 等差数列的前n项和为，已知，且，则等于 A. 100 B. ‎50 ‎C. 0 D. ‎ 3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为   ‎ A. B. C. 1 D. 4‎ 4. 在中，D是AB边上一点，，且，则的值为 A. B. C. D. ‎ 5. 已知双曲线的离心率，且与椭圆有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ 6. 已知角满足，则 A. B. C. D. ‎ 7. 已知函数的部分图象如图所示，则 A. B. C. D. ‎ 8. 已知各项不为0的等差数列满足，数列是等比数列且，则等于 A. B. C. D. ‎ 9. 已知点P为双曲线右支上一点，点，分别为双曲线的左右焦点，点I是的内心三角形内切圆的圆心，若恒有成立，则双曲线的离心率取值范围是 A. B. C. D. ‎ 10. 函数向右平移个单位后得到，若在上单调递增，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 11. 已知函数，若当时，有解，则m的取值范围为 A. B. C. D. ‎ 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆：，圆：，点，若点A，B分别为圆和圆上的动点，且，N为线段AB的中点，则MN的最小值为    ‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ 二、填空题（本大题共4小题）‎ 13. 己知向量，，则在方向上的投影为______．‎ 14. 若函数只有一个极值点，则k的取值范围为______．‎ 15. 已知抛物线E：的焦点为F，准线为，过F的直线m与E交于A，B两点，过A作，垂足为M，AM的中点为N，若，则______‎ 16. 数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，，首先给出，接着复制该项后，再添加其后继数2，于是，，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，，，，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加4，，如此继续，则______．‎ 三、解答题（本大题共6小题）‎ 1. 己知的面积为，且且． 求角A的大小； 设M为BC的中点，且，的平分线交BC于N，求线段AN的长度． ‎ 2. 已知等差数列前n项和，等比数列前n项和为，，，． 若，求数列的通项公式； 若，求． ‎ 3. 已知点F为抛物线E：的焦点，点在抛物线E上，且．‎ 求抛物线E的方程； 已知点，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切． ‎ 4. 已知数列的各项均为正数，它的前n项和满足，并且，，成等比数列． 求数列的通项公式； 设，为数列的前n项和，求． ‎ 1. 已知函数，．‎ Ⅰ求函数的单调区间；‎ Ⅱ令两个零点，，证明：． ‎ 2. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的焦距为4，且过点．‎ 求椭圆C的方程 设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M、N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查函数的单调性，奇偶性，是基础题．根据函数单调性，奇偶性，对选项逐一判断即可． 【解答】 解：对于A，函数满足，定义域关于原点对称，且在上单调递增，故A正确； 对于B，，定义域关于原点对称，函数为偶函数，但在上单调递减，故B错； 对于C，函数不是偶函数，故C错； 对于D，，定义域关于原点对称，函数为偶函数，但在上不是增函数，故D错； 故选A． 2.【答案】C ‎ ‎【解析】解：设等差数列的公差为d，又， ， 解得， ， 故选：C． 由题意可得公差d的方程，解得d值代入等差数列的求和公式计算可得． 本题考查等差数列的性质和求和公式，求出公差是解决问题的关键，属基础题． 3.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件，化简运算能力，属于基础题． 求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件可得a的方程，解方程可得所求值． 【解答】 解：的导数为， 可得在点处的切线斜率为， 由切线与直线垂直，可得， 即． 故选：C． 4.【答案】D ‎ ‎【解析】 解：由在中，D是AB边上一点，， 则， 即， 故选：D． 由平面向量的线性运算可得：，即，得解． 本题考查了平面向量基本定理及向量的线性运算，属中档题． 5.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查椭圆，双曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查． 先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，再由离心率求出a的值，最后根据得到b的值，可得到渐近线的方程． 【解答】 解：椭圆的焦点为， 故双曲线中的，且满足，故， ， 所以双曲线的渐近线方程为 故选C． 6.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由已知利用诱导公式可求，根据诱导公式，二倍角公式化简所求即可计算得解． 【解答】 解：， ． 故选D． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由函数的部分图象， 可得，由，求得． 再根据五点法作图，可得，，， ， 故选：C． 由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，从而求得的值． 本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于基础题． 8.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由， 得， 即， 即， ，， 则． 故选：C． 由条件利用等差数列的性质可得，求得  的值，再根据计算． 本题考查等差数列、等比数列的性质，求出是解题的关键，属于中档题． 9.【答案】D ‎ ‎【解析】解：设的内切圆半径为r，则，， ， ， ， 由双曲线的定义可知：，， ，即． 又， 双曲线的离心率的范围是 故选：D． 根据条件和面积公式得出a，c的关系，从而得出离心率的范围． 本题考查了双曲线的性质，考查直线与双曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 10.【答案】D ‎ ‎【解析】解：函数向右平移个单位后得到， 令，整理得， 由于在上单调递增， 所以，解得，由于，所以． 同理，解得，由于，所以． 故：的取值范围是 故选：D． 首先利用三角函数关系式的平移变换的应用求出的关系式，进一步利用函数的单调性和子集间的关系的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，三角函数的图象的平移变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 11.【答案】C ‎ ‎【解析】解：， 令，解得， 当时，，当时， 0'/>， 在上递减，在上递增， 当时，， 又，，， ， ， 故选：C． 先求导，判断出函数的单调性，可得函数值的情况，即可求出m的取值范围． 本题考查了导数和函数单调性和最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题． 12.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查直线和圆的位置关系，两点间的距离公式，圆的标准方程，属于中档题． 设、，由已知条件可得设AB 中点为，则，利用线段的中点公式求得，再由的范围求得的范围，则的最小值可求． 【解答】 解：设、，则 ，， ，即， ， 设AB中点，则， ， ， 即， 点的轨迹是以为圆心、半径等于的圆， 的取值范围是，， 的范围为，则的最小值为1． 故选：A． 13.【答案】1 ‎ ‎【解析】解：向量，， ，， 在方向上的投影为，． 故答案为：1． 根据，，得在上的投影为，，求出，代入投影的公式计算即可． 本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】解：函数只有一个极值点， ， 若函数只有一个极值点，只有一个实数解， 则：， 从而得到：， 当时，成立． 当时，设，， 如图： 当两函数相切时，，此时得到k的最大值，但时不成立． 故k的取值范围为： 综上：k的取值范围为： 故答案为：． 利用函数求导函数 ，只有一个极值点时只有一个实数解有，设新函数设，，等价转化数形结合法即可得出结论， 本题考查了利用导数研究函数的极值点、考查了不等式问题的等价转化方法，数形结合法，考查了推理能力，属于中档题． 15.【答案】16 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题． 由题意画出图形，得到直线AB的斜率，进一步求得直线AB的方程，与抛物线方程联立求解即可得答案． 【解答】 解：由题意画出图形如图， ‎ ‎ ，N为AM的中点，且， ，则直线AB的倾斜角为，斜率为． 由抛物线，得，则直线AB的方程为． 联立，得． 则， ． 故答案为16． 16.【答案】1 ‎ ‎【解析】解：由数列的构造方法可知，，，， 可得，即， 故． 故答案为：1． 由数列的构造方法可知，，，，可得，即，进而得出结论． 本题考查了数列递推关系、归纳法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17.【答案】解：由题可得：； 的面积为，； ； 又； ． 如图 在中，AM为中线，； ‎ 由知； ，； 由余弦定理得． ； ； 又因为， ， ； ； ． ‎ ‎【解析】根据已知条件求出角的正切值，再结合角的范围即可求解； 先根据条件求出b，c，a；再借助于面积之间的关系求出CN，BN之间的比例关系，结合题中条件即可求解． 本题主要考查向量的数量积的应用以及三角形中的有关计算，属于中档题目．． 18.【答案】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 由，，，，得 ，解得． ； 由，，得，即或． 当时，，此时，，； 当时，，此时，，． 综上，或5． ‎ ‎【解析】设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由已知列关于d和q的方程组，求得q，可得数列的通项公式； 由，列式求得q，然后分类求解． 本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n项和的应用，考查计算能力，是中档题． 19.【答案】解：由抛物线定义可得：，解得． 抛物线E的方程为； 解法一：证明：点在抛物线E上， ，解得， 不妨取， 又因为， 则可得直线AF的方程：， 联立，化为， 解得或，从而． 又， ， ， ，轴平分， 因此点F到直线GA，GB的距离相等， 以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 解法二：证明：点在抛物线E上， ，解得， 不妨取， 由，可得直线AF的方程：， 联立，化为， 解得或，从而． 又， 可得直线GA，GB的方程分别为： ，， 故点到直线GA 的距离， 同理可得点到直线GB的距离． 因此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． ‎ ‎【解析】本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及与圆的位置关系及其性质、点到直线的距离公式等基础知识，属于中档题． 由抛物线定义可得：，解得即可得出抛物线E的方程． 解法一：由点在抛物线E上，解得m，不妨取，，可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为，解得又，计算，，可得，，即可证明以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 解法二：由点在抛物线E上，解得m，不妨取，，可得直线AF的方程，与抛物线方程联立化为，解得又，可得直线GA，GB的方程，利用点到直线的距离公式可得：点到直线GA、GB的距离，若相等即可证明此以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切． 20.【答案】解：对任意，有当时， 有 当并整理得， 而的各项均为正数，所以． 当时，有，解得或2， 当时，，此时成立； 当时，，此时不成立；舍去． 所以，， ． ‎ ‎【解析】根据可类比的得到，然后两式相减得到，再由的各项均为正数，可得到，再由等差数列的通项公式法可得到答案． 先根据，可得到，再由等差数列的前n项和公式可得到答案． 本题主要考查数列递推关系式的应用和等差数列的求和公式的应用．考查综合运用能力． 21.【答案】Ⅰ解：由题可知， ，单调递增，且， 当时，，当时，； 因此在上单调递减，在上单调递增． Ⅱ证明：由有两个零点可知 由且可知， 当时，，当时，； 即的最小值为， 因此当时，， 可知在上存在一个零点； 当时，， 可知在上也存在一个零点； 因此，即． ‎ ‎【解析】本小题考查函数与导数的相关知识．函数的单调性以及函数的最值的求法，零点判断定理的应用，是难题． Ⅰ求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出单调区间； Ⅱ求出的导数，求解函数的最小值，通过零点判断定理，转化两个零点，，所在位置，即可证明：． 22.【答案】解：由已知可得， 解得，， ‎ 所以椭圆C的方程为． 由已知可得，，， ， ， 可设直线l的方程为，代入椭圆方程整理，得 ． 设，，则 ，， ， ， 即． ，， ， 即． ， 或． 由，得． 又时，直线l过B点，不合要求， ， 故存在直线l：满足题设条件． ‎ ‎【解析】由已知列出关于a，b，c的方程组，解得a，b，c，写出结果即可； 由已知可得，，所以，因为，所以可设直线l的方程为，代入椭圆方程整理，得设，，由根与系数的关系写出两根之和和两根之积的表达式，再由垂心的性质列出方程求解即可． 本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，三角形的垂心等概念，属于中档题． ‎