2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (1)
集合、简易逻辑与不等式
一、单选题
1．命题：“∀x∈（-1，1），都有x2＜1”的否定是（（ ）
A．，都有 B．，都有
C．，使得 D．，使得
【答案】C
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．
【详解】
命题是全称命题，则否定是特称命题即： ∃x∈（-1，1），使得x2≥1，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查含有量词的命题的否定，利用全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．比较基础．
2．已知，且，则的最小值（ ）
A． B． C． D．无最小值
【答案】C
【解析】
（当且仅当时取等号）.选C.
3．有下列命题是假命题的是： （ ）
A．双曲线与椭圆有相同的焦点；
B．是“x2－2x－3＜0” 充分不必要条件；
C．“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题是真命题．；
D．”
【答案】D
【解析】
试题分析：双曲线与椭圆有相同的焦点；
B．因为，所以是“x2－2x－3＜0” 充分不必要条件；
C．“若xy=0，则x、y中至少有一个为0”的否命题为“若，则且”是真命题．；
D．因为，所以“” 为假命题；故选D．
考点：命题的判定．
4．定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：①；②；③；④
．则其中是“保等比数列函数”的的序号为
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】
试题分析： 由等比数列性质可得：，
①，，所以正确；
②，，所以错误；
③，，所以正确；
④．所以错误；故选择C
考点：等比数列性质
5．已知集合，，则集合（ ）
A． B．2， C．1， D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先分别求出集合A和B，从而得到，由此能求出集合．
【详解】
集合，
或，
，
集合．
故选：A．
【点睛】
本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．
6．已知命题P:,,则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
的否定是，的否定是，所以，故选C
7．下列命题正确的是（）
A．复数不是纯虚数
B．若，则复数为纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
【答案】B
【解析】
【分析】
分别对四个选项进行判断，得到正确的选项.
【详解】
选项A中，当时，复数是纯虚数，故错误；选项B中，时，复数，为纯虚数，故正确；选项C中，是纯虚数，则，即，得，故错误；选项D中，没有给出为实数，当，时，也可以是虚数，故错误.
所以选B项.
【点睛】
本题考查复数的定义和纯虚数的概念，判断命题的正确，属于简单题.
8．设变量满足约束条件，则的最小值为（ ）
A．−2 B．4 C．−6 D．−8
【答案】D
【解析】
试题分析：根据约束条件画出可行域，可行域是一个直角三角形，再画出目标函数，通过平移可知该目标函数在(−2,2)处取得最大值，所以最大值为-8.
考点：本小题主要考查线性规划.
点评：解决线性规划问题，首先要正确画出可行域，然后通过平移目标函数找到取最优解的点，有时要转化成斜率或距离等求解.
9．已知原命题“若，则、中至少有一个不小于1”，原命题与其逆命题的真假情况是（ ）
A．原命题为假，逆命题为真 B．原命题为真，逆命题为假
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
【答案】B
【解析】
分析：根据题意，写出逆否命题，据不等式的性质判断出逆否命题是真命题，所以原命题是真命题；写出逆命题，通过举反例，说明逆命题是假命题．
详解：逆否命题为：a，b都小于1，则a+b≤2是真命题
所以原命题是真命题
逆命题为：若、中至少有一个不小于1，则a+b＞2，例如，当a=2，b=﹣2时，满足条件，当a+b=2+（﹣2）=0，这与a+b＞2矛盾，故为假命题
故选：B．
点睛：判断一个命题的真假问题，若原命题不好判断，据原命题与其逆否命题的真假一致，常转化为判断其逆否命题的真假.
10．设集合＝｛｜｝，＝｛｜｝.则＝
A．｛｜－7＜＜－5 ｝ B．｛｜ 3＜＜5 ｝
C．｛｜ －5 ＜＜3｝ D．｛｜ －7＜＜5 ｝
【答案】C
【解析】
C
试题分析：因为，＝｛｜｝={x|-5
0时,则x<0时
其中正确结论的序号是 ．（填上所有正确结论的序号）
【答案】①④
【解析】
试题分析：①特称命题的否定是全称命题，因此结论成立；②命题的逆命题：若则，命题是假命题；③，函数是增函数，所以函数有一个零点；④由得函数是奇函数，在对称区间单调性相同，是偶函数，在对称区间单调性相反
考点：1．四种命题；2．函数零点；3．函数奇偶性与单调性
14．若变量x、y满足x+y+2≤0x-y+4≥0y≥a，若2x-y的最大值为-1，则a=______．
【答案】
【解析】
试题分析：作出不等式组表示的平面区域，由z=2x-y可知z的几何意义为直线y=2x-z在y轴上的截距，结合图象判断出目标函数2x-y的最大值和最小值，可求a，解：作出满足条件的平面区域，
作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过（-2-a，a）时，直线的纵截距最小，此时z最大，最大值为-4-2a-a=-1,a=-1,故可知实数a的值为-1.
考点：简单线性规划
点评：本题考查的知识点是简单线性规划，画出满足条件的可行域及z的几何意义的判断是解答线性规划类小题的关键．
15．方程的一根在（0，1）内，另一根在（2，3）内，则实数m的取值范围是___ __．
【答案】
【解析】
试题分析：设，由题意得，解不等式得实数m的取值范围是
考点：一元二次方程根的分布
16．已知函数,,设为实数，若存在实数，使,则实数的取值范围为_______
【答案】
【解析】
【分析】
先求出函数的值域为，然后根据题意得到不等式，解不等式可得实数的取值范围．
【详解】
∵，
∴，
∴．
又函数在区间上单调递增，
∴ ，即．
∴函数的值域为．
由题意得“存在实数，使”等价于“”，
即，
整理得，
即，解得．
∴实数的取值范围为．
故答案为：
【点睛】
本题以函数的值域和能成立问题为载体考查不等式的解法，解题的关键是将“存在实数，使”转化为求函数值域的问题，考查理解能力和计算能力，属于中档题．
17．已知点均在表面积为的球面上,其中平面,,则三棱锥的体积的最大值为__________．
【答案】
【解析】
分析：先求出球的半径，再求出三棱锥的体积的表达式，最后求函数的最大值.
详解：设球的半径为R,所以
设AB=x,则，由余弦定理得
设底面△ABC的外接圆的半径为r,则
所以PA=.
所以三棱锥的体积
=.
当且仅当x=时取等.
故答案为：
点睛：（1）本题主要考查球的体积和几何体的外接球问题，考查基本不等式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力.(2)三元基本不等式：，当且仅当a=b=c>0时取等.(3)函数的思想是高中数学的重要思想，一般是先求出函数的表达式，再求函数的定义域，再求函数的最值.
三、解答题
18．已知
．
（1）若 ，求实数m的值；
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ;（2） .
【解析】
试题分析：(1)根据一元二次不等式的解法，对集合中的不等式进行因式分解，从而解出集合，再根据，求出实数的值；(2 )由（1）解出的集合，因为是的充分条件,根据子集的定义和补集的定义，列出不等式进行求解.
试题解析：（1）化简，
由；
（2）若的充分条件,即易得： ．
试题解析：
由已知得：．
（1）
∴ ∴， ；
（2） 是 的充分条件， ，
而
，
．
19．已知二次函数.
（1）若，解不等式组：；
（2）若，对任意的，证明：中至少有一个非负.
【答案】（1）或
（2）见详解
【解析】
【分析】
（1）把代入解析式，解一元二次不等式组即可求解.
（2）利用反证法，假设中一个都没有非负，再由二次函数的图像和性质需判别式均大于零，由，不恒成立，即可得证.
【详解】
（1）若，由
则解不等式组，即解不等式组，即，
故不等式的解集为或.
（2）若，对任意的，
假设中一个都没有非负，即函数在
轴下方均有图像，
所以恒成立，
所以三式相加，
即，又因为，显然上式不成立，
即假设不成立，故中至少有一个非负.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式组的解法以及反证法，利用反正法证明问题时，关键找到矛盾点，本题综合性比较强.
20．（本小题满分12分）已知集合A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}.
（1）当m=3时，求集合A∩B，A∪B；
（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．
【答案】（1），；（2）．
【解析】
试题分析：
(1)由题意求得集合B，然后进行集合集合运算可得：A∩B=x|4≤x≤5,A∪B=x|−2≤x≤5；
(2)分类讨论集合B为空集和集合B不是空集两种情况，当B=∅时，m<2，当B≠∅时，2≤m≤3，则实数m的取值范围是m|m≤3.
试题解析：
（1）当时，，则
,
（2）当时，有，即
当时，有
综上，的取值范围：
21．设．
1若对任意恒成立，求实数m的取值范围；
2讨论关于x的不等式的解集．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
1由题意可得对恒成立，即有的最小值，运用基本不等式可得最小值，即可得到所求范围；
2讨论判别式小于等于0，以及判别式大于0，由二次函数的图象可得不等式的解集．
【详解】
1由题意，若对任意恒成立，
即为对恒成立，
即有的最小值，由，可得时，取得最小值2，
可得；
2当，即时，的解集为R；
当，即或时，方程的两根为，，
可得的解集为．
【点睛】
本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及一元二次不等式的解法，注意运用转化思想和分类讨论思想方法，考查运算能力，属于中档题．
22．(本题满分14分)
某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格(以班级为单位)：
学段
硬件建设(万元)
配备教师数
教师年薪(万元)
初中
26 / 班
2 / 班
2 / 人
高中
54 / 班
3 / 班
2 / 人
因生源和环境等因素，全校总班级至少20个班，至多30个班。
（Ⅰ）请用数学关系式表示上述的限制条件；(设开设初中班x个，高中班y个)
（Ⅱ）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）70．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据题中条件即可得到线性约束条件；（Ⅱ）由题意得到目标函数z=2x+3y，根据（Ⅰ）作出可行域，得到可行域的顶点；利用平行移动目标函数的等值线l:2x+3y=0，得到目标函数的最优解，即当开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元.
试题解析：
解：（Ⅰ）设开设初中班x个，高中班y个，
根据题意，线性约束条件为
即20≤x+y≤30x+2y≤40x≥0,x∈N∗y≥0,y∈N∗
（Ⅱ）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y
由（Ⅰ）作出可行域如图
由方程组x+y=30x+2y=40得交点M（20,10）
作直线l:2x+3y=0，平移l，当l过点M（20,10），z取最大值70。
∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元。
考点：简单线性规划问题（用平面区域表示二元一次不等式组）.
