2017-2018学年广东省中山市第一中学高二上学期第三次统测数学（理）试题

2017-2018学年广东省中山市第一中学高二上学期第三次统测数学（理）试题

中山市第一中学2017~2018学年第一学期高二年级第三次统测 ‎ 数学（理）‎ 命题人： 审题人： ‎ 一、选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，请把答案涂在答题卡上，共12个小题，每小题5分）‎ ‎1．已知命题： ， ，则为（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ， ‎ ‎2．若实数满足，则曲线与曲线的（ ）‎ A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 ‎3．已知函数在处有极值，则＝（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）‎ A．（2,3） B． C． D．‎ ‎5．函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. 和 D. ‎ ‎6．若为钝角三角形，三边长分别为，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7．若， 满足， ，则的前10项和为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎8．已知四棱锥中， ， ， ，则点到底面的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知变量， 满足约束条件，则目标函数（）的最大值为16，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知空间四边形 ，其对角线为 ，，，分别是 ，的中点，点 在线段 上，且使 ，用向量 ，，表示向量 ，则 ‎ A. ‎ B. ‎ ‎ C. ‎ D. ‎ ‎11．在已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于, 两点,且,抛物线的准线与轴交于点, 于点,若四边形的面积为,则准线的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．已知函数，若在定义域内恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．若点P在曲线上移动，设点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是_____________‎ ‎14．一艘海轮从出发，以每小时海里的速度沿东偏南方向直线航行，30分钟后到达处，在处有一座灯塔，海轮在观察灯塔，其方向是东偏南，在处观察灯塔，其方向是北偏东，则， 两点间的距离是__________海里．‎ ‎15．过点作斜率为的直线与椭圆： 相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为 ．‎ ‎16．若命题:方程有两不等正根； :方程无实根.求使为真， 为假的实数的取值范围 ____________．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）‎ 在中， 分别为角的对边，若．‎ ‎（1）求角的大小； ‎ ‎（2）已知，求面积的最大值.‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知数列中， ， ，设为数列的前项和，‎ 对于任意的， ， ．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求的前项和．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 某工艺厂有铜丝5万米，铁丝9万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知一只花篮需要用铜丝200米，铁丝300米；编制一只花盆需要铜丝100米，铁丝300米，设该厂用所有材料编制个花篮个， 花盆个.‎ ‎（1）列出满足的关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（2）若出售一个花篮可获利300元，出售一个花盆可获利200元，那么怎样安排花篮与花盆的编制个数，可使得所得利润最大，最大利润是多少？‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在如图所示的五面体中，面为直角梯形， ，平面平面， ， 是边长为2的正三角形．‎ ‎（1）证明： 平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎`21．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆： 的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为、，当动点在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点、，求四边形面积的最大值.‎ 中山市第一中学2019届高二第三次统测 数学（理）试题参考答案 一、选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，请把答案涂在答题卡上，共12个小题，每小题5分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A A D D B D A D A ‎ C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．； 14．； 15．； 16．．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在中， 分别为角的对边，若．‎ ‎（1）求角的大小； ‎ ‎（2）已知，求面积的最大值.‎ 解： （Ⅰ）（1）∵，∴，‎ 由正弦定理得，‎ 整理得，.…………………………………………….3分 ‎∴，.…………………………………………….4分 在中， ，∴， .…………………………………………….5分 ‎（2）由余弦定理得，.…………………………………………….7分 又，∴‎ ‎∴，当且仅当时取“=”， .…………………………………………….8分 ‎∴的面积..…………………………………………….9分 即面积的最大值为.…………………………………………………….10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知数列中， ， ，设为数列的前项和，对于任意的， ， ．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求的前项和．‎ 解：（1）由，得.………………….2分 因为， ，所以，………………….3分 所以数列为首项为2，公差为2的等差数列，所以， .………………….5分 ‎（2）因为，………………….6分 所以，………………….7分 ‎，………………….8分 所以………………….9分 ‎，………………….10分 ‎ ‎ 所以.………………….12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 某工艺厂有铜丝5万米，铁丝9万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知一只花篮需要用铜丝200米，铁丝300米；编制一只花盆需要铜丝100米，铁丝300米，设该厂用所有原来编制个花篮， 个花盆.‎ ‎（Ⅰ）列出满足的关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（Ⅱ）若出售一个花篮可获利300元，出售一个花盘可获利200‎ 元，那么怎样安排花篮与花盆的编制个数，可使得所得利润最大，最大利润是多少？‎ 解：(1)由已知x、y满足的关系式为等价于………………….3分 ‎ ‎ 该二元一次不等式组所表示的平面区域如图中的阴影部分.‎ ‎…………………6分 ‎ ‎ ‎(2)设该厂所得利润为z元,则目标函数为z=300x+200y 将z=300x+200y变形为,这是斜率为,在y轴上截距为、随z变化的一族平行直线.‎ 又因为x、y满足约束条件,所以由图可知,当直线经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大. ………………….8分 解方程组得点M的坐标为(200,100)且恰为整点,即x=200,y=100. ………………….9分 所以, .………………….11分 答：该厂编制200个花篮,100花盆所获得利润最大,最大利润为8万元. ………………….12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 在如图所示的五面体中，面为直角梯形， ，平面平面， ， 是边长为2的正三角形．‎ ‎（1）证明： 平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ 解： （1）取的中点，依题意易知，‎ 平面平面ABCD,所以, …………………1分 分别以直线为轴和轴， 点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 依题意有： A (1,0,0),， ， ，E(0,0,)‎ ‎,,………………….3分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 设平面ACF的法向量为 ‎,，得到………………….4分 ‎,所以平面…………………5分 ‎（2）设平面的一个法向量，由，得，…………………6分 由，得，………………….7分 令，可得.………………….8分 又平面的一个法向量，………………….10分 所以.………………….11分 所以二面角的余弦值为.………………….12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）若函数的图象与函数的图象在区间上有公共点，求实数的取值范围.‎ 解：‎ ‎（1）（），.………………….2分 即有曲线在点处的切线斜率为，.………………….3分 则曲线在点处的切线方程为，‎ 即为..…………………5分 ‎（2）令，‎ 即有，即在上有实数解. .………………….7分 令，，‎ 当时，，递减，‎ 当时，，递增，.…………………10分 即有取得极小值，也为最小值，且为，.………………….11分 即有，‎ 则的取值范围是..………………….12分 ‎ ‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆： 的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为和，当动点在定直线上运动时，直线分别交椭圆于两点和，求四边形面积的最大值.‎ 解：（Ⅰ）由题设知， ，.………………….1分 又，解得，.………………….3分 故椭圆的方程为..………………….4分 ‎（Ⅱ）由于对称性，可令点，其中.‎ 将直线的方程代入椭圆方程，得，‎ 由， 得，则..………………….6分 再将直线的方程代入椭圆方程，得，‎ 由， 得，则..………………….8分 故四边形的面积为 ..………………….10分 ‎ ‎ 由于，且在上单调递增，故，‎ 从而，有.‎ 当且仅当，即，也就是点的坐标为时，四边形的面积取最大值6. .………………….12分 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎