2017-2018学年安徽省淮北市第一中学高二6月（第四次）月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年安徽省淮北市第一中学高二6月（第四次）月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽省淮北市第一中学高二6月（第四次）月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：可写出，然后根据指数函数单调性即可求出集合B={x|0＜x＜3}，这样进行交集的运算便可得出A∩B．‎ 详解：‎ ‎ ‎ ‎∴由得，0＜x＜3；‎ ‎∴B={x|0＜x＜3}，且A={x|﹣1＜x＜2}；‎ ‎∴A∩B=（0，2）．‎ 故选：C．‎ 点睛：考查描述法表示集合的定义及表示形式，指数式的运算，以及指数函数的单调性，交集的运算．‎ ‎2．已知复数满足，若的虚部为，则复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】,虚部为,即,故对应点在第一象限.‎ ‎3．已知向量， 满足， ， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析： ，可得，由，将， 代入即可得结果.‎ 详解：根据题意， ，‎ 则 ，‎ 可得，结合 ‎ 可得，‎ 则，故选A.‎ 点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎4．函数满足，且，则的一个可能值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：根据题意，得出函数f（x）的图象关于（，0）对称，也关于x=对称；‎ 由此求出函数的周期T的可能取值，从而得出ω的可能取值．‎ 详解：‎ 函数f（x）=Asin（ωx+φ）满足：f（+x）=﹣f（﹣x），‎ 所以函数f（x）的图象关于（，0）对称，‎ 又f（+x）=f（﹣x），‎ 所以函数f（x）的图象关于x=对称；‎ 所以， k为正整数，‎ 所以T=，即，‎ 解得ω=3（2k﹣1），k为正整数；‎ 当k=1时，ω=3，‎ 所以ω的一个可能取值是3．‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．一般 函数的对称轴为a， 函数的对称中心为（a,0）.‎ ‎5．设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列是递增数列”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：若是递增数列一定有， 成立，当时，满足，而不是递增数列，所以“”是“数列为递增数列”必要不充分条件，故选C.‎ ‎【考点】1、等比数列的性质；2、充分条件与必要条件.‎ ‎6．设偶函数对任意都有，且当时， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为，所以，所以函数是周期为6的周期函数，又，而，故 ，故选B．‎ ‎【考点】函数的性质．‎ ‎7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的所有面中最大面的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：几何体为侧放的四棱锥，作出直观图，代入数据计算四个侧面的面积及底面面积，则答案可求．‎ 详解：‎ 由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，‎ 其中底面ABCD是长方形，‎ AB=2，AD=1，侧面PAB⊥底面ABCD，且∠PAB=90°，PA=2，‎ 则S四边形ABCD=2×1=2，，，，‎ ‎∴该四棱锥的所有面中最大面的面积是．‎ 故选：B．‎ 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.‎ ‎8．已知正项等比数列的公比为，若，则的最小值等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵正项等比数列的公比为3，且 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，当且仅当时取等号.‎ 故选C.‎ 点睛：利用基本不等式解题的注意点：‎ ‎（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个条件必须同时成立．‎ ‎（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．‎ ‎（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．‎ ‎9．大淤数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大淤之数五十”的推论.如图一，主要用于解释中国传统文化中的太极淤生原理，数列中的每一项都代表太极淤生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，这是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题：，，，，，，…，如图二，是求大淤数列前项和的程序框图，执行该程序框图，输入，则输出的为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．‎ 详解：‎ 模拟程序的运行，可得 n=1，S=0，m=10‎ 满足条件n是奇数，a=0，S=0‎ 不满足条件n≥m，n=2，不满足条件n是奇数，a=2，S=2‎ 不满足条件n≥m，n=3，满足条件n是奇数，a=4，S=6‎ 不满足条件n≥m，n=4，不满足条件n是奇数，a=8，S=14‎ 不满足条件n≥m，n=5，满足条件n是奇数，a=12，S=26‎ 不满足条件n≥m，n=6，满足条件n是奇数，a=18，S=44‎ 不满足条件n≥m，n=7，满足条件n是奇数，a=24，S=68‎ 不满足条件n≥m，n=8，不满足条件n是奇数，a=32，S=100‎ 不满足条件n≥m，n=9，满足条件n是奇数，a=40，S=140‎ 不满足条件n≥m，n=10，不满足条件n是奇数，a=50，S=190‎ 满足条件n≥m，退出循环，输出S的值为190．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．‎ ‎10．已知函数，，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：求函数f（x）定义域，及f（﹣x）便得到f（x）为奇函数，并能够通过求f′（x）判断f（x）在R上单调递增，从而得到sinθ＞m﹣1，也就是对任意的都有sinθ＞m﹣1成立，根据0＜sinθ≤1，即可得出m的取值范围．‎ 详解：‎ f（x）的定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x）；‎ f′（x）=ex+e﹣x＞0；‎ ‎∴f（x）在R上单调递增；‎ 由f（sinθ）+f（1﹣m）＞0得，f（sinθ）＞f（m﹣1）；‎ ‎∴sinθ＞m﹣1；‎ 即对任意θ∈都有m﹣1＜sinθ成立；‎ ‎∵0＜sinθ≤1；‎ ‎∴m﹣1≤0；‎ ‎∴实数m的取值范围是（﹣∞，1]．‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集.‎ ‎11．已知函数，则的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】令， ,得该函数在递减，在递增，且当时， ，所以函数的定义域为，且在递增，在递减.从而选A.‎ ‎12．已知函数的图象在点处的切线为，若也为函数的图象的切线，则必须满足（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数y=x2的导数为y′=x，‎ 在点（x0， x02）处的切线的斜率为k=x0，‎ 切线方程为y﹣x02=x0（x﹣x0），‎ 设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，‎ 即有y=lnx的导数为y′=，‎ 可得x0=，切线方程为y﹣lnm=（x﹣m），‎ 令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣x02，‎ 由0＜m＜1，可得x0＜2，且x02＞1，‎ 解得x0＞1，‎ 由m=，可得x02﹣lnx0﹣1=0，‎ 令f（x）=x2﹣lnx﹣1，x＞1，‎ f′（x）=x﹣＞0，f（x）在x＞1递增，‎ 且f（2）=1﹣ln2＞0，f（）=﹣ln3﹣1=（1﹣ln3）＜0，‎ 则有x02﹣lnx0﹣1=0的根x0∈（，2）．‎ 故选：D．‎ 点睛：高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：‎ ‎（1）已知切点求切线方程；‎ ‎（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；‎ ‎（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．‎ 二、填空题 ‎13．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为， ， ， ， ，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画树状图为：‎ 共有种等可能的结果数，其中两次摸出的小球的编号之和大于的结果数为 两次摸出的小球的编号之和大于的概率为 ‎14．设变量， 满足约束条件，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点处取得最大值为.‎ ‎15．已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：利用已知条件列出ab关系式，然后求解双曲线的离心率即可．‎ 详解：双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线x﹣y﹣1=0平行，可得=，即a2=2b2=2c2﹣2a2，‎ 可得离心率e=．‎ 故答案为：．‎ 点睛：本题主要考查双曲线的定义及几何性质，以双曲线为载体，通过利用导数研究的单调性，考查逻辑思维能力、运算能力以及数形结合思想．双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中的关系式，求值问题就是建立关于的等式，求取值范围问题就是建立关于的不等式．‎ ‎16．三棱锥中，平面，，，，则三棱锥的外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．‎ 详解：如图，在△ABC中，由正弦定理得 ⇒sinC=，∵C＜B，∴C=30°，∴A=90°，又∵PA⊥平面ABC，AP，AC，AB两两垂直，‎ 故可将此三棱锥放入一个长、宽、高分别1，，2为的长方体内，三棱锥的四个顶点亦为长方体的顶点，其外接球为长方体外接球．‎ 易得外接球半径为2，故外接球表面积为4πR2=16π．‎ 故答案为：16π．‎ ‎ ‎ 点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.‎ 三、解答题 ‎17．已知，命题，，命题，.‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“”为真命题，命题“”为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2)或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）令f（x）=x2﹣a，若命题p为真命题，只要x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）min≥0即可，进而得到实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，命题p与q一真一假，进而得到答案．‎ 详解：‎ 因为命题p：，．‎ 令，‎ 根据题意，只要时，即可，‎ 也就是，即；‎ 由可知，当命题p为真命题时，，‎ 命题q为真命题时，，解得或 因为命题“”为真命题，命题“”为假命题，所以命题p与q一真一假，‎ 当命题p为真，命题q为假时，，‎ 当命题p为假，命题q为真时，．‎ 综上：或．‎ 点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是复合命题，函数恒成立问题，方程根的存在性及个数判断，难度中档．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。‎ ‎18．已知在中，角， ， 的对边分别为， ， ，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）在式子中运用正弦、余弦定理后可得．（2）由经三角变换可得，然后运用余弦定理可得 ‎，从而得到，故得．‎ 详解：(1)由题意及正、余弦定理得， ‎ 整理得，‎ ‎∴‎ ‎（2）由题意得，‎ ‎∴，‎ ‎∵， ‎ ‎∴，‎ ‎∴. ‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎ ，当且仅当时等号成立． ‎ ‎∴．‎ ‎∴面积的最大值为．‎ 点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．‎ ‎（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．‎ ‎19．在三棱柱中，已知， ，点在底面的射影恰好是线段的中点.‎ ‎（1）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；‎ ‎（2）求三棱柱的侧面积.‎ ‎【答案】(1)见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）连接，作于点，由推出，根据，推出，再由，推出，即可推出平面，从而证明平面，根据， ，结合，即可求得；（2）由(1)可知平面，可证为矩形，分别求出和，即可求得三棱柱的侧面积.‎ 试题解析：(1)证明：连接，在中，作于点.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴平面 ‎∴‎ ‎∴平面 又∵, ， ‎ ‎∴. ‎ ‎(2)由(1)可知平面.‎ ‎∴‎ ‎∴为矩形，故; ‎ 连接,.‎ 在中， ,.‎ ‎∴‎ ‎∵.‎ ‎∴. ‎ ‎20．已知函数 ‎（Ⅰ）若曲线在处的切线与轴平行，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据导数和几何意义即可求出；（Ⅱ）分离参数，构造函数，利用导数，求出函数的最值，即可求出参数的取值范.‎ 详解：Ⅰ，‎ ‎，．‎ 由于曲线在处的切线与x轴平行，‎ ‎，‎ 解得，‎ Ⅱ由条件知对任意，不等式恒成立，‎ 此命题等价于对任意恒成立 令，．‎ ‎，．‎ 令，．‎ 则．‎ 函数在上单调递减．‎ 注意到，即是的零点，‎ 而当时，；当时，．‎ 又，所以当时，；当时，．‎ 则当x变化时，的变化情况如下表： ‎ x ‎1‎ ‎0‎ 极大值 因此，函数在，取得最大值，所以实数．‎ 点睛：本题考查了新定义和函数的单调性和最值的关系以及不等式恒成立问题，属于中档题。对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。‎ ‎21．已知圆的圆心在抛物线上，圆 过原点且与抛物线的准线相切.‎ ‎（1）求该抛物线的方程；‎ ‎（2）过抛物线焦点的直线交抛物线于， 两点，分别在点， 处作抛物线的两条切线交于点，求三角形面积的最小值及此时直线的方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 三角形PAB面积最小值为4，此时直线L的方程为.‎ ‎【解析】【试题分析】(1)写出圆心/半径,焦点坐标和准线方程,根据原点在圆上及圆心到抛物线的距离建立方程,解方程组求得的值,由此得到抛物线方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和抛物线线的方程,写出韦达定理,利用导数求出切线的方程,求出交点的坐标,利用弦长公式和点到直线距离公式写出三角形面积的表达式,并由此求得最小值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由已知可得圆心，半径，焦点，准线 因为圆C与抛物线F的准线相切，所以， ‎ 且圆C过焦点F，‎ 又因为圆C过原点，所以圆心C必在线段OF的垂直平分线上，‎ 即 ‎ 所以，即，抛物线F的方程为 ‎ ‎（2）易得焦点，直线L的斜率必存在，设为k，即直线方程为 设 得，， ‎ 对求导得，即 直线AP的方程为，即，‎ 同理直线BP方程为 设，‎ 联立AP与BP直线方程解得，即 ‎ 所以，点P到直线AB的距离 ‎ 所以三角形PAB面积，当仅当时取等号 综上：三角形PAB面积最小值为4，此时直线L的方程为. ‎ ‎【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法,考查直线和抛物线的位置关系. 直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型.涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，其中为参数，在以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为， 直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；‎ ‎（2）若是曲线上的动点， 为线段的中点.求点到直线的距离的最大值.‎ ‎【答案】(1) 曲线的普通方程为直线的直角坐标方程为;(2) 最大值为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）首先利用关系式把极坐标转化成直角坐标，进一步把极坐标方程转化成直角坐标方程． （2）先把直角坐标方程转化成参数方程，进一步利用点到直线的距离公式，再利用三角函数的最值求出结果．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵直线的极坐标方程为，即.‎ 由， ，可得直线的直角坐标方程为.‎ 将曲线的参数方程消去参数，得曲线的普通方程为.‎ ‎（2）设 .‎ 点的极坐标化为直角坐标为.‎ 则.‎ ‎∴点到直线的距离 .‎ 当，即时，等号成立.‎ ‎∴点到直线的距离的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，直角坐标方程与参数方程的互化，点到直线的距离公式的应用，三角函数的最值问题的应用．其中把直角坐标方程转化成参数方程，进一步利用点到直线的距离公式，是解题的关键 ‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若不等式的解集为，，且满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）通过讨论x的范围得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）求出B，根据集合的包含关系求出a的范围即可.‎ 详解：(1)可化为 ‎，或，或 ‎ ‎，或，或； ‎ 不等式的解集为；‎ ‎(2)易知；所以，所以在恒成立；‎ 在恒成立； 在恒成立；‎ ‎ ‎ 详解：本题考查了解绝对值不等式问题，考查函数恒成立以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题目，解含有绝对值的不等式，一般是零点分区间去掉绝对值，分段解不等式.‎