江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（新疆班）

江苏省扬州市邗江中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题（新疆班）

www.ks5u.com 江苏省邗江中学2019-2020学年度第一学期 新疆部高一数学期中考试试卷 一、选择题：（共60分，每小题5分，每题有且仅有一个正确答案）‎ ‎1.直线的倾斜角为（ ）度 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角.‎ ‎【详解】将直线的方程变形为，该直线的斜率为，‎ 因此，该直线的倾斜角为度.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查直线的倾斜角，解题的关键就是求出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系来求解，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知正四棱锥的底面边长是，高为，则该正四棱锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出正四棱锥的底面积，然后利用锥体的体积公式可求出该正四棱锥的体积.‎ ‎【详解】正四棱锥的底面积为，因此，该正四棱锥的体积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查正四棱锥体积的计算，考查锥体体积公式的应用，属于基础题.‎ ‎3.已知点、，且直线的斜率为，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据斜率公式建立关于的方程，解出该方程可得出实数的值.‎ ‎【详解】由斜率公式可得，整理得，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用斜率公式求参数的值，解题的关键就是要建立方程求解，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎4.圆的圆心到直线的距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的方程表示为标准方程，求出圆的圆心坐标，然后利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离.‎ ‎【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，‎ 因此，该圆的圆心到直线的距离为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，解题的关键就是利用点到直线的距离公式进行计算，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5.棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】三棱锥的表面积为四个边长为1的等边三角形的面积和，‎ 故，故选A.‎ ‎6.直线与直线平行，则它们之间的距离为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：因为直线与直线平行，则，则m=2,它们之间的距离为,选D ‎7.当时，两条直线、的交点在（ ）象限 A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立两直线的方程，得出两直线的交点坐标，然后由得出交点横坐标和纵坐标的符号，即可判断出两直线交点所在的象限.‎ ‎【详解】联立，解得，当时，，，‎ 因此，两条直线、的交点在第三象限.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查两直线交点所在象限的判断，解题的关键就是联立两直线的方程，求出交点坐标，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎8.两圆和的位置关系是（ ）‎ A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内含 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出两圆圆心距，再将圆心距与两圆半径差的绝对值和两圆半径和进行大小比较，可得出两圆的位置关系.‎ ‎【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为 ‎，半径为，两圆圆心距为，，‎ 因此，两圆和相交.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，一般利用圆心距与两圆半径差与和的绝对值进行大小比较，利用几何法来进行判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎9.点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（ ）‎ A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 分别取AC.PC中点O.E.连OE,DE;则OE//PA,‎ 所以（或其补角）就是PA与BD所成的角；‎ 因PD⊥平面ABCD，所以PD⊥DC,PD⊥AD.‎ 设正方形ABCD边长为2，则PA=PC=BD=‎ 所以OD=OE=DE=,是正三角形，‎ ‎，‎ 故选C ‎10.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为、、，则此球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. 都不对 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出长方体的体对角线长，作为长方体外接球的直径，然后利用球体的表面积公式可计算出长方体外接球的表面积.‎ ‎【详解】设长方体外接球的半径为，则，.‎ 因此，长方体外接球的表面积为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查长方体外接球表面积的计算，解题的关键就是要知道长方体体对角线长即为外接球的直径，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎11.，，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A. ， B. ，‎ C. ，，共面 D. ，，共点，，共面 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】解：因为如果一条直线平行于两条垂线中的一条，必定垂直于另一条。‎ 选项A，可能相交。选项C中，可能不共面，比如三棱柱的三条侧棱，选项D，三线共点，可能是棱锥的三条棱，因此错误。选B.‎ ‎12.若是互不相同的空间直线，是不重合的平面，则下列命题中真命题是( )‎ A. 若则 B. 若 则 C. 若，，则 D. 若，，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于A，考虑空间两直线的位置关系和面面平行的性质定理；‎ 对于B，考虑线面垂直的判定定理及面面垂直的性质定理；‎ 对于C，考虑面面垂直的判定定理；‎ 对于D，考虑空间两条直线的位置关系及平行公理.‎ ‎【详解】选项A中，除平行外，还有异面的位置关系，则A不正确；‎ 选项B中，与的位置关系有相交、平行、在内三种，则B不正确；‎ 选项C中，由，设经过的平面与相交，交线为，则，又，故，又，所以，则C正确；‎ 选项D中,与位置关系还有相交和异面，则D不正确；‎ 故选C.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关立体几何问题，涉及到的知识点有空间直线与平面的位置关系，面面平行的性质，线面垂直的判定，面面垂直的判定和性质，属于简单题目.‎ 二、填空题：（共20分，每题5分）‎ ‎13.过点，斜率为的直线方程为___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点斜式可得出该直线方程.‎ ‎【详解】由题意可知，该直线的方程为，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的求解，要结合直线已知元素的类型选择合适的方式写出直线的方程，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.过点、，且圆心在直线上的圆的标准方程为____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出线段的垂直平分线方程，将该直线方程与直线的方程联立，得出圆心的坐标，然后利用两点间的距离公式可求出圆的半径长，由此可得出圆的标准方程.‎ ‎【详解】直线的斜率为，则线段垂直平分线的斜率为，‎ 线段的中点坐标为，则线段垂直平分线的方程为.‎ 联立，解得，则圆心坐标为.‎ 所以，圆的半径为.‎ 因此，所求圆的标准方程为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查圆的标准方程的求解，解题时要求出圆心坐标以及半径长，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎15.直线与圆相切，则___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用圆心到直线的距离等于半径，可得出关于的方程，解出即可.‎ ‎【详解】圆的圆心为原点，半径为，由于直线与圆相切，‎ 则，即，因此，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求参数，一般转化为圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎16.若圆锥的侧面积为，底面积为，则该圆锥的体积为____________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，圆锥的侧面积为，底面积为，‎ 所以，‎ 解得，，所以，该圆锥的体积为。‎ 考点：圆锥的几何特征 点评：简单题，圆锥之中，要弄清r,h,l之间的关系，熟练掌握面积、体积计算公式。‎ 三、解答题：（共计70分）‎ ‎17.三角形ABC的三个顶点A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），求：‎ ‎（1）BC边所在直线的方程；‎ ‎（2）BC边上高线AD所在直线的方程．‎ ‎【答案】（1）x+2y-4=0 （2）2x-y+6=0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据两点式公式写出直线方程即可； ‎ ‎（2）先根据直线的垂直关系求出高线的斜率，代入点斜式方程即可．‎ ‎【详解】（1）BC边所在直线的方程为：‎ ‎=，‎ 即x+2y-4=0；‎ ‎（2）∵BC的斜率K1=-，‎ ‎∴BC边上的高AD的斜率K=2，‎ ‎∴BC边上的高线AD所在直线的方程为：y=2（x+3），‎ 即2x-y+6=0．‎ ‎【点睛】此题考查了中点坐标公式以及利用两点式求直线方程的方法，属于基础题。‎ ‎18.已知圆的方程为：‎ ‎（1）过点作圆的切线，求切线方程 ‎（2）过点作直线与圆交于、，且，求直线方程.‎ ‎【答案】（1）或；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，在切线与轴垂直时，得出直线的方程，验证圆心到直线的距离是否等于半径，在切线斜率存在的情况下，设切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径，求出的值，从而可得出切线方程；‎ ‎（2）利用几何法计算出弦心距，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，在直线的斜率不存在时，得出直线的方程为，验证圆心到直线是否等于弦心距，在直线的斜率存在时，可设直线的方程为，利用圆心到直线的距离等于弦心距求出的值，由此可得出直线的方程.‎ ‎【详解】（1）若切线与轴垂直时，则切线的方程为，此时圆的圆心到直线的距离为，不合乎题意；‎ 若切线的斜率存在时，设切线的方程为，即.‎ 由题意可得，整理得，‎ 整理得，解得或.‎ 因此，所求切线方程为或，即或；‎ ‎（2）由题意可知，圆心到直线的距离为.‎ 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，合乎题意；‎ 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即.‎ 由题意可得，整理得，解得.‎ 因此，直线的方程为或，即或.‎ ‎【点睛】本题考查利用直线与圆的位置关系求直线方程，解题关键就是利用题中条件求出圆心到直线的距离，并结合点到直线的距离公式求出直线方程中的参数，在解题时还应对直线的斜率是否存在进行分类讨论，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.‎ ‎19.直角三角形的顶点坐标，直角顶点，顶点在轴上.‎ ‎（1）求边所在直线的方程；‎ ‎（2）圆是三角形的外接圆，求圆的方程.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出直线斜率，利用可得出直线的斜率，然后利用点斜式可得出边所在直线的方程；‎ ‎（2）求出点的坐标，计算出线段的中点坐标作为圆的圆心坐标，计算出作为圆的半径，由此可得出圆的标准方程.‎ ‎【详解】（1）直线的斜率为，‎ 由题意可知，则直线的斜率为.‎ 因此，边所在直线的方程为，即；‎ ‎（2）直线的方程为，由于点在轴上，则点.‎ 由于是以为直角的直角三角形，则该三角形的外接圆圆心为线段的中点，‎ 则，所以，圆的半径为.‎ 因此，圆的标准方程为.‎ ‎【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了三角形外接圆的方程，一般利用圆的一般方程求解，也可以确定圆心坐标，利用标准方程求解，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎20.如图，直三棱柱中，点是上一点.‎ ‎（1）点是的中点，求证：平面；‎ ‎（2）若，求证：平面平面.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交于点，则点为的中点，由中位线的性质得出，然后利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；‎ ‎（2）由直棱柱的性质得出平面，可得出，再由，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出平面，然后利用平面与平面垂直的判定定理可得出平面平面.‎ ‎【详解】（1）如下图所示：‎ 连接交于点，则点为的中点，‎ 为的中点，，‎ 平面，平面，平面；‎ ‎（2）在直三棱柱中，平面，平面，.‎ 又，，平面，‎ 平面，平面平面.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定，在证明平面与平面垂直时，其主要问题还是要证明直线与平面垂直，找出线面垂直是证明的关键，考查推理能力，属于中等题.‎ ‎21.如图，平面PAC⊥平面ABC，点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点，点G是线段CO的中点，AB＝BC＝AC＝4，PA＝PC＝2．求证：‎ ‎（1）PA⊥平面EBO；‎ ‎（2）FG∥平面EBO．‎ ‎【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明线面垂直条件，一般利用线面垂直判断定理给予证明，即从线线垂直证明，而条件面面垂直，可利用其性质定理 ，转化为线面垂直，即由平面PAC⊥平面ABC得 BO⊥面PAC．进而得到线线垂直;（2）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理给予证明，即从线线平行出发，本题中可利用三角形重心性质或三角形中位线性质，因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，因此AF与 BE交点Q是△PAB的重心，得到对应线段成比例，，从而得到线线平行．‎ 试题解析：证明：由题意可知，△PAC为等腰直角三角形，‎ ‎△ABC为等边三角形．‎ ‎（1）因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC．‎ 因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，‎ BO⊂平面ABC，所以BO⊥面PAC．‎ 因为PA⊂平面PAC，所以BO⊥PA．‎ 在等腰三角形PAC内，O、E为所在边的中点，所以OE⊥PA．‎ 又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO．‎ ‎（2）连AF交BE于Q，连QO．‎ 因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，‎ 所以，且Q是△PAB的重心，‎ 于是，所以FG∥QO．‎ 因为FG⊄平面EBO，QO⊂平面EBO，所以FG∥平面EBO．‎ ‎【注】第（2）小题亦可通过取PE中点H，利用平面FGH∥平面EBO证得．‎ 考点：线面垂直判断定理, 线面平行判定定理 ‎22.如图，在长方体中，，，点在棱 上移动．‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求直线与平面所成的角；‎ ‎（3）当为的中点时，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明平面，即可得出；‎ ‎（2）由平面，可知直线与平面所成的角为，分析的形状，即可得出的大小；‎ ‎（3）由平面可知三棱锥的高为，并计算出的面积，然后利用锥体的体积公式可计算出三棱锥的体积.‎ ‎【详解】（1）在长方体中，，‎ 则四边形是正方形，.‎ 平面，平面，.‎ ‎，平面.‎ 平面，；‎ ‎（2）在长方体中，平面，‎ 直线与平面所成角为.‎ 平面，平面，，‎ 又，是等腰直角三角形，且，，‎ 因此，直线与平面所成角为；‎ ‎（3）在长方体中，，‎ 为的中点，且，，的面积为.‎ 平面，为三棱锥的高，‎ 因此，.‎ 因此，三棱锥的体积为.‎ ‎【点睛】本题考查异面直线垂直、直线与平面所成角的计算以及三棱锥体积的计算，在计算三棱锥的体积时，通常利用选择合适的顶点与底面，利用等体积法进行计算，考查推理论证能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎ ‎