2017-2018学年吉林省梅河口市第五中学高二4月考数学（文）试题 Word版

2017-2018学年吉林省梅河口市第五中学高二4月考数学（文）试题 Word版

梅河口市第五中学 2018 年下学期高二 4 月 数学试题（文科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.‎ 第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）‎ 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.‎ ‎1．已知集合 A = {0,1, 2} ， B = {z | z = x + y, x Î A, y Î A} ，则 B = （ ）‎ A．{0,1, 2, 3, 4} ‎B．{0,1, 2} ‎C．{0, 2, 4} ‎D．{1, 2} ‎2．若复数 z = 1 + i ，则 (1 + z) × z = ( )．‎ A．1 + 3i ‎B． 3 + 3i ‎C． 3 - i ‎D． 3‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16‎ ç ÷ ‎4．函数 y＝ æ 1 ö è 2 ø ‎‎ ‎- x2 +2x ‎‎ 的值域是 A．R B． é 1 , + ¥ ö êë 2 ÷ C．（2，＋∞） D. （0，＋∞）‎ ‎5．为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出 了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3，第 ‎2 小组的频数为 12，则抽取的学生总人数是( )‎ A.12 B.24 C.48 D.56‎ ‎6.已知函数 f ( x) =（m + 2) x 2 + mx + 1 为偶函数，则 f ( x) 在区间 (1，+ ¥) 上是 ‎（ ）‎ A．先增后减 B．先减后增 C．减函数 D．增函数 ‎7．同时投掷两个骰子，则向上的点数之差的绝对值为 4 的概率是（ ） A. 1 B. 1 C. 1 D. 1‎ ‎18 12 9 6‎ ‎8．下表是某厂 1—4 月份用水量(单位：百吨)的一组数据：‎ 月份 x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量 y ‎4．5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2．5‎ 由散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程为 $y ＝－0．7x＋a，则 a 等于( )‎ A．10．5 B．5．15 C．5．2 D．5．25‎ ‎9．用反证法证明命题“设 a, b 为实数，则方程 x 2 + ax + b = 0 至少有一个实根”时，要做的假设是（ ） A.方程 x 2 + ax + b = 0 没有实根 B.方程 x 2 + ax + b = 0 至多有一个实根 C.方程 x 2 + ax + b = 0 至多有两个实根 D.方程 x 2 + ax + b = 0 恰好有两个实根 ‎10．在区间[-1,1] 上随机取一个数 x， cos px 的值介于 0 到 1 之间的概率为 A． 1‎ ‎2‎ ‎‎ B． 2‎ p ‎‎ C． 1‎ ‎3‎ ‎2 2‎ D． 2‎ ‎3‎ ‎11．若 a > b > 1， P = ‎lg a lg b , Q = 1 (lg a + lg b), R = lg( a + b ) ，则下列不等式成立的是（ ）‎ A． R < P < Q ‎2‎ B． P < Q < R ‎2‎ C． Q < P < R ‎‎ D． P < R < Q ‎12．已知函数 f ( x) 的定义域为 (0, +¥) , f ¢ ( x ) 为 f ( x) 的导函数，且满足 f ( x ) < -xf ¢ ( x ) ，则不等式 f ( x +1) > ( x -1) f ( x2 -1) 的解集是( )‎ A． (1, +¥) ‎B． (2, +¥) ‎C． (1, 2) D． (0,1) 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）‎ 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.‎ ‎13．已知 A Í {1, 2, 3, 4} ，且 A 中至少有一个偶数，则这样的 A 有 个.‎ ‎14．某班级有 50 名学生，现要采取系统抽样的方法在这 50 名学生中抽出 10 名学生，将这 50 名学生随机 编号 1～50 号，并分组，第一组 1～5 号，第二组 6～10 号，…，第十组 46～50 号，若在第三组中抽得号码 为 12 的学生，则在第八组中抽得号码为 的学生．‎ ‎15．若不等式 2 x2 + ax + b < 0 的解集为{x -3 < x < 2} ，则 a = ‎ ‎16．已知 f ( x) = x 2 + 2xf '(1) ，则 f ' (0) = ．‎ 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本题满分 10 分）‎ 已知函数 f (x) = sin2 2x + ‎3 sin 2x × cos 2x ．‎ ‎（1）求 f ( x) 的最小正周期；‎ ‎（2）若 x Î[ p , p ] ，且 f ( x) = 1 ，求 x 的值．‎ ‎8 4‎ ‎18.（本题满分 12 分）‎ 已知等比数列{an } 的各项均为正数， a1 = 1 ，公比为 q ；等差数列{bn } 中，b1 = 3 ，且{bn } 的前 n 项和 为 a n 3 3‎ S ， a + S = 27, q = S2 .‎ ‎2‎ ‎（1）求{an } 与{bn } 的通项公式；‎ ‎（2）设数列{cn } 满足 cn ‎= 9 ，求{c } 的前 n 项和T .‎ ‎2S n n n ‎19.（本题满分 12 分）‎ 已知函数 f ( x) =| 2x - a | + | 2x + 3 | ， g ( x) =| x - 1 | +2 ．‎ ‎（1）解不等式| g ( x) |< 5 ；‎ ‎（2）若对任意 x1 Î R ，都存在 x2 Î R ，使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立，求实数 a 的取值范围．‎ ‎20．（本题满分 12 分） 大家知道，莫言是中国首位获得诺贝尔奖的文学家，国人欢欣鼓舞.某高校文学社从男女生中各抽取 50 名 同学调查对莫言作品的了解程度，结果如下：‎ 阅读过莫言的 作品数（篇）‎ ‎0~25‎ ‎26~50‎ ‎51~75‎ ‎76~100‎ ‎101~130‎ 男生 ‎3‎ ‎6‎ ‎11‎ ‎18‎ ‎12‎ 女生 ‎4‎ ‎8‎ ‎13‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎（1）试估计该校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率；‎ ‎（2）对莫言作品阅读超过 75 篇的则称为“对莫言作品非常了解”，否则为“一般了解”.根据题意完成下 表，并判断能否有 75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关？‎ 非常了解 一般了解 合计 男生 女生 合计 附： K 2‎ ‎n(ad - bc )2‎ = (a + b)(c + d )(a + c)(b + d ) P(K 2 ³ k ) ‎0‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k 0‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎21.（本题满分 12 分）‎ 已知椭圆 C： x a 2‎ ‎y2 3‎ + ＝1(a>b>0)的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点 P(1， )．‎ b2 2‎ ‎（1）求椭圆 C 的方程；‎ ‎（2）设过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点，问在椭圆 C 上是否存在一点 M，使四边形 AMBF2 为平行四边 形，若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由．‎ ‎22．（本题满分 12 分）‎ 已知函数 f ( x) = x 2 + 2x + a ln x(a Î R).‎ ‎（1）当 a = -4 时，求 f ( x) 的最小值；‎ ‎（2）若函数 f ( x) 在区间（0,1）上为单调函数，求实数 a 的取值范围 一．选择 ‎数学答案（文科）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 选项 A A C B C D C D A C B B 二．填空 ‎13. 12 ；14. 37； 15. 2； 16. - 4‎ 三．解答题 ‎17.解：（1） f ( x) = 1 - cos 4x + ‎‎ ‎3 sin 2x × cos 2x = 1 - cos 4x + ‎‎ ‎3 sin 4x ‎2 2 2‎ = sin(4 x - p ) + 1 ． 3 分 ‎6 2‎ 因为 T = 2p = p ， 所以 f ( x) 的最小正周期是 ‎4 2‎ ‎p ‎． 5 分 ‎2‎ ‎（2）由（1）得，因为 f ( x) = 1 ，所以 sin(4 x - p ) = 1‎ ‎6 2‎ p p 而 £ x £ ， 所以 ‎8 4‎ 所以 x = p ‎4‎ ‎p £ 4 x - p £ 5p ，‎ ‎3 6 6‎ ‎‎ ‎10 分 ‎18.解：（1）设数列{bn } 的公差为 d ，‎ ìa3 + S3 = 27‎ ‎‎ ïìq2 + 3d = 18‎ ‎‎ ìq = 3‎ ï ï Q íq = S2‎ ‎Þ í Þ ïî6 + d = q 2‎ ‎‎ î í d = 3.‎ ‎ an ‎= 3n -1 ， b ‎= 3n 6 分 î a2‎ ‎‎ n (3 + 3n ) ‎（2）由题意得： Sn = ，‎ ‎2‎ c = 9‎ ‎= 9 × 2 æ ‎1 ö 1 1‎ = 3( - )‎ n 2S ‎2 3 ç n ( n + 1) ÷ ‎n n + 1‎ è ø T = 3[(1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) + L + ( 1 - ‎‎ ‎1 )] = 3n ‎‎ ‎12 分 n 2 2 3‎ ‎n n + 1‎ ‎n + 1‎ ‎19.解：（Ⅰ）由 ‎‎ x - 1 + 2 < 5 得 -5 < ‎‎ x -1 + 2 < 5‎ -7 < ‎x -1 < 3 ，得不等式的解集为{x - 2 < x < 4} 5 分 ‎（Ⅱ）因为任意 x1 Î R ，都有 x2 Î R ，使得 f ( x1 ) = g ( x2 ) 成立，‎ 所以{ y | y = ‎f ( x)} Í { y | y = g ( x)} ， 7 分 又 f ( x) = 2x - a + 2x + 3 ³| (2x - a) - (2x + 3) |=| a + 3 | ，‎ g ( x) =| x - 1 | +2 ³ 2 ，所以| a + 3 |³ 2 ，解得 a ³ -1 或 a £ -5 ，‎ 所以实数 a 的取值范围为 a ³ -1 或 a £ -5‎ ‎‎ ‎12 分 ‎20.解：（1）由抽样调查阅读莫言作品在 50 篇以上的频率为 11 + 18 + 12 + 13 + 15 + 10 = ‎50 + 50‎ ‎79‎ ‎100‎ ‎‎ ‎，据此估计该 校学生阅读莫言作品超过 50 篇的概率约为 P = ‎（2）‎ ‎79 5 分 ‎100‎ 非常了解 一般了解 合计 男生 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ 女生 ‎25‎ ‎25‎ ‎50‎ 合计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ ‎8 分 根据列联表数据得 ‎100 ´ (30 ´ 25 - 20 ´ 25)2‎ K 2 = ‎50 ´ 50 ´ 55 ´ 45‎ ‎‎ » 1.010 < 1.323 ，‎ 所以没有 75%的把握认为对莫言作品的非常了解与性别有关. 12 分 ‎1‎ ‎21.解：(1)∵c＝1，‎ a2‎ ‎9‎ ‎＋‎ ‎4b2‎ ‎‎ ‎＝1，a2＝b2＋c2，∴a＝2，b＝ 3 ，‎ x2 y 2‎ ‎∴椭圆 C 的方程为 ＋‎ ‎4 3‎ ‎‎ ‎＝1. 5 分 ‎(2)假设存在符合条件的点 M(x0，y0)，设直线 l 的方程为 x＝my－1，‎ ì x = my - 1‎ ‎2 2‎ 由 í î3x2 + 4 y 2 = 12‎ ‎，消去 x 得：(3m ＋4)y －6my－9＝0，由条件知Δ>0，‎ ‎6m 4 3m 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1＋y2＝ ，∴AB 的中点为(－ ， )，‎ ‎3m2 + 4 3m2 + 4 3m2 + 4‎ ‎∵四边形 AMBF2 为平行四边形，∴AB 的中点与 MF2 的中点重合，‎ ì x0 + 1 = - 4 ‎ ï 2 3m2 + 4‎ 即 í ‎‎ ‎，∴M(－‎ ‎3m2 + 12‎ ‎2‎ ‎ 6m ‎ ‎， )，‎ ‎2‎ ï y0‎ ‎= 3m ‎ ‎3m + 4‎ ‎3m + 4‎ ïî 2 3m2 + 4‎ ‎20‎ 把点 M 的坐标代入椭圆 C 的方程得：27m4－24m2－80＝0，解得 m2＝ ，‎ ‎9‎ ‎3 5‎ ‎∴存在符合条件的直线 l，其方程为：y＝±‎ ‎10‎ ‎‎ ‎(x＋1)． 12 分 ‎22.解：（Ⅰ） x > 0 ， f ' ( x) = 2 x + 2 - 4 = 2 x ‎+ 2 x - 4‎ ‎，‎ x x 得到 f ( x) 的增区间为 (1, +¥) ； f ' ( x) < 0 ，得到 f ( x) 的减区间为（0,1），‎ 所以 f ( x) 的最小值为 f ( x)min = ‎f (1) = 3 。 5 分 ‎（Ⅱ） f / ( x) = 2 x + 2 + a x ‎2 x 2 + 2 x + a = x ‎‎ ‎， x > 0‎ 设 u ( x ) = 2 x2 + 2 x + a ；‎ u ( x ) = 2 x 2 + 2 x + a = 2( x + 1 )2 - 1 + a ，‎ ‎2 2‎ 所以 u ( x ) 在（0,1）上为增函数，那么若函数 f ( x) 在区间（0,1）上为单调增函数，即 u ( x ) ³ 0 ，只需要 令 u (0) ³ 0 即可，解得 x Î[0, +¥) ；‎ 若 函 数 ‎f ( x) 在 区 间 （ 0,1 ） 上 为 单 调 减 函 数 ， 即 只 需 令 u (1) £ 0 即 可 ， 解 得 x Î ( -¥, -4] ， 所 以 x Î (-¥, -4] U [0, +¥) 。 12 分