江西省宜春九中2019-2020学年高一上学期月考数学试题
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数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60分）
1.若角满足,,则角是（ ）
A. 第三象限角 B. 第四象限角
C. 第三象限角或第四象限角 D. 第二象限角或第四象限角
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的符号，可直接得出结果.
【详解】因为时，角可以是第三、第四象限角，或终边在轴负半轴上；
又时，角可以是第二、第四象限角；
因此角是第四象限角.
故选B
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，熟记定义即可，属于基础题型.
2.若log2a<0，，则( )
A. a>1，b>0 B. a>1，b<0
C. 0
0 D. 01，
所以f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，
因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9．
【点睛】对于分段函数求函数值的问题，解题的关键是要分清变量所在的范围，然后再根据相关运算求出函数值即可．
16.关于函数，有下列命题：①其最小正周期是；②其图象可由的图象向左平移个单位得到；③其表达式可改写；④在上为增函数．其中正确的命题的序是：______．
【答案】①④
【解析】
【分析】
直接求出函数的周期判断①；由函数图象的平移判断②；利用诱导公式变形判断③；由得范围求出相位的范围判断④．
【详解】解：，
，则命题①正确；
由，
得，由的图象向右平移个单位得到，命题②错误；
，命题③错误；
当时，，
在上为增函数，命题④正确．
故答案为①④．
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了型函数的图象和性质，是中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.已知．
（1）化简；(2)若，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【试题分析】（1）依据题设运用诱导公式化简求解；（2）借助题设条件将若代入求解：
（1）
（2）因为，
所以，
所以.
18.已知函数.
（1）若点在角的终边上,求和的值；
（2）若,求的值域.
【答案】(1) ， (2)
【解析】
【分析】
(1)根据点在角的终边上,利用定义求解,再代入求即可.
(2)由得出,再根据正弦函数图像求范围即可.
【详解】解：（1）,
,
.
（2）因为,所以,
所以,所以的值域为.
【点睛】本题主要考查了正弦函数的基本定义以及诱导公式的运用以及已知三角函数定义域求值域的方法等,属于基础题型.
19.已知
（1）求函数的对称轴和对称中心
（2）用五点作图法画出函数在一个周期内的图像（要列表）
【答案】(1) 对称轴为直线.对称中心： (2)见解析
【解析】
【分析】
(1)将代入对称轴与对称中心的表达式再化简求解即可.
(2)令分别等于0,,,,,再分别算出,再描点画图即可.
【详解】（1）令.
则对称轴为直线.
令
则对称中心：
（2）列表如下：
0
x
y
0
2
0
-2
0
【点睛】本题主要考查了三角函数中对称轴与对称点的表达式,同时也考查了五点作图法的方法,属于基础题型.
20.函数的一部分图象如图所示,其中.
（1）求函数解析式；
（2）将函数图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,求函数的单调递减区间.
【答案】(1) (2) .
【解析】
【分析】
(1)由图根据即可求得.再计算周期与利用五点作图法的方法求得.
(2)利用三角函数平移伸缩的方法求得,再代入正弦函数单调递减区间内计算即可.
【详解】（1）根据函数的一部分图象,
其中
，
再根据五点法作图,可得,,
∴函数的解析式为；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,
对于函数,令，求得.
故函数的单调减区间为.
【点睛】本题主要考查了根据图像求的方法以及三角函数平移伸缩与递增区间的求解等.属于中等题型.
21.已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．
(1)若f(x)定义域为R，求a的取值范围；
(2)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；
(3)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ； （2）单调递增区间是，单调递减区间是； （3）.
【解析】
【分析】
(1)因为f(x)的定义域为R，所以ax2＋2x＋3＞0对任意x∈R恒成立．
显然a＝0时不合题意，从而必有 解之即可.
(2)由f(1)＝1，可得f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．求出定义域，利用复合函数单调性判断f(x)的单调区间；
(3) 假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，由此可求a的值.
【详解】(1)因为f(x)的定义域为R，所以ax2＋2x＋3＞0对任意x∈R恒成立．
显然a＝0时不合题意，从而必有即
解得a＞.
即a的取值范围是.
(2)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．
由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，即函数定义域为(－1,3)．
令g(x)＝－x2＋2x＋3,则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．
(3)假设存在实数a使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，
因此应有解得a＝.
故存在实数a＝使f(x)的最小值为0.
【点睛】本题考查对数型复合函数的定义域，单调性以及最值，属中档题.
22.定义在R上的单调函数满足：.
（1）求证：是奇函数；
（2）若在上有零点,求a的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】
【分析】
(1)分别令与代入即可求证.
(2)利用是奇函数且在R上单调转化为在上有解，再进行参数分离求解即可.
【详解】（1）令,则,
则；
再令,则有
,
且定义域为R,关于原点对称.
是奇函数.
（2）在上有零点.
在上有解；
在上有解；
又∵函数是R上的单调函数,
在上有解.
,
；
；
令；
则；
在上单调递减,
.
【点睛】本题主要考查了抽象函数奇偶性的证明,同时也考查了利用奇偶性与单调性求解不等式的方法与参变分离的方法等.属于中等题型.
