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文档介绍
辽宁省葫芦岛市协作校、锦州市2020届高三一模考试数学(文)试题 Word版含解析
www.ks5u.com 数学试题 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合,集合,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先计算集合A,然后对集合A和集合B取交集即可. 【详解】由题意可得,, 则 故选C 【点睛】本题考查集合的交集运算,属于简单题. 2.若复数z满足z(i-1)=2i(i虚数单位),则为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 【详解】z(i-1)=2i(i为虚数单位),∴-z(1-i)(1+i)=2i(1+i), ∴-2z=2(i-1),解得z=1-i.则=1+i. 故选A. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题. 3.已知向量,若,则( ) A 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】 - 19 - 可求出,根据即可得出,进行数量积的坐标运算即可求出x. 【详解】; ∵; ∴; 解得. 故选B. 【点睛】本题考查向量垂直的充要条件,向量坐标的减法和数量积运算,属于基础题. 4.从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享,则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为( ) A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 【答案】D 【解析】 【分析】 利用排列、组合,求得基本事件的总数为种,再求得选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数为种,利用古典概型及其概率的计算公式,即可求解. 【详解】由题意,从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人 基本事件总数为种, 其中选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数为种, 所以选中的2人都读过《红楼梦》的概率为,故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算,以及排列、组合的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 5.若抛物线上的点到焦点的距离为10,则到轴的距离为( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 由抛物线的标准方程可知抛物线的准线方程为 - 19 - 设点的坐标为,由题意结合抛物线的定义可得: , 则到轴的距离为9. 本题选择B选项. 6.甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( ) A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了 【答案】C 【解析】 【分析】 假设若甲被录用了,若乙被录用了,若丙被录用了,再逐一判断即可. 【详解】解:若甲被录用了,则甲的说法错误,乙,丙的说法正确,满足题意, 若乙被录用了,则甲、乙的说法错误,丙的说法正确,不符合题意, 若丙被录用了,则乙、丙的说法错误,甲的说法正确,不符合题意, 综上可得甲被录用了, 故选:C. 【点睛】本题考查了逻辑推理能力,属基础题. 7.已知,,,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用指数与对数的性质与0,1比较即可 【详解】,,,所以. - 19 - 故选:D. 【点睛】本题考查指数与对数的单调性,插入中间值与0,1 比较是常用方法,是基础题 8.已知l,m是两条不同的直线,m⊥平面α,则“”是“l⊥m”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义,结合线面垂直的性质进行判断即可. 【详解】当m⊥平面α时,若l∥α”则“l⊥m”成立,即充分性成立, 若l⊥m,则l∥α或l⊂α,即必要性不成立, 则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件, 故选:A. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大,属于基础题 9.已知等比数列{an}中,若a5+a7=8,则a4(a6+2a8)+a3a11的值为( ) A. 8 B. 16 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】 根据等比数列{an}中,等比中项的定义,化简求解本式即可. 【详解】等比数列{an}中, a4(a6+2a8)+a3a11=a4a6+2a4a8+a3a11, ∵a5+a7=8, ∴a4(a6+2a8)+a3a11=82=64. 故选:C. 【点睛】本题主要考查等比数列和等比中项的应用,属于基础题. 10.已知函数,给出下列四个命题:( ) - 19 - ①的最小正周期为 ②的图象关于直线对称 ③在区间上单调递增 ④的值域为 其中所有正确的编号是( ) A. ②④ B. ①③④ C. ③④ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】 举反例判断①②;根据正弦函数的单调性判断③;讨论,时,对应的最值,即可得出的值域. 【详解】 函数,,,故函数的最小正周期不是,故①错误. 由于,,∴, 故的图象不关于直线对称,故排除②. 在区间上,,,单调递增,故③正确. 当时, 故它的最大值为,最小值为 当时,, 综合可得,函数的最大值为,最小值为,故④正确. 故选:C 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及值域,属于中档题. 11.函数图象的大致形状是( ). - 19 - A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据函数为偶函数,故排除B,D.再根据,排除A,即可得到答案. 【详解】的定义域为, . 所以为偶函数,故排除B,D. ,故排除A. 故答案为:C 【点睛】本题主要考查根据函数解析式找函数图象,利用函数奇偶性和特值为解题的关键,属于中档题. 12.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点的坐标为.若双曲线左支上的任意一点均满足,则双曲线的离心率的取值范围为( ) - 19 - A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先根据双曲线的定义,,转化为,即,根据数形结合可知,当点三点共线时,最小,转化为不等式,最后求离心率的范围. 【详解】由已知可得,若, 即,左支上的点均满足, 如图所示,当点位于点时,最小, 故,即, , 或或或或双曲线的离心率的取值范围为 . - 19 - 【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题,属于中档题型,意在考查化归和计算能力,关键是根据几何关系分析的最小值,转化为的代数关系,最后求的范围. 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.将答案填在答题纸上. 13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生. 【答案】60 【解析】 【分析】 采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6, ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为:. 故答案为60. 14.已知曲线在点处的切线方程为,则实数的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】 首先求导得到,再根据切点和切线方程即可得到的值. 【详解】,, 因为,所以. 故答案为: 【点睛】本题主要考查导数几何意义的切线问题,属于简单题. 15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每人所得份量成等差数列,且较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小一份的量为___. - 19 - 【答案】 【解析】 【详解】设此等差数列为{an},公差为d,则 (a3+a4+a5)×=a1+a2,即,解得a1=,d=.最小一份为a1, 故答案为. 16.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上,且,,若该三棱锥体积的最大值为,则这个球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】 首先根据题意得到,根据三棱锥体积的最大值为得到三棱锥高的最大值,再求外接球的半径和表面积即可. 【详解】设的外接圆的半径为, 因为,, 所以,. . 设到平面的距离为, 因为三棱锥体积的最大值为,即 所以. 设球体的半径为,则,解得. . - 19 - 故答案为: 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球,同时考查了球体的表面积公式,属于中档题. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知在中,角所对的边分别为,且. (1)求角的大小; (2)若,求的取值范围. 【答案】(1); (2) 【解析】 【分析】 (1)由正弦定理化简已知等式可得,根据余弦定理可求的值,结合范围,可求的值. (2)由余弦定理,基本不等式可求,又根据两边之和大于第三边可得,即可求解的取值范围. 【详解】(1)由则, , 所以, 而, 故. (2)由 且, 所以, - 19 - 又, 所以的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式等在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题. 18.某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01); (2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数. 【答案】(1)中位数为,平均数为 (2) 【解析】 【分析】 (1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,因为前2组的频率之和为,因为前3组的频率之和为,所以,求出即可求得答案; (2)因为样本中90分及以上的频率为,所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图,即可估计该校高一学生数学成绩达到人数. “优秀”等次的人数 【详解】(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为 因为前2组的频率之和为,因为前3组的频率之和为,所以, 由,得. - 19 - 所以,这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为, (2)因为样本中90分及以上的频率为, 所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到 “优秀”等次的人数为人. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题的关键是根据频率分布直方图提供的数据,求出频率.再求出学生数,属于基础题. 19.如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,分别是的中点. (1)求证: 平面平面; (2)求证:平面; (3)求三棱锥体积. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3). 【解析】 试题分析:(1)由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直;(2)证明直线与平面平行;(3)求三棱锥的体积就用体积公式. (1)在三棱柱中,底面ABC,所以AB, 又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面,因为AB平面,所以平面平面. (2)取AB中点G,连结EG,FG, 因为E,F分别是、的中点,所以FG∥AC,且FG=AC, - 19 - 因为AC∥,且AC=,所以FG∥,且FG=, 所以四边形为平行四边形,所以EG, 又因为EG平面ABE,平面ABE, 所以平面. (3)因为=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=, 所以三棱锥的体积为:==. 考点:本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明;考查几何体的体积的求解等基础知识,考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力,考查数形结合思想、化归与转化思想. 20.已知椭圆的焦距为2,过点. (1)求椭圆的标准方程; (2)设椭圆的右焦点为F,定点,过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A,B两点,以线段AP为直径的圆与直线的另一个交点为Q,证明:直线BQ恒过一定点,并求出该定点的坐标. 【答案】(1);(2)证明见解析,. 【解析】 【分析】 (1)根据题意列方程组,求解,,即可. (2)设,因为直线的斜率不为零,令的方程为:,与椭圆方程联立,得到,,由题意可知,,则,确定的方程,由椭圆的对称性,则定点必在轴上,所以令,求解,即可. - 19 - 【详解】(1)由题知 , 解得,, 所以椭圆的方程为; (2)设,因为直线的斜率不为零,令的方程为:, 由 得, 则,, 因为以为直径的圆与直线的另一个交点为,所以,则, 则,故的方程为: , 由椭圆的对称性,则定点必在轴上,所以令,则 , 而,,, 所以, 故直线恒过定点,且定点为. 【点睛】本题考查椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系,属于较难的一道题. 21.已知函数. (1)若,求的单调区间; (2)证明:(i); (ii)对任意,对恒成立. 【答案】(1)的单调递增区间为,,的单调递减区间为 - 19 - . (2)(i)证明见解析(ii)证明见解析 【解析】 【分析】 (1)将代入函数解析式,并求得导函数,由导函数的符号即可判断的单调区间; (2)(i)构造函数并求得,利用的单调性求得最大值,即可证明不等式成立.;(ii)由(i)可知将不等式变形可得成立,构造函数,因式分解后解一元二次不等式即可证明对恒成立. 【详解】(1)若,(), 令,得或, 则的单调递增区间为,. 令,得,则的单调递减区间为. (2)证明:(i)设, 则(), 令,得; 令,得. 故, 从而,即. (ii)函数 由(i)可知 即,所以,当时取等号; - 19 - 所以当时,则 若,令 则, 当时,. 则当时,, 故对任意,对恒成立. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间,利用导数证明不等式恒成立问题,构造函数法的应用,属于中档题. [选修4-4:坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的方程为,以O为极点,以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (I)求曲线和直线的极坐标方程; (Ⅱ)若直线与曲线交于P,Q两点,求的值. 【答案】(1)的极坐标方程为;直线的极坐标方程 (2) 【解析】 试题分析:(1)首先把圆的参数方程转化为普通方程,进一步转化为极坐标方程,再把直线方程转化为极坐标方程;(2)根据(1)所得到的结果代入到极坐标方程中,利用几何意义可得结果. 试题解析:(1)曲线C1的参数方程为(为参数),转化为普通方程: - 19 - ,即,则的极坐标方程为,∵直线的方程为,∴直线的极坐标方程. (2)设,,将代入,得:,∴,∴. [选修4-5:不等式选讲] 23.已知函数f(x)=|x-m|-|2x+2m|(m>0). (Ⅰ)当m=1时,求不等式f(x)≥1的解集; (Ⅱ)若∀x∈R,∃t∈R,使得f(x)+|t-1|<|t+1|,求实数m的取值范围. 【答案】(Ⅰ)[-2,-];(Ⅱ)0<m<1 【解析】 【分析】 (Ⅰ)分段去绝对值解不等数组后在相并可得; (Ⅱ)f(x)+|t-1|<|t+1|⇔f(x)<|t+1|-|t-1|对任意x∈R恒成立,对实数t有解. 再利用分段函数的单调性求得f(x)的最大值,根据绝对值不等式的性质可得|t+1|-|t-1|的最大值,然后将问题转化为f(x)的最大值<(|t+1|-|t-1|)的最大值可得. 详解】(Ⅰ)当m=1时,|x-1|-|2x+2|≥1⇔或或, 解得-2≤x≤-,所以原不等式的解集为[-2,-]. (Ⅱ)f(x)+|t-1|<|t+1|⇔f(x)<|t+1|-|t-1|对任意x∈R恒成立,对实数t有解. ∵f(x)=, 根据分段函数的单调性可知:x=-m时,f(x)取得最大值f(-m)=2m, ∵||t+1|-|t-1||≤|(t+1)-(t-1)|=2, ∴-2≤|t+1|-|t-1|≤2,即|t+1|-|t-1|的最大值为2. 所以问题转化为2m<2,解得0<m<1. - 19 - 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题. - 19 - - 19 -查看更多