辽宁省葫芦岛市协作校、锦州市2020届高三一模考试数学(文)试题 Word版含解析

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辽宁省葫芦岛市协作校、锦州市2020届高三一模考试数学(文)试题 Word版含解析

www.ks5u.com 数学试题 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,集合,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算集合A,然后对集合A和集合B取交集即可.‎ ‎【详解】由题意可得,,‎ 则 故选C ‎【点睛】本题考查集合的交集运算,属于简单题.‎ ‎2.若复数z满足z(i-1)=2i(i虚数单位),则为(  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出.‎ ‎【详解】z(i-1)=2i(i为虚数单位),∴-z(1-i)(1+i)=2i(1+i),‎ ‎∴-2z=2(i-1),解得z=1-i.则=1+i.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题.‎ ‎3.已知向量,若,则( )‎ A 1 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ 可求出,根据即可得出,进行数量积的坐标运算即可求出x.‎ ‎【详解】;‎ ‎∵;‎ ‎∴;‎ 解得.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的充要条件,向量坐标的减法和数量积运算,属于基础题.‎ ‎4.从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享,则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为( )‎ A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排列、组合,求得基本事件的总数为种,再求得选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数为种,利用古典概型及其概率的计算公式,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人 基本事件总数为种,‎ 其中选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数为种,‎ 所以选中的2人都读过《红楼梦》的概率为,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算,以及排列、组合的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎5.若抛物线上的点到焦点的距离为10,则到轴的距离为( )‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由抛物线的标准方程可知抛物线的准线方程为 - 19 -‎ 设点的坐标为,由题意结合抛物线的定义可得:‎ ‎,‎ 则到轴的距离为9.‎ 本题选择B选项.‎ ‎6.甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列结论正确的是( )‎ A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设若甲被录用了,若乙被录用了,若丙被录用了,再逐一判断即可.‎ ‎【详解】解:若甲被录用了,则甲的说法错误,乙,丙的说法正确,满足题意,‎ 若乙被录用了,则甲、乙的说法错误,丙的说法正确,不符合题意,‎ 若丙被录用了,则乙、丙的说法错误,甲的说法正确,不符合题意,‎ 综上可得甲被录用了,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了逻辑推理能力,属基础题.‎ ‎7.已知,,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数与对数的性质与0,1比较即可 ‎【详解】,,,所以.‎ - 19 -‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数的单调性,插入中间值与0,1 比较是常用方法,是基础题 ‎8.已知l,m是两条不同的直线,m⊥平面α,则“”是“l⊥m”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义,结合线面垂直的性质进行判断即可.‎ ‎【详解】当m⊥平面α时,若l∥α”则“l⊥m”成立,即充分性成立,‎ 若l⊥m,则l∥α或l⊂α,即必要性不成立,‎ 则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大,属于基础题 ‎9.已知等比数列{an}中,若a5+a7=8,则a4(a6+2a8)+a3a11的值为( )‎ A. 8 B. 16 C. 64 D. 128‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列{an}中,等比中项的定义,化简求解本式即可.‎ ‎【详解】等比数列{an}中,‎ a4(a6+2a8)+a3a11=a4a6+2a4a8+a3a11,‎ ‎∵a5+a7=8,‎ ‎∴a4(a6+2a8)+a3a11=82=64.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列和等比中项的应用,属于基础题.‎ ‎10.已知函数,给出下列四个命题:( )‎ - 19 -‎ ‎①的最小正周期为 ②的图象关于直线对称 ‎③在区间上单调递增 ④的值域为 其中所有正确的编号是( )‎ A. ②④ B. ①③④ C. ③④ D. ②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举反例判断①②;根据正弦函数的单调性判断③;讨论,时,对应的最值,即可得出的值域.‎ ‎【详解】‎ 函数,,,故函数的最小正周期不是,故①错误.‎ 由于,,∴, 故的图象不关于直线对称,故排除②.‎ 在区间上,,,单调递增,故③正确.‎ 当时,‎ 故它的最大值为,最小值为 当时,,‎ 综合可得,函数的最大值为,最小值为,故④正确.‎ 故选:C ‎【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及值域,属于中档题.‎ ‎11.函数图象的大致形状是( ).‎ - 19 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据函数为偶函数,故排除B,D.再根据,排除A,即可得到答案.‎ ‎【详解】的定义域为,‎ ‎.‎ 所以为偶函数,故排除B,D.‎ ‎,故排除A.‎ 故答案为:C ‎【点睛】本题主要考查根据函数解析式找函数图象,利用函数奇偶性和特值为解题的关键,属于中档题.‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点的坐标为.若双曲线左支上的任意一点均满足,则双曲线的离心率的取值范围为( )‎ - 19 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据双曲线的定义,,转化为,即,根据数形结合可知,当点三点共线时,最小,转化为不等式,最后求离心率的范围.‎ ‎【详解】由已知可得,若,‎ 即,左支上的点均满足,‎ 如图所示,当点位于点时,最小,‎ 故,即,‎ ‎,‎ 或或或或双曲线的离心率的取值范围为 .‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题,属于中档题型,意在考查化归和计算能力,关键是根据几何关系分析的最小值,转化为的代数关系,最后求的范围.‎ 二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.将答案填在答题纸上.‎ ‎13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生.‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.‎ ‎【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,‎ ‎∴应从一年级本科生中抽取学生人数为:.‎ 故答案为60.‎ ‎14.已知曲线在点处的切线方程为,则实数的值为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求导得到,再根据切点和切线方程即可得到的值.‎ ‎【详解】,,‎ 因为,所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查导数几何意义的切线问题,属于简单题.‎ ‎15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目:把100个面包分给5个人,使每人所得份量成等差数列,且较大的三份之和的是较小的两份之和,则最小一份的量为___.‎ - 19 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设此等差数列为{an},公差为d,则 ‎ ‎(a3+a4+a5)×=a1+a2,即,解得a1=,d=.最小一份为a1,‎ 故答案为.‎ ‎16.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上,且,,若该三棱锥体积的最大值为,则这个球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意得到,根据三棱锥体积的最大值为得到三棱锥高的最大值,再求外接球的半径和表面积即可.‎ ‎【详解】设的外接圆的半径为,‎ 因为,,‎ 所以,.‎ ‎.‎ 设到平面的距离为,‎ 因为三棱锥体积的最大值为,即 所以.‎ 设球体的半径为,则,解得.‎ ‎.‎ - 19 -‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球,同时考查了球体的表面积公式,属于中档题.‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知在中,角所对的边分别为,且.‎ ‎(1)求角的大小; ‎ ‎(2)若,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1); (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由正弦定理化简已知等式可得,根据余弦定理可求的值,结合范围,可求的值. (2)由余弦定理,基本不等式可求,又根据两边之和大于第三边可得,即可求解的取值范围.‎ ‎【详解】(1)由则,‎ ‎,‎ 所以,‎ 而,‎ 故.‎ ‎(2)由 且,‎ ‎ 所以,‎ - 19 -‎ 又,‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式等在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题.‎ ‎18.某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.‎ ‎(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);‎ ‎(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.‎ ‎【答案】(1)中位数为,平均数为 (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,因为前2组的频率之和为,因为前3组的频率之和为,所以,求出即可求得答案;‎ ‎(2)因为样本中90分及以上的频率为,所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图,即可估计该校高一学生数学成绩达到人数.‎ ‎“优秀”等次的人数 ‎【详解】(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为 因为前2组的频率之和为,因为前3组的频率之和为,所以,‎ 由,得.‎ - 19 -‎ 所以,这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为, ‎ ‎(2)因为样本中90分及以上的频率为, ‎ ‎ 所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到 ‎“优秀”等次的人数为人.‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题的关键是根据频率分布直方图提供的数据,求出频率.再求出学生数,属于基础题.‎ ‎19.如图,在三棱柱中,侧棱垂直于底面,分别是的中点.‎ ‎(1)求证: 平面平面;‎ ‎(2)求证:平面;‎ ‎(3)求三棱锥体积.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直;(2)证明直线与平面平行;(3)求三棱锥的体积就用体积公式.‎ ‎(1)在三棱柱中,底面ABC,所以AB,‎ 又因为AB⊥BC,所以AB⊥平面,因为AB平面,所以平面平面.‎ ‎(2)取AB中点G,连结EG,FG,‎ 因为E,F分别是、的中点,所以FG∥AC,且FG=AC,‎ - 19 -‎ 因为AC∥,且AC=,所以FG∥,且FG=,‎ 所以四边形为平行四边形,所以EG,‎ 又因为EG平面ABE,平面ABE,‎ 所以平面.‎ ‎(3)因为=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以AB=,‎ 所以三棱锥的体积为:==.‎ 考点:本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明;考查几何体的体积的求解等基础知识,考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.‎ ‎20.已知椭圆的焦距为2,过点.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设椭圆的右焦点为F,定点,过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A,B两点,以线段AP为直径的圆与直线的另一个交点为Q,证明:直线BQ恒过一定点,并求出该定点的坐标.‎ ‎【答案】(1);(2)证明见解析,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据题意列方程组,求解,,即可.‎ ‎(2)设,因为直线的斜率不为零,令的方程为:,与椭圆方程联立,得到,,由题意可知,,则,确定的方程,由椭圆的对称性,则定点必在轴上,所以令,求解,即可.‎ - 19 -‎ ‎【详解】(1)由题知 , 解得,,‎ 所以椭圆的方程为;‎ ‎(2)设,因为直线的斜率不为零,令的方程为:,‎ 由 得,‎ 则,, ‎ 因为以为直径的圆与直线的另一个交点为,所以,则,‎ 则,故的方程为: ,‎ 由椭圆的对称性,则定点必在轴上,所以令,则 ‎,‎ 而,,,‎ 所以,‎ 故直线恒过定点,且定点为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系,属于较难的一道题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)若,求的单调区间;‎ ‎(2)证明:(i);‎ ‎(ii)对任意,对恒成立.‎ ‎【答案】(1)的单调递增区间为,,的单调递减区间为 - 19 -‎ ‎. (2)(i)证明见解析(ii)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将代入函数解析式,并求得导函数,由导函数的符号即可判断的单调区间;‎ ‎(2)(i)构造函数并求得,利用的单调性求得最大值,即可证明不等式成立.;(ii)由(i)可知将不等式变形可得成立,构造函数,因式分解后解一元二次不等式即可证明对恒成立.‎ ‎【详解】(1)若,(),‎ 令,得或, 则的单调递增区间为,. ‎ 令,得,则的单调递减区间为. ‎ ‎(2)证明:(i)设,‎ 则(),‎ 令,得;‎ 令,得. ‎ 故,‎ 从而,即. ‎ ‎(ii)函数 由(i)可知 即,所以,当时取等号;‎ - 19 -‎ 所以当时,则 若,令 则,‎ 当时,. ‎ 则当时,, ‎ 故对任意,对恒成立.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间,利用导数证明不等式恒成立问题,构造函数法的应用,属于中档题.‎ ‎[选修4-4:坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的方程为,以O为极点,以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(I)求曲线和直线的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)若直线与曲线交于P,Q两点,求的值.‎ ‎【答案】(1)的极坐标方程为;直线的极坐标方程 (2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)首先把圆的参数方程转化为普通方程,进一步转化为极坐标方程,再把直线方程转化为极坐标方程;(2)根据(1)所得到的结果代入到极坐标方程中,利用几何意义可得结果.‎ 试题解析:(1)曲线C1的参数方程为(为参数),转化为普通方程:‎ - 19 -‎ ‎,即,则的极坐标方程为,∵直线的方程为,∴直线的极坐标方程.‎ ‎(2)设,,将代入,得:,∴,∴.‎ ‎[选修4-5:不等式选讲]‎ ‎23.已知函数f(x)=|x-m|-|2x+2m|(m>0).‎ ‎(Ⅰ)当m=1时,求不等式f(x)≥1的解集;‎ ‎(Ⅱ)若∀x∈R,∃t∈R,使得f(x)+|t-1|<|t+1|,求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)[-2,-];(Ⅱ)0<m<1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)分段去绝对值解不等数组后在相并可得;‎ ‎(Ⅱ)f(x)+|t-1|<|t+1|⇔f(x)<|t+1|-|t-1|对任意x∈R恒成立,对实数t有解. ‎ 再利用分段函数的单调性求得f(x)的最大值,根据绝对值不等式的性质可得|t+1|-|t-1|的最大值,然后将问题转化为f(x)的最大值<(|t+1|-|t-1|)的最大值可得.‎ 详解】(Ⅰ)当m=1时,|x-1|-|2x+2|≥1⇔或或,‎ 解得-2≤x≤-,所以原不等式的解集为[-2,-].‎ ‎(Ⅱ)f(x)+|t-1|<|t+1|⇔f(x)<|t+1|-|t-1|对任意x∈R恒成立,对实数t有解.‎ ‎∵f(x)=,‎ 根据分段函数的单调性可知:x=-m时,f(x)取得最大值f(-m)=2m,‎ ‎∵||t+1|-|t-1||≤|(t+1)-(t-1)|=2,‎ ‎∴-2≤|t+1|-|t-1|≤2,即|t+1|-|t-1|的最大值为2.‎ 所以问题转化为2m<2,解得0<m<1.‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题.‎ - 19 -‎ - 19 -‎
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