安徽省滁州市2019-2020学年高二上学期月考数学试题

安徽省滁州市2019-2020学年高二上学期月考数学试题

‎2019秋安徽省滁州市高二（上）第二次月考数学试卷 一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）‎ ‎1.设命题：，，则 是（　　）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ， ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可.‎ ‎【详解】因为特称命题的否定是全称命题，‎ 所以命题：，的否定为：‎ ‎，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查命题否定，属于基础题。命题的否定与否命题的区别是：对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题则是即否定假设，又否定结论.‎ ‎2.若采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，为此将他们随机编号为，，，，抽取的人的编号在区间内的人数是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据系统抽样的定义，先求出样本间隔，再计算编号在区间内应抽取的人数即可得解.‎ ‎【详解】若采用系统抽样方法从人中抽取人做问卷调查，则样本间隔为，则在区间内共有（人），则抽取的人数为：（人）.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查系统抽样的定义，解题关键是要求出样本间隔（即组距），属于基础题.‎ ‎3.如果数据…，的平均数为2，方差为3，则数据…，的平均数和方差分别为（ ）‎ A. 11, 25 B. 11, 27 C. 8, 27 D. 11, 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由平均数和方差的性质得数据3x1+5，3x2+5，3x3+5，…，3xn+5的平均数为，方差为32•σ2．∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为2，‎ ‎∴数据3x1+5，3x2+5…，3xn+5的平均数是：3×2+5=11，‎ ‎∵x1，x2，x3，…，xn的方差为3，‎ ‎∴3x1+5，3x2+5，3x3+5，…，3xn+5的方差是32×3=27．‎ 故选B．‎ 考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．‎ ‎4.为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了次试验，得到组数据，，，，．根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为 ，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将代入回归方程为中，得到，即可得到的值.‎ ‎【详解】将代入回归方程为中，得：‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程的应用，属于基础题.‎ ‎5.在区间上随机取一个数，则事件发生的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ sinx+cosx= ，‎ 由x∈[0，π]，得x+∈[,]，‎ ‎∴当x+∈[，]，即x∈[0，]时，有sinx+cosx≥，‎ ‎∴在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx+cosx≥”发生的概率为，‎ 故选D.‎ ‎6.已知命题：存在实数，， ；命题：（且）．则下列命题为真命题的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件分别判断命题，的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．‎ ‎【详解】对于：当时，满足，即命题是真命题，‎ 对于：当时，，即命题是假命题，‎ 则是真命题，其余为假命题.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查判断复合命题的真假，应熟记真值表，然后判断，属于基础题.‎ ‎7.“”是“”（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】解：当x＝2时，满足x≥1，‎ 当x＝3时，满足x≥1但x＝2不成立，‎ 即“x＝2”是“x≥1”的充分不必要条件，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．‎ ‎8.右图是一个算法的程序框图，如果输入，，那么输出的结果为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 模拟程序框图运行过程，如下；‎ 当i=1时, ，满足循环条件，此时i=2；‎ 当i=2时, ，满足循环条件，此时i=3；‎ 当i=3时, ，满足循环条件，此时i=4；‎ 当i=4时, ，不满足循环条件，‎ 此时 ‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路 ‎(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．‎ ‎(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．‎ ‎(3)按照题目的要求完成解答并验证．‎ ‎9.在椭圆内，过点M(1，1)且被该点平分的弦所在的直线方程为(　　)‎ A. 9x－16y＋7＝0 B. 16x＋9y－25＝0‎ C. 9x＋16y－25＝0 D. 16x－9y－7＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设弦的两个端点的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，则有，，两式相减,又x1＋x2＝y1＋y2＝2，‎ 因此，即，所求直线的斜率是，‎ 弦所在的直线方程是y－1＝ (x－1)，即9x＋16y－25＝0，故选C.‎ 点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.‎ ‎10.点，分别是正方体的棱和棱的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎ 设正方体的棱长为2，则，，，， 则，，设异面直线所成角为， 则，∴异面直线与所成的角的余弦值为， 故选A.‎ 点睛：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用；异面直线所成的角与直线的方向向量所成的角之间相等或互补，主要是根据异面直线所成的角的范围是来确定，即.‎ ‎11.已知抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为为抛物线的焦点，若，则该双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出M坐标，利用抛物线的定义以及双曲线方程，转化推出a，c关系，即可得到双曲线的离心率．‎ ‎【详解】解：设M（m，n），则由抛物线的定义可得|MF|＝m+1＝2，‎ ‎∴m＝1，∴n2＝4，∴ ，‎ 将点 代入双曲线的渐近线方程 ，‎ ‎∴ ，∴ ，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎12.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为，则该双曲线的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a，b关系，求解即可．‎ 详解】解：抛物线y2＝24x的焦点：（6，0），可得c＝6，双曲线的渐近线的倾斜角为60°，双曲线的焦点坐标在x轴上．‎ 可得，即，36＝a2+b2，解得a2＝9，b2＝27．‎ 所求双曲线方程为：‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ 二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡的相应位置上.）‎ ‎13.如图是某赛季甲乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是 ．‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由图可知甲的得分共有9个，中位数为28，∴甲的中位数为28，乙的得分共有9个，中位数为36，∴乙的中位数为36，则甲乙两人比赛得分的中位数之和是64‎ 考点：茎叶图与中位数 ‎14.已知椭圆的左右焦点分别为，，过右焦点的直线AB与椭圆交于A，B两点，则的周长为______．‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由椭圆方程得到长半轴，再由椭圆的定义即可求出结果.‎ ‎【详解】椭圆的，‎ 三角形的周长．‎ 故答案为16．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的定义，熟记椭圆定义即可，属于基础题型.‎ ‎15.已知，，则 _____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用平面向量坐标运算公式计算，再根据向量模长公式计算模长.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及模长公式，属于基础题.‎ ‎16.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且垂直轴，若直线的斜率为，则该椭圆的离心率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据题意，如图：椭圆的左、右焦点分别为，则 直线的斜率为，则 ‎ 则有 则 ‎ 则 ‎ 则椭圆的离心率 ‎ 故答案为 ‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是作出椭圆的图形，结合直线的斜率分析的值．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答）‎ ‎17.给定命题关于的方程无实根；命题函数在上单调递减已知是真命题，是假命题，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简命题可得，化简命题可得，由为真命题，为假命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】由方程无实根，‎ 可得解得，即命题p：；‎ 由函数在上单调递减，‎ 可得，解得，即命题q：‎ 是真命题，是假命题,‎ ‎、q两个命题真假性相反 ,                           ‎ 或解得或,‎ 实数a的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题通过判断或命题、且命题的真假，综合考查函数的单调性以及方程根的问题，属于中档题.解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.‎ ‎18.在中，内角、、所对的边分别为，其外接圆半径为6，，‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求的面积的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理及条件，可得，再利用平方关系，从而可求得；（Ⅱ）利用正弦定理及条件，可得，利用面积公式表示面积，借助于基本不等式可求的面积的最大值．‎ 试题解析：（Ⅰ）解：，‎ ‎，‎ ‎（Ⅱ），即．‎ 又．‎ ‎．‎ 而时，．‎ 考点：1．正弦定理；2．基本不等式．‎ ‎19.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，后得到如图的频率分布直方图．‎ ‎（1）求图中实数的值；‎ ‎（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于60分的人数；‎ ‎（3）若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎（2）544人.‎ ‎（3）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由于图中所有小矩形的面积之和等于1，‎ 所以． ……2分 解得． ……3分 ‎（2）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率 ‎． ……5分 由于该校高一年级共有学生640人，利用样本估计总体的思想，‎ 可估计该校高一年级数学成绩不低于60分的人数约为人． ……6分 ‎（3）成绩在分数段内的人数为人，分别记为，． ……7分 成绩在分数段内的人数为人，分别记为，，，． ……8分 若从数学成绩在与两个分数段内的学生中随机选取两名学生，‎ 则所有的基本事件有：，，，，，，‎ ‎，，，，，，，，‎ 共15种． ……10分 如果两名学生的数学成绩都在分数段内或都在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10.如果一个成绩在分数段内，另一个成绩在分数段内，那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10．‎ 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10”为事件，则事件包含的基本事件有：‎ ‎，，，，，，共7种． ……11分 所以所求概率为． ……12分 考点：本小题主要考查频率分布直方图的应用和古典概型概率的求解，考查学生识图、用图的能力和运算求解能力.‎ 点评：解决与频率分布直方图有关的题目时，要注意到频率分布直方图中纵轴表示的是 频率/组距，不是频率，图中小矩形的面积才表示频率.‎ ‎20.已知动圆过点且和直线：相切．‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）已知点，若过点的直线与轨迹交于，两点，求证：直线，的斜率之和为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，由此能求出动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线，利用韦达定理、斜率公式，即可证明结论．‎ ‎【详解】由题意得：圆心到点的距离等于它到直线的距离，‎ 圆心的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，‎ 设圆心的轨迹方程为（），‎ ‎∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴圆心P的轨迹方程为：；‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，，， ‎ 联立直线与抛物线可得，∴，，‎ ‎∴，‎ 即直线，的斜率之和为定值．‎ ‎【点睛】本题考查轨迹方程的求法以及直线与圆锥曲线的位置关系，求轨迹方程常用的方法有直接法、相关点法等，解决直线与圆锥曲线的位置关系常用代数法，属于常考题.‎ ‎21.如图（1），等腰梯形，，，，，分别是的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点和点重合，记为点， 如图（2）．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，，从而面，由此能证明平面平面；‎ ‎（2）过点作于，过点作的平行线交于点，则面，以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【详解】（1）证明：四边形为等腰梯形，，，，，是 的两个三等分点，‎ 四边形是正方形，，‎ ‎，且，面，‎ 又平面，平面平面；‎ ‎（2）过点作于点，过点作的平行线交于点，则面，‎ 以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：‎ 则，，，，‎ ‎,,,，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 设平面的法向量，‎ 则，∴，取，得：，‎ 设平面与平面所成锐二面角为，‎ 则．‎ 平面与平面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定以及二面角平面角的求法，属于常考题.‎ ‎22.已知动圆在圆：外部且与圆相切，同时还在圆：内部与圆相切．‎ ‎（1）求动圆圆心的轨迹方程；‎ ‎（2）记（1）中求出的轨迹为，与轴的两个交点分别为、，是上异于、的动点，又直线与轴交于点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由直线与圆相切，则，则点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，即可求得椭圆方程；‎ ‎（2）方法一：设，分别求得直线的方程，直线的方程，分别求得点和的坐标，则，即可求得为定值； 方法二：设直线的斜率为，直线的斜率为，联立直线的方程与直线的方程，求出点坐标，将点坐标代入椭圆方程，即可求得，为定值．‎ ‎【详解】（1）设动圆的半径为，由已知得，，，‎ 点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，‎ 设椭圆方程：（），则，，则，‎ 方程为：；‎ ‎（2）解法一：设 ，由已知得， ，则，，‎ 直线的方程为：，‎ 直线的方程为：，‎ 当时，，，‎ ‎，‎ 又满足，‎ ‎，‎ 为定值．‎ 解法二：由已知得，，设直线的斜率为，直线的斜率为，由已知得，，存在且不为零，‎ 直线的方程为：，‎ 直线的方程为：，‎ 当时，，，‎ ‎,‎ 联立直线和直线的方程，可得点坐标为，‎ 将点坐标代入椭圆方程中,得，‎ 即，‎ 整理得 ，‎ ‎，，‎ 为定值．‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，解题时应注意分类讨论的数学思想方法，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理解题，属于高考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎