安徽省桐城中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（理）试卷

安徽省桐城中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（理）试卷

数学试卷（理科）‎ 一．选择题（共12小题，每题5分，计60分）‎ ‎1．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎2．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）‎ A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n B．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n ‎ C．∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0 D．∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0‎ ‎3．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”，那么（　　）‎ A．甲是乙成立的充分不必要条件 B．甲是乙成立的必要不充分条件 ‎ C．甲是乙成立的充要条件 D．甲是乙成立的非充分非必要条件 ‎4．已知条件p：a＜0，条件q：a2＞a，则￢p是￢q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）‎ A．a≥9 B．a≤9 C．a≥10 D．a≤10‎ ‎6．当a＞0时，设命题P：函数在区间（1，2）上单调递增；命题Q：不等式x2+ax+1＞0对任意x∈R都成立．若“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）‎ A．0＜a≤1 B．1≤a＜2 C．0≤a≤2 D．0＜a＜1或a≥2‎ ‎7．已知方程表示双曲线，则m的取值范围是（　　）‎ A．m＞﹣1 B．m＞2 C．m＜﹣1或m＞2 D．﹣1＜m＜2‎ ‎8．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（　　）‎ A．（x≠0） B．（x≠0） ‎ C．（x≠0） D．（x≠0）‎ ‎9．如图过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若 ‎|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则抛物线的方程为（　　）‎ A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x ‎10．椭圆的两顶点为A（a，0），B（0，b），且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF＝α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知椭圆，F1，F2为其左、右焦点，P为椭圆C上除长轴端点外的任一点，△F1PF2的重心为G，内心I，且有（其中λ为实数），椭圆C的离心率e＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ 二．填空题（共4小题，每题5分，计20分）‎ ‎13．已知命题p：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若命题p的逆否命题为真命题，则实数m的取值范围为　 　．‎ ‎14．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为　 　．‎ ‎15．P是双曲线﹣y2＝1的右支上一动点，F是双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为　 　．‎ ‎16．已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1，F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．则该椭圆的离心率的取值范围是　 　．‎ 三．解答题（共6小题，计70分）‎ ‎17．（10分）已知，命题p：∀x∈R，x2+ax+2≥0，命题q：∃x∈[﹣3，﹣]，x2﹣ax+1＝0．‎ ‎（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围．‎ ‎18．(12分）已知p：函数f（x）＝的值域是[0，+∞），q：关于a的不等式 a2﹣（2m﹣5）a+m（m﹣5）＞0，若￢p是￢q充分不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎19．已知命题p：方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆．‎ 命题q：实数m满足m2﹣4am+3a2＜0，其中a＞0．‎ ‎（Ⅰ）当a＝1且p∧q为真命题时，求实数m的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎20．已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为6，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，点A，B在椭圆上，且＝2，求线段AB所在直线的方程．‎ ‎21．已知椭圆C：，直线l：y＝kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．‎ ‎（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆C的方程；‎ ‎（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO＝∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎22．已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（﹣3，0），一条渐近线的方程是．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围．‎ ‎ ‎ 参考答案与试题解析 ‎1．解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x＝3，y＝．‎ ‎∴p是q的充分不必要条件．故选：A．‎ ‎2．解：命题为全称命题，‎ 则命题的否定为：∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0，故选：D．‎ ‎3解：命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，‎ 命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆 ‎∵当一个动点到两个定点距离之和等于定值时，‎ 再加上这个和大于两个定点之间的距离，‎ 可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，‎ 而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，‎ ‎∴甲是乙成立的必要不充分条件故选：B．‎ ‎4．解：∵条件p：a＜0，条件q：a2＞a，⇔a＜0或a＞1‎ 故条件p是条件q的充分不必要条件则¬p是¬q的必要不充分条件故选：B．‎ ‎5．解：命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”⇔“∀x∈[1，3]，x2≤a”⇔9≤a a≥10是命题“∀x∈[1，3]，x2﹣a≤0”为真命题的一个充分不必要条件．故选：C．‎ ‎6．解：∵函数在区间（1，2）上单调递增；‎ 由对勾函数图像可知∴a≤1．且a＞0…①‎ 又不等式x2+ax+1＞0对任意x∈R都成立，‎ ‎∴△＝a2﹣4＜0，‎ ‎∴﹣2＜a＜2…②若“P且Q”是真命题，‎ 则P且Q都是真命题，故由①②的交集得：0＜a≤1，‎ 则实数a的取值范围是0＜a≤1．故选：A．‎ ‎7．解：∵方程，∴（m﹣2）（m+1）＜0，‎ 解得﹣1＜m＜2，∴m的取值范围是（﹣1，2）．故选：D．‎ ‎8．解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），‎ ‎∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12，‎ ‎∵12＞8∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，‎ ‎∵a＝6，c＝4∴b2＝20，∴椭圆的方程是故选：B．‎ ‎9．解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得：|BC|＝2a，由定义得：|BD|＝a，故∠BCD＝30°，‎ 在直角三角形ACE中，∵|AF|＝3，|AC|＝3+3a，‎ ‎∴2|AE|＝|AC|∴3+3a＝6，从而得a＝1，∵BD∥FG，‎ ‎∴＝求得p＝，因此抛物线方程为y2＝3x．故选：D．‎ ‎10．解：依题意可知点F（﹣c，0）‎ 直线AB斜率为 ＝，直线BF的斜率为 ＝‎ ‎∵∠FBA＝90°，∴（ ）•＝﹣＝﹣1‎ 整理得c2+ac﹣a2＝0，即（）2+﹣1＝0，即e2+e﹣1＝0‎ 解得e＝或﹣∵0＜e＜1∴e＝，故选：C．‎ ‎11解：已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为：N 则：连接AF，AN，AF，BF所以：四边形AFBN为长方形．‎ 根据椭圆的定义：|AF|+|AN|＝2a，∠ABF＝α，则：∠ANF＝α．‎ 所以：2a＝2ccosα+2csinα，利用e＝＝‎ ‎，所以：‎ 则： 即：椭圆离心率e的取值范围为[]‎ 故选：A．‎ ‎12解：设P（x0，y0），∵G为△F1PF2的重心，‎ ‎∴G点坐标为 G（，），∵，∴IG∥x轴，‎ ‎∴I的纵坐标为，在焦点△F1PF2中，|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c ‎∴＝•|F1F2|•|y0| 又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标即为内切圆半径，‎ 内心I把△F1PF2分为三个底分别为△F1PF2的三边，高为内切圆半径的小三角形 ‎∴＝（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||‎ ‎∴•|F1F2|•|y0|＝（|PF1|+|F1F2|+|PF2|）||‎ 即×2c•|y0|＝（2a+2c）||，∴2c＝a，‎ ‎∴椭圆C的离心率e＝＝故选：A．‎ ‎13．实数m的取值范围为　（﹣2，2）　．‎ 解：由于命题p的逆否命题为真命题，‎ 则：原命题为真命题，‎ 故：命题p：∀x∈R，x2+mx+1＞0，为真命题，‎ 则：△＝m2﹣4＜0，‎ 解得：﹣2＜m＜2，‎ 故：m的取值范围是（﹣2，2）．故答案为：（﹣2，2）‎ ‎14．实数m的取值范围为　[8，+∞）　．‎ 解：因为¬p是¬q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，‎ 即p⇒q，但q推不出p，即，即，‎ 所以m≥8．故答案为：[8，+∞）‎ ‎15．解：设双曲线左焦点为F2，则|PA|+|PF|＝|PF2|﹣2a+|PA|＝‎ 当P、F2、A三点共线时有最小值，此时F2（﹣2，0）、A（3，1）所以 ‎|PF2|+|PA|＝|AF2|＝，而对于这个双曲线，2a＝2，‎ 所以最小值为﹣2‎ 故答案为﹣2‎ ‎16．解：如图，设双曲线的半实轴长，半焦距分别为a2，c，‎ ‎∵△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，‎ ‎∴|PF1|＝|F1F2|＝10，即c＝5，|PF2|＝10﹣2a2，‎ 又由双曲线的离心率的取值范围为（1，2）．故∈（1，2）．‎ ‎∴a2∈（，5），设椭圆的半实轴长为a1，则|PF1|+|PF2|＝2a1＝20﹣2a2，‎ 即a1＝10﹣a2∈（5，）故e＝∈（，1）故答案为：（，1）‎ ‎17．解：（1）∵命题p：∀x∈R，x2+ax+2≥0为真命题，‎ ‎∴△＝a2﹣4×1×2≤0，解得﹣2≤a≤2，‎ ‎∴实数a的取值范围为[﹣2，2]；‎ ‎（2）命题q：∃x∈[﹣3，﹣]，x2﹣ax+1＝0为真命题，‎ ‎∴a＝＝x+在x∈[﹣3，﹣1]单调递增，在x∈[﹣1，﹣]单调递减，‎ ‎∴当x＝﹣1时，a取最大值﹣2，当x＝﹣3时a＝﹣，当x＝﹣时a＝﹣，‎ ‎∴实数a的取值范围为：[﹣，﹣2]‎ ‎18．解：∵f（x）＝的值域是[0，+∞），‎ ‎∴y＝x2﹣2ax+3的值域是[0，+∞），则△＝4a2﹣12≥0，得a2≥3，‎ 得a≥或a≤﹣，即p：a≥或a≤﹣，‎ ‎∵a2﹣（2m﹣5）a+m（m﹣5）＞0，∴[a﹣（m﹣5）]（a﹣m）＞0，‎ 得a＞m或a＜m﹣5，即q：a＞m或a＜m﹣5，‎ 若￢p是￢q充分不必要条件，‎ 则q是p的充分不必要条件，‎ 则，即，得≤m≤5﹣，‎ 即实数m的取值范围是得≤m≤5﹣．‎ ‎19．解：（Ⅰ）方程+＝1表示焦点在x轴上的椭圆，‎ 则，得，得＜m＜2，‎ 若a＝1，由m2﹣4m+3＜0得1＜m＜3，‎ 若p∧q为真命题时，则p，q同时为真，则1＜m＜2．‎ ‎（Ⅱ）由m2﹣4am+3a2＜0，（a＞0）．‎ 得（m﹣a）（m﹣3a）＜0，得a＜m＜3a，即q：a＜m＜3a，￢q：x≥3a或0＜x≤a，‎ ‎∵p是￢q的充分不必要条件，∴3a≤或a≥2，即a≤或a≥2，‎ ‎∵a＞0，∴0＜a≤或a≥2即实数a的取值范围是（0，]∪[2，+∞）‎ ‎20．解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．‎ ‎∵长轴长为6，离心率为．∴2a＝6，，又a2＝b2+c2，‎ 联立解得a＝3，c＝2，b2＝5．‎ ‎∴椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）M（0，2）．‎ 设直线AB的方程为y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 联立，化为（9+5k2）x2+20kx﹣25＝0，‎ ‎∴x1+x2＝，x1x2＝．‎ 又＝2，∴﹣x1＝2x2．‎ 联立可得，解得．∴．‎ ‎∴直线AB的方程为y＝x+2．‎ ‎21．解：（1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2＝0，‎ 显然△＞0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），‎ 则，，‎ ‎∴，．‎ ‎∴＝．∴a2＝8．所以椭圆C的方程为．‎ ‎（2）假设存在定点M，且设M（0，m），‎ 由∠AMO＝∠BMO得kAM+kBM＝0．‎ ‎∴．‎ 即y1x2+y2x1﹣m（x1+x2）＝0，‎ ‎∴2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）＝0．‎ 由（1）知，，‎ ‎∴．‎ ‎∴m＝4．所以存在定点M（0，4）使得∠AMO＝∠BMO．‎ ‎22解：（Ⅰ）解：设双曲线C的方程为（a＞0，b＞0）．‎ 由题设得，解得，所以双曲线方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：设直线l的方程为y＝kx+m（k≠0）．‎ 点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得（5﹣4k2）x2﹣8kmx﹣4m2﹣20＝0．‎ 此方程有两个不等实根，于是5﹣4k2≠0，且△＝（﹣8km）2+4（5﹣4k2）（4m2+20）＞0．‎ 整理得m2+5﹣4k2＞0． ③‎ 由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足，．‎ 从而线段MN的垂直平分线方程为．‎ 此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为，．‎ 由题设可得．‎ 整理得，k≠0．‎ 将上式代入③式得，整理得（4k2﹣5）（4k2﹣|k|﹣5）＞0，k≠0．‎ 解得或．‎ 所以k的取值范围是．‎