高中数学讲义微专题02 充分条件与必要条件

高中数学讲义微专题02 充分条件与必要条件

- 1 - 微专题 02 充分条件与必要条件 一、基础知识 1、定义： （1）对于两个条件 ，如果命题“若 则 ”是真命题，则称条件 能够推出条件 ，记 为 ， （2）充分条件与必要条件：如果条件 满足 ，则称条件 是条件 的充分条件； 称条件 是条件 的必要条件 2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系 既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若 则 ”的真假，也要判断 “若 则 ”真假 3、两个条件之间可能的充分必要关系： （1） 能推出 ，但 推不出 ，则称 是 的充分不必要条件 （2） 推不出 ，但 能推出 ，则称 是 的必要不充分条件 （3） 能推出 ，且 能推出 ，记为 ，则称 是 的充要条件，也称 等价 （4） 推不出 ，且 推不出 ，则称 是 的既不充分也不必要条件 4、如何判断两个条件的充分必要关系 （1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判 断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。例如 ，构造命题： “若 ，则 ”为真命题，所以 ，但“若 ，则 ”为假命题 （ 还有可能为 ），所以 不能推出 ；综上， 是 的充分不必要条件 （2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系 ①充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何 谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充分 也是类似的含义，是指仅由 就可以得到结论 ，而不需要再添加任何说明与补充。以上题 ,p q p q p q p q ,p q p q p q q p p q q p p q q p p q p q q p p q p q q p p q p q ,p q p q q p p q 2: 1; : 1 0p x q x   1x  2 1 0x   p q 2 1 0x   1x  x 1 q p p q p q - 2 - 为例，对于条件 ，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到 所以 可以说 对 是“充分的”，而反观 对 ，由 ，要想得到 ，还要补充 一个前提： 不能取 ，那既然还要补充，则说明是“不充分的” ② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必 要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要” 体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例：如果 不 成立，那么 必然不为 1，但是仅靠 想得到 也是远远不够的，还需要更 多的补充条件，所以仅仅是“必要的” （3）运用集合作为工具 先看一个问题：已知 ,那么条件“ ”是“ ”的什么条件？ 由 可得到： ，且 推不出 ，所以“ ”是“ ”充 分不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间 也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集 合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下： ① ： 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件 ② ： 是 的充分条件 ③ ： 是 的充要条件 此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还 是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。例如在 中，满足 的 取值集合为 ，而满足 的 取值集合为 所以 ，进而判断出 是 的充分不必要条件 5、关于“ ”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。例如： 是 的充分不必 要条件，则命题“若 ，则 ”为真命题，根据四类命题的真假关系，可得其逆否命题“若 ，则 ”也为真命题。所以 是 的充分不必要条件 二、典型例题： : 1p x  2: 1 0q x   p q q p 2: 1 0q x   : 1p x  x 1 2: 1 0q x   x 2: 1 0q x   : 1p x  P Q x P x Q P Q x P x Q   x Q x P x P x Q P Q p q q p P Q p q P Q p q 2: 1; : 1 0p x q x   p x  1P  q x  1,1 P Q p q ,p q  p q p q q p q p - 3 - 例 1：已知 ，则 是 的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：考虑利用集合求解：分别解不等式得到对应集合。 ，解得： ，即 ； 或 ，即 。所以 ，进而 是 的充分不必要条件 答案：C 例 2：已知 ，那么 是 的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：本题若觉得不方便从条件中直接找到联系，可先从一个条件入手推出其等价条件，再 进行判断，比如“ ”等价于 ，所以只需判断 与 的关系即可。 根据 的单调性可得：如果 ，则 ，但是若 ，在 大于 零的前提下，才有 ，而题目中仅说明 。所以不能推出。综上可判断 是 的充分不必要条件 答案：C 小炼有话说：（1）如果所给条件不方便直接判断，那么可以寻找它们的等价条件（充要条 件），再进行判断即可 （2）在 推 中，因为 是条件，表达式成立要求 ， 但是在 推 中， 是条件，且对 取值没有特殊要求，所以 ， 那么作为结论的 就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分清谁是条件， 谁是结论。作为条件的一方默认式子有意义，所以会对变量取值有一定的影响。 例 3：已知 ，如果 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是_____ 思路：设 ，因为 是 的充分不必要 2: 3 1, : 6 0p x q x x     p q 3 1 1 3 1x x       2 4x   |2 4P x x   2 6 0 3x x x      2x   | 3 2Q x x x   或 P Q p q ,a b R 1 1 2 2 log loga b 3 3a b 3 3a b a b 1 1 2 2 log loga b a b 1 2 logy x 1 1 2 2 log loga b a b a b ,a b 1 1 2 2 log loga b ,a b R 1 1 2 2 log loga b 3 3a b 1 1 2 2 log loga b a b 1 1 2 2 log loga b , 0a b  a b 1 1 2 2 log loga b a b ,a b ,a b R 1 1 2 2 log ,loga b 3: , : 11p x k q x  p q k    3| , | 1 | 1 21P x x k Q x x x xx            或 p q - 4 - 条件，所以 ，利用数轴可而判断出 答案： 例 4：下面四个条件中，使 成立的充分而不必要的条件是（ ） A. B. C. D. 思路：求 的充分不必要条件，则这个条件能够推出 ，且不能被 推出。可以 考虑验证四个选项。A 选项 可以推出 ，而 不一定能够得到 （比 如 ），所以 A 符合条件。对于 B，C 两个选项均不能推出 A，所以直接否定。而 D 选项虽然可以得到 ，但是 也能推出 ，所以 D 是 A 的充要条件，不符题意 答案：A 例 5：（2015 浙江温州中学高二期中考试）设集合 ， 则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：先解出两个解集： ， 的解集与 的取值有关：若 ，则 ；若 ，则 ，观察条件，若 ，则 ，所以 成立；若 ，则通过数轴观察区间可得 的取值为多个（比如 ），所以“ ”是 “ ”的充分不必要条件 答案：A 例 6：对于函数 ，“ 的图象关于 轴对称”是“ 是奇函数” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：如果 是奇函数，图像关于原点对称，则 中 位于 轴下方 的部分沿 轴对称翻上来，恰好图像关于 轴对称，但 的图象关于 轴对称未必能 得到 是奇函数（例如 ），所以“ 的图象关于 轴对称”是 P Q 2k  2k  a b 1a b  1a b  2 2a b 3 3a b a b a b a b 1a b  a b a b 1a b  1, 1.5a b  a b a b 3 3a b  1| 0 , | 11 xA x B x x ax         1a  A B    1,1A   B a 0a  B   0a   1 ,1B a a   1a   0,2B  A B   A B   a 1 2a  1a  A B   ( ),y f x x R  ( )y f x y ( )y f x ( )y f x ( )y f x ( )y f x x x y ( )y f x y ( )y f x   2f x x ( )y f x y - 5 - “ 是奇函数”的必要不充分条件 答案：B 例 7：已知 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路一：可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左 右，可以举出反例 ， 则 不成立，所以左边无法得到右边。而右 左能够成立，所以“ ”是 “ ”的必要不充分条件 思路二：本题也可以运用集合的思想，将 视为一个点的坐标 ，则条件所对应的集合 为 ，作出两个集合在坐标系中的区域，观察 两个区域可得 ，所以“ ”是“ ”的必要不充分条件 答案：B 例 8（2015 菏泽高三期中考试）：设条件 ：实数 满足 ；条件 ：实数 满足 且 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是 _________ 思路：本题如果先将 ， 写出，再利用条件关系运算，尽管可行，但 ， 容易书写 错误。所以优先考虑使用原条件。“ 是 的必要不充分条件”等价于“ 是 的必要不 充分条件”，而 为两个不等式，所以考虑求出解集再利用集合关系求解。 解：设 ，可解得： ， 设 可解得： ， 是 的必要不充分条件 是 的必要不充分条件 答案： 例 9：数列 满足 ，则“ ”是“数列 成等 ( )y f x ,a b R 2 2 1a b  1a b   0.9, 0.4a b  1a b   2 2 1a b  1a b  ,a b  ,a b      2 2, | 1 , , | 1P a b a b Q a b a b      P Q 2 2 1a b  1a b  p x 2 24 3 0( 0)x ax a a    q x 2 2 8 0x x   p q a p q p q p q q p ,p q  2 2| 4 3 0, 0P x x ax a a      3 ,P a a  2| 2 8 0Q x x x       , 4 2,Q     p q q p Q P  0a  4a   4a    na  1 11, , 0n na a r a r n N r       1r   na - 6 - 差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：当 时，可得 ，即 成等差数列。所以“ ”是“数列 成等 差数列”的充分条件。另一方面，如果 成等差数列，则 成等差数列，所以有 ，代入 可得： ，解得 或 ，经检验， 时， ， 利用数学归纳法可证得 ，则 也为等差数 列（公差为 0），所以 符合题意。从而由“数列 成等差数列”无法推出“ ”， 所以“ ”是“数列 成等差数列”的不必要条件 答案: A 例 10：设 ，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 思路：因为 ，所以 。故由 可得 ，即 ，对于 能否推出 ，可考虑寻找各自等价条件： ， ，通过数形结合可以得到 符合 的 的集合是 的 集合的子集。所 以 是 的必 要不充分条件 答案：B 1r  1 1n na a    na 1r   na  na 1 2 3, ,a a a      2 1 3 1 2 1 12 2 1 2 1a a a r a r ra r r a r r ra r r               1 1a  2 24 2 1 2 3 1 0r r r r r       1r  1 2r  1 2r  2 1 1 1 12 2a a   3 2 1 1 1,2 2a a    1na   na 1 2r   na 1r  1r   na 0 2x   2sin 1x x  sin 1x x  0 2x   0 sin 1x  sin 1x x  sin sin sin 1x x x x   2sin 1x x  2sin 1x x  sin 1x x  2 2 1 1sin 1 sin sinx x x xx x      1sin 1 sinx x x x   1sin x x x 1sin x x  x 2sin 1x x  sin 1x x  2.6 2.4 2.2 2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 h x  = sin x  g x  = 1 x f x  = 1 x - 7 - 三、近年模拟题题目精选 1、（2014，江西赣州高三摸底考试）若 ，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2、（2014 南昌一模，3）设 为向量，则“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3、若 ，则“ 成立”是“ 成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4、（2014，北京）设 是公比为 的等比数列，则“ ”是“ 为递增数列”的(　 　) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5 、（2014 上海 13 校联考，15 ）集合 ，若 “ ”是“ ”的充分条件，则 的取值范围是（　　） A. 　　　 B. 　 　C. 　　　　 　D. 6、（2015，福建）“对任意的 ， ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7、（2014 北京朝阳一模，5）在 中， ， ，则“ ”是“ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8 、（2014 湖北黄冈月考，4 ）已知条件 ，条件 ：直线 与圆 相切，则 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 9、(2014 陕西五校二模，1）命题 且满足 .命题 且满足 . 则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ,a b R a b a b   0ab  ,a b  | | = | || |a b a b    //a b  ,a bR a b 2 2a b  na q 1q   na  2 0 , ( )( ) 01 xA x B x x a x bx           2a   A B  I b 1b   1b   1b   1 2b   0, 2x     sin cosk x x x 1k  ABC△ π 4A  2BC  3AC  π 3B  3: 4p k  q  2 1y k x   2 2 4x y  p q :p x R sin 2 1x  :q x R tan 1x  p q - 8 - 10、（2015 北京理科）设 是两个不同的平面， 是直线且 ．则“ ”是“ ” 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11、（2016，上海交大附中期中）条件“对任意 ”是“ ”的 （ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 习题答案： 1、答案：B 解析：从集合的角度来看，满足 条件的 取值范围是 或 ， 所以可知“ ”是“ ”的必要不充分条件 2、答案：C 解析： 的夹角为 ，从而等价于 3、答案：C 解 析 ： 由 不 等 式 性 质 可 知 ： ， 则 即 ， 反 之 若 ， 则 即 4、答案：D 解析：若 的项均为负项，则“ ”，“ 为递增数列”之间无法相互推出，所以两条件 既不充分也不必要 5、答案：B 解析： ， ，因为 ，由数轴可得： 即可 6、答案：B 解析：左侧条件中恒成立不等式可化为 ，设 ，可知 ， 所 以 若 为 减 函 数 ， 则 一 定 有 成 立 。 考 虑 ，由 可得： ，故 时， 成立，所以 ,  m m  m ∥  ∥ 0, , sin cos2x k x x x     1k  a b a b    ,a b 0ab  0ab  a b a b   0ab  = = ,a b a b a b a b a b              0, //a b  0a b  2 2a b 2 2a b 2 2a b 2 2a b a b  na 1q   na  : 1,2A    : 2 0B x x b   A B  I 1b   sin2 02 k x x    sin22 kf x x x   0 0f   f x    0 0f x f   ' cos2 1f x k x  0, 2x      2 0,x  1k   ' 0f x  - 9 - 为减函数， 成立。所以使不等式恒成立的 的范围包含 ，而 ，故“对任意的 ， ”是“ ”的必要不充分条件 7、答案：B 解析：由正弦定理可得： ，所以 或 ，均满足题意，由 两条件对应集合关系可知“ ”是“ ”的必要不充分条件 8、答案：C 解析：从 入手，若 与圆相切，则 解得 ，所以 9、答案：C 解析：分别解出满足两个条件 的解， ； ，可知两个集合相等，故 10、答案：B 解析：依面面平行的判定和性质可知：“ ”无法得到“ ”，但“ ”可推出 “ ” 11、答案：B 解 析 ： 将 不 等 式 变 形 为 ， 设 ， 且 ，则 。当 时，可得 ，从而 在 单 调 递 减 ， ， 即 不 等 式 恒 成 立 。 所 以 若 “ ”， 则 “ 对 任 意 ”；而 “ 对 任 意 ”，未 必 能 得 到 “ ”（ 不等式也成立），所以为“必要不充分条件”  f x    0 0f x f  k  ,1    ,1 ,1   0, 2x     sin cosk x x x 1k  3sinsin sin 2 BC AC BA B   3B  2 3  3AC  π 3B  q  2 1y k x   2 2 1 2 1 kd k    3 4k  p q x    : 2 22 4p x k k Z x k k Z          : tan 1 4q x x k k Z      p q m ∥  ∥  ∥ m ∥ sin 2 sin 2 2 02 k x x k x x      sin 2 2f x k x x   0 0f   ' 2 cos2 2f x k x  1k   ' 0f x   f x 0, 2         0 0f x f  1k  0, , sin cos2x k x x x     0, , sin cos2x k x x x     1k  1k 