四川省雅安市雅安中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

四川省雅安市雅安中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

雅安中学2019-2020学年上期第一次月考高中二年级 数学试题 第Ⅰ卷（选择题共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.‎ ‎1.已知过点的直线的倾斜角为，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线的倾斜角求得直线的斜率，再由直线的点斜式方程求解．‎ ‎【详解】∵直线的倾斜角为，∵直线的斜率，‎ 又直线过点，‎ 由直线方程的点斜式可得直线的方程为，即．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查直线的点斜式方程，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．‎ ‎2.已知直线与平行，则（ ）‎ A. 4 B. －4 C. 2 D. －2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由两直线与平行，可得，由此列式求解值．‎ ‎【详解】∵直线与平行，‎ ‎∴，即．‎ 此时两直线不重合．故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线平行的关系，两直线与平行，可得，是基础题．‎ ‎3.椭圆的一个焦点坐标为（ ）‎ A. (5,0) B. (0,5) C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题中所给的椭圆的方程，可得的值，并且可以判断焦点所在轴，从而求得椭圆的焦点的坐标.‎ ‎【详解】因为，所以，故椭圆的上焦点的坐标是，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关椭圆的性质，属于简单题目.‎ ‎4.点P（0，2）关于直线的对称点坐标是 A. （-2，0） B. （-1，0） C. （0.-1） D. .‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】解一：设点P（0，2）关于直线的对称点是，则 即解之得：‎ ‎∴.故选D.‎ 解二：设点为所求的对称点，利用的中点在直线上，这样可否定B..‎ ‎∵的斜率为，‎ ‎∴的斜率为2.‎ 而满足这个条件的点仅是，故选D..‎ ‎5.已知圆的一条直径的端点分别是，，则此圆的方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用中点坐标公式求得圆心坐标，再求出半径，可得圆的方程．‎ ‎【详解】解：圆的一条直径的端点坐标分别是，，‎ 故利用中点坐标公式求得圆心为，半径为，‎ 则圆的方程为，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查求圆的方程的方法，关键是求出圆心和半径，属于基础题．‎ ‎6.已知椭圆，、是其左右焦点，过作一条斜率不为0的直线交椭圆于、‎ 两点，则的周长为（ ）‎ A. 5 B. 10 C. 20 D. 40‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出图形，直接利用椭圆定义求解．‎ ‎【详解】由椭圆，得，‎ 如图：‎ 由椭圆定义可得，，；‎ 的周长为：‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义的应用，是基础题．‎ ‎7.已知直线：与：如图所示，则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图象得到直线的倾斜角小于直线的倾斜角，根据正切函数的性质得出两斜率的大小，根据两直线与轴的交点位置即可确定出截距的大小．‎ ‎【详解】由图可知直线的倾斜角小于直线的倾斜角，但是它们都大于 ，由 在上单调递增，得，又直线与轴的交点在直线与轴的交点的上方，故，综上选A.‎ ‎【点睛】此题考查了直线的截距式方程，以及直线斜率与倾斜角的关系，熟练掌握直线斜率与倾斜角的关系是解本题的关键．‎ ‎8.圆上的动点到直线的最短距离为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意画出图形，过圆心作垂直于已知直线，垂足为，与圆交于点，根据图形可知当动点运动到位置时，到已知直线的距离最短，最短距离为，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离，即为的长，由减去圆的半径的长即可求出的长，即为最短距离．‎ ‎【详解】根据题意画出图形，如图所示：‎ 由圆的方程，得到圆心的坐标为，半径，‎ 圆心到直线的距离，‎ 则当动点运动到点位置时，到已知直线的距离最短，‎ 所以最短距离为．故选：A．‎ ‎【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，以及数形结合的数学思想．在圆周上找出到已知直线最短的点的位置为点是解本题的关键．‎ ‎9.直线过定点（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用直线系的性质即可得出．‎ ‎【详解】已知直线方程为，则，‎ 由，，解得，．‎ 不论取何值，直线总过定点．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了直线系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎10.若直线与曲线有两个不同交点，则实数的范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在轴以及轴上方的部分，把斜率是1的直线平行移动，即可求得结论．‎ ‎【详解】∵有表示的曲线为圆心在原点，‎ 半径是1的圆在轴以及轴上方的部分．‎ 作出曲线有的图象，在同一坐标系中，‎ 再作出直线，平移过程中，直线先与圆相切，‎ 再与圆有两个交点，‎ 直线与曲线相切时，可得，‎ ‎∴，当直线经过点时，，‎ 直线，而该直线也经过，‎ 即直线与半圆有2个交点．‎ ‎．故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查直线与曲线的交点问题，在同一坐标系中，分别作出函数的图象，借助于数形结合是求解的关键．‎ ‎11.美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学．素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步．雅中高2018级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用已知条件转化求解、关系，然后求解椭圆的离心率即可．‎ ‎【详解】椭圆的长轴为，短轴的长为，‎ ‎“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成角，‎ 可得，即，所以,故选C．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．‎ ‎12.方程表示的曲线是（ ）‎ A. 一个椭圆和一条直线 B. 一个椭圆和一条射线 C. 一个椭圆 D. 一条直线 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意方程可化为或 分两种情况讨论，即可得出答案。‎ ‎【详解】由题意可化为或 ‎∵不成立，∴，‎ ‎∴方程表示的曲线是一条直线．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查曲线与方程，需要注意方程等价变形，属于基础题。‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案书写在答题卡对应题号的横线上.‎ ‎13.两平行直线：和：间的距离为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用两平行线间的距离公式 进行运算，即可得出答案。‎ ‎【详解】直线与间的距离为，则．‎ ‎【点睛】本题考查平行线之间距离公式的应用，考查计算能力．‎ ‎14.己知与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，则实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出直线在两坐标轴上的截距，把三角形的面积表示出来，再根据其面积不大于1，建立关于的不等式求解，注意去掉时的情况．‎ ‎【详解】令，得；令，得．‎ 三角形面积．‎ 又，即 ，‎ ‎．‎ 又当时，直线过原点构不成三角形，故应舍去，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查直线的一般式方程，在求解时易忘记验证时是一个须舍去的点，故本题是一个易错题。‎ ‎15.直三棱柱的所有棱长都是2，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则顶点关于平面对称的点的坐标是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间直角坐标系的性质直接求解．‎ ‎【详解】∵直三棱柱的所有棱长都是2，‎ ‎∴，∴顶点的坐标是．则其关于的对称点为 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查空间直角坐标系中点坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎16.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆的内部，则椭圆离心率的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设椭圆的方程为，根据题意可得点在以为直径的圆上运动且这个圆上的点都在椭圆内部．由此建立、、的不等式，解出 ‎．再利用离心率的公式加以计算，可得此椭圆离心率的取值范围．‎ ‎【详解】解：设椭圆的方程为，焦点为、，如图所示．‎ 若点满足，则，‎ 可得点在以为直径的圆上运动，‎ 满足的点总在椭圆内部，‎ 以为直径的圆是椭圆内部的一个圆，即椭圆短轴的端点在椭圆内．‎ 由此可得，即，解之得．‎ 因此椭圆的离心率，椭圆离心率的取值范围是．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的离心率的范围．着重考查了向量数量积的运算性质、椭圆的标准方程与简单性质等知识，属于中档题．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，将答案书写在答题卡对应题号的方框内，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知点，直线：．‎ ‎（1）求直线：与直线的交点坐标；‎ ‎（2）求过点，且与直线平行的直线方程（写成一般式）．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立，能求出直线与直线的交点坐标．‎ ‎（2）设与直线平行的直线为，由点在此直线上，解得，由此能求出过点，且与直线平行的直线方程．‎ 详解】（1）联立，得，，‎ ‎∴直线：与直线的交点坐标．‎ ‎（2）设与直线平行的直线为，‎ ‎∵点在此直线上，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴过点，且与直线平行的直线方程为．‎ ‎【点睛】本题考查两直线交点坐标的求法，考查直线方程的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎18.如图，在中，点的坐标为，点坐标为，点在轴上，线段与轴相交于点，且．‎ ‎（1）求直线的方程（写成斜截式）；‎ ‎（2）求点的坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）已知两点求直线方程，可先用两点的斜率公式求出直线的斜率，接着用点斜式求直线方程，注意题目要求写成斜截式。‎ ‎（2）先求直线的方程，即可求点的坐标。‎ ‎【详解】（1）∵在中，点的坐标为，点坐标为；‎ ‎∴直线的斜率为，‎ ‎∴直线的方程为，即；‎ ‎（2）由（1）知，∵，∴，∴，‎ ‎∴直线的直线方程为，‎ 令，得，∴点的坐标为．‎ ‎【点睛】本题主要考查求直线方程及与已知直线垂直的直线方程，属于基础题。‎ ‎19.已知点，圆.‎ ‎（1）求过点且与圆相切直线方程；‎ ‎（2）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）考虑切线的斜率是否存在，结合直线与圆相切的的条件d=r，直接求解圆的切线方程即可．‎ ‎（2）利用圆的圆心距、半径及半弦长的关系，列出方程，求解a即可．‎ ‎【详解】（1）由圆的方程得到圆心，半径.‎ 当直线斜率不存在时，直线与圆显然相切；‎ 当直线斜率存在时，设所求直线方程为，即，‎ 由题意得：，解得，‎ ‎∴ 方程为，即.‎ 故过点且与圆相切的直线方程为或.‎ ‎（2）∵ 弦长为，半径为2.‎ 圆心到直线的距离，‎ ‎∴，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查切线方程的求法，考查了垂径定理的应用，考查计算能力．‎ ‎20.已知圆，圆 ‎（1）证明圆与圆相交；‎ ‎（2）若圆经过圆与圆的交点以及坐标原点，求圆的方程．‎ ‎【答案】（1）见解析； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）用圆心距与两圆半径的关系证明；（2）设出经过两圆交点的圆系方程，然后代入原点．‎ ‎【详解】（1）‎ ‎< 与相交；‎ ‎（2），②-①得，，‎ ‎，解得，，‎ 圆过 为直角三角形，，圆心为AB中点，‎ 圆为 ‎【点睛】本题考查了圆与圆位置关系及其判定．属中档题．圆和圆的位置关系有：相交，相离，相切几种关系，通过判断圆心的距离和半径的和与差的关系即可.‎ ‎21.已知椭圆的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）经过点作直线，交椭圆于，两点．如果恰好是线段的中点，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，由椭圆的几何性质分析可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆方程即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，设直线l的方程为：，将直线与椭圆的方程联立，分析可得，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系以及中点坐标公式分析可得，解可得k的值，代入直线方程即可得答案．‎ ‎【详解】（1）根据题意，椭圆的长轴长为4，且短轴长是长轴长的一半．‎ 即，则，‎ ‎，则，‎ 故椭圆的方程为；‎ ‎（2）由（1）得故椭圆的方程为：，设直线l的方程为：，‎ 将直线代入椭圆方程，得，‎ 设，，则，‎ 恰好是线段的中点，，即，‎ 解得，‎ 则直线的方程为，变形可得．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程，考查学生的运算能力与推理能力，属于综合题．‎ ‎22.已知椭圆：的右焦点，且经过点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）点是坐标原点，若直线与椭圆相切，过作，垂足为，求证：为定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意已知右焦点和过点,用待定系数法求出和的值，即可求出椭圆的方程．‎ ‎（2）分切点为椭圆顶点和不是椭圆顶点，当切点不过椭圆顶点时，设出切线方程 ‎，联立切线方程和椭圆方程，由判别式等于0得到与的关系，再求出所在直线方程，联立两直线方程求得的坐标，由两点间的距离公式可得为定值2.‎ ‎【详解】（1）解：由题意知，设椭圆方程为，可得，解得，，‎ 椭圆的方程为；‎ ‎（2）证明：当直线过椭圆长轴两个顶点时，与顶点重合，此时；‎ 当直线过椭圆短轴两个顶点时，可得；‎ 当直线不过椭圆顶点时，设切线方程为，‎ 联立，得．‎ 由，得．‎ ‎，且，‎ 所在直线方程为，‎ 联立，解得，‎ ‎．‎ 故为定值2．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的方程、直线和圆的位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．‎ ‎ ‎