2019-2020学年浙江省杭州市西湖高级中学高二12月月考数学试题 解析版

2019-2020学年浙江省杭州市西湖高级中学高二12月月考数学试题 解析版

杭西高 2019 年 12 月高二数学试题卷 第 I 卷 必修 2 模块测试(满分 100 分) 一. 选择题（共 40 分，每题 4 分，请从 A、B、C、D 四个选项中选出最符合题意的一个） 1．直线 在 y 轴上的截距是 （　） A．0 B．1 C．－1 D． 2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 　　 A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 3．已知直线 与直线 垂直，则 a 的值是 （ ） A．2 B．－2 C． D． 4．如图，在正方体 中，直线 与 的位置关系是（ ） A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D．异面且垂直 5．已知圆 C：x2+y2–2x=0，则圆心 C 到坐标原点 O 的距离是 ( ) A． B． C．1 D． 6．下列命题中为假命题的是（ ） A．垂直于同一直线的两个平面平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两条直线平行 7．对于空间向量 a＝（1，2，3），b＝（λ，4，6）.若 a // b，则实数λ＝（ ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2 1y x= − + 1 2 1 : 1 0l x ay+ + = 2 1: 22l y x= + 1 2 1 2 − 8．在四棱锥 中， 底面 ，且 ．若 M 为线段 的中点，则直线 DM 与平面 所成的角为（ ） A．30° B．45° C．60° D．90° 二. 填空题（共 18 分，每空 3 分） 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ,表面积为 . 10．圆心为两直线 和 的交点，且与直线 相切的圆 的标准方程是 ，记该圆的圆心坐标为 ，半径为 ，则 _________. 11．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写正确结论. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 求证： 证明：（1）因为 平面 平面 （4）所以____ __． （2）平面 平面 （5）又因为 平面 ． （3） ， 平面 （6）所以 划线处（4）结论的得出所用的定理为： （请书写定理具体 内容）. 12．若圆 C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点 P(1，2)的最短弦所在直线 l 的方程是 ， 最短弦长为 . 三.解答题（共 36 分，请写出必要的解题过程和步骤） P-ABCD PD ⊥ ABCD PD=DB PB ABCD 2 0x y+ − = 3 10 0x y− + + = 4 0x y+ − = ( ),a b r a b r+ + = 13．（12 分）如图，棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E、F 分别是 DD1、DB 的中点，求证： （1）EF∥平面 ABC1D1；（2）EF⊥B1C；（3）求异面直线 AD1 与 EF 所成角的余弦值. 14．（12 分）已知圆 O： 经过点 ，与 x 轴正半轴交于点 B． 1 ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上 2 圆 O 上是否存在点 P 使得 的面积为 15？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明 理由． 15. （12 分）在平面直角坐标系 中，设过点 且斜率为 的直线 与圆 交于 ， 两点. （1)求 的取值范围； （2）若 =12，求线段 的长. 第 II 卷 杭西高 2019 学年第一学期青年杯数学竞赛(满分 50 分) 四.选择题（共 10 分，每题 4 分，请从 A、B、C、D 四个选项中选出最符合题意的一个） 16．点 为圆 上任意一点，则 + 的最小值为（ ） A． 4 B． 6 C． 8 D． 8 17．如图，四边形 ABCD 为矩形，沿 AB 将△ADC 翻折成△ .设二面角 的平面 xOy ( )0,1A k l 2 2:( 2) ( 3) 1C x y− + − = M N k MN ( ),M x y 2 2 4x y+ = 5 'D AB C− − 角为 ，直线 与直线 BC 所成角为 ，直线 与平面 ABC 所成角为 ，当 为锐角时， 有（ ） A． B． C． D． 五.填空题（共 12 分，每空 4 分） 18．如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝2BC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，现在沿 EF 把这个 矩形折成一个直二面角 A－EF－C(如图 2)，则在图 2 中直线 AF 与平面 EBCF 所成的角的大 小为______． 19．曲线 与直线 有两个不同的交点，则 的取值范围是 _____________. 20．已知点 ，点 ，点 在圆 上，则使得 为直 角三角形的点 的有 个. 六.解答题（共 28 分，请写出必要的解题过程和步骤） 21．（14 分）已知圆 C： ． (1)求圆的圆心 C 的坐标和半径长； (2)直线 l 经过坐标原点且不与 y 轴重合，l 与圆 C 相交于 两点，求证： 为定值； (3)斜率为 1 的直线 m 与圆 C 相交于 D、E 两点，求直线 m 的方程，使 的面积最大． θ 'AD 1 θ 'AD 2 θ θ 2 1 θ θ θ≤ ≤ 2 1 θ θ θ≤ ≤ 1 2 θ θ θ≤ ≤ 2 1 θ θ θ≤ ≤ 24y x= − ( 2) 3y k x= − + k ( )2,0A − ( )0,4B P ( ) ( )2 23 4 20x y− + − = APB∆ P 2 2 2 3 0x y x＋ ＋ － ＝ ( ) ( )1 1 2 2, ,A x y B x y、 1 2 1 1+ x x CDE∆ 22. （14 分）如图， 与 都是边长为 2 的正三角形，平面 平面 ， 平面 ， . （1）求直线 与平面 所成的角的大小； （2）求平面 与平面 所成的二面角的正弦值. BCD∆ MCD∆ MCD ⊥ BCD AB ⊥ BCD 2 3AB = AM BCD ACM BCD 杭西高 2019 年 12 月高二数学参考答案 第 I 卷 必修 2 模块测试(满分 100 分) 三. 选择题（共 40 分，每题 4 分，请从 A、B、C、D 四个选项中选出最符合题意的一个） 1．直线 在 y 轴上的截距是 （　） A．0 B．1 C．－1 D． B【解析】 令 得 ，所以选 B. 2．如图是一个几何体的三视图，则该几何体为 　　 A．圆柱 B．圆锥 C．圆台 D．球 C【解析】 根据正视图，侧视图可知，该几何体不是圆柱圆锥，也不是球，从俯视图可以确定该几何体 是圆台，故选 C. 3．已知直线 与直线 垂直，则 a 的值是 （ ） A．2 B．－2 C． D． C【解析】 由题意得 ，选 C. 4．如图，在正方体 中，直线 与 的位置关系是（ ） 2 1y x= − + 1 2 0x = 1y = 1 : 1 0l x ay+ + = 2 1: 22l y x= + 1 2 1 2 − 1 1 1( ) 12 2aa × − = − ∴ = A．平行 B．相交 C．异面但不垂直 D．异面且垂直 D【解析】 由图形可知，两条直线既不相交也不平行，所以是异面直线，故选 D. 5．已知圆 C：x2+y2–2x=0，则圆心 C 到坐标原点 O 的距离是 ( ) A． B． C．1 D． C【解析】 【分析】 通过配方把一般式化为标准式即可得出圆心和半径，根据两点间距离公式即可得解. 【详解】 根据题意，圆 C：x2+y2–2x=0，其圆心 C 为（1，0），则圆心 C 到坐标原点 O 的距离 d= =1．故选 C． 【点睛】 本题考查了圆的方程，通过配方把一般式化为标准式即可得出圆的圆心和半径，记住两点间 的距离公式是关键. 6．下列命题中为假命题的是 A．垂直于同一直线的两个平面平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两条直线平行 D【解析】 【分析】 由面面平行的判定定理可判断 A；由线面垂直的性质定理，可判断 B； 由平行公理可判断 C； 由线面平行的性质可判断 D． 【详解】 由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行，故 A 正确； 由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一平面的两条直线平行，故 B 正确； 由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故 C 正确； 由线面平行的性质可得，平行于同一平面的两条直线可能平行或相交或异面，故 D 错误． 故 选：D． 【点睛】 本题考查空间线面和线线、面面的位置关系的判断，考查平行和垂直的判断和性质，考查空 想象能力和推理能力，熟练掌握线面、面面关系是解决本题的关键. 7．对于空间向量 a＝（1，2，3），b＝（λ，4，6）.若 ，则实数λ＝ A．-2 B．-1 C．1 D．2 D【解析】 【分析】 根据向量 ，知它们的坐标对应成比例，求出 的值． 【详解】 因为空间向量 ，若 ，则 ，所以 ,故选 D. 【点睛】 本题考查了空间向量的平行或共线的坐标运算，是基础题． a b∥ / /a b x ( ) ( )= 1 2 3 = 4 6a b λ ，， ， ，， / /a b  1 2 3 1= = =4 6 2λ =2λ 8．在四棱锥 中， 底面 ，且 ．若 M 为线段 的中点，则直 线 DM 与平面 所成的角为 A．30° B．45° C．60° D．90° B【解析】 【分析】 取 中点 ，连接 ，可知 即为所求角，根据长度关系即可求得结果. 【详解】 取 中点 ，连接 为 中点， 为 中点 又 底面 底面 即为直线 与平面 所成角 又 ，可知 ，且 本题正确选项： P-ABCD PD ⊥ ABCD PD=DB PB ABCD BD O MO MDO∠ BD O MO M PB O BD 1/ / 2MO PD⇒ PD ⊥ ABCD MO⇒ ⊥ ABCD MDO∴∠ DM ABCD PD BD= MO OD= MO BD⊥ 45MDO∴∠ =  B 【点睛】 本题考查直线与平面所成角的求解，属于基础题. 四. 填空题（共 18 分，每空 3 分） 9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的 体积为 ,表面积为 . 【解析】 【分析】 通过三视图可知几何体为一个圆锥和一个半球构成的组合体，分别求解两个部分体积，加和 即可得到结果. 【详解】 由三视图可知几何体为一个圆锥和一个半球的组合体 圆锥体积： 一个半球体积： 几何体体积： 本题正确选项： 【点睛】 本题考查空间几何体体积的求解，关键是能够通过三视图准确还原几何体. 2 1 1 21 23 3V ππ= × × = 3 2 1 4 212 3 3V ππ= × × = 1 2 4 3V V V π= + = A 10．圆心为两直线 和 的交点，且与直线 相切的圆 的标准方程是____________，记该圆的圆心坐标为 ，半径为 ，则 _________. 【解析】 2+ 联立方程组 解之得 ∵圆与直线 相切 ∴圆的半径 故答案为 点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方 程，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径．属于基础题． 11．阅读下面题目及其证明过程，在横线处应填写正确结论. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ， 求证： 证明：因为平面 平面 平面 平面 ， 平面 所以____ __． 因为 平面 ． 2 0x y+ − = 3 10 0x y− + + = 4 0x y+ − = ( ),a b r a b r+ + = 2 2( 4) ( 2) 2x y− + + = 2 0{ 3 10 0 x y x y + − = − + + = 4{ 2 x y = = − 4 0x y+ − = 2 2 4 2 4 2 1 1 r − −= = + ( ) ( )2 24 2 2x y− + + = 所以 划线处结论的得出所用的定理为： （请书写定理具体 内容）. A． 底面 B． 底面 C． 底面 D． 底面 【解析】 根据面面垂直的性质定理判定得： BC⊥底面 PAC， 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面 垂直 【点睛】 本题考查了面面垂直的性质定理，考查数形结合思想，是一道基础题． 12．若圆 C：x2＋y2－4x－5＝0，则过点 P(1，2)的最短弦所在直线 l 的方程是_____ ____，最短弦长为 . 【解析】x－2y＋3＝0． 4. 【分析】 由圆的几何性质可得圆心与点 的连线与 垂直时，所截的弦长最短，利用直线垂直的充要条 件及点斜式求解即可. 【详解】 将圆 的一般方程化成标准方程为 ，所以 , 由题意知，过点 的最短弦所在的直线 应与 垂直， 所以 , P l C ( )2 22 9x y− + = ( )2,0C ( )1,2P l PC 1 1PCk k⋅ = − 由 ，得 , 所以直线 的方程为 ， 即 ,故答案为 . 【点睛】 本题主要考查圆的方程与性质，以及两直线垂直的充要条件，对直线位置关系的考查是热点 命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系： 在斜率存在的前提下，（1） ；（2） ，这类问题尽管简 单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心. 三.解答题（共 36 分，请写出必要的解题过程和步骤） 13．（12 分）如图，棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别是 DD1、DB 的中点， 求证： （1）EF∥平面 ABC1D1；（2）EF⊥B1C；（3）求异面直线 AD1 与 EF 所成角的余弦值. 【解析】 试题分析：（1）先根据三角形中位线性质得 EF∥D1B，再根据线面平行判定定理证结论（2） 先根据正方体性质得 B1C⊥AB，由正方形性质得 B1C⊥BC1 再根据线面垂直判定定理得 B1C⊥平 面 ABC1D1 即得 B1C⊥BD1 而 EF∥BD1 即得结论 2 0 21 2PCk −= = −− 1 1 2k = l ( )12 12y x− = − 2 3 0x y− + = 2 3 0x y− + = 1 2 1 2||l l k k⇔ = 1 2 1 2 1l l k k⊥ ⇔ ⋅ = − 试题解析：（1）连结 BD1，在△DD1B 中，E、F 分别为 D1D、DB 的中点，则 EF∥D1B 又∵D1B 平面 ABC1D1，EF 平面 ABC1D1 ∴EF∥平面 ABC1D1 （2）∵B1C⊥AB，B1C⊥BC1 又 AB 平面 ABC1D1，BC1 平面 ABC1D1，AB∩BC1=B ∴B1C⊥平面 ABC1D1 又∵BD1 平面 ABC1D1 ∴B1C⊥BD1 而 EF∥BD1 ∴EF⊥B1C （3） 14．（12 分）已知圆 O： 经过点 ，与 x 轴正半轴交于点 B． Ⅰ ______；将结果直接填写在答题卡的相应位置上 Ⅱ圆 O 上是否存在点 P，使得 的面积为 15？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 说明理由． 【解析】 ⊂ ⊄ ⊂ ⊂ ⊂ 【分析】 （Ⅰ）直接由已知条件可得 r； （Ⅱ）由（Ⅰ）可得圆 O 的方程 x2+y2=25，依题意，A（0，5），B（5，0），求出|AB|= ， 直线 AB 的方程为 x+y﹣5=0，又由△PAB 的面积，可得点 P 到直线 AB 的距离，设点 P（x0， y0），解得 x0+y0=﹣1 或 x0+y0=11（显然此时点 P 不在圆上，故舍去），联立方程组 ，求解即可得答案． 【详解】 Ⅰ ； Ⅱ存在． ， 圆 O 的方程为： ． 依题意， ， ， ，直线 AB 的方程为 ， 又 的面积为 15， 点 P 到直线 AB 的距离为 ， 设点 ， ， 解得 或 显然此时点 P 不在圆上，故舍去， 联立方程组 ，解得 或 ． 存在点 或 满足题意． 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，是中档题． 15. （12 分）在平面直角坐标系 中，设过点 且斜率为 的直线 与圆xOy ( )0,1A k l 交于 ， 两点. （1)求 的取值范围； （2）若 =12，求线段 的长. 【详解】 （1）设直线方程：y＝kx+1，由 d＜r，得 ，解得 （2）设 M（x1，y1），N（x2，y2）， y＝kx+1 代入（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1 得（1+k2）x2﹣4（k+1）x+7＝0， ， x1•x2+y1•y2 ，得 k＝1，故圆心到直线的距离为 0，即直线 过 圆心，则 【点睛】 本题考查直线与圆的方程的综合应用，向量的数量积以及直线与圆的位置关系的应用，向量 坐标化结合韦达定理求得 k＝1 是关键，是中档题． 第 II 卷 杭西高 2019 学年第一学期青年杯数学竞赛(满分 50 分) 四.选择题（共 10 分，每题 4 分，请从 A、B、C、D 四个选项中选出最符合题意的一个） 16．点 为圆 上任意一点，则 + 的最小值为（ ） A． 4 B． 6 C． 8 D． 8 D【解析】 2 2:( 2) ( 3) 1C x y− + − = M N k MN 2 2 3 1 1 1 k k − + + ＜ 4 7 4 7 3 3k − +＜ ＜ ( ) ( )( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 2 4 1 7 12 4 11 11 1 1 k k kx x x x y y kx kxk k k + + ++ = ⋅ = ⋅ = + + =+ + +， ， 12OM ON⋅ = =  2 2 12 4 8 1 k k k + += + l =2 2MN r = ( ),M x y 2 2 4x y+ = 5 【分析】 将所求的 看成是点 和点 之间的距离的平方，所以先求出点 所在的圆的圆心 到 的距离，再减去半径，得到答案. 【详解】 看成是点 和点 之间的距离的平方， 而点 为圆 上任意一点， 所以圆心 到点 的距离为 ，圆的半径 ， 故圆上的点 到 的距离最小值为 ， 所以其最小距离的平方也为 . 故选：D. 【点睛】 本题考查点与圆的位置关系，圆上动点到定点的距离，属于简单题. 17．如图，四边形 ABCD 为矩形，沿 AB 将△ADC 翻折成△ .设二面角 的平面 角为 ，直线 与直线 BC 所成角为 ，直线 与平面 ABC 所成角为 ，当 为锐角时， 有 ( )22 3x y+ − ( ),x y ( )0,3 ( ),M x y ( )0,0 ( )0,3 ( )22 3x y+ − ( ),x y ( )0,3 ( ),M x y 2 2 4x y+ = ( )0,0 ( )0,3 3 2r = ( ),M x y ( )0,3 3 2 1− = 1 'D AB C− − θ 'AD 1 θ 'AD 2 θ θ A． B． C． D． B【解析】 【分析】 设三棱锥 D-ABC 是棱长为 2 的正四面体，取 AB 中点 E，DC 中点 M，AC 中点 M，连结 DE、 CE、MN、EN，过 D 作 DO⊥CE，交 CE 于 O，连结 AO，则 ， ，由此能求出结果． 【详解】 设三棱锥 D-ABC 是棱长为 2 的正四面体， 取 AB 中点 E，DC 中点 M，AC 中点 M，连结 DE、CE、MN、EN，过 D 作 DO⊥CE，交 CE 于 O，连结 AO，则 ， ， DC=2， ∴ ， ， ∴ ， 取 BC 中点 E，连结 DE、AE，则 DE⊥BC，AE⊥BC， 2 1 θ θ θ≤ ≤ 2 1 θ θ θ≤ ≤ 1 2 θ θ θ≤ ≤ 2 1 θ θ θ≤ ≤ 1DEC DAO∠ θ ∠ θ= =， 2MNE∠ θ= 1 2DEC DAO MNE∠ θ ∠ θ ∠ θ= = =， ， 4 1 3DE CE= = − = 3 3 4 1cos 32 3 3 θ + −= = × × 2 2 2 34 13 3 3AO CO CE= = = − = 2 2 3 33 2 3 AOcos AD θ = = = 又 ，∴ 平面 AED，∴ ． ∴ ．故选：B． 五.填空题（共 12 分，每空 4 分） 18．如图 1，在矩形 ABCD 中，AB＝2BC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，现在沿 EF 把这个 矩形折成一个直二面角 A－EF－C(如图 2)，则在图 2 中直线 AF 与平面 EBCF 所成的角的大 小为______． 【解析】45°(或 ) 由图形知， 平面 ,所以 就是直线与平面所成的角，在直角三角形 中， 因为 ，所以 ，故填 （或 ）. 点睛：本题涉及立体几何中线面平行的关系，面面垂直，线面垂直，线线垂直，属于中档题， 处理线面平行时，一般有两类方法，一是找两条线平行，一是找两个面平行；在证明垂直问 题时，一般考虑三线合一，菱形的对角线，矩形的邻边等，线面垂直要注意说明两条线是相 交直线，证明平面垂直时，一般证明一个平面经过另一个平面的一条垂线即可. 19．曲线 与直线 有两个不同的交点，则 的取值范围是 _____________. DE AE E∩ = BC ⊥ 1 90BC AD θ⊥ ∴ = °， 2 1 θ θ θ≤ ≤ 4 π AE ⊥ EBCF AFE∠ AFE∆ AE FE= 4AFE π∠ = 4 π 45° 24y x= − ( 2) 3y k x= − + k 【详解】 . 如图所示: 由题意,直线 过定点 , 曲线 表示圆心为 ,半径 的圆的上半部分, 当直线过点 时,直线与曲线有两个交点,此时直线的斜率为 , 当直线与圆相切时,圆心到直线的距离 ,解得 , 观察图象可知,实数 的取值范围是: . 故答案为: . 【点睛】 本题考查了由图象交点个数求参数的取值范围,数形结合思想,本题属于中档题. 5 3( , ]12 4 ( 2) 3y k x= − + (2,3)P 24y x= − (0,0) 2r = ( 2,0)− 3 0 3 2 ( 2) 4k −= =− − 2 | 3 2 | 2 1 kd k −= = + 5 12k = k 5 3( , ]12 4 5 3( , ]12 4 20．已知点 ，点 ，点 在圆 上，则使得 为直 角三角形的点 的有 个. 【详解】 4 ①若 为直角，则 ，设点 ， ， ， 则 ，即 ， 此时，点 的轨迹是以点 为圆心，以 为半径的圆， 圆 与圆 的圆心距为 ， ， 则圆 与圆 的相交，两圆的公共点个数为 ； ②若 为直角，由于直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，即 ，圆 的圆心到直线的距离 为 ，则直线 与圆 相交，直线 与圆有 个公共点； ③若 为直角，则直线 的方程为 ，圆 的圆心 到直线的距离为 ，直线 与圆 相离，直 线 与圆 没有公共点. 综上所述，使得 为直角三角形的点 的个数为 . ( )2,0A − ( )0,4B P ( ) ( )2 23 4 20x y− + − = APB∆ P APB∠ 0AP BP⋅ =  ( ),P x y ( )2,AP x y= + ( ), 4BP x y= − ( ) ( ) 2 22 4 2 4 0AP BP x x y y x y x y⋅ = + + − = + + − =  ( ) ( )2 21 2 5x y+ + − = P ( )1,2− 5 ( ) ( )2 21 2 5x y+ + − = ( ) ( )2 23 4 20x y− + − = ( ) ( )2 21 3 2 4 2 5d = − − + − = 2 5 5 2 5 5d∴ − < < + ( ) ( )2 21 2 5x y+ + − = ( ) ( )2 23 4 20x y− + − = 2 ABP∠ AB 4 0 20 2 − =+ PB 1 2 − PB 1 42y x= − + 2 8 0x y+ − = ( ) ( )2 23 4 20x y− + − = 2 2 3 2 4 8 3 2 5 51 2 + × − = < + PB ( ) ( )2 23 4 20x y− + − = PB 2 BAP∠ PA 2 2 0x y+ + = ( ) ( )2 23 4 20x y− + − = 2 2 3 2 4 2 13 2 5 51 2 + × + = > + PA ( ) ( )2 23 4 20x y− + − = PA ( ) ( )2 23 4 20x y− + − = APB∆ P 4 六.解答题（共 28 分，请写出必要的解题过程和步骤） 21．（14 分）已知圆 C： ． (1)求圆的圆心 C 的坐标和半径长； (2)直线 l 经过坐标原点且不与 y 轴重合，l 与圆 C 相交于 两点，求证： 为定值； (3)斜率为 1 的直线 m 与圆 C 相交于 D、E 两点，求直线 m 的方程，使 的面积最大． 【解析】 (1)圆心 C 的坐标为(－1，0)， 圆的半径长为 2；(2)证明见解析； (3) ． 试题分析：（1）把圆的一般方程化为标准方程即可；（2）设出直线方程，联立圆的方程， 根据根与系数的关系化简即可证出；（3） 试题解析：(1)配方得(x＋1)2＋y2＝4，则圆心 C 的坐标为(－1，0)(2 分)， 圆的半径长为 2； (2)设直线 l 的方程为 y＝kx，联立方程组 消去 y 得(1＋k2)x2＋2x－3＝0(5 分)，则有： 所以 为定值. (3)解法一　设直线 m 的方程为 y＝kx＋b，则圆心 C 到直线 m 的距离 ， 所以 ， 2 2 2 3 0x y x＋ ＋ － ＝ ( ) ( )1 1 2 2, ,A x y B x y、 1 2 1 1+ x x CDE∆ 3 0 1 0x y x y－ ＋ ＝ 或 － －＝ 2 2 2 3 0x y x y kx  + + − =  = 1 2 1 22 2 2 3,1 1x x x xk k + = − = −+ + 1 2 1 2 1 2 1 1 2 3 x x x x x x ++ = = 1 2 bd −= 2 2 22 2 4DE R d d= − = − ≤ ， 当且仅当 ，即 时，△CDE 的面积最大 从而 ，解之得 b＝3 或 b＝－1， 故所求直线方程为 x－y＋3＝0 或 x－y－1＝0 解法二　由(1)知|CD|＝|CE|＝R＝2， 所以 ≤2， 当且仅当 CD⊥CE 时，△CDE 的面积最大，此时 设直线 m 的方程为 y＝x＋b，则圆心 C 到直线 m 的距离 由 ，得 ， 由 ，得 b＝3 或 b＝－1， 故所求直线方程为 x－y＋3＝0 或 x－y－1＝0. 点睛：本题考查圆的一般方程与标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及定点问题，属于 难题，解决此类问题时，联立方程，消元得一元二次方程，利用根与系数的关系去处理问题， 是常规思路，要求熟练掌握，同时圆的问题要注意圆的平面几何性质的利用，可以简化解题. 22.如图， 与 都是边长为 2 的正三角形，平面 平面 ， 平面 ， . 21 42CDES DE d d d∆ = ⋅ = − ⋅ 2 2(4 ) 22 d d− + = 24d d= − 2d = 1 2 2 b − = 1 sin 2sin2CDES CD CE DCE DCE∆ = ⋅ ⋅ ∠ = ∠ 2 2DE = 1 2 bd −= 2 2 22 2 4 2 2DE R d d= − = − = 2d = 1 2 2 b − = BCD∆ MCD∆ MCD ⊥ BCD AB ⊥ BCD 2 3AB = （1）求直线 与平面 所成的角的大小； （2）求平面 与平面 所成的二面角的正弦值. 【解析】 （1） ；（2） 【分析】 （1）根据题目条件建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，根据线面角的向量公式 即可求出； （2）分别求出平面 与平面 的法向量，再利用二面角的向量公式即可求出． 【详解】 取 中点 ，连 ， ，则 ， ， 又平面 平面 ，则 平面 . 以 为原点，直线 、 、 为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系如图. AM BCD ACM BCD 45α = ° 2 5sin 5 θ = BCD ACM BCD CD O OB OM OB CD⊥ OM CD⊥ MCD ⊥ BCD MO ⊥ BCD O OC BO OM x y z ，则各点坐标分别为 ， ， ， ， ， （1）设直线 与平面 所成的角为 . 因 ，平面 的法向量为 ，则有 ，所以 . （2） ， .设平面 的法向量为 ， 由 得 .解得 ， ， 取 ，又平面 的法向量为 ，则 设所求二面角为 ，则 . 【点睛】 本题主要考查利用向量法计算立体几何中的线面角和二面角，意在考查学生的直观想象和数 学运算能力． 3OB OM= = ( )0,0,0O ( )1,0,0C ( )0,0, 3M ( )0, 3,0B − ( )0, 3,2 3A − AM BCD α ( )0, 3, 3AM = − BCD ( )0,0,1n = 3 2sin | cos , | 2| | | | 6 AM nAM n AM n α ⋅= 〈 〉 = = = ⋅      45α = ° ( )1,0, 3CM = − ( )1, 3,2 3CA = − − ACM ( )1 , ,n x y z= 1 1 n CM n CA  ⊥ ⊥     3 0 3 2 3 0 x z x y z − + = − − + = 3x z= y z= ( )1 3,1,1n = BCD ( )0,0,1n = 1 1 1 1cos , | || | 5 n nn n n n ⋅= =      θ 21 2 5sin 1 55 θ  = − =  