【数学】吉林省长春市第一中学2019-2020学年高一下学期月考试卷(解析版)

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【数学】吉林省长春市第一中学2019-2020学年高一下学期月考试卷(解析版)

吉林省长春市第一中学2019-2020学年高一下学期月考 数学试卷www.ks5u.com 一、单选题 ‎1.(5分)直线的倾斜角为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】记直线的倾斜角为,∴,故选B.‎ ‎2.(5分)过圆的圆心,且与直线垂直的直线方程是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 化简为圆标准方程为:圆的圆心为 直线的斜率为 设过圆的圆心与直线垂直的直线方程的斜率为:.‎ 根据两条直线垂直斜率性质可得:(需满足两条直线斜率都存在).‎ 根据直线的点斜式可得所求直线的方程为:.即 ‎ 故选:D.‎ ‎3.(5分)如图,在底面为正方形,侧棱垂直于底面的四棱柱中,,则异面直线,所成的角的余弦值为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】连接,如下图所示:‎ 由棱柱性质可知,‎ 则即为异面直线,所成的角 设,则 所以为等腰三角形.‎ 由等腰三角形三线合一可得 故选:A ‎4.(5分)已知集合,,则集合等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】,.故选:B.‎ ‎5.(5分)在等差数列中,,则等于( )‎ A.2 B.18 C.4 D.9‎ ‎【答案】D ‎【解析】等差数列中,‎ 故选:D ‎6.(5分)已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则( )‎ A.1 B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由,得,,所以.根据余弦定理得,所以.‎ 故选:D ‎7.(5分)已知为正实数,且,则 的最小值为( )‎ A. B.6 C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】,‎ 当且仅当时等号成立,故的最小值为,‎ 选C.‎ ‎8.(5分)如果实数、满足条件,那么的最大值为( )‎ A.-3 B. C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎【解析】实数、满足条件,可画出不等式组表示的可行域如下图所示:‎ 线性目标函数,化为,将平移,‎ 可知当经过点时线性目标函数取最大值,‎ 即,‎ 故选:C.‎ ‎9.已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α交线段PA,PB,PC于点A′,B′,C′,若PA′:AA′=2:3,则S△A′B′C′:S△ABC=( )‎ A.2:3 B.2:5‎ C.4:9 D.4:25‎ ‎【答案】D ‎【解析】平面平面 ,,‎ 又 ‎ 故选:D ‎10.(5分)在中,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据余弦定理:,故.‎ ‎.‎ ‎11.(5分)已知圆与直线及都相切,圆心在直线上,则圆的方程为(  )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆的圆心在直线上,设圆心为.‎ 圆与直线及都相切,‎ 所以,解得.此时半径为:.‎ 所以圆的方程为.‎ 故选B.‎ ‎12.(5分)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a7=(    )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,‎ 当n=1时 当n≥2时,an+1=3Sn(n≥1)①,②,‎ ‎①-②得an+1-an=3an,‎ 所以当,而 所以数列{an}第二项起成4为公比的等比数列.‎ 所以.所以故选:A 二、填空题 ‎13.(5分)若某正方体的表面积为6,则该正方体的外接球的体积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】正方体的外接球的表面积为正方体的棱长为,外接球直径等于正方体对角线,即,体积为,故答案为.‎ ‎14.(5分)在锐角三角形ABC中,已知内角 所对的边分别为, ,则 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,, 即 ‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)圆的圆心到直线的距离等于______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】由已知得圆心为:,‎ 由点到直线距离公式得:,‎ 故答案为0.‎ ‎16.(5分)在下列命题中,‎ ‎①若直线平面,直线平面,且 ,则//平面;‎ ‎②若直线平面,平行于平面内的一条直线,则//平面;‎ ‎③直线//平面,则平行于平面内任何一条直线;‎ ‎④若,是异面直线,则一定存在平面经过且与平行.‎ 其中正确命题的序号是____‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】对①,直线平面设,则满足,但此时平面不成立,故①错误;‎ 对②,利用线面平行的判定得平面故②正确;‎ 对③,平面则平行于平面内的无数条直线,如图所示正方体底面,但与不平行,故③错误,‎ 对④,在直线上取点P,过P做直线, 确定的平面记为平面则利用线面平行的判定定理知平面故④正确 故答案为②④‎ 三、解答题 ‎17.(10分)已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,‎ ‎(1)直线l1∥l2;(2)直线l1⊥l2?‎ 解:‎ 解法一:当m=0时,l1:x+6=0,l2:2x-3y=0,两直线既不平行也不垂直;‎ 当m≠0时,l1:y=-x-,l2:y=-x-;‎ 若l1∥l2,则 解得m=-1;‎ 若l1⊥l2,则- (-)=-1,‎ 即m=.‎ 解法二:若l1∥l2,则 解之得m=-1.‎ 若l1⊥l2,则1·(m-2)+3m=0,‎ ‎∴m= .‎ ‎18.(12分)已知直线及圆 ‎(1) 若直线l与圆C相切,求a的值;‎ ‎(2) 若直线l与圆C相交于A,B两点,且弦AB的长为,求a的值.‎ 解:圆 方程化为(x-1)2+(y-2)2=4,‎ ‎∴圆心(1,2),半径为2 ‎ ‎(1) 因为直线l与圆C相切,所以,解得a=0或 ‎(2)∵圆心到直线ax-y+4=0的距离为,‎ ‎.‎ ‎19.(12分)如图,在三棱柱中,且,点,分别为和的中点,与相交于点.‎ ‎(1)证明:平面平面;‎ ‎(2)求异面直线和所成角的大小.‎ 解:证明:(1)由题意可得,点分别是和的中点,连接,‎ ‎,‎ 又平面平面,‎ 平面,‎ 同理:,则 平面,‎ 又平面平面,‎ 平面平面;‎ ‎(2)点分别是和的中点,‎ ‎,‎ 为异面直线和所成角,‎ 由题意知,四边形为正方形,所以,‎ 即和所成角为.‎ ‎20.(12分)已知中,角所对的边分别为,且.‎ ‎(1)求的值.‎ ‎(2)若的面积,且,求的外接圆半径.‎ 解:(1)由,得,且,‎ 所以,‎ 所以 ‎(2)由得:解得.‎ 由余弦定理,‎ 得到,‎ 由正弦定理得:,即解得.‎ ‎21.(12分)四面体如图所示,过棱的中点作平行于,的平面,分别交四面体的棱于点.证明:四边形是平行四边形.‎ 解:由题设知,∥平面,‎ 又平面 平面,平面 平面,‎ ‎∥,∥,∥.‎ 同理∥,∥,∥.‎ 故四边形是平行四边形.‎ ‎22.(12分)已知数列满足,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)求数列的前项和.‎ 解:(Ⅰ) 可得 ,又,所以数列为公比为2的等比数列,‎ 所以,即 .‎ ‎(Ⅱ),‎ 设 ‎ 则 ‎ 所以 ,所以 .‎
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