2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第九章　第6讲　抛物线

2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第九章　第6讲　抛物线

第6讲　抛物线 一、知识梳理 ‎1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：‎ ‎(1)在平面内．‎ ‎(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等．‎ ‎(3)定点不在定直线上．‎ ‎2．抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0)‎ y2＝－2px(p＞0)‎ x2＝2py(p＞0)‎ x2＝－2py(p＞0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0，0)‎ 对称轴 y＝0‎ x＝0‎ 焦点 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中P(x0，y0))‎ ‎|PF|＝x0＋ ‎|PF|＝－x0＋ ‎|PF|＝y0＋ ‎|PF|＝－y0＋ 常用结论 ‎1．抛物线y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径．‎ ‎2．y2＝ax(a≠0)的焦点坐标为，准线方程为x＝－.‎ ‎3．如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.‎ ‎(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．‎ ‎(3)＋为定值.‎ ‎(4)以AB为直径的圆与准线相切．‎ ‎(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．‎ 二、教材衍化 ‎1．过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是(　　)‎ A．y2＝－x或x2＝y B．y2＝x或x2＝y C．y2＝x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－y 解析：选A.设抛物线的标准方程为y2＝kx或x2＝my，代入点P(－2，3)，解得k＝－，m＝，所以y2＝－x或x2＝y.故选A.‎ ‎2．抛物线y2＝8x上到其焦点F距离为5的点P有(　　)‎ A．0个　　　　　　　 B．1个 C．2个 D．4个 解析：选C.设P(x1，y1)，则|PF|＝x1＋2＝5，y＝8x1，所以x1＝3，y1＝±2.故满足条件的点P有两个．故选C.‎ ‎3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝________．‎ 解析：抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.‎ 答案：8‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．(　　)‎ ‎(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．(　　)‎ ‎(3)若一抛物线过点P(－2，3)，则其标准方程可写为y2＝2px(p>0)．(　　)‎ ‎(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×‎ 二、易错纠偏 (1)忽视抛物线的标准形式；‎ ‎(2)忽视p的几何意义；‎ ‎(3)忽视k＝0的讨论；‎ ‎(4)易忽视焦点的位置出现错误．‎ ‎1．抛物线8x2＋y＝0的焦点坐标为(　　)‎ A．(0，－2) B．(0，2)‎ C. D． 解析：选C.由8x2＋y＝0，得x2＝－y.‎ ‎2p＝，p＝，所以焦点为，故选C.‎ ‎2．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)‎ A．y2＝±2x B．y2＝±2x C．y2＝±4x D．y2＝±4x 解析：选D.由已知可知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线方程为y2＝±2px(p＞0)，则＝，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝±4x.故选D.‎ ‎3．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．‎ 解析：由已知可得Q(－2，0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，l与抛物线有公共点；当k≠0时，Δ＝64(1－k2)≥0得－1≤k＜0或0＜k≤1.综上，－1≤k≤1.‎ 答案：[－1，1]‎ ‎4．若抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则此抛物线的标准方程为________．‎ 解析：令x＝0，得y＝－2；令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点是(4，0)或(0，－2)，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－8y.‎ 答案：y2＝16x或x2＝－8y ‎　　　　　　抛物线的定义(典例迁移)‎ ‎ 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．‎ ‎【解析】　如图，‎ 过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则 ‎|P1Q|＝|P1F|.‎ 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为4.‎ ‎【答案】　4‎ ‎【迁移探究1】　(变条件)若将本例中“B(3，2)”改为“B(3，4)”，如何求解？‎ 解：由题意可知点B(3，4)在抛物线的外部．‎ 因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，‎ 由例题知，F(1，0)，　‎ 所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2，‎ 即|PB|＋|PF|的最小值为2.‎ ‎【迁移探究2】　(变问法)在本例条件下，求点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值．‎ 解：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点P，此时最小值为 ＝.‎ ‎【迁移探究3】　(变问法)在本例条件下，求点P到直线l1：4x－3y＋6＝0和l2：x＝－1的距离之和的最小值．‎ 解：由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1，0)，则动点P到l2的距离等于|PF|，故动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2. ‎ ‎(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．‎ ‎(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.　 ‎ ‎1．(2020·江西萍乡一模)已知动圆C经过点A(2，0)，且截y轴所得的弦长为4，则圆心C的轨迹是(　　)‎ A．圆　　　　　　　　　 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：选D.设圆心C(x，y)，弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝2，‎ 则有|CA|2＝|BC|2＝|BE|2＋|CE|2，‎ 所以(x－2)2＋y2＝22＋x2，化为y2＝4x，则圆心C的轨迹为抛物线．‎ 故选D.‎ ‎2．(2020·成都模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线l：x＝－1，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝－1上的射影为A，且直线AF的斜率为－，则△MAF的面积为(　　)‎ A. B．2 C．4 D．8 解析：选C.如图所示，设准线l与x轴交于点N.‎ 则|FN|＝2.‎ 因为直线AF的斜率为－，所以∠AFN＝60°.‎ 所以∠MAF＝60°，|AF|＝4.‎ 由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，‎ 所以△AMF是边长为4的等边三角形．‎ 所以S△AMF＝×42＝4.‎ 故选C.‎ ‎　　　　　　抛物线的标准方程(师生共研)‎ ‎ 如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x ‎【解析】　如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此抛物线的方程为y2＝3x，故选C.‎ ‎【答案】　C 求抛物线的标准方程应注意以下几点 ‎(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种．‎ ‎(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．‎ ‎(3)要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．　 ‎ ‎1．(2020·重庆调研)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4，0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是(　　)‎ A．y2＝4x B．y2＝－4x C．y2＝8x D．y2＝－8x 解析：选D.因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x.故选D.‎ ‎2．已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，若抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程是(　　)‎ A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝y D．x2＝y 解析：选A.因为双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，所以＝2.因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，所以＝·＝＝2，解得p＝8，所以抛物线C2的方程是x2＝16y.‎ ‎　　　　　　抛物线的性质(师生共研)‎ ‎ 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：‎ ‎(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；‎ ‎(2)＋为定值；‎ ‎(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ ‎【证明】　(1)由已知得抛物线焦点坐标为F(，0)．‎ 由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，‎ 得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*)‎ 则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.‎ 因为y＝2px1，y＝2px2，‎ 所以yy＝4p2x1x2，‎ 所以x1x2＝＝＝.‎ ‎(2)＋＝＋ ‎＝.‎ 因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，|AB|＝x1＋x2＋p，代入上式，得 ＋＝＝(定值)．‎ ‎(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．‎ 抛物线几何性质的应用技巧 ‎(1)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．‎ ‎(2)与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横(纵)坐标的和还是与交点横(纵)坐标的差，这是正确解题的关键．　 ‎ ‎1．(2020·河南郑州二模)已知抛物线C：y2＝2x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点(A，B均不与坐标原点重合)，则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C. D．4‎ 解析：选C.设直线AB的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由⇒y2－2my－2t＝0⇒y1y2＝－2t，‎ 由OA⊥OB⇒x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝0⇒y1y2＝－4，‎ 所以t＝2，即直线AB过定点(2，0)．‎ 所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为2－＝.故选C.‎ ‎2．(2020·洛阳模拟)已知F是抛物线C1：y2＝2px(p＞0)的焦点，曲线C2是以F为圆心，为半径的圆，直线4x－3y－2p＝0与曲线C1，C2从上到下依次相交于点A，B，C，D，则＝(　　)‎ A．16 B．4‎ C. D． 解析：选A.因为直线4x－3y－2p＝0过C1的焦点F(C2的圆心)，故|BF|＝|CF|＝，所以 eq f(|AB|,|CD|)＝.由抛物线的定义得|AF|－＝xA，|DF|－＝xD.由整理得8x2－17px＋2p2＝0，即(8x－p)(x－2p)＝0，可得xA＝2p，xD＝，故＝＝＝16.故选A.‎ ‎　　　　　　直线与抛物线的位置关系(师生共研)‎ ‎ (2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.‎ ‎(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；‎ ‎(2)若＝3，求|AB|.‎ ‎【解】　设直线l：y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ ‎(1)由题设得F，故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋，由题设可得x1＋x2＝.‎ 由可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，则x1＋x2＝－.‎ 从而－＝，得t＝－.‎ 所以l的方程为y＝x－.‎ ‎(2)由＝3可得y1＝－3y2.‎ 由可得y2－2y＋2t＝0.‎ 所以y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3.‎ 代入C的方程得x1＝3，x2＝.‎ 故|AB|＝.‎ 解决直线与抛物线位置关系问题的方法 ‎(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．‎ ‎(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．‎ ‎(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．‎ ‎[提醒]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．　 ‎ ‎1．(2020·河南郑州二模)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，则S△AOB＝(　　)‎ A．2 B． C. D．3 解析：选A.如图所示，F(1，0)．设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点E(x0，y0)．‎ 则线段AB的垂直平分线的方程为y＝－(x－5)．‎ 联立化为ky2－4y－4k＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝－4，所以y0＝(y1＋y2)＝，x0＝＋1＝＋1，把E代入线段AB的垂直平分线的方程y＝－(x－5)，可得＝－·，解得k2＝1.‎ S△OAB＝×1×|y1－y2|＝＝＝2.故选A.‎ ‎2．设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2.‎ ‎(1)求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．‎ 解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2，‎ 故直线AB的斜率k＝＝＝1.‎ ‎(2)由y＝，得y′＝x.‎ 设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M.‎ 设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(1，1＋m)，|MN|＝.‎ 将y＝x＋m代入y＝，‎ 得x2－2x－2m＝0.‎ 由Δ＝4＋8m＞0，得m＞－，x1，2＝1±.‎ 从而|AB|＝|x1－x2|＝2.‎ 由题设知|AB|＝2|MN|，即＝，解得m＝或m＝－2(舍)．‎ 所以直线AB的方程为y＝x＋.‎ ‎　解析几何中的“设而不求”‎ ‎“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等．‎ 类型一　巧妙运用抛物线定义得出与根与系数 关系的联系，从而设而不求 ‎ 在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．‎ ‎【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|＝y1＋，|BF|＝y2＋，|OF|＝，由|AF|＋|BF|＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4|OF|＝2p，得y1＋y2＝p.‎ kAB＝＝＝.‎ 由得kAB＝＝＝·，则·＝，所以＝⇒＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ ‎【答案】　y＝±x 类型二　中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法 ‎ △ABC的三个顶点都在抛物线E：y2＝2x上，其中A(2，2)，△ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC边所在直线的方程为________．‎ ‎【解析】　设B(x1，y1)，C(x2，y2)，边BC的中点为M(x0，y0)，易知G，则 从而即M，‎ 又y＝2x1，y＝2x2，两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝2(x1－x2)，则直线BC的斜率kBC＝＝＝＝＝－1，故直线BC的方程为y－(－1)＝－，即4x＋4y＋5＝0.‎ ‎【答案】　4x＋4y＋5＝0‎ 类型三　中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0‎ ‎ 已知双曲线x2－＝1，过点P(1，1)能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？‎ ‎【解】　假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1≠x2，由 两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，‎ 又＝1，＝1，所以2(x1－x2)－(y1－y2)＝0，‎ 所以kAB＝＝2，‎ 故直线l的方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.‎ 由消去y得2x2－4x＋3＝0，‎ 因为Δ＝16－24＝－8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．‎ 类型四　求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求 ‎ 已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．‎ ‎【解析】　法一：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，设l1：x＝ty＋，则直线l1的斜率为，‎ 联立方程得消去x得y2－2ty－1＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－1.‎ 所以|AB|＝|y1－y2|＝·＝＝2t2＋2，‎ 同理得，用－替换t可得|DE|＝＋2，所以|AB|＋|DE|＝2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t2＝，即t＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.‎ 法二：由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，不妨设l1的斜率为k，则l1：y＝k，l2：y＝－.‎ 由消去y得k2x2－(k2＋2)x＋＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1＋.‎ 由抛物线的定义知，‎ ‎|AB|＝x1＋x2＋1＝1＋＋1＝2＋.‎ 同理可得，用－替换|AB|中k，可得|DE|＝2＋2k2，所以|AB|＋|DE|＝2＋＋2＋2k2＝4＋ ‎＋2k2≥4＋4＝8，当且仅当＝2k2，即k＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.‎ ‎【答案】　8‎ ‎ [基础题组练]‎ ‎1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．8‎ 解析：选D.由题意，知抛物线的焦点坐标为，椭圆的焦点坐标为(±，0)，所以＝，解得p＝8，故选D.‎ ‎2．(2020·河北衡水三模)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为(1，2)，(x1，y1)，(x2，y2)，且||＋||＋||＝10，则x1＋x2＝(　　)‎ A．6 B．5‎ C．4 D．3‎ 解析：选A.根据抛物线的定义，知||，||，||分别等于点A，B，C到准线x＝－1的距离，所以由||＋||＋||＝10，可得2＋x1＋1＋x2＋1＝10，即x1＋x2＝6.故选A.‎ ‎3．(2020·河北邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为(　　)‎ A. m B． m C. m D． m 解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系．‎ 设抛物线的解析式为x2＝－2py，p＞0，‎ 因为抛物线过点(6，－5)，所以36＝10p，可得p＝，‎ 所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为 m．故选D.‎ ‎4．(2020·河南安阳三模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′.若四边形AA′PF的面积为14，且cos∠FAA′＝，则抛物线C的方程为(　　)‎ A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x 解析：选C.过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′.设|AF′|＝3x，因为cos∠FAA′＝，故|AF|＝5x，则|FF′|＝4x，由抛物线定义可知，|AF|＝|AA′|＝5x，则|A′F′|＝2x＝p，故x＝.四边形AA′PF的面积S＝＝＝14，解得p＝2，故抛物线C的方程为y2＝4x.‎ ‎5．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝(　　)‎ A. B． C. D． 解析：选D.设抛物线C：y2＝8x的准线为l，易知l：x＝－2，‎ 直线y＝k(x＋2)恒过定点P(－2，0)，‎ 如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，‎ 由|FA|＝2|FB|，知|AM|＝2|BN|，‎ 所以点B为线段AP的中点，连接OB，‎ 则|OB|＝|AF|，‎ 所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为1，‎ 因为k＞0，‎ 所以点B的坐标为(1，2)，‎ 所以k＝＝.故选D.‎ ‎6．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为________．‎ 解析：由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，‎ 得＋8＝＋5，得p＝4.‎ 答案：4‎ ‎7．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为________．‎ 解析：设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.‎ 因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.‎ 又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝(|BB′|＋|AA′|)＝(|BF|＋|AF|)＝|AB|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角为120°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角为30°，斜率是.‎ 答案： ‎8．(一题多解)已知点M(－1，1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．‎ 解析：法一：由题意知抛物线的焦点为(1，0)，则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k(x－1)(k≠0)，由消去y得k2(x－1)2＝4x，即k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1.由消去x得y2＝4，即y2－y－4＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，由∠AMB＝90°，得·＝(x1＋1，y1－1)·(x2＋1，y2－1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，将x1＋x2＝，x1x2＝1与y1＋y2＝‎ eq f(4,k)，y1y2＝－4代入，得k＝2.‎ 法二：设抛物线的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以y－y＝4(x1－x2)，则k＝＝，取AB的中点M′(x0，y0)，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝－1上，所以|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)＝(|AA′|＋|BB′|)．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝1，所以y1＋y2＝2，所以k＝2.‎ 答案：2‎ ‎9．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，y2<0)，如图所示，|AF|＝x1＋1＝3，‎ 所以x1＝2，y1＝2.‎ 设AB的方程为x－1＝ty，‎ 由 消去x得y2－4ty－4＝0.‎ 所以y1y2＝－4，所以y2＝－，x2＝，‎ 所以S△AOB＝×1×|y1－y2|＝，故选C.‎ ‎3．(2020·江西九江二模)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，连接AF并延长交抛物线C于点D，若AB中点的纵坐标为|AB|－1，则当∠AFB最大时，|AD|＝(　　)‎ A．4 B．8‎ C．16 D． 解析：选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，‎ 由抛物线定义得y1＋y2＋2＝|AF|＋|BF|，‎ 因为＝|AB|－1，‎ 所以|AF|＋|BF|＝2|AB|，‎ 所以cos∠AFB＝ ‎＝ ‎≥＝，‎ 当且仅当|AF|＝|BF|时取等号．‎ 所以当∠AFB最大时，△AFB为等边三角形，‎ 联立消去y得，x2－4x－4＝0，‎ 所以x1＋x3＝4，‎ 所以y1＋y3＝(x1＋x3)＋2＝14.‎ 所以|AD|＝16.‎ 故选C.‎ ‎4．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：如图，设C(x0，x)(x≠a)，A(－，a)，B(，a)，‎ 则＝(－－x0，a－x)，＝(－x0，a－x)．‎ 因为CA⊥CB，所以·＝0，‎ 即－(a－x)＋(a－x)2＝0，(a－x)(－1＋a－x)＝0，‎ 所以x＝a－1≥0，所以a≥1.‎ 答案：[1，＋∞)‎ ‎5．已知抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.‎ ‎(1)求·；‎ ‎(2)设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为p2，求直线AB的斜率k.‎ 解：(1)设直线AB的方程为y＝kx＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－2pkx－p2＝0，‎ 则所以y1·y2＝，‎ 所以·＝x1·x2＋y1·y2＝－p2.‎ ‎(2)由x2＝2py，知y′＝，‎ 所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为，，所以直线AM的方程为y－y1＝(x－x1)，直线BM的方程为y－y2＝(x－x2)，则可得M.‎ 所以kMF＝－，所以直线MF与AB相互垂直．‎ 由弦长公式知，|AB|＝|x1－x2|＝·＝2p(k2＋1)，‎ 用－代替k得，|CD|＝2p，‎ 四边形ACBD的面积S＝·|AB|·|CD|＝2p2＝p2，解得k2＝3或k2＝，‎ 即k＝±或k＝±.‎ ‎6．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0，1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.‎ ‎(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；‎ ‎(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程．‎ 解：设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2－2pkx－2p＝0，‎ 则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①‎ ‎(1)由x2＝2py得y′＝，则A，B处的切线斜率的乘积为＝－，‎ 因为点N在以AB为直径的圆上，所以AN⊥BN，‎ 所以－＝－1，所以p＝2.‎ ‎(2)易得直线AN：y－y1＝(x－x1)，直线BN：y－y2＝(x－x2)，‎ 联立，得 结合①式，解得即N(pk，－1)．‎ ‎|AB|＝|x2－x1|＝＝，‎ 点N到直线AB的距离d＝＝，‎ 则△ABN的面积S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，当k＝0时，取等号，‎ 因为△ABN的面积的最小值为4，‎ 所以2＝4，所以p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y.‎