2018届高三数学一轮复习: 第6章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

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2018届高三数学一轮复习: 第6章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第二节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 ‎ [考纲传真] 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.‎ ‎1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax+By+C>0‎ 直线Ax+By+C=0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括 边界直线 Ax+By+C≥0‎ 包括 边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 ‎2.线性规划中的相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x,y组成的不等式(组)‎ 线性约束条件 由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于x,y的函数解析式,如z=2x+3y等 线性目标函数 关于x,y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x,y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)不等式Ax+By+C>0表示的平面区域一定在直线Ax+By+C=0的上方.(  )‎ ‎(2)线性目标函数的最优解可能不唯一.(  )‎ ‎(3)目标函数z=ax+by(b≠0)中,z的几何意义是直线ax+by-z=0在y轴上的截距.(  )‎ ‎(4)不等式x2-y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域.(  )‎ ‎[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√‎ ‎2.(教材改编)不等式组表示的平面区域是(  )‎ C [x-3y+6<0表示直线x-3y+6=0左上方的平面区域,x-y+2≥0表示直线x-y+2=0及其右下方的平面区域,故选C.]‎ ‎3.(2016·全国卷Ⅲ)若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.‎  [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分.‎ 由得A.‎ 当直线z=x+y过点A时,zmax=1+=.]‎ ‎4.(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy中,若点P(m,1)到直线4x-3y-1=0的距离为4,且点P(m,1)在不等式2x+y≥3表示的平面区域内,则m=__________.‎ ‎6 [由题意得=4及‎2m+1≥3,‎ 解得m=6.]‎ ‎5.在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是__________. ‎ ‎【导学号:01772202】‎ ‎1 [不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示,‎ 由x=1,x+y=0得A(1,-1),‎ 由x=1,x-y-4=0得B(1,-3),‎ 由x+y=0,x-y-4=0得C(2,-2),‎ ‎∴|AB|=2,∴S△ABC=×2×1=1.]‎ 二元一次不等式(组)表示的平面区域 ‎ (1)(2016·浙江高考)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是(  )‎ A.        B. C. D. ‎(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组表示的平面区域是一个三角形,则a的取值范围是(  )‎ ‎ 【导学号:01772203】‎ A.a<5 B.a≥7‎ C.5≤a<7 D.a<5或a≥7‎ ‎(1)B (2)C [(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分,当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件,联立方程组求得A(1,2),联立方程组求得B(2,1),可求得分别过A,B点且斜率为1的两条直线方程为x-y+1=0和x-y-1=0,由两平行线间的距离公式得距离为=,故选B.‎ ‎(2)如图,当直线y=a位于直线y=5和y=7之间(不含y=7)时满足条件,故选C.]‎ ‎[规律方法] 1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域,若直线不过原点,特殊点常选取原点.‎ ‎2.不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集,画出图形后,面积关系结合平面几何知识求解.‎ ‎[变式训练1] (2016·豫北六校第二次联考)已知区域D:的面积为S,点集T={(x,y)∈D|y≥kx+1}在坐标系中对应区域的面积为S,则k的值为(  )‎ A. B. C.2 D.3‎ A [作出不等式组对应的区域,如图中阴影部分所示.‎ 直线y=kx+1过定点A(0,1),点集T={(x,y)∈D|y≥kx+1}在坐标系中对应区域的面积为S,则直线y=kx+1过BC中点D.由解得即B(2,3).‎ 又C(1,0),∴BC的中点为D,则=k+1,解得k=.]‎ 简单的线性规划问题 ‎☞角度1 求线性目标函数的最值 ‎ (1)(2016·全国卷Ⅱ)若x,y满足约束条件则z=x-2y的最小值为________.‎ ‎(2)(2017·福州质检)已知实数x,y满足且数列4x,z,2y为等差数列,则实数z的最大值是__________.‎ ‎ (1)-5 (2)3 [(1)不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.‎ 由z=x-2y得y=x-z.‎ 平移直线y=x,易知经过点A(3,4)时,z有最小值,最小值为z=3-2×4=-5.‎ ‎ (2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以,‎ eq lc( c)(avs4alco1(f(1,2),f(3,2))),(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界),又由题意易得z=2x+y,所以当目标函数z=2x+y经过平面区域内的点(1,1)时,z=2x+y取得最大值zmax=2×1+1=3.]‎ ‎☞角度2 求非线性目标函数的最值 ‎ (1)(2016·山东高考)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是(  )‎ A.4 B.9‎ C.10 D.12‎ ‎(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x,y满足约束条件则z=的取值范围是__________.‎ ‎(1)C (2) [(1)作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.x2+y2表示平面区域内的点到原点距离的平方,由得A(3,-1),由图易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.故选C.‎ ‎(2)作出不等式组所表示的区域,如图中△ABC所表示的区域(含边界),‎ 其中点A(1,1),B(-1,-1),C.z=表示△ABC区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率,显然kMA≤z≤kMB,即≤z≤,化简得-1≤z≤.]‎ ‎☞角度3 线性规划中的参数问题 ‎ (2016·河北石家庄质检)已知x,y满足约束条件若目标函数z=y-mx(m>0)的最大值为1,则m的值是(  ) ‎ ‎【导学号:01772204】‎ A.-         B.1‎ C.2 D.5‎ B [作出可行域,如图所示的阴影部分.∵m>0,∴当z=y-mx经过点A时,z取最大值,由解得即A(1,2),∴2-m=1,解得m=1.故选B.]‎ ‎[规律方法] 1.求目标函数的最值的一般步骤为:一作图、二平移、三求值.其关键是准确作出可行域,理解目标函数的意义.‎ ‎2.常见的目标函数有:‎ ‎(1)截距型:形如z=ax+by.求这类目标函数的最值时常将函数z=ax+by转化为直线的斜截式:y=-x+,通过求直线的截距的最值间接求出z的最值.‎ ‎(2)距离型:形如z=(x-a)2+(y-b)2.‎ ‎(3)斜率型:形如z=.‎ 易错警示:注意转化的等价性及几何意义.‎ 线性规划的实际应用 ‎ (2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:‎ 现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨.在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.‎ ‎(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.‎ ‎[解] (1)由已知,x,y满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.5分 ‎(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.‎ 考虑z=2x+3y,将它变形为y=-x+,它的图象是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y轴上的截距,当取最大值时,z的值最大.根据x,y满足的约束条件,由图②可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.7分 解方程组得点M的坐标为(20,24),‎ 所以zmax=2×20+3×24=112.‎ 答:生产甲种肥料20车皮,乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.12分 ‎[规律方法] 1.解线性规划应用题的步骤 ‎(1)转化——设元,写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转化为线性规划问题;‎ ‎(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题;‎ ‎(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案.‎ ‎2.解线性规划应用题,可先找出各变量之间的关系,最好列成表格,然后用字母表示变量,列出线性约束条件;写出要研究的函数,转化成线性规划问题.‎ ‎[变式训练2] 某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为(  )‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元 D [设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨,每天所获利润为z万元,则有z=3x+4y,作出可行域如图阴影部分所示,由图形可知,当直线z=3x+4y经过点A(2,3)时,z取最大值,最大值为3×2+4×3=18.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1.确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界,特殊点定域”.‎ ‎(1)直线定界:即若不等式不含等号,则应把直线画成虚线;若不等式含有等号,把直线画成实线.‎ ‎(2)特殊点定域:当C≠0时,常把原点作为测试点;当C=0时,常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点.‎ ‎2.利用线性规划求最值的步骤是:‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域;‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形;‎ ‎(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解;‎ ‎(4)求最值:将最优解代入目标函数求最值.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1.画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化.‎ ‎2.求二元一次函数z=ax+by(ab≠0)的最值,利用其几何意义,通过求y=-x+的截距的最值间接求出z的最值,要注意:当b>0时,截距取最大值时,z也取最大值;截距取最小值时,z也取最小值.当b<0时,结论与b>0的情形恰好相反.‎
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