2018届高三数学一轮复习： 第6章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

2018届高三数学一轮复习： 第6章 第2节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

第二节　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 ‎ [考纲传真]　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．‎ ‎1．二元一次不等式(组)表示的平面区域 不等式 表示区域 Ax＋By＋C>0‎ 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域 不包括 边界直线 Ax＋By＋C≥0‎ 包括 边界直线 不等式组 各个不等式所表示平面区域的公共部分 ‎2.线性规划中的相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的不等式(组)‎ 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x，y)‎ 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　)‎ ‎(2)线性目标函数的最优解可能不唯一．(　　)‎ ‎(3)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　)‎ ‎(4)不等式x2－y2<0表示的平面区域是一、三象限角的平分线和二、四象限角的平分线围成的含有y轴的两块区域．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)不等式组表示的平面区域是(　　)‎ C　[x－3y＋6<0表示直线x－3y＋6＝0左上方的平面区域，x－y＋2≥0表示直线x－y＋2＝0及其右下方的平面区域，故选C.]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z＝x＋y的最大值为________．‎ 　[不等式组表示的平面区域如图中阴影部分．‎ 由得A.‎ 当直线z＝x＋y过点A时，zmax＝1＋＝.]‎ ‎4．(2016·保定调研)在平面直角坐标系xOy中，若点P(m,1)到直线4x－3y－1＝0的距离为4，且点P(m,1)在不等式2x＋y≥3表示的平面区域内，则m＝__________.‎ ‎6　[由题意得＝4及‎2m＋1≥3，‎ 解得m＝6.]‎ ‎5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是__________. ‎ ‎【导学号：01772202】‎ ‎1　[不等式组表示的区域如图中的阴影部分所示，‎ 由x＝1，x＋y＝0得A(1，－1)，‎ 由x＝1，x－y－4＝0得B(1，－3)，‎ 由x＋y＝0，x－y－4＝0得C(2，－2)，‎ ‎∴|AB|＝2，∴S△ABC＝×2×1＝1.]‎ 二元一次不等式(组)表示的平面区域 ‎　(1)(2016·浙江高考)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)‎ A.　　　　　　　 B. C. D. ‎(2)(2016·衡水中学调研)若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是(　　)‎ ‎ 【导学号：01772203】‎ A．a<5 B.a≥7‎ C．5≤a<7 D.a<5或a≥7‎ ‎(1)B　(2)C　[(1)根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为＝，故选B.‎ ‎(2)如图，当直线y＝a位于直线y＝5和y＝7之间(不含y＝7)时满足条件，故选C.]‎ ‎[规律方法]　1.可用“直线定界、特殊点定域”的方法判定二元一次不等式表示的平面区域，若直线不过原点，特殊点常选取原点．‎ ‎2．不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集，画出图形后，面积关系结合平面几何知识求解．‎ ‎[变式训练1]　(2016·豫北六校第二次联考)已知区域D：的面积为S，点集T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在坐标系中对应区域的面积为S，则k的值为(　　)‎ A. B. C．2 D.3‎ A　[作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示．‎ 直线y＝kx＋1过定点A(0,1)，点集T＝{(x，y)∈D|y≥kx＋1}在坐标系中对应区域的面积为S，则直线y＝kx＋1过BC中点D.由解得即B(2,3)．‎ 又C(1,0)，∴BC的中点为D，则＝k＋1，解得k＝.]‎ 简单的线性规划问题 ‎☞角度1　求线性目标函数的最值 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ)若x，y满足约束条件则z＝x－2y的最小值为________．‎ ‎(2)(2017·福州质检)已知实数x，y满足且数列4x，z,2y为等差数列，则实数z的最大值是__________．‎ ‎ (1)－5　(2)3　[(1)不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．‎ 由z＝x－2y得y＝x－z.‎ 平移直线y＝x，易知经过点A(3,4)时，z有最小值，最小值为z＝3－2×4＝－5.‎ ‎ (2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以，‎ eq lc( c)(avs4alco1(f(1,2)，f(3,2)))，(1,1)为顶点的三角形区域(包含边界)，又由题意易得z＝2x＋y，所以当目标函数z＝2x＋y经过平面区域内的点(1,1)时，z＝2x＋y取得最大值zmax＝2×1＋1＝3.]‎ ‎☞角度2　求非线性目标函数的最值 ‎　(1)(2016·山东高考)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)‎ A．4 B.9‎ C．10 D.12‎ ‎(2)(2017·湖北七市4月联考)若变量x，y满足约束条件则z＝的取值范围是__________．‎ ‎(1)C　(2)　[(1)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．x2＋y2表示平面区域内的点到原点距离的平方，由得A(3，－1)，由图易得(x2＋y2)max＝|OA|2＝32＋(－1)2＝10.故选C.‎ ‎(2)作出不等式组所表示的区域，如图中△ABC所表示的区域(含边界)，‎ 其中点A(1,1)，B(－1，－1)，C.z＝表示△ABC区域内的点与点M(2,0)的连线的斜率，显然kMA≤z≤kMB，即≤z≤，化简得－1≤z≤.]‎ ‎☞角度3　线性规划中的参数问题 ‎　(2016·河北石家庄质检)已知x，y满足约束条件若目标函数z＝y－mx(m>0)的最大值为1，则m的值是(　　) ‎ ‎【导学号：01772204】‎ A．－　　　　　　　　 B.1‎ C．2 D.5‎ B　[作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m>0，∴当z＝y－mx经过点A时，z取最大值，由解得即A(1,2)，∴2－m＝1，解得m＝1.故选B.]‎ ‎[规律方法]　1.求目标函数的最值的一般步骤为：一作图、二平移、三求值．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．‎ ‎2．常见的目标函数有：‎ ‎(1)截距型：形如z＝ax＋by.求这类目标函数的最值时常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．‎ ‎(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.‎ ‎(3)斜率型：形如z＝.‎ 易错警示：注意转化的等价性及几何意义.‎ 线性规划的实际应用 ‎　(2016·天津高考)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：‎ 现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨．在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．‎ ‎(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．‎ ‎[解]　(1)由已知，x，y满足的数学关系式为 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图①中的阴影部分.5分 ‎(2)设利润为z万元，则目标函数为z＝2x＋3y.‎ 考虑z＝2x＋3y，将它变形为y＝－x＋，它的图象是斜率为－，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取最大值时，z的值最大．根据x，y满足的约束条件，由图②可知，当直线z＝2x＋3y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.7分 解方程组得点M的坐标为(20,24)，‎ 所以zmax＝2×20＋3×24＝112.‎ 答：生产甲种肥料20车皮，乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元.12分 ‎[规律方法]　1.解线性规划应用题的步骤 ‎(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；‎ ‎(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题；‎ ‎(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．‎ ‎2．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题．‎ ‎[变式训练2]　某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(　　)‎ 甲 乙 原料限额 A(吨)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎12‎ B(吨)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎8‎ A.12万元 B.16万元 C．17万元 D.18万元 D　[设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有z＝3x＋4y，作出可行域如图阴影部分所示，由图形可知，当直线z＝3x＋4y经过点A(2,3)时，z取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18.]‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．确定二元一次不等式表示的平面区域的方法是“直线定界，特殊点定域”．‎ ‎(1)直线定界：即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．‎ ‎(2)特殊点定域：当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．‎ ‎2．利用线性规划求最值的步骤是：‎ ‎(1)在平面直角坐标系内作出可行域；‎ ‎(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；‎ ‎(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；‎ ‎(4)求最值：将最优解代入目标函数求最值．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．画平面区域避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．‎ ‎2．求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，利用其几何意义，通过求y＝－x＋的截距的最值间接求出z的最值，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值．当b<0时，结论与b>0的情形恰好相反．‎