2018届二轮复习函数的图象与性质学案
第1讲 函数的图象与性质
1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．
2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．
3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．
热点一 函数的性质及应用
1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
2．奇偶性
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内：
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数；
②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数；
③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．
(5)图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称．
3．周期性
定义：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a≠0)，
则其一个周期T＝|a|.
常见结论：
(1)f(x＋a)＝－f(x)⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.
(2)f(x＋a)＝⇒函数f(x)的最小正周期为2|a|，a≠0.
(3)f(a＋x)＝f(b－x)，则函数f(x)的图象关于x＝对称．
例1 (1)(2017届河北省衡水中学六调)已知f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，当x∈[2,3]时，f(x)＝log2(x－1)，则f 等于( )
A．2－log23 B．log23－log27
C．log27－log23 D．log23－2
答案 D
解析 因为f(x)是奇函数，且f(2－x)＝f(x)，
所以f(x－2)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(x)，
所以f ＝f ＝f ＝－f ＝－f .
又当x∈[2,3]时，f(x)＝log2(x－1)，
所以f ＝log2＝log2＝2－log23，
所以f ＝log23－2，故选D.
(2)(2017届四川省资阳市期末)已知函数f(x)＝x3＋3x (x∈R)，若不等式f(2m＋mt2)＋f(4t)<0对任意实数t≥1恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪(，＋∞) B.
C．(－2，－) D．(－∞，－)
答案 D
解析 由题意得f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数且f(x)在R上单调递增，不等式f(2m＋mt2)＋f(4t)<0对任意实数t≥1恒成立，则2m＋mt2<－4t在t≥1时恒成立，分离参数m<－＝－.又t＋≥2(当且仅当t＝时，取等号)，则m<－，故选D.
思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性，将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值．
(2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1)
f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c) C．f(c)>f(b)>f(a) D．f(c)>f(a)>f(b)
答案 D
解析 由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0可知，
<0，所以y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又因为函数y＝f(x)是R上的偶函数，所以y＝f(x)在(－∞，0)上单调递增，由于a＝ln ＝－ln π<－1，b＝(ln π)2，c＝ln＝ln π，所以|b|>|a|>|c|，
因此f(c)>f(a)>f(b)，故选D.
(2)(2017届安徽省池州市东至县联考)设偶函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋3)＝－，且当x∈[－3，－2]时，f(x)＝4x，则f(2 018)＝________.
答案 －8
解析 由条件可得f(x＋6)＝f(x)，函数的周期为6，
f(2 018)＝f(6×336＋2)＝f(2)＝f(－2)＝－8.
热点二 函数图象及应用
1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．
2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．
例2 (1)(2017·深圳调研)函数y＝f(x)＝·cos x的图象大致是( )
答案 C
解析 易知函数定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝－f(x)，因此函数图象关于原点对称．当自变量从原点右侧x→0时，y→＋∞，故选C.
(2)(2017届菏泽期末)若函数y＝f(x)的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则称点对[A，B]为y＝f(x)的“友情点对”，点对[A，B]与[B，A]可看作同一个“友情点对”，若函数f(x)＝恰好有两个“友情点对”，则实数a的值为( )
A．－2 B．2
C．1 D．0
答案 B
解析 首先注意到(0，a)没有对称点．当x>0时，f(x)＝－x3＋6x2－9x＋a，则－f(－x)＝－x3－6x2－9x－a，即－x3－6x2－9x－a＝2(x<0)有两个实数根，即a＝－x3－6x2－9x－2(x<0)有两个实数根．画出y＝－x3－6x2－9x－2(x<0)的图象如图所示，由图可知当a＝2时有两个解．
思维升华 (1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是判断函数图象问题的基本方法．(2)判断复杂函数的图象，常借助导数这一工具，先对原函数进行求导，再利用导数判断函数的单调性、极值或最值，从而对选项进行筛选．要注意函数求导之后，导函数发生了变化，故导函数和原函数定义域会有所不同，我们必须在原函数的定义域内研究函数的极值和最值．
跟踪演练2 (1)(2017届山西晋中榆社中学月考)函数f(x)＝(16x－16－x)log2|x|的图象大致为( )
答案 A
解析 由定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－f(x)⇒f(x)是奇函数，可排除B，C，由f ＝
log2＝－3>－＝log2＝f ⇒f >f ，排除D，故选A.
(2)已知函数f(x)＝＋，g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)．在同一直角坐标系中，函数f′(x)与g(x)的图象不可能是( )
答案 B
解析 因为f(x)＝＋，
所以f′(x)＝ax2－x＋，
若a＝0，则选项D是正确的，故排除D.
若a<0，选项B中的二次函数的判别式Δ＝1－4a·＝1－2a2<0，所以a2>，又a<0，所以a<－.
二次函数f′(x)的图象的对称轴为x＝.
三次函数g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a，
所以g′(x)＝3a2x2－4ax＋1＝3a2，
令g′(x)>0，得x<或x>，
令g′(x)<0，得，
所以选项B的图象错误，故选B.
热点三 基本初等函数的图象和性质
1．指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质．
2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，，－1五种情况．
例3 (1)(2017·深圳调研)设a＝0.23，b＝log0.30.2，c＝log30.2，则a，b，c大小关系正确的是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
答案 B
解析 根据指数函数和对数函数的增减性知，因为0log0.30.3＝1，c＝log30.2a>c，故选B.
(2)(2017届云南曲靖一中月考)已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是( )
A. B．(1,2]
C．(1,3) D.
答案 A
解析 <0⇒f(x)是减函数⇒⇒a∈，故选A.
思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．
(2)比较代数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．
跟踪演练3 (1)(2017·全国Ⅰ)设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则( )
A．2x<3y<5z B．5z<2x<3y C．3y<5z<2x D．3y<2x<5z
答案 D
解析 令t＝2x＝3y＝5z，
∵x，y，z为正数，∴t>1.
则x＝log2t＝，同理，y＝，z＝.
∴2x－3y＝－＝＝>0，
∴2x>3y.
又∵2x－5z＝－＝＝<0，
∴2x<5z，
∴3y<2x<5z.故选D.
(2)(2017届四川雅安中学月考)对任意实数a，b定义运算“Δ”：aΔb＝设f(x)＝3x＋1Δ(1－x)，若函数f(x)与函数g(x)＝x2－6x在区间(m，m＋1)上均为减函数，则实数m的取值范围是( )
A．[－1,2] B．(0,3]
C．[0,2] D．[1,3]
答案 C
解析 由题意得f(x)＝
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，函数g(x)＝(x－3)2－9在(－∞，3]上单调递减，若函数f(x)与g(x)在区间(m，m＋1)上均为减函数，则得0≤m≤2，故选C.
真题体验
1．(2017·全国Ⅲ改编)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为________．(填序号)
答案 ④
解析 当x→＋∞时，→0,1＋x→＋∞，y＝1＋x＋→＋∞，故排除②；
当0＜x＜时，y＝1＋x＋＞0，故排除①③.
故填④.
2．(2017·天津改编)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为____________．
答案 b1,01时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；
当01，而此时幂函数f(x)＝xa的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C错．
2．(2017届甘肃肃南裕固族自治县一中月考)设函数y＝f(x)(x∈R)为偶函数，且∀x∈R，满足f ＝f ，当x∈[2,3]时，f(x)＝x，则当x∈[－2,0]时，f(x)等于( )
A．|x＋4|
B．|2－x|
C．2＋|x＋1|
D．3－|x＋1|
押题依据 利用函数的周期性、奇偶性求函数值是高考的传统题型，较好地考查学生思维的灵活性．
答案 D
解析 由f ＝f ，可得f(x＋2)＝f(x)，则当x∈[－2，－1]时，x＋4∈[2,3]，f(x)＝f(x＋4)＝x＋4＝x＋1＋3；当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，2－x∈[2,3]，f(x)＝f(－x)＝f(2－x)＝2－x＝3－x－1，故选D.
3．已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )
押题依据 图象的识别和变换是高考的热点，此类问题既考查了基础知识，又考查了学生的灵活变换能力．
答案 B
解析 方法一 由题意得
解得f(x)的定义域为{x|x>－1，且x≠0}．
令g(x)＝ln(x＋1)－x，则g′(x)＝－1＝，
当－10；当x>0时，g′(x)<0.
∴f(x)在区间(－1,0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数，对照各选项，只有B符合．
方法二 本题也可取特值，用排除法求解：
f(2)＝<0，排除A.
f ＝＝<0，
排除C，D，故选B.
4．已知函数h(x)(x≠0)为偶函数，且当x>0时，h(x)＝若h(t)>h(2)，则实数t的取值范围为________．
押题依据 分段函数是高考的必考内容，利用函数的单调性求解参数的范围，是一类重要题型，是高考考查的热点．本题恰当地应用了函数的单调性，同时考查了函数的奇偶性的性质．
答案 (－2,0)∪(0,2)
解析 因为当x>0时，h(x)＝
易知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
因为函数h(x)(x≠0)为偶函数，且h(t)>h(2)，
所以h(|t|)>h(2)，所以0<|t|<2，
所以即
解得－21时，ln|x|>0，y＝>0，排除D；
当x<－1时，ln|x|>0，y＝<0，排除C，故选B.
6．(2017届安徽百校论坛联考)已知函数f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2＋x.若不等式f(x)－x≤2logax (a>0且a≠1)对∀x∈恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪(1，＋∞)
答案 B
解析 由已知得当x>0时，f(x)＝x2＋x，故x2≤2logax对∀x∈恒成立，即当x∈时，函数y＝x2的图象不在y＝2logax图象的上方，由图(图略)知00时，函数只有一个零点，而y＝是以x轴为中心的波浪线，所以B排除；当x→－∞时，y＝2x－x2－1→－∞，所以A排除；函数y＝(x2－2x)ex的图象在x→－∞时，y→0，在01的x的取值范围是___．
答案
解析 由题意知，可对不等式分x≤0,0＜x≤，x＞三段讨论．
当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋＞1，
解得x＞－，∴－＜x≤0.
当0＜x≤时，原不等式为2x＋x＋＞1，显然成立．
当x＞时，原不等式为2x＋2x－＞1，显然成立．
综上可知，x＞－.
10．(2017届江西吉安一中段考)若函数f(x)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝ 则f ＝________.
答案
解析 f ＝f ＝－f ＝－sin ＝，f ＝×＝.
11．(2017届云南省师范大学附属中学月考)已知函数f(x)＝ex＋x3，若f(x2)0，所以函数f(x)为增函数，所以不等式f(x2)0，不管a取何值，定义域均不关于原点对称，则C不满足；对于D，
f(－x)＝－ax＋cos(－x)＝－ax＋cos x，若f(－x)＋f(x)＝2cos x＝0，则不满足x为一切实数，D不满足．故选A.
14．(2017届合肥一模)已知函数f(x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1在[－1,3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m等于( )
A．4 B．2 C．1 D．0
答案 A
解析 设t＝x－1，则f(x)＝(x2－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t2－1)sin t＋t＋2，t∈[－2,2]，记g(t)＝(t2－1)sin t＋t＋2，则函数y＝g(t)－2＝(t2－1)sin t＋t是奇函数，由已知y＝g(t)－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4，故选A.
15．(2017届湖北省部分重点中学联考)已知函数f(x)＝＋x＋sin x，若正实数a，b满足f(4a)＋f(b－9)＝0，则＋的最小值为________．
答案 1
解析 因为f(－x)＝－f(x)，故由题设可得当4a＋b＝9，即＋＝1时，则＋＝
＝≥(5＋4)＝1，当且仅当b＝2a时取等号．
16．(2017届河南南阳一中月考)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P(x，y)的轨迹方程式为y＝f(x)(x∈R)，则对函数y＝f(x)有下列判断：
①函数y＝f(x)是偶函数；
②对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝f(x－2)；
③函数y＝f(x)在区间[2,3]上单调递减；
④ʃf(x)dx＝.
其中判断正确的序号是________．
答案 ①②④
解析 当－2≤x≤－1时，P的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆；当－1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，为半径的圆；当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆；当2≤x≤3时，P的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆，所以函数的周期为4，图象如图所示．根据其对称性可知y＝f(x)是偶函数，所以①正确；因为最小正周期为4，所以②正确；函数f(x)在[2,3]上单调递增，所以③错误；根据定积分的几何意义可知ʃf(x)dx＝×π×()2＋×1×1＋×π×12＝，所以④正确，故正确答案为①②④.
